Лабораторная работа - Моделирование экономических процессов - файл n1.docx

Лабораторная работа - Моделирование экономических процессов
скачать (91.4 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.docx92kb.06.11.2012 10:19скачать

n1.docx

План.
1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ:

Моделирование кормовых рационов.

1. Расчет оптимальных рационов кормления скота.

2. Оптимальное использование заготовленных кормов в хозяйстве.

2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ:

Задача №1.

Задача №2.

Список использованной литературы.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ:

Моделирование кормовых рационов.
1. Расчет оптимальных рационов кормления скота.
Полноценное кормление служит основой высокой плодовитости и продуктивности взрослых животных и благоприятствует скороспелости и увеличению живого веса молодняка, что в конечном итоге способствует повышению эффективности животноводства. Кормовая база является важнейшим условием развития животноводства. Наряду с повышением урожайности и снижением себестоимости кормовых культур необходимо внедрять более эффективную структуру кормов. Структура кормов должна рассматриваться не только с точки зрения технологической, но и экономической. В зависимости от вида, возраста, веса и продуктивности животное требует определенного количества питательных веществ. Отсутствие какого- либо питательного вещества отрицательно сказывается на его продуктивности. Если с целью увеличения продуктивности животное не ограничивать в кормах, то недостаток одного питательного вещества будет компенсироваться за счет других веществ, продуктивность животного будет наибольшей, но затраты кормов будут большими. Такой подход к решению вопроса кормов животного не экономичен.

Важнейшим элементом питательности является перевариваемый протеин. Если в кормах его недостает, то резко снижает продуктивность и ведет к значительному перерасходу кормов, но и белковый перекорм нежелателен: он отрицательно влияет на развитие организма животного. Кормовая база должна быть сбалансирована по минимальной потребности в кормовых единицах и перевариваемом протеине; состав кормов должен быть разнообразен. Для этого нужно обеспечить зоотехнически допустимые соотношения между основными группами кормов: концентратами, сеном, сочными кормами, зеленым кормом; состав кормов должен содержать в достаточном количестве питательные вещества; суммарная себестоимость кормовой базы должна быть минимальной.

Одинаковый по питательности рацион кормов может состоять из различных кормов, поэтому среди вариантов рационов кормов следует выбрать наиболее экономичный (оптимальный) и соответствующий биологическим потребностям животных по содержанию питательных веществ.

Правильное использование кормов – один из крупных резервов увеличения и удешевления производства продуктов животноводства.

В зависимости от условий каждого хозяйства и его возможностей для рационального ведения животноводства, а так же использования земельных угодий, выделенных под кормопроизводство, необходимо рассчитывать оптимальные структуры посевных площадей кормовых культур, планы использования заготовленных кормов, нормы и рационы кормления животных.

Постановка задачи.

Рацион – это набор и количество кормов, потребляемых животным в сутки. Рационы составляют с учетом вида, возраста и продуктивности животных, а так же физиологических, зоотехнических и экономических факторов.

В практике колхозов и совхозов рационы кормления составляют на каждые 7 – 10 дней, так как для определенного животного полноценный рацион достигается только с учетом его физического состояния. При изменении физиологического состояния животного рацион пересматривается.

Рационы кормления должны удовлетворять потребность животных не только в питательных веществах (энергетическом, протеиновом, макро- и микроэлементом, аминокислотном и витаминном составах), но и иметь определенное соотношение различных групп и видов кормов, питательных веществ. Кроме того, они должны иметь минимальную себестоимость.

Экономико-математическую задачу можно сформулировать следующим образом: из имеющихся в хозяйстве кормов, а так же приобретенных кормов и кормовых добавок составить рацион, который полностью удовлетворял бы биологические потребности животного в питательных веществах и имел минимальную стоимость. При особых постановках задачи или решении задачи в системе экономических моделей кроме основного критерия оптимальности – минимум себестоимости рациона – возможны и другие критерии оптимальности.

Основными переменными являются корма, имеющиеся в наличии. А так же корма, кормовые и минеральные добавки, которые хозяйство может приобрести. Единицами измерения этих переменных является кг, ц в зависимости от периода, на который составляется рацион.

В задаче кроме основных могут быть вспомогательные переменные. Он чаще всего выражают суммарное количество кормовых единиц или перевариваемого протеина в рационе. С помощью этих переменных записывают условия по структуре рациона (удельный вес отдельных групп кормов).

Основные ограничения необходимы для записи условий по балансу питательных веществ.

С помощью дополнительных ограничений записывают условия по соотношению отдельных групп кормов в рационе и отдельных видов кормов внутри групп.

Технико-экономические коэффициенты по основным переменным (так же, как и в основных ограничениях) отражают содержание питательных веществ в единице корма или кормовых добавок, а по вспомогательным переменным равны - 1. Константами в этих ограничениях являются нули.

Решение этой задачи позволит определить, какие корма, и в каком количестве необходимо ежедневно давать животному, а так же количество приобретаемых кормов и подкормок. Оптимальная оценка рациона рассчитывается по отношению к выбранному критерию оптимальности. Решение задачи позволяет определить также более эффективные изменения в структуре кормов рациона и степень дефицитности отдельных питательных веществ.

Опыт показал, что более целесообразно принимать за единицу измерения переменных величин количество килограммов того или иного корма в рационе, а для подкормок – те единицы измерения, которые используются в справочниках по кормлению животных.

Данная задача получила название «задача о диете», или задача о рационе. Суть задачи состоит в определении рациона, который удовлетворял бы потребности животного в питательных веществах при минимальных затратах денежных средств.

Постановка экономико-математической задачи делятся по следующим основным вариантам с учетом наиболее типичных требований.

Первый вариант – определить оптимальный рацион кормления скота. Для обеспечения заданной продуктивности рацион должен содержать не менее необходимого количества питательных веществ при зоотехнически допустимом соотношении отдельных групп и видов кормов. Содержание отдельных кормов не должно превышать установленного уровня.

Второй вариант – определить оптимальный рацион кормления с соблюдением всех условий, установленных для первого варианта, исключая ограничения по зоотехнически допустимому содержанию отдельных видов кормов. Но это приведет к практическому приемлемому варианту только тогда, когда будет учитываться по возможности большее количество питательных веществ в кормах.

Для составления модели оптимального рациона кормления скота (птицы) необходимо изучить и установить следующее:

Целевая установка задачи – составить из имеющихся кормов и кормовых добавок наиболее дешевый рацион кормов и кормовых добавок наиболее дешевый рацион кормления для данного вида скота (птицы).

Для записи математической модели используем следующие обозначения:

Индексы:

iпитательные вещества;

j – виды подкорма;

h – группы кормов.

Множества:

М – питательные вещества;

М1 – соотношения питательных веществ;

М2 – ограничения по отдельным видам кормов, подкормок;

Н – групп кормов;

Н1 – соотношения групп кормов;

N – виды кормов, подкормок;

N1 – вспомогательные переменные.

Условные обозначения:

хj – количество корма, кормовой добавки j-го вида в рационе;

xj(i) – общее количество кормовых единиц в рационе;

cj – себестоимость (стоимость единицы) j-го вида корма;

aij – содержание i-го элемента питания в единице j-го вида кормов;

ahj – содержание кормовых единиц в единице измерения j-го вида корма по

h-й группе кормов;

- зоотехнический удельный вес h-й группы кормов в

общей питательности рациона;

коэффициенты пропорциональности между группами кормов;

bi – суточная потребность животного в i-м питательном веществе;

, - допустимые нижний и верхний пределы введения в рацион j-го

вида корма;

- логический коэффициент, равный 1 или 0.

Требуется найти вектор Х (хj , xi) , обеспечивающий минимум себестоимости кормового рациона:



при следующих условиях:

1) содержания в рационе не менее требуемого по нормам количества питательных веществ:

,

общая питательность рациона должна составлять (кормовых ед.):

, ;

(ограничения по содержанию в кормах питательных веществ);

2) содержания в рационе различных групп кормов в пределах, удовлетворяющих зоотехнические требования кормления животных:

;

(ограничения по содержанию кормов различных групп);

3) соблюдения в рационе соотношения отдельных питательных веществ и групп кормов:

,

(ограничение по соотношению отдельных видов кормов и кормовых добавок между кормами группы);

4) содержания отдельных видов кормов в рационе в биологически обусловленных границах:



5) неотрицательности переменных



В некоторых случаях при расчете оптимальных рационов кормления, исходя из конкретных, специфических условий предприятия, постановщик задачи может дополнительно ввести ряд ограничений.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ:

Задача №1.
Органические удобрения с 4-х ферм необходимо развести на 5 полевых участков. На первой ферме удобрений имеется – 3700 т, на второй – 4300 т, на третьей – 4600 т, на четвертой – 5000 т.

Каждому участку необходимо получить удобрения в количестве:

первому – 3520 т, второму – 3960 т, третьему – 2480 т, четвертому – 320 т, пятому – 3540 т.

Затраты на перевозку органических удобрений к полевым участкам заданы таблицей в рублях:

Ферма

Полевой участок

I

II

III

IV

V

I

4

4

5

7

7

II

2

3

3

5

3

III

4

4

2

3

5

IV

4

5

2

5

5


Определить план перевозок органических удобрений на полевые участки с минимальными транспортными затратами.
Решение.
Стоимость доставки единицы удобрения с каждой фермы на соответствующие полевые участки задана матрицей тарифов:




I

II

III

IV

V

Запасы

I

4

4

5

7

7

3700

II

2

3

3

5

3

4300

III

4

4

2

3

5

4600

IV

4

5

2

5

5

5000

Потребности

3520

3960

2480

320

3540





1. Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи.

Как видно, суммарная потребность удобрений на полевых участках превышает запасы груза на фермах. Следовательно, модель исходной транспортной задачи является открытой. Чтобы получить закрытую модель, введем дополнительную (фиктивную) ферму с запасом удобрений, равным 3780 (17600—13820). Тарифы перевозки единицы удобрений с этой фермы на все полевые участки полагаем, равны нулю.

Занесем исходные данные в распределительную таблицу.





I

II

III

IV

V

VI

Запасы

I

4

4

5

7

7

0

3700

II

2

3

3

5

3

0

4300

III

4

4

2

3

5

0

4600

IV

4

5

2

5

5

0

5000

Потребности

3520

3960

2480

320

3540

3780


17600


2. Используя метод северо-западного угла, построим первый опорный план транспортной задачи.





I

II

III

IV

V

VI

Запасы

I

4

3520

4

180

5


7


7


0


3700


II

2


3

3780

3

520

5


3


0


4300


III

4


4


2

1960

3

320

5

2320

0


4600


IV

4


5


2


5


5

1220

0

3780

5000


Потреб-ности



3520



3960



2480



320



3540



3780




17600

В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все удобрения с ферм вывезены, потребность полевых участков удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи.

3. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 9, а должно быть

m + n - 1 = 9( m – количество столбцов, n – количество строк).Следовательно, опорный план является невырожденным.

4. Проверим оптимальность опорного плана. Найдем потенциалы ui, vj. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij, полагая, что v6 = 0.





I

v1=2


II

v2=2


III

v3=2


IV

v4=3


V

v5=5


VI

v6=0


Запасы

I

u1 = 2

4

3520

4

180

5


7


7


0


3700


II

u2 = 1

2


3

3780

3

520

5


3


0


4300


III

u3 = 0

4


4


2

1960

3

320

5

2320

0


4600


IV

u4 = 0

4


5


2


5


5

1220

0

3780

5000


Потреб-

ности



3520



3960



2480



320



3540



3780

17600

Порядок вычисления потенциалов был следующий:
   1) Пусть V6 = 0 ; 6) V4 = С3,4 - U3 = 3 – 0 = 3
 2) U4 = С4,6 - V6 = 0 – 0 = 0  7) U2 = С2,3 - V3 = 3 – 2 = 1
3) V5 = С4,5 - U4 = 5 – 0 = 5 8) V2 = С2,2 - U2 = 3 – 2 = 1
   4) U3 = С3,5 - V5 = 5 – 5 = 0    9) U1 = С1,2 - V2 = 4 – 2 = 2
5) V3 = С3,3 - U3 = 3 – 0 = 3     10) V1 = С1,1 - U1 = 4 – 2 = 2
Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток для которых ui + vj > cij

(1;6): 2 + 0 > 0 на 2

(2;1): 1 + 2 > 2 на 1

(2;5): 1 + 5 > 3 на 3

(2;6): 1 + 0 > 0 на 1

Выбираем максимальную оценку свободной клетки (2;5): 3

Для этого в перспективную клетку (2;5) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-». Цикл приведен в таблице.





I

v1=2


II

v2=2


III

v3=2


IV

v4=3


V

v5=5


VI

v6=0


I

u1 = 2

4

3520

4

180

5

7

7

0


II

u2 = 1

2

3

3780

- 3

520

5

+ 3



0

III

u3 = 0

4

4

+ 2

1960

3

320

- 5

2320

0

IV

u4 = 0

4


5

2


5


5

1220

0

3780


Из грузов хij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (2, 3) = 520. Прибавляем 520 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 520 из Хij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.






I



II



III



IV



V



VI



Запасы

I


4

3520

4

180

5


7


7


0


3700


II


2


3

3780

3


5


3

520

0


4300


III


4


4


2

2480

3

320

5

1800

0


4600


IV


4


5


2


5


5

1220

0

3780

5000


Потреб-

ности



3520



3960



2480



320



3540



3780

17600


5. Проверим оптимальность опорного плана. Найдем потенциалы ui, vi. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij, полагая, что v6 = 0.




v1=5


v2=5


v3=2


v4=3


v5=5


v6=0


u1 = -1


4

3520

4

180

5


7


7


0


u2 = -2


2


3

3780

3


5


3

520

0


u3 = 0


4


4


2

2480

3

320

5

1800

0


u4 = 0


4


5


2


5


5

1220

0

3780


Порядок вычисления потенциалов был следующий:
   1) Пусть V6 = 0 ;     6) V3 = С3,3 - U3 = 2 – 0 = 2
 2) U4 = С4,6 - V6 = 0 – 0 = 0   7) U2 = С2,3 - V3 = 3 – 5 = -2
   3) V5 = С4,5 - U4 = 5 – 0 = 5 8) V2 = С2,2 - U2 = 3 – (-2) = 5
 4) U3 = С3,5 - V5 = 5 – 5 = 0     9) U1 = С1,2 - V2 = 4 – 5 = -1
   5) V4 = С3,4 - U3 = 3 – 0 = 3   10) V1 = С1,1 - U1 = 4 – (-1) = 5

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток для которых ui + vj > cij

(2;1): 5 – 2 > 2 на 3

(3;1): 0 + 5 > 4 на 1

(3;2): 0 + 5 > 4 на 1

(4;1): 0 + 5 > 4 на 1

Выбираем максимальную оценку свободной клетки (2;1): 3

Для этого в перспективную клетку (2;1) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-». Цикл приведен в таблице.






I

v1=2



II

v2=2



III

v3=2



IV

v4=3



V

v5=5



VI

v6=0


I

u1 = 2

- 4

3520

+ 4

180

5


7


7


0


II

u2 = 1

+ 2


- 3

3780

3


5


3

520

0


III

u3 = 0

4


4


2

2480

3

320

5

1800

0


IV

u4 = 0

4


5


2


5


5

1220

0

3780


Из грузов хij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (1, 1) = 3520. Прибавляем 3520 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 3520 из Хij, стоящих в минусовых клетках.В результате получим новый опорный план.






I



II



III



IV



V



VI



Запасы

I


4


4

3700

5


7


7


0


3700


II


2

3520

3

260

3


5


3

520

0


4300


III


4


4


2

2480

3

320

5

1800

0


4600


IV


4


5


2


5


5

1220

0

3780

5000


Потреб-

ности

3520


3960


2480


320


3540


3780

17600


6. Проверим оптимальность опорного плана. Найдем потенциалы ui, vi. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij, полагая, что v6 = 0.





v1=4



v2=5



v3=2



v4=3



v5=5



v6=0


u1 = -1


4


4

3700

5


7


7


0


u2 = -2


2

3520

3

260

3


5


3

520

0


u3 =0


4


4


2

2480

3

320

5

1800

0


u4 = 0


4


5


2


5


5

1220

0

3780


Порядок вычисления потенциалов был следующий:
   1) Пусть V6 = 0 ;    6) V3 = С3,3 - U3 = 2 – 0 = 2
2) U4 = С4,6 - V6 = 0 – 0 = 0    7) U2 = С2,3 - V3 = 3 – 5 = -2
   3) V5 = С4,5 - U4 = 5 – 0 = 5    8) V2 = С2,2 - U2 = 3 – (-2) = 5
   4) U3 = С3,5 - V5 = 5 – 5 = 0 9) U1 = С1,2 - V2 = 4 – 5 = -1
   5) V4 = С3,4 - U3 = 3 – 0 = 3    10) V1 = С1,1 - U1 = 2 – (-2) = 4
Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток для которых ui + vj > cij

(3;2): 0 + 5 > 4 на 1

Выбираем максимальную оценку свободной клетки (3;2): 1

Для этого в перспективную клетку (3;2) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-». Цикл приведен в таблице.




I


II


III


IV


V


VI


Запасы

I


4


4

3700

5


7


7


0


3700


II


2

3520

- 3

260

3


5


+ 3

520

0


4300


III


4


+ 4


2

2480

3

320

- 5

1800

0


4600


IV


4


5


2


5


5

1220

0

3780

5000


Потреб-

ности


3520



3960



2480



320



3540



3780

17600

Из грузов хij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (2, 2) = 260. Прибавляем 260 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 260 из Хij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.






I



II



III



IV



V



VI



Запасы

I


4


4

3700

5


7


7


0


3700


II


2

3520

3


3


5


3

780

0


4300


III


4


4

260

2

2480

3

320

5

1540

0


4600


IV


4


5


2


5


5

1220

0

3780

5000


Потреб-

ности



3520



3960



2480



320



3540



3780

17600



7. Проверим оптимальность опорного плана. Найдем потенциалы ui, vi. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij, полагая, что v6 = 0.






v1=4



v2=4



v3=2



v4=3



v5=5



v6=0


u1 = 0


4


4

3700

5


7


7


0


u2 = -2


2

3520

3


3


5


3

780

0


u3 = 0


4


4

260

2

2480

3

320

5

1540

0


u4 = 0


4


5


2


5


5

1220

0

3780


Порядок вычисления потенциалов был следующий:
   1) Пусть V6 = 0 ; 6) V3 = 2 – 0 = 2
 2) U4 = 0 – 0 = 0       7) U2 = 3 – 5 = -2
3) V5 = 5 – 0 = 5    8) V2 = 4 – 0 = 4
   4) U3 = 5 – 5 = 0    9) U1 = 4 – 4 = 0
5) V4 = 3 – 0 = 3    10) V1 = 2 – (-2) = 4

Все условия для свободных клеток выполняются, следовательно, получено оптимальное решении.

Общие затраты на перевозку всей продукции, для оптимального плана составляют:

F(x) = 4*3700 + 2*3520 + 3*780 + 4*260 + 2*2480 + 3*320 + 5*1540 + 5*1220 + 0*3780= 44940 рублей.

Задача №2.
Определим максимальное значение целевой функции F(X) = 2 x1 +4 x2 + x4 при следующих условиях-ограничений.

x1 - 3x2 + x4 <=4

2x1 + x2 <=3

x2 + 4 x3 +x4 <=3

Решение.


  1. Для построения первого опорного плана приведем систему неравенств к системе уравнений путем введения дополнительных переменных x5 ,x6 ,x7.

х1 + 2 – х4 + х5 = 4

2x1 + x2 + х6 =3

x2 + 4 x3 +x4 + х7 =3

Базисные переменные – это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом.

Решим систему уравнений относительно базисных переменных x5 , x6 , x7 .

х5 = 4 – (х1 + 2 – х4)

х6 =3 – (2x1 + x2)

х7 =3 – (x2 + 4 x3 +x4)


  1. Начальная симплекс-таблица:

Базисные

переменные

Небазисные переменные

Свободные члены

- х1

- х2

- х3

- х4

х5

1

-3

0

1

4

х6

2

1

0

0

3

х7

0

1

4

1

3

F(x)

-2

-4

0

-1

0




  1. Поскольку задача решается на максимум, то разрешающий столбец выбирают по максимальному отрицательному числу в индексной строке.

Разрешающей будет та строка, которая даст наименьшее отношение свободных членов к соответствующим положительным коэффициентам разрешающего столбца.

На пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки- разрешающий элемент.


  1. Используя разрешающий элемент, построим новую симплекс-таблицу.

Базисные

переменные

Небазисные переменные

Свободные члены

- х1

- х6

- х3

- х4

х5

7

3

0

1

13

х2

2

1

0

0

3

х7

-2

-1

4

1

0

F(x)

6

4

0

-1

12

По указанию разрешающего элемента меняем местами неизвестное, стоящее в разрешающей строке с неизвестной разрешающего столбца.

На место разрешающего элемента записываем величину, обратную его значению.Элементы строки, соответствующие старой разрешающей, будут равны старым элементам, деленным на разрешающий элемент.

Элементы столбца, соответствующие разрешающему, будут равны старым элементам, деленным на разрешающий элемент с обратным знаком.

Остальные клетки заполняются по правилу прямоугольника: берем произведение исходного элемента на разрешающий по диагонали, вычитаем произведение элементов, взятых по другой диагонали, и разность делим на разрешающий элемент.

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

  1. В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x4.

Составим отношения свободных членов к соответствующим положительным коэффициентам разрешающего столбца и из них выберем наименьшее:


13:7=1,86

3:2=1,5

0:(-2)=0


Следовательно, 3-ая строка является ведущей

Разрешающий элемент равен 1 и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

  1. Используя разрешающий элемент, построим новую симплекс-таблицу.

Базисные

переменные

Небазисные переменные

Свободные члены

- х1

- х6

- х3

- х7

х5

9

4

-4

-1

13

х2

2

1

0

0

3

х4

-2

-1

4

1

0

F(x)

3

3

6

1

12


Достигнуто оптимальное решение, т.к. в строке целевой функции нет отрицательных коэффициентов.
Оптимальный план можно записать так:

x5 = 13

x2 = 3

x4 = 0

F(X) = 2*0 + 4*3 + 1*0 = 12

Ответ:

Оптимальное значение функции F(x) =

12

достигается в точке с координатами:


x1=

0

x2=

3

x3=

0

x4=

0

x5=

13

x6=

0

x7=

0





Список использованной литературы:


  1. Акулич И.А. Математическое программирование в примерах и задачах: Учебное пособие. – 1986г.

  2. Кузнецов А.В. Холод Н.И., Костевич Л.С. Руководство к решению задач по математическому программированию. – 1978 г.

  3. Лунгу К. Н. Линейное программирование. Руководство к решению задач: Учебное пособие. – 2005 г.

  4. Тунеев М. М., Сухоруков В. Ф. Экономико – математические методы в организации и планировании сельскохозяйственного производства: Учебное пособие. – 1986 г.



Учебный материал
© bib.convdocs.org
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации