Марковские процессы. Уравнение Фоккера-Планка - файл n1.doc

Марковские процессы. Уравнение Фоккера-Планка
скачать (489 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc489kb.02.11.2012 16:08скачать

n1.doc

Саратовский государственный университет им.Н.Г.Чернышевского

Реферат на тему:

Марковские процессы. Уравнение Фоккера-Планка.

Выполнила студентка

4 курс Физического факультета

группы 432

Страгина А.А.

Саратов 2010

Введение.

Теория М. п. возникла на основе исследований А. А. Маркова (старшего), который в работах 1907 положил начало изучению последовательностей зависимых испытаний и связанных с ними сумм случайных величин. Это направление исследований известно под названием теории цепей Маркова. В теории цепей Маркова рассматриваются такие системы, которые могут переходить из одного состояния в другое лишь во вполне определённые моменты времени ti, ti, ... , tk, ... Пусть pij обозначает вероятность того, что система в момент времени tk+1 находится в состоянии wj, если известно, что в момент времени tk она находилась в состоянии wi. Исследование цепей Маркова можно свести к изучению матриц переходных вероятностей . Вместе с тем ряд физиков и техников в своих исследованиях показали важность процессов, в которых рассматриваемая система претерпевает случайные изменения в зависимости от некоторого числа непрерывно меняющихся параметров (времени, координат и т. п.). Исследования этого направления не имели прочной логической основы. Общая теория М. п. и их классификация были даны советским математиком А. Н. Колмогоровым в 1930. Его исследования дали логически безупречную математическую основу общей теории М. п., охватывающей, наряду с процессами описанного выше вида, также процессы типа диффузии, в которых состояние системы характеризуется непрерывно изменяющейся координатой диффундирующей частицы.

В этом случае вместо переходных вероятностей естественно рассматривать соответствующие плотности вероятностей f(t, х, у). Тогда f(t, х, у) есть вероятность того, что частица, находившаяся в точке х, через промежуток времени t будет иметь координату, заключённую между у и y+dy. Колмогоров показал (при некоторых общих условиях), что плотности f(t, х, у) удовлетворяют следующему дифференциальному уравнению с частными производными

,5

которое ранее было введено для важного в физике специального случая процесса диффузии немецкими физиками А. Фоккером и М. Планком. В этом уравнении коэффициент A(y) представляет собой среднюю скорость изменения координаты у, а коэффициент В(у) — интенсивность случайных колебаний около этой средней. Указанное уравнение явилось источником для многих исследований по теории М. п. в СССР и за рубежом.

Марковский процесс

Марковский процесс, важный специальный вид случайных процессов, имеющих большое значение в приложениях теории вероятностей к различным разделам естествознания и техники. Примером М. п. может служить распад радиоактивного вещества. Известно, что вероятность распада данного атома за малый промежуток времени dt равна adt, где a — постоянная, характеризующая интенсивность распада данного радиоактивного вещества; эта вероятность не зависит от судьбы всех других атомов и от возраста данного атома. Пусть N обозначает число атомов радиоактивного вещества в некоторый начальный момент времени t = 0 и Pn(t) — вероятность того, что к моменту времени t распалось n атомов. Вероятности Pn(t) удовлетворяют системе дифференциальных уравнений

1

,2

Решая эту систему уравнений при начальных данных

3

получаем

4

В этом примере в каждый момент времени имеется либо 0, либо 1, либо 2, ..., либо N распавшихся атомов, причём число их характеризует состояние изучаемого явления.

Рассмотренный пример укладывается в следующую более общую схему. Пусть всевозможными состояниями изучаемой системы являются w1, w2, ..., wn, ... в конечном или бесконечном числе. В каждый момент времени система может находиться в одном из этих состояний, и с течением времени происходят случайные переходы из одного состояния в другое. Процесс называют марковским, если состояние системы wi в некоторый момент времени определяет лишь вероятность pij(t) того, что через промежуток времени t система будет находиться в состоянии wj, причём эта вероятность не зависит от течения процесса в предшествующий период. Вероятности pij(t) называют переходными вероятностями. При очень широких условиях переходные вероятности М. п. удовлетворяют конечной или бесконечной системе линейных однородных обыкновенных дифференциальных уравнений.

Уравнение Фоккера-Планка (Эйнштейна-Фоккера)

ФОККЕРА - ПЛАНКА УРАВНЕНИЕ -уравнение для функции распределения, содержащее первую производную по времени и дифференциальный оператор (оператор Фоккера -Планка) второго порядка по координатам, импульсам и т. п. Впервые получено А. Эйнштейном в 1906 и M. Смо-луховским (M. Smoluchowski) в 1913 при анализе броуновского движения; позднее А. Фоккер (A. Fokker) в 1914 и M. Планк (M. Planck) в 1917 получили аналогичное уравнение в классических и квантовых теориях вращения диполя в поле излучения, после чего уравнение стало называться Уравнением Фоккера-Планка.

В теории броуновского движения Ф.- П. у. записывается для функции распределения f (r, p, t)значений координаты г и импульса p броуновской частицы с массой M в жидкости или газе с температурой T в виде

6

где U-потенциал внеш. силы, -коэф. трения, к-рый Дж. Кирквуд (J. Kirkwood) представил в виде

7

где F-сила взаимодействия броуновской частицы с молекулами жидкости (газа), <...> - усреднение по фазовому пространству жидкости с равновесной функцией распределения Гиббса. Это выражение имеет форму формулы Кубо (1957, выражающей кинетические коэффициенты через временные корреляционные функцииции динамических величин.

Это уравнение является одним из основных в физико-химической кинетике. Оно может быть выведено из броуновского движения, если учесть корреляцию между последовательными событиями (Марковские процессы) и воспользоваться интегральным уравнением Смолуховского. Рассмотрим упрощенный вывод уравнения Фоккера-Планка.

Рассмотрим точку, мигрирующую по прямой:



Пусть при времени ? k ( k=1,2,3..) атом перемещается вправо с вероятностью p, влево – с вероятностью p-1 . (Если p ? 1/2 - то наблюдается снос). Расстояние между отдельными положениями частицы h. Если ?(x,t) - вероятность при времени t оказаться в x, то по формуле Бернулли



где m – число перескоков вправо, n-m – влево.

Запишем ряд Тейлора при и : 0 ? h 0 ? t



Окончательно:

Это и есть уравнение Фоккера-Планка.

Обычно оно записывается в виде:

(1’)

Пусть – число атомов в некоторой точке ко времени t:



Если начальное распределение атомов газа в бесконечном стержне – нелюбое, то число

атомов газа в сечении x в момент ? + t :



вычтем n’ и разделим на ?.





При ??0, h ?0 имеем:



Из уравнения Фоккера-Планка легко получить выражение для 2-го закона Фика.

Действительно, переходя к пределу:



Получим:

(2’)

где ? (x,t) - та же вероятность, что и в методе Монте-Карло, но записанная в виде

непрерывной вероятности. Перейдя от ?(x,t) к C(x,t) получим закон Фика. Из Ур.2 становится

понятным физический смысл коэффициента диффузии.

Уравнения диффузии и Фоккера-Планка равнозначны, если рассматривается диффузия

невзаимодействующих частиц, т.е. коэффициент диффузии не зависит от концентрации. В этом

случае переход от вероятности ? к концентрации c осуществляется умножением на полное число

частиц. Следует обратить внимание на различную форму записи уравнения диффузии (2) и

уравнения Фоккера-Планка (1).

Если на диффундирующие частицы действует сила F, то частицы под ее влиянием будут

двигаться со средней скоростью ? = BF (B – подвижность частиц) и полный поток будет равен:

(3’)

Тогда уравнение диффузии:

(4’)

Уравнение Фоккера-Планка:

(5’)

Из уравнений (4) и (5) видно, что B имеет смысл коэффициента диффузии. Средняя

скорость смещения A состоит из двух слагаемых:



Одно из которых (?) является средней скоростью смещения под действием внешних сил,

второе связано с неоднородностью среды, в которой происходит диффузия. Таким образом,

зависимость коэффициента диффузии от координаты приводит к появлению средней скорости смещения, отличной от нуля.

При изучении сложных сред, динамики сложных сред, при концентрационной

зависимости коэффициента диффузии и в ряде других случаев уравнение Фоккера-Планка

предоставляет значительно больше возможностей, чем диффузионное уравнение.

6.3. Об условиях применимости уравнения Фоккера-Планка .

Для оценки границ применимости уравнения Фоккера-Планка необходимо учитывать конечность радиуса корреляции ?0 поля f (x, t) по временной координате. В этом случае вместо уравнения для плотности вероятностей 6.11) получается уравнение:



где — оператор, стоящий в левой части уравнения 6.11), в котором

величина Fki(х,х',t) заменена на

а член S'(x,t) учитывает поправки к вектору плотности потока вероятностей, связанные с конечностью ?0- При то ? 0 мы возвращаемся к уравнению 6.11). Таким образом, условие малости параметра то/Т является необходимым, но, вообще говоря, недостаточным для возможности описывать статистические характеристики решения уравнения 6.1) на основе приближения дельта-коррелированного случайного поля, которому соответствует уравнение Фоккера-Планка. Для каждой конкретной задачи необходимо проводить более детальные исследования. Далее мы приведем физически более наглядный метод, называемый диффузионным приближением, также

приводящий к марковости решения уравнения 6.1), но учитывающий, в определенной мере, конечность временного радиуса корреляции. Здесь же подчеркнем, что приближение дельта-коррелированного случайного поля не означает формальной замены случайного поля f (x, t) в 6.1)

на случайное поле с корреляционной функцией 6.4). Это приближение соответствует построению асимптотического разложения при стремлении временного радиуса корреляции ?0 поля f(x,t) к нулю. И при таком предельном переходе точные средние величины типа

(f(x,t)R[t;f(x',?)})

переходят в выражения, полученные с помощью формальной замены корреляционного тензора поля f(x,t) на эффективный тензор 6.4).

В заключение обсуждения приближения дельта-коррелированного случайного процесса (поля) подчеркнем, что во всех дальнейших примерах под фразой типа «динамическая система (уравнение) с дельта-коррелированными флуктуациями параметров» подразумевается асимптотический случай, в котором временные радиусы корреляции для этих параметров малы по сравнению со всеми характерными временами, возникающими в рассматриваемой задаче.

6.4. О методах решения и анализа уравнения Фоккера-Планка

Уравнения Фоккера-Планка для одноточечной плотности вероятностей 6.11) и для плотности вероятностей перехода 6.15) относятся к параболическому типу уравнений в частных производных, и для их решения можно использовать методы теории уравнений математической физики. Основными методами при этом являются метод разделения переменных, преобразование Фурье по пространственным координатам и другие интегральные преобразования. Однако существует лишь небольшое число уравнений Фоккера-Планка, допускающих точное решение. Это, прежде всего, уравнения Фоккера- Планка, соответствующие таким стохастическим уравнениям, которые сами допускают отыскание решения в аналитическом виде. Для таких задач зачастую удается определить не только одноточечную плотность вероятностей и переходную плотность вероятностей, но и характеристический функционал, а также другие важные для приложений статистические характеристики.

6.4.1. Система линейных уравнений.

Рассмотрим систему линейных уравнений для компонент вектор-функции х(t):

6.31)

с постоянной матрицей А. Один частный одномерный случай, который называется уравнением Ланжевена. Функции fi (t) будем считать гауссовыми функциями, дельтакоррелированными во времени, т. е.

Решение системы уравнений 6.31) имеет вид : и, следовательно, величина x(t) является гауссовой векторной функцией с параметрами (А? — матрица, транспонированная к А):

6.32)

В этом случае, как легко видеть, гауссово распределение вероятностей с параметрами 6.32) удовлетворяет уравнению Фоккера-Планка для плотности вероятностей перехода p(x,t | x0,to), соответствующему стохастической системе 6.31):



Отметим, что и само уравнение 6.33) также легко решается путем преобразования Фурье по пространственным координатам. Самым простым частным случаем уравнения F.31) является уравнение, определяющее винеровский случайный процесс. Учитывая особую важность в физике таких процессов (например, они описывают броуновское движение частиц), рассмотрим его более подробно.

Винеровский случайный процесс. Винеровский случайный процесс определяется как решение стохастического уравнения

где z(t) — гауссов дельта-коррелированный во времени процесс с параметрами

Решение этого уравнения — непрерывный гауссовый нестационарный случайный процесс с параметрами

И, следовательно, его характеристический функционал имеет структуру



Отметим, что приращение процесса w(t) на интервале времени (t1, t2)



подобно самому процессу w(t), также имеет гауссову статистику с параметрами



Винеровский случайный процесс w(t) — гауссов непрерывный процесс с независимыми приращениями. Это означает, что для неперекрывающихся интервалов (t1;t2) и (t3;t4) приращения процесса w(t) на этих интервалах статистически независимы.

Характеристический функционал процесса



совпадает с характеристическим функционалом процесса w(t). Это означает, что реализации процессов w(t) и w(to;to + t) — статистически эквивалентны для любого заданного значения параметра to. Таким образом, если мы имеем только реализации процесса, то мы не можем определить, к какому процессу они принадлежат. Статистически эквивалентны и процессы w(t) и w(—t), и, значит, винеровский случайный процесс обратим во времени в указанном выше смысле.

Реализациям винеровского процесса присуще еще одно — фрактальное — свойство. Согласно этому свойству сжатые (при а > 1) во времени реализации винеровского процесса w(at) статистически эквивалентны растяжению по вертикали реализациям a1/2w(t). Фрактальное свойство винеровского процесса можно еще трактовать как свойство статистической Эквивалентности реализаций w(t) и сжатого по t и по вертикальной координате процесса w(at)/a1/2, поскольку их характеристические функционалы совпадают.

Обсудим более общий процесс со сносом, зависящим от параметра а по формуле

w(t;?) = — ?t + w(t), ? > 0.

Процесс w(t;?) — марковский процесс, и его плотность вероятностей P(w,t;?) = (? (w(t;?)-w)} писывается уравнением Фоккера-Планка:



где через коэффициент диффузии обозначена величина D =?2 ?0. Его ре-

шение имеет вид гауссового распределения:



Соответствующая интегральная функция распределения, равная вероятности того, что w(t;?) < w, равна

6.37)

где — интеграл вероятностей.

Дополним уравнение F.35), помимо начального, еще и граничным условием

6.39)

обрывающим реализации процесса w(t;?) в момент достижения ими границы h. Решение краевой задачи 6.35), 6.39), которое обозначим через P(w,t;?,h), описывает при w < h вероятностное распределение тех реализаций процесса w(t;?), которые «выжили» к моменту t, т.е. за весь интервал времени ни разу не достигли границы h. Соответственно, плотность вероятностей нормирована не на единицу, а на вероятность того, что t 6.40

Введем интегральную функцию распределения и плотность вероятностей случайного момента первого достижения границы h:

6.41



При ? > 0, когда процесс w(t;?) с ростом t в среднем сносится от границы h и при t ? oo, вероятность P(t < t*) 6.40) стремится к вероятности того, что процесс w(t;?) никогда не достигнет границы h. Другими словами предел

6.42)

равен вероятности того, что абсолютный максимум процесса

меньше h. Таким образом, из 6.42) следует, что интегральная функция распределения значений абсолютного максимума равна

6.43)

Решив краевую задачу 6.35), 6.39), например, методом отражения, получим

6.44)

Подставив это выраж:ение в 6.41), найдем плотность вероятностей момента t* первого достижения процессом w(t,?) границы h:



Наконец, интегрируя 6.44) по w и устремив t ?, получим, согласно 6.43), интегральную функцию распределения значений абсолютного максимума wmax(?) процесса w(t;?) в виде [51, 160]

6.45)

Следовательно, абсолютный максимум винеровского процесса имеет экспоненциальную плотность вероятностей:

С помощью винеровского случайного процесса можно конструировать различные другие процессы, удобные для моделирования различных физических явлений. Для положительных величин такой простейшей аппроксимацией является логарифмически нормальный (логнормальный) процесс, который мы и рассмотрим более подробно.

Логарифмически нормальный процесс. Определим логнормальный случайный процесс по формуле

6.46)

где z(?) — гауссов процесс «белого шума» с параметрами

= 0, (z(t)z(t')) = 2?2?0?(t-t').

Он описывается стохастическим уравнением , y(0;?)=1

Одновременная плотность вероятностей логнормального процесса



где P(w,t;?) — одновременная плотность вероятностей винеровского процесса со сносом, описываемая равенством 6.36), и, следовательно,

6.47)

где параметр D = ?2?0-. Графики логарифмически нормальной плотности вероятностей 6.47) для значения параметра ?/D = 1 и безразмерного времени т = Dt = 0.1 и 1 приведены на рис. 3.1.



Характерной особенностью этих графиков является появление длинного пологого «хвоста» при т =1, означающего усиление роли больших выбросов процесса y(t;a) в формировании одновременной статистики. Соответственно, интегральная функция распределения, согласно 6.37), 6.38), определяется выражением

6.48)

Зная только одноточечные статистические характеристики процесса y(t;?), можно получить важную информацию о поведении реализаций процесса y(t;a) на всем интервале времен (0,оо). В частности: 1. Зная интегральную функцию распределения, можно вычислить типичную реализацию логнормального процесса y(t;?) 1 которая оказывается экспоненциально спадающей кривой [51, 160]

y*(t;a) = e-?t. 6.49)

2.Логнормальный процесс y(t;?) является марковским процессом, и его одновременная плотность вероятностей 6.47) описывается уравнением Фоккера-Планка:

6.50)

Исходя из уравнения 6.50) легко написать уравнения для моментных функций процесса y(t;?), решения которых определяются равенствами

n=1,2… 6.51)

и экспоненциально растут во времени. Следовательно, экспоненциальный рост моментов обусловлен выбросами процесса y(t;?) относительно кривой типичной реализации y*(t;?) как в сторону больших, так и малых значений у.

Для значения параметра ?/D = 1 среднее значение процесса y(t;D) не зависит от времени и равно единице. При этом, однако, вероятность выполнения неравенства у < 1 при Dt?1, согласно 6.48), быстро стремится к единице по закону :



т. е. подавляющее время графики реализаций процесса лежат ниже уровня его среднего значения (y(t; D)} = 1, хотя статистические моменты процесса y(t;D), в основном, определяются его большими выбросами.

Таким образом, мы имеем явное противоречие между характером поведения статистических характеристик процесса y(t;?) и его реализаций.

3. Поведение реализаций процесса y(t;?) на всем интервале времени можно также оценить с помощью р-мажорантных кривых Mp(t, ?), которые определим следующим образом [51, 160]. Назовем мажорантной кривой такую кривую Mp(t, a), для которой при любом времени t с вероятностью р выполняется неравенство y(t;?) < Mp(t,?), т.е.

P{y(t;?) < Mp(t,?) для всех t Ђ(0,oo)} = p.

Полученная выше статистика абсолютного максимума 6.45) винеровского процесса со сносом w(t;?) позволяет указать достаточно богатый класс мажорантных кривых. В самом деле, пусть вероятность того, что абсолютный максимум wmax(P) вспомогательного процесса w(t;?) с произвольным значением параметра ?, лежащим в пределах 0 < ? < а, удовлетворяет неравенству w(t;?) < h — Ln A, равна р. Тогда, очевидно, с той же вероятностью р вся реализация процесса y(t;?) будет лежать ниже мажорантной кривой

Мр{t,?,?) = Ае(?-?)t 6.52)

Как видно из 6.45), вероятность, с которой процесс y(t;?) нигде не превышает мажорантной кривой 6.52), следующим образом зависит от ее параметров: p=1-A?/D

и, следовательно, мы получаем однопараметрическии класс экспоненциально спадающих мажорантных кривых

6.53

Обратим внимание на тот замечательный факт, что, несмотря на постоянство статистического среднего (y(t;D)) = 1 и экспоненциальный рост высших моментов процесса y(t;D), всегда можно указать экспоненциально спадающую мажорантную кривую 6.53), ниже которой будут лежать реализации процесса y(t;D) с любой наперед заданной вероятностью р < 1. В частности, например, с вероятностью р = 1/2 выполняется неравенство

y(t]D)1/2(t,D,D/2) = 4e-Dt/2 6.54)

для любого момента времени t из интервала (0,оо). Схематическое поведение реализации процесса y(t;D) и мажорантной кривой 6.54) приведено на рис. 3.2.



Это еще раз подтверждает сделанный ранее вывод о том, что экспоненциальный рост моментов процесса y(t;D) во времени — эффект чисто статистический,обусловленный усреднением по всему ансамблю реализаций. Отметим, что площадь под экспоненциально убывающими мажорантными кривыми конечна. Следовательно, большие выбросы процесса y(t;?), вызывая экспоненциальный рост высших моментов, не вносят существенного вклада в площадь под реализациями, которая практически для всех реализаций также конечна, т.е. выбросы логнормального процесса y(t;a) достаточно узки.

4. В связи со сказанным представляется интересным исследовать непосредственно статистику случайной площади под реализациями процесса y{t;?):

6.55)

Эта функция описывается системой стохастических уравнений



6.56)

и, следовательно, двухкомпонентный процесс {y(t;?),Sn(t;?)} является марковским процессом, одновременная плотность вероятностей которого



также, как и плотность вероятностей перехода, описываются уравнением Фоккера-Планка:

6.57)

К сожалению, решить уравнение F.57) не удается, и, следовательно, невозможно изучить полную статистику процесса Sn(t;?). Однако если интересоваться только одновременными статистическими средними процесса Sn(t;?), т.е. для фиксированного момента времени, то их можно изучить достаточно полно [51, 160].

Для этого перепишем выражение 6.55) в виде интеграла :

Отсюда следует, что для одновременной статистики величина Sn(t;?) статистически эквивалентна величине

6.58)

Дифференцируя теперь 6.58) по времени, получаем статистически эквивалентное стохастическое уравнение :



статистические характеристики которого описываются для одновременной плотности вероятностей P(Sn,t;?) = (?(Sn(t;?) — Sn)} уравнением Фоккера-Планка:

6.59)

Из 6.59) видно, что существует стационарная плотность вероятностей для случайных интегралов:



где Г(z) — Гамма-функция. В частности, при п = 1 для величины

имеем

6.60)

Если теперь и параметр ? = D, то стационарная плотность вероятностей и соответствующая ей интегральная функция распределения имеют вид:

6.61)

Дополнительную информацию о динамике поведения реализаций процесса y(t;?) во времени несет зависимость вероятностного распределения случайного процесса 6.62) от времени t. Интеграл в правой части 6.62) можно представить в виде

6.63)

Случайный процесс y(t;?) в 6.63) статистически не зависим от интеграла, стоящего в правой части 6.63), так как они функционально зависят от случайного процесса z(?) в не перекрывающихся интервалах значений т, и, при этом, сам интеграл статистически эквивалентен случайной величине

S(?). Следовательно, одноточечная плотность вероятностей для случайного процесса описывается выражением

6.64)

где Р(y,t;?) — одновременная плотность вероятностей логнормального процесса y(t;?),описываемая формулой 6.47), a P(S/y;?) — плотность вероятностей для площади 6.60).

Соответствующая интегральная функция распределения



будет описываться интегралом где F(S;?) — интегральная функция распределения для случайной площади S(t;?). В частности, для значения параметра ? = D, согласно 6.47) и F661), получаем выражение



и вероятность выполнения неравенства S(t;?) < S с ростом Dt монотонно стремится к единице для любого наперед заданного значения DS. Это еще раз свидетельствует о стремлении каждой отдельной реализации логнормального процесса к нулю при увеличении Dt, несмотря на экспоненциальный рост моментных функций процесса y(t;?), обусловленный большими выбросами.

6.4.2. Интегральные преобразования. Весьма мощным методом решения уравнения Фоккера-Планка является метод, основанный на использовании интегральных преобразований. Так, как указывалось ранее, если тензор коэффициентов диффузии Fkl(x,x;t) в 6.11) не зависит от х, то можно использовать интегральное преобразование Фурье. В других случаях используются интегральные преобразования, связанные с собственными функциями диффузионного оператора . Например, для оператора Лежандра

естественно воспользоваться интегральным преобразованием, связанным с функциями Лежандра. Это преобразование называется преобразованием Меллера-Фока и определяется посредством интеграла

6.65)

где Р-1/2+i?(х) — функция Лежандра первого рода, удовлетворяющая уравнению

6.66)

Формула обращения для преобразования 6.65) имеет вид

6.67)

где F(?) описывается формулой 6.65).

Другое интегральное преобразование, называемое интегральным преобразованием Канторовича-Лебедева связанно с диффузионным оператором имеет вид



где Ki?(x) — функция Макдональдса первого рода, удовлетворяющая уравнениям

/2 \

1—о+х- ж2+т2 ] Kix(x) =0,

dx dx > F.68)

Формула обращения при этом имеет вид

оо

f(x) = J_ [ dx smh(Kx)F(x)Kix(x). F.69)

п х J

о

В качестве конкретного примера рассмотрим уравнение Фоккера-Планка (х ? 1) :





Введем обозначение

Умножая теперь уравнение 6.70) на P-1/2+i?(x) и интегрируя по x в пределах от 1 до (), получаем уравнение

6.71)

с начальным условием

6.72)

Интегрируя дважды по частям в правой части 6.71) и используя дифференциальное уравнение Лежандра для P-1/2+i?(x) 6.66), получаем обыкновенное дифференциальное уравнение для р(t,?):



решение которого с начальным условием 6.72) имеет вид

Используя теперь формулу обращения 6.67), получаем запись решения уравнения 6.70) в виде интеграла Меллера-Фока :

6.73)

Если в начальный момент времени to = 0 величина x0 = 1, т0 мы

получаем выражение

6.74) соответствующее решению уравнению Фоккера-Планка для одноточечной плотности вероятностей 6.70) с начальным условием

P(x,0)=?(x-1)

6.4.3. Стационарные решения уравнения Фоккера-Планка.

Выше мы говорили об общих методах решения уравнения Фоккера-Планка как для плотности вероятностей перехода, так и для одноточечной плотности вероятностей. Задача о нахождении одноточечной плотности вероятностей, однако, может иметь и специфические черты, связанные с возможностью существования стационарного решения, которое в ряде случаев удается найти непосредственно. Это стационарное решение, если оно существует, не зависит от начальных условий и представляет предельное при t —> оо решение уравнения Фоккера-Планка.

Существуют два класса задач, для которых стационарное решение уравнения Фоккера-Планка находится легко. Это, во-первых, случай одномерных нелинейных уравнений и, во-вторых, случай гамильтоновых систем уравнений. Рассмотрим эти случаи более подробно.

Одномерное нелинейное уравнение. Одномерные нелинейные системы с флуктуирующими параметрами описываются стохастическим уравнением

6.75)

где, как и ранее, z(t) — гауссов дельта-коррелированный процесс с пара-

метрами (z(t))=0, (z(t)z(t’))=2D?(t-t’) (D=?2?0)

Соответствующее уравнение Фоккера-Планка имеет вид :

Стационарное распределение вероятностей Р(x), если оно существует, удовлетворяет уравнению

(мы считаем, что Р(х) сосредоточено во всей области пространства, т.е. —оо < х < (оо)), решение которого таково:

6.78)

где постоянная С определяется из условия нормировки

В частном случае уравнения Ланжевена 6.21) (f(x) = —?x, g(x) = 1) выражение 6.78) принимает вид гауссового распределения вероятностей:

Гамильтоновы системы.

Другой тип уравнений, позволяющий получать стационарное распределение вероятностей, описывается гамильтоновой системой с линейным трением:



6.80)

где i = l,2,...,N, а функция Гамильтона

?— постоянный коэффициент (трение), а случайные силы fi(t) — гауссовы дельта-коррелированные случайные векторные функции с тензором корреляций

6.81)

Здесь ?и? — векторные индексы.

Система уравнений 6.80) описывает броуновское движение системы N взаимодействующих частиц. Уравнение Фоккера-Планка для совместной плотности вероятностей решения системы 6.80) имеет вид : 6.82)

где — скобка Пуассона для k-ои частицы.

Легко проверить, что стационарное решение уравнения 6.82) имеет вид канонического распределения Гиббса:

6.83)

Характерной чертой этого распределения является гауссовость по импульсным переменным и статистическая независимость координат и импульсов частиц.

Проинтегрировав 6.83) по всем г, можно получить максвелловское распределение по скоростям, описывающие флуктуации скорости броуновских частиц. Случай U(ri,... ,гn) = 0 соответствует описанию броуновского движения свободных частиц 6.79).

Если проинтегрировать распределение вероятностей 6.83) по импульсам (скоростям), то получаем больцмановское распределение по координатам частицы:

6.84)

При достаточно большом коэффициенте трения равновесное распределение 6.83) устанавливается в две стадии. Сперва достаточно быстро устанавливается гауссово распределение по импульсам (максвелловское распределение), а затем уже значительно медленнее устанавливается распределение по пространственной координате (больцмановское распределение). Последняя стадия описывается при этом стохастическим уравнением, вытекающем из 6.80) :



и соответствующее уравнение Фоккера-Планка имеет вид уравнения

6.85)

которое обычно называется уравнением Эйнштейна-Смолуховского. Переход от уравнения Фоккера-Планка 6.82) к уравнению 6.85) обычно называется проблемой Крамерса . В одномерном случае уравнения 6.80) упрощаются и принимают вид системы уравнений

6.86)

стационарное распределение вероятностей для которой имеет вид

6.87)

Системы гидродинамического типа. Отметим, что система уравнений 6.86) может возникать и в задачах, не имеющих никакого отношения к броуновскому движению.

Рассмотрим, в качестве примера, простейшую систему гидродинамического типа, описываемую стохастической системой уравнений



6.88)

Эта система описывает движение триплета (гироскопа) с линейным трением, возбуждаемого силой, действующей на неустойчивую моду, имеющей как регулярную составляющую R, так и случайную f(t).

Если R < 1, то в отсутствие случайной составляющей силы f(t) = О

имеется устойчивое стационарное решение

Vl = 0, vo = R 6.89)

и флуктуации компоненты vo(t) под действием случайной силы будут описываться стохастическим уравнением

6.90)

Таким образом, при R < 1 стационарное распределение вероятностей для компоненты vo(t), согласно 6.79), будет гауссовым.

Иначе дело обстоит при R > 1. В этом случае при f(t) = 0 имеются два устойчивых состояния равновесия

6.91)

Представим компоненту vo(t) в виде . Тогда система

уравнений 6.88) принимает вид :



6.92)

и эволюция компоненты ^i(?) определяется ее начальным значением. Если v1(0)> 0, то и v1(t) > 0. Представляя в этом случае v1(t) как : v1(t)=e?(t)

систему уравнений 6.92) можно записать в гамильтоновом виде 6.86):

6.93)

где

Здесь переменная ?(t) играет роль координаты частицы, а переменная vo{t) — ее скорости. На рис. 3.3 сплошной линией изображено поведение функции U(?0)). Эта функция имеет минимум U(?0)=1/2(R-1)(1-ln(R-1))

в точке , соответствующий устойчивому положению равновесия. Таким образом, стационарное распределение вероятностей для ф(t) и vo(t) аналогично распределению Гиббса 6.87):

6.94)

Из формулы 6.94) следует, что при R > 1 стационарное распределение вероятностей для компоненты vo(t) системы уравнений 6.88) будет гауссовым:

6.95)

а распределение вероятностей для величины ?(t)не является гауссовым, и они не коррелируют между собой. Возвращаясь к переменной v1(t), получаем для нее стационарное распределение вероятностей в виде

6.95)



При критическом режиме (R = 1), как видно из 6.95), не существует стационарного распределения вероятностей для компоненты V1(t). Отметим, что включение дополнительной случайной силы, действующей на компоненту v1(t), приводит к существованию стационарной плотности вероятностей и при критическом режиме. В этом случае интенсивность флуктуации компоненты v1(t) возрастает.

Заключение.

В 1990-х гг. термин «броуновское движение» применяют в гораздо более широком смысле - в кинетике физической, в статистич. гидродинамике, матем. теории стохастич. процессов; в этих областях также используют уравнение Фоккера-Планка (в теории стохастич. процессов оно наз. уравнением Колмогорова). В физической кинетике уравнение Фоккера-Планка получается из цепочки Боголюбова уравнений в приближении малости взаимодействия (малого параметра при потенциале взаимодействия) или малости отношения массы молекулы жидкости или газа к массе примесной частицы. Для достаточно разреженных систем, описываемых уравнением Больцмана, приведённое приближение также даёт уравнение Фоккера-Планка. В этом случае интеграл столкновения Больцмана разлагается по параметру малости взаимодействия, что в низшем приближении даёт столкновительный оператор () Фоккера - Планка. Такой подход используется в кинетике гравитирующих систем и плазмы, а также для описания различных релаксационных процессов (внутр. степеней свободы молекул газа, электронов в твёрдом теле и др.)

Учебный материал
© bib.convdocs.org
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации