Законы Кирхгофа для электрической цепи - файл n1.doc

Законы Кирхгофа для электрической цепи
скачать (269.7 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc940kb.17.02.2010 21:14скачать

n1.doc

ЗАКОНЫ КИРХГОФА ДЛЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
Для цепей синусоидального тока также справедливы законы Кирхгофа, сформулированные ранее для цепей постоянного тока. Но так как синусоидальные величины (э. д. с, напряжение, ток) характе­ризуются мгновенными, максимальными и действующими значениями, то для каждого из них существуют свои формулировки законов Кирх­гофа.

Для мгновенных значений законы Кирхгофа справедливы в алгеб­раической форме.

Первый закон состоит в том, что алгебраическая сумма мгновенных значений токов в узле равна нулю:



По второму закону алгебраическая сумма э.д.с. в контуре равна алгебраической сумме падений напряжений в этом контуре:



Для максимальных и действующих значений законы Кирхгофа справедливы только в векторной или комплексной форме.

Согласно первому закону, сумма комплексных токов в узле равна нулю:

. (2.17)

По второму закону сумма комплексных э. д. с. в контуре равна сумме комплексных падений напряжения в этом контуре:



Второй закон Кирхгофа может быть сформулирован иначе: сумма мгновенных или комплексных значений падений напряжений на всех элементах контура, включая источники э. д. с, равна нулю:

или (2.18)

При составлении уравнений законов Кирхгофа в цепях синусо­идального тока необходимо указать условное положительное направ­ление э. д. с, задать условное положительное направление токов в ветвях и положительное направление падений напряжений на участ­ках цепи, совпадающее с положительным направлением тока. Знак слагаемых в уравнениях определяется так же, как в цепях постоянного тока. Это относится как к мгновенным значениям синусоидальных величин, так и к комплексным.
ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ С АКТИВНЫМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ
Электрический ток проводимости в металлах представляет собой направленное движение свободных электронов, скорость и направле­ние которого определяются значением и полярностью приложенного к проводнику напряжения. При движении электроны сталкиваются с атомами проводящего вещества и кинетическая энергия электронов, запасенная ими при ускорении, превращается в тепловую энергию, затрачиваемую на нагрев проводника и рассеиваемую в окружающую среду. Это необратимый активный процесс преобразования электри­ческой энергии, который количественно определяется сопротивлением R. Потому его называют активным сопротивлением.

Активным сопротивлением обладают практически все материалы, проводящие электрический ток (металлы, уголь, электролиты). Та­ким образом, все провода, обмотки, реоcтаты и другие элементы цепи обладают активным сопротивлением. Элементы электрической цепи, обладающие только активным сопротивлением R, называют резисто­рами.

При рассмотрении электрических цепей постоянного тока сопро­тивление R называли просто сопротивлением. В теории цепей синусо­идального тока его называют активным сопротивлением. С одной сто­роны, это вызвано тем, что необходимо привести название этого сопротивления в соответствие е названиями других по характеру сопротивлений (индуктивное, емкостное, реактивное, полнее), харак­теризующих цепь синусоидального тока, с другой — тем, что один и тот же проводник оказывает большее сопротивление движению электронов при синусоидальном токе, чем при постоянном (это будет показано далее), т. е. активное сопротивление больше сопротивления постоянному току.

Пусть к зажимам цепи с активным сопротивлением R (рис. 2.16, а) приложено напряжение источника питания . Для простоты принимаем, что начальная фаза напряжения равна нулю, так как для установившегося режима начальная фаза не имеет никакого значения.

В соответствии со вторым законом Кирхгофа для мгновенных зна­чений напряжения имеем u = Ri. Решая это уравнение относительно тока i и заменяя u на , получаем:

, (2.19)

причем амплитуда тока в цепи

(2.20)

Из уравнения (2.19) видно, что ток в элементе с активным сопро­тивлением совпадает по фазе с напряжением на этом элементе (рис. 2.16, б).

Так как действующие значения напряжения и тока в раз меньше их максимальных значений, то аналогично (2.20) можно за­писать I = U/R, т.е. действующие значения синусоидальных напря­жений и тока связаны между собой законом Ома так же, как постоян­ные напряжение и ток.

На векторной диаграмме (рис. 2.16, в) комплексные значения напряжения и тока в цепи представлены векторами на комплексной плоскости. Начала векторов совмещены с началом координат, длины векторов в соответствующем масштабе равны действующим значениям напряжения и тока. Вещественная ось направлена вертикально, а мни­мая — горизонтально. Начальный вектор совмещаем с положитель­ным направлением вещественной оси. Для цепи с активным сопротив­лением векторы напряжения и тока совпадают по направлению.
ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ С ИНДУКТИВНОСТЬЮ

Индуктивностью L теоретически обладают все проводники с то­ком. Но в некоторых случаях эта индуктивность так мала, что ею вполне можно пренебречь. Значительна индуктивность у обмоток или ка­тушек, состоящих из большого числа витков провода. Индуктивность возрастает, если созданный током обмотки магнитный поток замы­кается по пути с малым магнитным сопротивлением (например, по стальному сердечнику), вследствие чего магнитный поток увеличива­ется.

Рассмотрим идеальную катушку с постоянной индуктивностью L, т. е. такую катушку, активное сопротивление которой равно нулю.

Пусть к цепи с индуктивностью L (рис. 2.17, а) приложено синусо­идальное напряжение . Под действием этого напряжения в цепи индуктивной катушки возникает ток i. Этот ток создает магнит­ный поток Ф, который согласно закону электромагнитной индукции индуцирует в катушке э.д.с. самоиндукции

, (2.21)

где — число витков катушки.

Знак минус согласно принципу электромагнитной инерции, сфор­мулированному Ленцем, указывает на то, что э. д. с. самоиндукции eL всегда имеет такое направление, при котором она препятствует изменению магнитного потока или тока в цепи.

На рис. 2.17, а показаны условные положительные направления тока i в цепи и падения напряжения uL на элементе с индуктивностью L. Условное положительное направление э.д.с. eL выбирают из условия, что ее действительное направление в любой момент времени противоположно направлению uL (uL = - еL).

По второму закону Кирхгофа (2.18) имеем uuL = 0, а с учетом того, что uL = - eL, получаем

u + eL = 0. (2.22)

Чтобы получить это уравнение на основании (2.17), условное по­ложительное направление eL следует всегда принимать совпадающим с положительным направлением тока.

Так как , а eL определяется из (2.21), уравнение (2.22) принимает вид

или

Решая это уравнение, получим выражение для тока в цепи1:

.

Так как амплитуда тока

, (2.23)

то окончательное выражение для тока имеет вид

. (2.24)

Видно, что в цепи с индуктивностью ток также изменяется по синусоидальному закону и отстает по фазе от напряжения на угол (рис. 2.17, б).

В формуле (2.23) знаменатель в правой части имеет размерность сопротивления. Это индуктивное сопротивление

. (2.25)

Индуктивное сопротивление прямо пропорционально частоте и индуктивности.

С учетом формулы (2.25) получаем

.

Для действующих значений напряжения и тока

. (2.26)

Так как согласно (2.22) э. д. с. самоиндукции численно равна напряженю на элементе с индуктивностью, то, используя формулу (2.26), имеем

. (2.27)

Видно, что индуктивное сопротивление является коэффициентом пропорциональности между током и э. д. с. самоиндукции.

В соответствии с (2.15) принимая во внимание, что , комплексное напряжение = U, а в соответствии с (2.16) и (2.24) комплексный ток

.

На векторной диаграмме (рис. 2.17, в) вектор напряжения, имею­щий начальную фазу, равную нулю, отложен по вещественной оси, а вектор тока, имеющий начальную фазу , — в отрица­тельном направлении мнимой оси. Угол сдвига фаз между напряже­нием и током в цепи с индуктивностью .

Если модули напряжения и тока связаны соотношением (2.27), то их комплексные значения связаны соотношением

.
ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ С ЕМКОСТЬЮ
Элементом электрической цепи, обладающим значительной ем­костью, является конденсатор. Конструктивно конденсатор представ­ляет собой две пластины g большой поверхностью, выполненные из проводящего материала и разделенные диэлектриком. Емкость С кон­денсатора определяет тот электрический заряд, который накапли­вается на пластинах при разности потенциалов между ними в 1 В.

Хотя пластины конденсатора и разделены диэлектриком, при пе­ременном напряжении ток в цепи с конденсатором существует. Это связано с тем, что синусоидальное напряжение непрерывно меняется по значению и направлению, а следовательно, и заряд на пластинах конденсатора непрерывно меняется. Это изменение заряда и связанное с ним движение электронов и есть электрический ток в цепи.

Емкостью обладают любые два проводника, расположенные не­далеко друг от друга. Но при малой поверхности их емкость невелика и ею обычно пренебрегают.

Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из источника пита­ния и конденсатора емкостью С (рис. 2.18, а). Будем считать, что конденсатор имеет идеальный диэлектрик, т. е. его активное сопротив­ление равно нулю. К цепи с конденсатором подведено синусоидальное напряжение , под действием которого в цепи возникает ток i и на каждой пластине конденсатора скапливается заряд Q = Сuс, где uс — падение напряжения на конденсаторе.

По второму закону Кирхгофа для данной цепи имеем u = uс. Тогда заряд на конденсаторе



Ток в цепи, представляющий собой изменение заряда во времени,

,

или

(2.28)

где амплитуда тока

. (2-29)

Из формулы (2.28) видно, что ток в цепи с емкостью является синусо­идальным и опережает напряжение по фазе на угол (рис. 2.18, б).

Рассмотрим процесс протекания тока в цепи с емкостью подробнее. Под действием приложенного к конденсатору напряжения происходит поляризация диэлектрика, т. е. смещение заряженных частиц, входя­щих в состав молекул его вещества, в противоположных направле­ниях. Электрически нейтральные при отсутствии внешнего электри­ческого поля молекулы диэлектрика превращаются в электрические диполи, т. е. системы двух противоположных по знаку точечных зарядов. В процессе поляризации в диэлектрике происходит движение элементарных частиц в пределах молекулы, образующее ток поляри­зации или ток смещения.

На рис. 2.19, б, в показаны действительные мгновенные значения потенциалов точек а и d. В первую четверть периода (0 < t < /Т/4) потенциал точки а (рис. 2.19, б) положительный и увеличивается от 0 до +Um. Поляризация диэлектрика и ток в цепи пропорциональны скорости изменения потенциала точки а. Ток в цепи направлен от точ­ки а, имеющей в данный промежуток времени больший потенциал, и совпадает по направлению с напряжением. В момент времени t = Т/4 потенциал точки а достигает значения +Um и в течение не изменяется, вследствие чего ток i = 0 (рис. 2.19, а).

Во вторую четверть периода (Т/4 < t < T/2) потенциал точки а остается положительным, но уменьшается от +Um до нуля. Пластина b конденсатора, заряженная до потенциала +Um, оказывается в таких условиях, когда ее потенциал больше потенциала точки а. Направ­ление тока изменяется на противоположное (рис. 2.19, е), т.е. ток становится отрицательным. Наибольшая разность потенциалов имеет место при t = T/2. В этот момент времени ток достигает отрицатель­ного максимума. Дальше процесс повторяется.

Величина в знаменателе правой части (2.29) имеет размер­ность сопротивления, обозначается Хс и называется емкостным со­противлением:

.

Емкостное сопротивление обратно пропорционально частоте и емкости конденсатора.

Таким образом, Im = Um/Xc

Поделив обе части этого уравнения на , получим выражение закона Ома для действующих значений тока и напряжения:

I = U/Xc.

Комплексный ток на основании (2.28)

. (2.30)

С учетом выражения (2.30) можно найти соотношение между комп­лексным напряжением и током в цепи с емкостью:

/

Векторная диаграмма комплексных значений напряжения и тока представлена на рис. 2.18, в.
ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ ПРИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОМ СОЕДИНЕНИИ ЭЛЕМЕНТОВ С R, L И С
Схеме электрической цепи, изображенной на рис. 2.20, а, может соответствовать цепь последовательно соединенных индуктивной ка­тушки с активным сопротивлением R и индуктивностью L и конден­сатора с емкостью С. Активное сопротивление может также соответ­ствовать сопротивлению какого-либо резистора. Во всяком случае, R, L и С — это параметры электрической цепи, причем активное со­противление R характеризует активный (необратимый) процесс пре­образования электрической энергии в другие виды энергии, а индуктивность L и емкость С — обратимый процесс преобразования энер­гии электромагнитного поля.

Под действием напряжения источника питания в цепи возникает ток i. Ток создает падения напряжения на элементах цепи: uR = Ri — на элементе с активным сопротивлением; uL = - еL = L di/dt — на элементе с индуктивностью; — на элементе с емкостью.

По второму закону Кирхгофа для данной цепи запишем

или . (2.31)

В результате решения уравнения (2.31) найдем i(t).

Полным решением линейного дифференциального уравнения (2.31) с постоянными коэффициентами является сумма частного решения этого уравнения и общего решения однородного дифференциального уравнения

. (2.32)

Уравнение (2.32) записано по второму закону Кирхгофа для цепи с последовательным соединением элементов R, L и С, когда напряже­ние источника питания равно нулю, т.е. когда электрическая цепь замкнута накоротко и электрическая энергия извне в цепь не посту­пает. В этих условиях ток в цепи может существовать только за счет запасов энергии в магнитном поле катушки или в электрическом поле конденсатора. При протекании тока через элемент с сопротивлением R происходит преобразование электроэнергии в тепловую и рассеяние ее в окружающую среду. Поэтому через некоторое время запасы элект­роэнергии будут израсходованы. Иными словами, ток, найденный в ре­зультате решения уравнения (2.32), через некоторое время будет ра­вен нулю.

Время, в течение которого существует этот ток, является временем переходного процесса в цепи и обычно исчисляется долями секунды.

Так как на данном этапе нас интересует только установившийся, стабильный, режим цепи, существующий сколь угодно долго, то общего решения уравнения (2.31) искать не будем.

Найдем частное решение уравнения (2.31), т.е. ток установивше­гося режима. Так как правая часть этого уравнения — синусоидаль­ная функция, то и частное решение следует искать в виде синусоидаль­ной функции

. (2.33)

Функция i(t) полностью определена, если известны амплитуда тока Im и угол сдвига фаз между напряжением и током. Найдем эти величины.

Как было показано ранее, напряжение изображается комплексным числом ; ток — комплексным числом ; прои­зводная di/dt — комплексным числом ; интеграл — ком­плексным числом .

Перейдем от дифференциального уравнения (2.31) к алгебраиче­скому уравнению в комплексной форме

.

После преобразований имеем

, (2.34)

а разделив обе части уравнения (2.34) на , получим аналогичное линейное алгебраическое уравнение для комплексных действующих значений:

, (2.35)

Коэффициент

(2.36)

является полным сопротивлением цепи в комплексной форме. Вещест­венная составляющая R полного сопротивления равна активному со­противлению цепи, а мнимая составляющая X называется ее реак­тивным сопротивлением. Реактивное сопротивление цепи равно раз­ности индуктивного и емкостного сопротивлений:

X = XL —ХC .

С учетом (2.36) уравнения (2.34) и (2.35) принимают вид

; ,

откуда комплексное полное сопротивление

(2.37)

где модуль полного сопротивления

. (2.38)

Таким образом, из (2.38) и (2.37) следует, что модуль полного со­противления цепи равен отношению модулей действующих значений напряжения и тока, а аргумент комплексного сопротивления — сдвигу фаз между векторами напряжения и тока.

Модуль полного сопротивления цепи на основании (2.36)

, (2.39)

т.е. полное сопротивление цепи равно корню квадратному из суммы квадратов активного и реактивного сопротивлений.

Итак, из (2.38) можно найти амплитуду тока, определяющую функ­цию i(t) в уравнении (2.33):

.

Теперь, если воспользоваться равенством

,

можно определить угол сдвига фаз в выражении (2.33):

. (2.40)

Таким образом, значение угла зависит от соотношения между реактивным X и активным R сопротивлениями. Чем больше реактив­ное сопротивление, тем больше угол . Знак угла зависит от соот­ношения между индуктивным и емкостным сопротивлениями. Если XL>XC, то угол положительный и ток можно определять по формуле (2.33), откуда видно, что ток отстает по фазе от напряжения на угол . Если XLC, то угол отрицательный и ток , т.е. опережает по фазе напряжение на угол .

На рис. 2.20, б показано, как изменяются напряжение и ток в цепи, представленной на рис. 2.20, а, при условии XL>XC.

При построении векторной диаграммы (рис. 2.20, в) в качестве начального удобно выбрать вектор тока, так как при последователь­ном соединении ток во всех элементах один и тот же. Как было условлено, начальный вектор совмещаем с положительным направлением вещественной оси (здесь и далее оси обозначать не будем).

Падения напряжения в комплексной форме на участке цепи с ак­тивным, индуктивным и емкостным сопротивлениями соответственно

; ;

Вектор на участке с активным сопротивлением совпадает по фазе с вектором , и на векторной диаграмме его проводим в направ­лении вектора тока. Падение напряжения на участке с индуктивностью опережает ток по фазе на угол , причем поворачивать век­тор надо против направления вращения часовой стрелки по отноше­нию в вектору (см. § 2.6). Падение напряжения UС на участке с емкостью отстает от тока на угол , причем UC следует повернуть на угол 90° по направлению вращения часовой стрелки по отношению к вектору .

По второму закону Кирхгофа можно написать уравнение

.

Для нахождения вектора полного напряжения цепи к концу вектора пристраиваем вектор путем параллельного переноса, а к концу вектора пристраиваем вектор . Вектор полного напря­жения соединяет начало координат с концом вектора (пос­леднего слагаемого вектора).

Поскольку векторная диаграмма построена для случая, когда XL > ХС (следовательно, и UL > UС), ток в цепи отстает по фазе на угол от полного напряжения, комплексное значение которого .

Аналогично проводят анализ для электрических цепей с последо­вательным соединением элементов с R и L или с R и С. В первом слу­чае (рис. 2.21, а) имеем:

ХС = 0; X = XL; ;

; .

На рис. 2.21, б представлена векторная диаграмма, соответствую­щая этому случаю. Ток в цепи отстает по фазе от напряжения на угол .

При последовательном соединении элементов с R и С (рис. 2.22, а) имеем:

XL = 0; X = -XС;

;

На рис. 2.22, б построена векторная диаграмма для такой цепи. Ток в ней опережает напряжение по фазе на угол .
ТРЕУГОЛЬНИК НАПРЯЖЕНИЙ И СОПРОТИВЛЕНИЙ
Если электрическая цепь состоит из последовательно соединенных элементов с активным и реактивным сопротивлениями, то векторная диаграмма напряжений имеет вид прямоугольного треугольника (см. рис. 2.20,б; 2.21,6; 2.22,6). Гипотенуза этого треугольника равна полному напряжению U, а катеты треугольника — активной Uа = RI и реактивной Up составляющим полного напряжения, причем

Up = UL-UC = (XL-XC)I = ХI. (2.41)

Из треугольников напряжений ОАВ (рис. 2.21, б и 2.22, б) можно получить ряд важных соотношений между напряжениями:

; (2.42)

, (2.43)

где

;

.

Если начальный вектор Ua расположен вертикально, то при XL > XС треугольник напряжений находится слева от него (рис. 2.21, б) и справа при X< ХС (рис. 2.22, б).

После деления всех сторон треугольника напряжений на ток I по­лучим треугольник сопротивлений, подобный треугольнику напряже­ний (рис. 2.23):

; ;

Из треугольника сопротивлений можно получить соотношения, ана­логичные (2.42) и (2.43):

R = Z cos , (2.44)

X = Z sin, (2.45)

а также известные уже равенства

; .
РЕЗОНАНС НАПРЯЖЕНИЯ
При последовательном соединении элементов в R, L и С (см. рис. 2.20, а) ток в цепи

.

Из всех возможных соотношений между индуктивным ХL и ем­костным ХC сопротивлениями особый интерес представляет случай, когда эти сопротивления равны, т. е. ХL = ХС. В этом случае ре­активное сопротивление цепи X = ХL - ХС = 0 и полное сопротив­ление Z = R минимально. Тогда ток в цепи I = U/R и при U = const, R = const значение его максимально.

Напряжения на индуктивном и емкостном элементах в комплекс­ной форме , а по значению UL = XLI = ХСI = UC. Следовательно,

UL=XLI = XLU/R; UC = XCI = XCU/R.

Таким образом, напряжения на индуктивном и емкостном элемен­тах могут превышать напряжение сети в XL/R раз, если XL > R. Сдвиг по фазе между напряжениями и равен , т.е. эти напря­жения находятся в противофазе.

Такой режим цепи при последовательном соединении элементов с R, L и С, когда XL = ХС, а напряжения на индуктивном () и ем­костном () элементах, находящиеся в противофазе, равны по значе­нию и могут превышать напряжение всей цепи, носит название режи­ма резонанса напряжений.

Векторная диаграмма напряжений для режима резонанса пред­ставлена на рис. 2.29. Реактивная составляющая напряжения (2.41) равна пулю; следовательно, полное напряжение , а угол сдвига = 0; cos = 1.

Активная мощность такой цепи Р = UIcos = UI = S, а реак­тивная Q = UIsin = 0. Реактивные же мощности индуктивной ка­тушки (QL = XL) и конденсатора () не равны нулю: их мгновенные значения в любой момент времени равны между собой, но обратим по знаку. Происходит непрерывный обмен энергией меж­ду магнитным полем катушки и электрическим полем конденсатора.

Равенства индуктивного и емкостного сопротивлений



можно добиться, изменяя угловую частоту , индуктивность L или емкость С. Угловая частота, при которой наступает резонанс напря­жений,

.

При этой, резонансной, частоте ток в цепи достигает максималь­ного значения. При уменьшении частоты увеличивается сопротивле­ние , а следовательно, и реактивное сопротивление цепи X = XL  ХC становится не равным нулю. Ток уменьшается. При частоте , что формально соответствует напряжению постоянного тока, ток в цепи равен нулю (). При увеличении угловой частоты () реактивное сопротивление цепи также становится больше нуля и ток начинает уменьшаться (рис. 2.30) Падение напряжения на элементе с активным сопротивлением UR = RI изменяется так же, как ток в цепи, так как R = const. При этом UR = U при .

Напряжения UL и UC при равны между собой по значе­нию. Но своих максимальных значений они достигают при частоте, от­личной от резонансной. Напряжение на конденсаторе

.

Напряжение UC максимально тогда, когда функция под квадрат­ным корнем имеет минимум. Взяв первую производную от этой функ­ции по и приравняв ее нулю, найдем ее минимум (так как максимум имеет место при ). Частота, при которой напряжение макси­мально,

,

т.е. .

Поступая аналогичным образом, найдем, что частота, при которой напряжение UL достигает максимума,

,

т. e. .

Явление резонанса широко используют в устройствах радиотех­ники, телевидения, автоматики и других электроустройствах. Если электрическая цепь (см. рис. 2.20, а) имеет параметры L и С такие, что резонансной для этой цепи является частота , то ток этой частоты будет иметь максимальное значение. Токи других частот (если к цепи приложено несколько напряжений разной частоты) будут меньше. Изменяя индуктивность L или емкость С, можно на­страивать контур на ту или иную резонансную частоту и усиливать в цепи ток той или иной частоты.

Поскольку резонансные явления связаны со значительным уве­личением напряжения на элементах с индуктивностью и емкостью, это может привести к пробою их изоляции.
ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНОМ СОЕДИНЕНИИ ЭЛЕМЕНТОВ С R, L И С
К цепи с параллельным соединением элементов с R, L и С (рис. 2.31) подводят напряжение , под действием кото­рого в ветвях создаются токи (в ветви с R), (в ветви с L), (в ветви с С).

Соответственно действующие значения токов в ветвях

IR = U/R = GU; IL = U/XL = BLU; IC = U/XC = BCU, (2.53)

а действующее значение полного тока

, (2.54)

где G = 1/R; BL = 1/XL; BC = 1/XC; Y=1/Z— активная, индук­тивная, емкостная и полная проводимости цепи. По первому закону Кирхгофа для данной цепи,

(2-55)

При построении векторной диаграммы токов за начальный удобно принять вектор напряжения (рис. 2.31, б). Векторы комплексных токов, и в ветвях направлены с учетом их сдвига по фазе по отношению к вектору напряжения. В соответствии с уравнением (2.55) производят геометрическое сложение векторов токов на комп­лексной плоскости и находят вектор полного комплексного тока .

На рис. 2.31, в построен треугольник токов ОАВ, катеты которого равны активной Iа и реактивной Iр составляющим тока, а гипотену­за — полному току I. Активная составляющая тока совпадает по фазе с напряжением. Реактивная составляющая тока Iр = ILIС сдвинута по фазе относительно напряжения на угол /2. Если IL > IС, то Iр отстает по фазе от напряжения на /2, а полный ток — на (0 /2). Если IL < IС, то Iр опережает напряжение на угол /2, а полный ток — на (-/2 0). Из треугольника токов следуют соотношения:

;

;

; (2-56)

.

Подставляя (2.53) и (2.54) в (2.56), получаем

. (2.57)

Таким образом, полная проводимость цепи равна корню квадратно­му из суммы квадратов активной G и реактивной В = BL — ВС проводимостей.

Полный ток в цепи при параллельном соединении элементов с R, L и С в соответствии с (2.54) и (2.57)

. (2.58)

Поделив стороны треугольника токов на напряжение ; IP/U = B; I/U = Y, построим треугольник проводимостей (рис. 2.32, а), из которого можно получить следующие соотношения:

;

;

.

Полная проводимость цепи в комплекс­ной форме

, (2.59)

где G и В — активная и реактивная проводимости соответственно.

Как видно из (2.59), если угол положительный, т. е. полный ток имеет индуктивную реактивную составляющую, то реактивная про­водимость в комплексной форме отрицательна, и наоборот. Другими словами, если в цепи преобладает индуктивная проводимость (BL> ВС), то реактивная проводимость в комплексной форме отрица­тельна, а если преобладает емкостная проводимость (ВСL), то — положительна.

Активная и реактивная мощности цепи

;

,

причем реактивная мощность отдельных ветвей , .

Полная мощность цепи .
СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ЭКВИВАЛЕНТНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ ЦЕПИ ПРИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОМ И ПАРАЛЛЕЛЬНОМ СОЕДИНЕНИИ ЭЛЕМЕНТОВ
Большинство электроприемников переменного синусоидального тока потребляет как активную, так и реактивную мощность. Рассмот­рим случай, когда к электроприемнику подводят напряжение , под действием которого протекает ток , сдвинутый по фазе по отношению к напряжению на угол . Векторная диаграмма напряжения и тока, соответствующая этому случаю, показана на рис. 2.33.

Схема электрической цепи, эквивалентная данному электроприем­нику, может состоять либо из последовательного соединения элемен­тов с активным и реактивным сопротивлениями (рис. 2.34, а), либо из параллельного соединения элементов с активной и реактивной про­водимостью (рис. 2.34, б).

Обе эти схемы эквивалентны друг другу, если при одинаковом на­пряжении равны полные токи (равны модули токов и углы сдвига фаз между напряжением и током). При последовательном соединении элементов цепи, когда ток во всей цепи один и тот же, напряжение имеет активную a и реактивную p составляющие. При параллель­ном соединении элементов цепи, когда ко всем ветвям подводится одно и то же напряжение, активную и реактивную составляющие имеет ток (см. рис. 2.33).

При расчете электрических цепей может оказаться целесообразной замена последовательного соединения активного и реактивного эле­ментов схемы цепи параллельным их соединением или наоборот. Для этого надо знать соотношения между параметрами этих цепей.

Если необходимо заменить последовательное соединение заданных элементов с активным R и реактивным X сопротивлениями параллель­ным соединением элементов с активной G и реактивной В проводимостями (рис. 2.34, б), то сначала определяют полную проводимость цепи из условия, что токи в обеих цепях должны быть равными:



Активная и реактивная проводимости определяются из условия равенства углов сдвига фаз :

; (2.60)

(2.61)

При переходе от параллельного соединения элементов с активной и реактивной проводимостями к последовательному соединению эле­ментов с активным и реактивным сопротивлениями следует пользо­ваться соотношениями

;

;



В общем случае электрическую цепь или ее часть можно представ­лять эквивалентными схемами. Если в цепи выделить участок, имею­щий два зажима, то его можно заменить эквивалентным двухполюсни­ком. Двухполюсник на схеме изображают в виде прямоугольника (рис. 2.34, в), причем если двухполюсник активный (в участке цепи есть источники э. д. с), то его обозначают А, если пассивный (источ­ников э. д. с. нет) — П.
РЕЗОНАНС ТОКОВ
В электрической цепи при параллельном соединении ветвей с R(G), L(BL) и С(ВС) (см. рис. 2.31, а) ток определяется по формуле (2.58).

Особый интерес представляет случай, когда индуктивная и емкостная реактивные проводимости равны друг другу. Тогда полная проводимость цепи Y = G, так как В = ВL — ВС = 0, а полный ток

I = GU (2.63)

имеет минимальное значение и только активную составляющую I = Iа. Следовательно, cos = 1.

Токи в ветвях с проводимостями BL и ВC с учетом (2.63)

; ,

т. е. равны по значению (IL = IC) и могут превышать полный ток в цепи в BL/G раз, если ВL = ВС > G. Векторная диаграмма токов для рассмотренного случая представлена на рис. 2.37.

Режим цепи при параллельном соединении элементов с R, L и С, когда ВL = ВC, а токи в ветвях с реактивными проводимостями IL и IС равны по значению и могут превышать полный ток цепи, называ­ется режимом резонанса токов. Для этого режима характерно IL =IС > I, если ВL = ВС > G; Iа = min; , ; ; ; , .

В режиме резонанса токов рассматриваемая цепь ведет себя по отно­шению к источнику питания так, как будто она состоит только из элементов с активной проводимостью. В действительности же в параллель­ных ветвях с L и С могут протекать токи, даже превышающие полный ток, протекающий в источнике питания. Но эти токи всегда противо­положны по фазе друг другу (рис. 2.37). Это означает, что через каж­дую четверть периода происходит обмен энергиями между магнитным полем индуктивной катушки и электрическим полем конденсатора, ко­торый поддерживается напряжением U источника питания.

В частном случае, когда активная проводимость G = 0, полный ток = GU = 0. В замкнутом LC-контуре протекает ток IL = IC = BCU > 0.

Так как реальные индуктивная катушка и конденсатор обладают и активным сопротивлением, схему цепи можно представить в виде, показанном на рис. 2.38, а. Резонанс токов в такой цепи имеет место, если ВL = ВС, где

; .

Так как при резонансе токов ВL = ВС, то реактивные составляю­щие токов и равны по значению и противоположны по знаку. По­этому .

Таким образом, полный ток имеет только активную составляющую, как и при резонансе токов в цепи с идеальными индуктивной катуш­кой и конденсатором. Это видно из векторной диаграммы токов, (рис. 2.38, б):



1 Постоянная интегрирования равна нулю, так как при t = 0, т. е. до вклю­чения цепи, ток в цепи не протекал.


Учебный материал
© bib.convdocs.org
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации