Ответы на вопросы к экзамену по классической механике физического факультета Киевского Университета имени Тараса Шевченко (укр) - файл n1.doc

Ответы на вопросы к экзамену по классической механике физического факультета Киевского Университета имени Тараса Шевченко (укр)
скачать (732 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc732kb.03.11.2012 00:35скачать

n1.doc

Рух частинки в кулоновому полі . Закони Кеплера.

Параметрами руху частинки є її маса m , модуль моменту імпульсу L і повна енергія E ці величини є незмінні.

Закон збреження енергії :

з цієї формули видно, що траєкторія руху, якщо вона замкнена є еліпс, в одному з фокусів якого знаходиться силовий центр – перший закон Кеплера. p – параметр еліпса, ? – ексцентриситет еліпса.

Для замкненості траєкторії треба, щоб ?<1 , отже повна енергія має бути від’ємною.

Велика піввісь Еліпса буде :
Якщо за малий проміжок часу dt кут змінився на d?, то мала площа, обмежена шматочком траєкторії, яку подолала частинка за час dt і напрямками до центру з країв цього шматочка буде : . З іншого боку оскільки для модуля моменту імпульсу : , то величина , яка є секторіальною швидкістю залишається сталою – другий закон Кеплера.

Залежність r(t) :



зробивши заміну бачимо, що тіло робить повний оберт, тобто повертається до тоїж самої відстані від центра при зміні ? від 0 до 2?.

Отже оскільки, як видно

Період буде : - з цієї формули видно, що для двох тіл, що замкнено рухаються в полі квадрати періодів відносяться як куби великих півосей – третій закон Кеплера.

Рух частинки в кулоновому полі .

Параметрами руху частинки є її маса m , модуль моменту імпульсу L і повна енергія E ці величини є незмінні.

Закон збреження енергії :



Видно, що траєкторією тіла в такому потенціалі буде гіпербола, причому початок координат знаходиться у більш віддаленому від гіберболи фокусі. Залежність відстані до центру координат від часу знаходиться підстановкою в виразу r(?) , інтегруванням по куту, і подальшою підстановкою ?(t) до r(?).
Розсіяння в кулоновому полі. Формула Резерфорда.

Суть задачі – знайти ефективний диференційний переріз розсіяння в потенціалі .

Сталі величини – прицільний параметр S та швидкість на нескінченності .

Для енергії та моменту імпульсу :.

Для кута відхилення напрямку руху при русі від найближчої точки до нескінченності :



найменша відстань до центру знаходиться :



таким чином прицільний параметр виражений через кут розсіяння ?

тепер легко за означенням обрахувати ефективний диференційний переріз :

- формула Резерфорда.
Обернена задача розсіяння.

Обернена задача розсіяння полягає в тому, щоб за даними розсіяня визначити потенціал поля.

Задача Хойта – коли відома залежність кута розсіяння частинки ? від енергії, що її надана.

У формулі для визначення кута розсіяння інтегрують по зміні ефективного потенціалу :

- ефективний потенціал змінюється в межах від Е до 0.

Оскільки ?(E) відомо, можна зробити такі перетворення :



оскільки в початку координат, зазвичай V нескінченний.

Отже, можна знайти залежність відстані до центру поля від ефективного потенціалу :

Обернена відповідність буде розв’язком задачі.
Принцип Даламбера – Лагранжа. Рівняння Лагранжа 1-го роду.

При русі системи N частинок по поверхні, яка задається рівняннями зв’язку : на систему діють зовнішні сили і сили реакції. Сили реакції можна розділити на нормальні та тангенціальні :

Принцип Даламбера – Ланранжа стверджує, що робота сил реакції на віртуальних переміщеннях дорівнює нулю, тобто має залишатись тільки нормальна складова сил реакції. Оскільки нормаль до поверхні зв’язків співпадає за напрямом з градієнтом функції,що задає цей зв’язок, можна записати :

- рівняння Лагранжа першого роду для m зв’язків.

називаються невизначеними множниками Лагранжа, що визначаються з цієї ж системи рівнянь.
Рівняння Лагранжа 2-го роду.

Домноживши кожне з рівнянь Лангранжа 1-го роду на віртуальне переміщення , дотичне до поверхні зв’язків отримаємо : - для N частинок. Якщо ж тепер перейти від декартових кординат, кількість яких 3N до узагальнених координат, кількість яких 3N-m , що автоматично враховує зв’язки, можна записати : - проектування віртуальних переміщень в q-простір і тоді:

Далі :

У другому доданку сили розділяються на потенціальні і непотенціальні :

- узагальнена непотенціальна сила.

Отже : оскільки потенціал U залежить лише від координат -

Остаточно : - рівняння Лагранжа 2-го роду. L = T – U функція Лагранжа.
Функція Лагранжа частинки в електромагнітному полі.

В електромагнітному полі на частинку діє сила : .

В силу рівнянь Максвела для полів E і B справедливе представлення у вигляді потенціалів :



Отже для сили матимемо :

позначивши матимемо : сили,що можна представити у такому вигляді називаються узагальнено потенціальними, U – узагальнений потенціал.

Оскільки для узагальнених сил і координат виконуватиметься така ж рівність :

то рівняння Лагранжа запишеться так : то функція Лагранжа :



Координати абсолютно твердого тіла (АТТ) , полюс, кути Ейлера, матриця повороту.

Оскільки відстані між точками АТТ є сталими, то задавши довільно три координаи однієї точки, на координати другої точки буде накладено одне обмеження рівнянням зв’язку : і для неї довільно можна буде задати лише дві координати. Для третої точки обмежень два і незалежна координата лише одна. Положення усіх інших точок однозначно задається положенням деякох троьх точок і описується шістьма незалежними координатами. При дослідженні руху обирають якусь точку, яку називають полюсом і досліджують окремо поступальний рух полюса та обертання тіла навколо полюса. Трьома координатами є декартові координати полюса в просторі. Вводиться власна система координат Ox’y’z’ , яка жорстко зв’язана з АТТ і в якій координати кожної точки АТТ не змінюються з часом. Зв’язок власної СК з Oxyz , яка рухається лише поступально разом з полюсом встановлюється кутами Ейлера :

? – кут мутації між Oz та Oz’

? – кут прецесії між Ox та лінією вузлів

? – кут власного обертання між Ox’ та лінією вузлів

лінія вузлів – пряма перетину площин Oxy та Ox’y’ .

Матриця повороту – матриця переходу від Oxyz до Ox’y’z’.

Поворот на кут ? навколо Oz :

Поворот навколо нової осі Ox’ на кут ? :
Поворот навколо нової осі Oz’ на кут ? :

Загальна матриця переходу :


Швидкість АТТ. Формула Пуансо.

Положення точки АТТ задається так : r’ – положення точки у власній СК.

Отже : e– орти власної СК.

Нехай де , оскільки за вибором , то .

тобто - матриця ? є антисиметричною і їй має відповідати такий аксіальний вектор, який є згорткою цієї матриці з тензором Леві-Чивіта : , або .

Отже : - формула Пуансо.

Швидкість АТТ буде : .
Кутова швидкість АТТ. Кінематичні рівняння Ейлера.

За означенням : отже :

Тут А – матриця переходу від лабораторної до власної СК.

Вектор кутової швидксті не змінюється з вибором іншого полюса.

Спрямувавши вектори повороту на кути Ейлера вздовж прямих, навколо яких здійснюється поворот та спроектувавши їх на координатні осі і потім додавши, отримаємо кінематичні рівняння Ейлера :

у власній СК у СК полюса :
Імпульс, момент імпульсу, кінетична та потенціальна енергії АТТ.

Підставивши до означення імпульсу формулу Пуансо отримаємо :

Якщо полюс збігається з центром мас, то .

Момент імпульсу за означенням :

В останньму доданку :

- тензор інерції.

Загалом :

Для кінетичної енергії :

В остнньму доданку :

Якщо полюс вибрати в центрі мас, то другий доданок зникне і загалом : останній доданок буде одним і тим же в лабораторній і власній системах координат.
Якщо відстані між частинками АТТ сталі, то потенціальна енергія взаємодії їх між собою є сталою.

Якщо відомий рух джерела зовнішнього поля :

перехід до інтегралу у випадку неперервного розподілу маси.

Якщо джерело достатньо віддалене, то цей вираз можна розкласти в ряд Тейлора, за малим параметром :


Динамічні рівняння Ейлера.

Якщо описувати обертання навколо центру мас, в системі відліку, де він нерухомий, то у виразі для моменту іпульсу залишиться лише один доданок : .

Із узагальненої формули Пуансо матимемо :

K – вектор моменту усіх зовнішніх сил.

Тепер, якщо осі власної системи координат спрямувати вздовж головних осей інерції АТТ, в яких тензор інерції матиме діагональний вигляд отримаємо :

- динамічні рівняння Ейлера

K’ – компоненти вектора моменту сил у власній СК.
Рух дзиги з нерухомою точкою. Кути Ейлера та квадратурні формули.

Дзига- тверде тіло з віссю симетрії, тобто у якого два головних значення тензора інерції співпадають.

Якщо дзига обертається з нерухомою точкою опори, що лежить на осі симетрії, то відносно цієї точки, як полюса тензор інерції буде також діагональним і матиме дві рівні компоненти :

Кінетична енергія : , з компонентами кут. шидкості у власній СК.

Підстановка кінематичних рівнянь дає :

Функція лагранжа : l – відстань від полюса до ЦМ.

Видно, що координати ? та ? є циклічними і відповідні узагальнені імпульси зберігаються :



виразивши похідні кутів ? та ? через їх узагальнені імпульси отримаємо квадратурні формули :



в ці квадратурні формули входить кут ? , як функція від часу.

Підставивши виражені через ? та в функцію Лагранжа можна побудувати Лагранжеву енергію,що зберігається за умовами задачі :

Перегрупувавши доданки, поділивши на і ввівши позначення :

отримаємо :

, де - поліном третього степеня відносно u = cos?.

Інтегрування матиме зміст для ? лише на відрізку [-1;1], значення полінома має бути в цій області додатним, оскільки час – дійсна величина.

З формули полінома видно, що в точках ? , -1 , +1 він від’ємний, тому, щоб він міг бути додатним в деяких точках відрізку [-1;1] має бути : ? >-1 - обмеження на енергію, при малих енергіях рух неможливий.

В загальному випадку поліном має три кореня і його можна розкласти на множники

Нехай : тоді :



з означення неповного еліптичного інтегралу 2-го роду :

отже ? є амплітудою Якобі і cos? виразиться через еліптичний синус :

- квадратурна формула для ?.

З формули видно, що в залежності від початкових умов (узагальнених імпульсів) кут прецесії може бути монотонним або немонотонним.
Малі коливання системи з f ступенями вільності.

Якщо в деякій точці простору узагальнених координат узагальнена сила дорівнює нулю, то така точка називається точкою рівноваги : Якщо U має мінімум то рівновага – стійка.

Якщо - координати положення рівноваги, то потенціальна енергія буде :



оскільки другий доданок рівний нулю, а перший сталий, цікавим є третій.

Якщо - відхилення від рівноваги, то позначення :

матриці кінетичної та потенціальної енергії.

Рівняння Лагранжа 2-го роду дадуть: - система з 2f диференційних рівнянь 2-го порядку.

Загальний розв’язок цієї системи : -отже є система алгебраїчних рівнянь

Має бути - умова для пошуку власних частот.

Для кожної частоти ? буде свій набір коефіцієнтів а – свій амплітудний вектор. Координатний вектор буде суперпозицією всіх мод помножених на відповідний вектор і константи, які визначаються з початкових умов.
Нормальні координати, та їх побудова.

Оскільки розв’язок задачі коливань містить суперпозицію мод коливань для кожної з координат, зручніше булоб перетворити координати таким чином, щоб кожна з нових координат коливалася лише з одною, своєю частотою.

Якщо Q –новий координатний совпчик, то і координати Q будуть відповідати кожній з мод.

Оскільки та і матриці кінетичної та потенціальної енергій симетричні, то .

Тобто власні вектори ортогональні з вагою T.

Якщо ж їх ще нормувати на одиницю з тієюж вагою, то отримаємо правило переходу від Q до q, домноживши зліва обернену рівність на : - формула переходу до нормальних координат.

Функція Лагранжа в нормальних координатах виглядатиме так :
Канонічні рівняння Гамільтона.

Якщо здійснити перетворення Лежандра функції Лагранжа за швидкістю, то отримаємо образ функції Лагранжа, в нових змінних – координатах і імпульсах – функцію Гамільтона : .

Оскільки маємо :

Якщо функція Лагранжа явно не залежить від часу, то рух системи повністю описується системою рівнянь для узагальнених імпульсів і координат : - канонічні рівняння Гамільтона.

Функція Гамільтона для заряду в електромагнітному полі.

Як відомо, функція Лагранжа в цьому випадку виглядає так : .

За означенням узагальненого імпульсу :

Отже функція Гамільтона буде :

Принцип найменшої дії Гамільтона-Остроградського.

Можна показати, що для функціонала типу , у якого значення кривої у(х) фіксовані на кінцях інтервалу умова екстремуму, тобто рівності нулю першої варіації буде - рівняння Ейлера

Принцип Даламбера-Лагранжа, який показує рівність нулю роботи сил реакцій зв’язку : .

можна розглядати, як варіацію і – го радіус вектора, що варіюється вздовж поверхні зв’язків.

Оскільки система рухається лише вздовж поверхні зв’язків,то - робота зовн. сил.

Отже :

- варіація кінетичної енергії.

Отже : оскільки початкове і кінцеве положення задані і не варіюються. Інтеграл називається інтегралом дії механічної системи.

Отже, як висновок : - дія має набувати екстремального (мінімального) значення, що є принципом Гамільтона-Остроградського.

Якщо на систему діють лише зовнішні потенціальні сили, то A = - U . U – потенціал зовн сил.

Тоді - - тоді рівняня Ейлера, про яке сказано раніше породить рівняння Лагранжа другого роду, які, таким чином, можна отримати з принципу найменшої дії.
Варіаційний принцип у фазовому проторі.

Фазовий простір – простір координат та імпульсів, у якому означена функція Гамільтона.

Варіація інтегралу дії у фазовому просторі виглядатиме так :



отже в силу незалежності варіацій координат і швидкостей має бути : - канонічні рівняння.
Симетрія простору-часу та закони збереження.

Якщо певним просторовим перетворенням варіюються координати і швидкості, то варіація функції Лагранжа виглядатиме : .
Якщо зробити ортогональне перетворення координат, то , і , якщо простір однорідний , тобто вектор швидкості залишаєтья незмінним. Внаслідок такого перетворення відстані між точками залишаються незмінними, отже не змінюються кінетична та потенціальна енергії і сама функція Лагранжа : - закон збереження імпульсу є наслідком однорідності простору.
Якщо виконати перетворення повороту на кут , то у випадку ізотропності простору – рівносильності усіх напрямів у ньому вектор швидкості змінить лише свої координати в новій системі координат, але сам залишиться незмінним. Тоді радіус вектор і вектор швидкості виглядатимуть так : . Функція Лагранжа, як і в попередньому випадку не зміниться, отже :

- закон збереження моменту імпульсу є наслідком ізотропності простору.
Під однорідністю часу розуіють той факт, що функція Лагранжа явно не залежить від часу.

В такому випадку : тобто узагальнена Лагранжева енергія зберігяється. Закон збереження енергії є наслідком однорідності часу.
Канонічні перетворення. Твірні функції канонічних перетворень.

На відміну від рівнянь Лагранжа, рівняння Гамільтона не є інваріантними відносно заміни змінних.

Вимагати збереження вигляду рівнянь руху можна двома способами : прямою підстановкою нових координат в канонічні рівняння і накладаючи обмеження на перетворення, або використавши умову виконання принципу Гамільтона. Такі перетворення називаються канонічними. Розглядається другий спосіб.

Дія в старих змінних q , p : Дія в нових змінних Q , P :

Г – нова функція Гамільтона. Варіація різниці цих інтегралів має бути рівна нулю. Це виконується тоді, коли підінтегральні функції відрізняються на повну похідну за часом від деякої функції координат, часу та імпульсів, оскільки значення інтегралу такої функції стале і не варіюється.

Отже :

Якщо функція V, що називається твірною функцією канонічного перетворення залежить від q і Q ,

То з другого рівняння виражаються старі координати і підставляються в перше рівняння для старих імпульсів, таким чином матимемо явні формули переходу.

Для того, щоб мати твірні фннкції залежні від інших пар змінних треба відилити повний диференціал d(pq) , або d(PQ) у рівнянні .
Рівняння Гамільтона-Якобі. Метод розділеня змінних.

Нехай є якесь канонічне перетворення :

Канонічні рівняння Гамільтона :

Якщо ж тепер Г = 0, то з одного боку , а з іншого боку нові координати і іммпульси будуть сталими, а тому константи, що з’являться при розв’язанні диференційного рівняння можна прирівняти до нових координат. Отже .

Далі : - параметричне рівняня фазової траєкторії.

В загальному випадку кількох ступенів вільності рівняння Гамільтона-Якобі виглядатиме так :

Якщо ж тепер j-та узагальнена координата і якийсь узагальнений імпульс входять до функції Гамільтона у вигляді якоїсь комбінації , що не залежить більше ні від чого, то якщо записати ,де перший доданок від не залежатиме.

Рівняння Гамільтона-Якобі розпадеться на два :

Оскільки рівняння Гамільтона-Якобі матиме змінних на одну менше і комбінаці треба прирівняти до однієї зі сталих інтегрування.

Для консервативних систем H = const, тому
Дужки Пуасона та їх властивості.

Якщо якась величина не змінюється при русі системи, то вона задовольняє рівності :

Де [ ; ] дужки Пуасона :

Властивості :










Теорема та рівняння Ліувілля.

Якщо механічна система складається з великої кількості рівноцінних частинок, то її називають фазовим ансамблем і кажуть не про окремі значення імпульсів та координат, які мають частинки системи, а про простір значень координат та імпульсів, який займають частинки.

- елемент об’єму фазового ансамблю.

Загальний об’єм дається інтегруванням по усіх значеннях координат і імпульсів,які займає ансамбль :



нехай тепер в певний момент часу система мала такий набір координат та імпульсів :

тоді

де - якобіан переходу.

Тепер оскільки початковий момент часу можна задати довільно, то момент часу в який розглядається швидкість зміни фазового об’єму можна нескінченно наблизити до початкового і похідну якобіана брати в початковий момент часу :

Використавши властивість Якобіанів , де отримується диференціюванням і-го рядка :

Отже, з вищевикладених міркувань – об’єм статистичного ансамблю не змінюється при русі – теорема Ліувілля.

Більш загальне трактування – якщо розглядати зміни координат і імпульсів не при русі, а при канонічному перетворенні. Втакому випадку Якобіан буде :

Доведення : - за правилом диференціювання складної функції.

З властивості матриці канонічного перетворення :

Це більш загльне формулювання теореми Ліувілля.

В статистичній механіці вводиться густина статистичного ансамблю : , оскільки з теореми Ліувілля для фіксованого числа частинок об’єм фазового ансамблю залишається сталою, то можна записати рівняння Ліувілля:

- основне рівняння статистичної фізики.
Основні поняття механіки суцільного середовища. Масові та поверхневі сили. Рівняння руху суцільного

середовища.

Основним онятям механіки суцільного середовища є фзично нескінченно мала частинка (фнм).

Суцільне середовище розбивається на фнм частинки і усі подальші закони його руху розглядаються, як рух цих частинок. Модель фнм частинки включає такі припущення :

1) кількість атомів, молекул всередині фнм частинки є сталим – дифузія через поверхню відсутня.

2) макроскопічні параметри по всьому об’єму фнм частинки незмінні, для цього її характерні розміри мають бути набагато меншими за розміри всього об’єму суцільного середовища, але набагато більшими за міжатомну відстань, щоб знехтувати флуктуаціями.

3) всередині фнм частинки відсутні ядерні та хімічні реакції – немає виділення та поглинання енергії цим шляхом

4) об’єм фнм частинки має бути обмеженим однозв’язною поверхнею.

Будь яку зовнішню силу, що діє на СС можна записати через її масову густину : - об’ємні, або масові сили, що діють на СС. Оскільки в поверхневому шарі молекул кожної фнм частинки на малекули діє нескомпенсована сила міжмолекулярної взаємодії, з боку внутрішніх молекул, виникає ще одна сила, що називається поверхневою, бо діє лише на зовнішні фнм частинки : величина називається тензором механічних напруг.

За теоремою Остроградського поверхневий інтеграл можна звести до об’ємного.

Нехай є сталий вектор с.

Тут введено поняття дивергенції тензора другого рангу.

Отже силу, що діє на суцільне середовище можна записати так :

Звідси за допомогою закону збереження імпульсу легко отримати рівняння руху СС :


Поверхневі сили. Тензор механічних напруг. Його симетрія.

Сила, що діє на СС є сумою поверхневих та об’ємних сил :

Момент сил, що діє на СС : , або за теоремою Остроградського :

з іншого боку зміна моменту імпульсу суцільного середовища буде :



перетворення для N :

далі :

таким чином доведена симетричність тензора механічних напруг.
Рівняння неперервності.

Оскільки маса кожної фнм частинки зберігається під час руху, то ? – густина.

З часом густина, об’єм та форма фнм частинки моуть змінитись,тому :



останній інтеграл описує зміну розмірів та форми фнм частинки і може бути представлений, як поверхневий, в якому підінтегральна функція помножиться на товщину тонкого шару простору між положенням поверхні фнм частинки в близькі моменти часу, яка на поверхні дорівнює :



Отже : або , що є рівнянням неперервності.
Рівняння балансу енергії.

Нехай - зміна енергії об’єму суцільного середовища.

Енергія змінюється зчасом, за рахунок виконання зовнішніми силами над об’ємом роботи та за рахунок притоку, або відтоку тепла : .

Похідна роботи зовнішніх сил дорівнює їх потужності



Перший доданок є швидкістю зміни кінетичної енергії об’єму суцільного середовища,а другий містить величину , що називається тензором швидкості деформації.

З іншого боку зміна енергії об’єму суцільного середовища є сумою змін кінетичної та внутрішної енергій, тому



Внутрішня енергія записується через її масову густину u :

Для кількості тепла : q – ветор потоку тепла к – коефіцієнт теплопровідності, Т – поле температур.


Отже остаточно закон збереження енергії виглядатиме так :

- рівнння балансу енергії.
Тензори деформацій та швидкості деформацій.

В суцільному середовищі вводиться векторне поле деформацій, що описує зміщення від положення рівноваги тої точки суцільного середовища, в положенні рівноваги якої розглядається поле.

Деформацією називається зміна відстаней між точками суцільного середовища порівняно з рівноважним положенням.

Якщо в рівноважному стані відстань між точками описується вектором , а у деформованому - , то ці вектори пов’язані між собою полем зміщень : - положення першої точки.

Якщо відстань між точками мала, то можна розкласти в ряд Тейлора :

- різниця між та в першому наближенні.

- тензор другого рангу, який можна представити, як суму симетричного і антисиметричного тензорів.

- оскільки будь-який антисиметричний тензор другого рангу є згорткою деякого вектора з тензором Леві-Чивіта.

- останній доданок є похідною вектора за часом і описує обертання на кут , який визначається формою поля зміщень. В такому випадку для вектора також можна вказати два доданки, які описують поворот і власне вектор у власній системі координат середовища.

Тому на деформацію впливає лише тензор , що називається тензором деформацій.

Аналогічно означаються тензо швидкості деформацій : V – поле швидкостей.
Тензор пружних сталих для кубічного кристалу та ізотропного пружного середовища.

Лінійним пружним середовищем називається таке середовище, в якому виконується закон Гука :

- тензор пружних сталих, що є тензором четвертого рангу і має 81 компоненту.

Оскільки тензори механічних напруг і деформації є симетричними, то компоненти тензора не змінюються при перестановці індексів ij та kl. Тому в загальному випадку тензор має 36 незалежних компонент.

В абсолютно пружному середовищі процеси деформації оборотні і при перестановці ij ? kl компоненти мають не змінюватись, отже залишиться 21 незалежна компонента.

36 незалежних компонент

Параметри середовища кубічної симетрії інваріантні відносно поворотів на кути ? , ?/2 відносно їх головних осей.

Матриця повороту на ? навколо осі Oz :

компоненти , як легко бачити, перетворяться за правилом .
Отже ті в яких індекси 1,2 зустрічаються один або три рази змінять знак, і в силу інваріантності даного перетворення мають дорівнювати нулю. Аналогічно при повороті навколо Ox зануляться ті, в яких один або три разу зустрічаються індекси 2 та 3

Залишаться лише : та перестановочні по ij ? kl

Матриці повороту навколо Oz та Ox на кут ?/2 виглядають :

В усіх 12 компонентах, що залишились індекса зустрічаються лише по два рази, тому занулення не буде, але оскільки при першому повороті індекс 2 переходить в 1 та навпаки, а при другому 3 переходить в 2 та навпаки, залишиться лише 3 незалежні компоненти :

Отже :

В ізотропному тілі осі симетрії можна обирати довільно. Нехай здійснюється поворот навколо Oz на кут ?

- матриця повороту. Оскільки то зробивши розрахунки

можна отримати наприклад для : для інваріантності відносно повороту на довільний кут має бути зазвичай позначають

отже тепер незалежних пружних сталих буде дві :

- закон Гука для ізотропного пружного середовища
Теорія пружності. Закон Гука. Рівняння Ламе.

Закон Гука в загальному вигляді :

Зкон Гука для ізотропного середовища :

Рівняння руху :



Оскільки отримаємо - рівняння Ламе.
Звук в ізотропному пружному середовищі.

При розгляді поширення звуку робляться такі припущення :

1) нехтують об’ємними силами

2) густина вважається сталою

3) нехтуються втрати енергії

При поширенні звукової хвилі поле зміщень є перідичним в просторі і часі, що матеметично представляється так:

як видно

підставивши ці значення в рівняння Ламе :

Якщож тепер це рівняня спроектувати на осі координат, вважаючи,що

перші дві хвилі поперечні :

третя хвиля поздовжня :


Гідродинаміка рівняння Нав’є-Стокса.

В рідинах окрім пружних напруг існують ще в’язкі напруги, що прямо пропорційні до тензора швидкості деформації: .

- тензор пружних напруг. - тензор в’язких напруг. - тензор пружних сталих. - тензор в’язких сталих.

Оскільки елемент сили, що діє на елемент площі в рідині дорівнює - пропорційний тиску, а з іншого боку то p – поле тиску.

Для тензора згідно з принципом симетрії кінетичних коефіцієнтів Онгазера існує такеж приведення до двох незалежних компонент, як і у тензора , хоча історично склався інший запис :

Отже , після обрахування дивергенції цього тензора, отримується рівняння руху рідіни : - рівняння Нав’є-Стокса.

Учебный материал
© bib.convdocs.org
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации