Специальная теория относительности - файл n1.doc

Специальная теория относительности
скачать (139 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc139kb.19.11.2012 12:48скачать

n1.doc

Министерство образования Российской Федерации

Уральский государственный технический университет


Кафедра физики.

Реферат


Специальная теория относительности.

Студентка Белоусова А.А

Группа Мт-136А


Преподаватель Мальгин А.В.


г. Каменск-Уральский

2003
Содержание.



Введение
Принцип относительности Галилея

Постулат относительности

Постулат постоянства скорости света.. Теория Ритца и родственные теории.

Относительность одновременности. Вывод преобразований Лоренца из обоих постулатов. Аксиоматика преобразований Лоренца

Лоренцево сокращение и замедление времени

Теорема сложения скоростей Эйнштейна. Аберрация. Коэффициент увеличения

Релятивистский импульс. Зависимость массы от скорости. Релятивистская энергия

Заключение

Список использованной литературы


Список используемой литературы.


  1. В. Паули, «Теория относительности», Москва, «Наука», 1983г.

  2. Е.И. Бутиков, А.А. Быков, А.С. Кондратьев, «Физика для поступающих в вузы», Москва, «Наука», 1982г.


Введение.

На рубеже XIX и XX веков физика переживала глубокий кризис, единственно правильный выход из которого был найден в 1905 году Эйнштейном ценой отказа от классических представлений о пространстве и времени и от основанных на них преобразований Галилея. Введение преобразований Лоренца, оставляющих инвариантными при переходе от одной системы отчета к другой уравнения электродинамики, а не уравнения механики, требует пересмотра и уточнения законов классической механики. Решающим шагом на этом пути оказался критический подход к используемому в классической физике понятию абсолютного времени. Классические представления в действительности оказались несостоятельными. Многие понятия и величины, считавшиеся в нерелятивистской физике абсолютными, то есть не зависящими от системы отчета, теория относительности перевела в ранг относительных.

  1. Принцип относительности Галилея.

Опыт показывает, что, наряду с независимостью явлений в замкнутой системе от места и момента времени (это следствие однородности пространства и времени), существует определенная независимость физических явлений от состояния движения, которая заключается в равноправии всех инерциальных систем отчета. Равномерное и прямолинейное движение замкнутой системы как целого не влияет на ход процессов внутри системы. Утверждение об эквивалентности всех инерциальных систем отчета составляет принцип относительности, который впервые был высказан Галилеем для механических явлений. Согласно этому принципу уравнения движения должны быть инвариантны относительно перехода от одной инерциальной системе отчета к другой. Рассмотрим описание некоторого явления в двух инерциальных системах отчета К и К, движущихся относительно друг друга равномерно и прямолинейно. За ось x выберем направление движения и при этом так, чтобы система К двигалась относительно К со скоростью  в положительном направлении оси x. Пусть начало отчета времени t=0 выбрано в тот момент, когда точки О и О совпадали. Положение некоторой материальной точки определяется координатами и временем x, y, z, t в системе К и координатами x, y, z, t в системе К.

В нерелятивистской физике принималось как очевидный факт единого мирового времени t , одинакового во всех системах отчета: t=t. Это связано с предположением о распространении сигналов с бесконечно большой скоростью.

Предполагалось также, что расстояние между двумя точками, измеренное в некоторый момент времени, одинаково во всех системах отчета.

Из этих предположений однозначно вытекает общий вид преобразования, связывающего координаты и время некоторого события x, y, z,t в системе К с координатами и временем этого события x, y,z, t в системе К. Сравнивая координаты одной и той же частицы в системах отчета К и К, получаем x=x+t, y=y, z=z, t=t (1.1). Эти формулы носят название преобразований Галилея.

Из них можно получить классический закон преобразования скорости частицы при переходе от одной системы к другой. Пусть u=dr/dt — скорость некоторой частицы в К, а u=dr/dt— скорость той же частицы в К. Поскольку dt=dt получаем ux=ux+, uy=uy, uz=uz (1.2). Таким образом, преобразование скорости частицы при переходе от К к К сводится к векторному сложению относительной и переносной скоростей, то есть к сложению векторов u и .

В исторически важных опытах, подтверждающих универсальный характер принципа относительности,— это электродинамический опыт Траутона и Нобла с заряженным конденсатором, подвешенным на упругой нити, и оптический опыт Майкельсона и Морли с интерферометром специальной конструкции — был получен отрицательный результат. В самом деле, согласно уравнениям Максвелла скорость распространения электромагнитных волн в вакууме одинакова по всем направлениям и равна c. Но, в соответствии с классическим законом преобразования скорости, скорость света может быть по всем направлениям равна c только в одной инерциальной системе отчета. Например, если скорость света равна c в системе К, то в К свет должен распространяться в положительном направлении со скоростью c—, а в отрицательном— со скоростью c+. Поэтому только в отношении законов механики преобразования Галилея удовлетворяют принципу относительности, справедливому для всех явлений.

  1. Постулат относительности.

Распространение принципа относительности, то есть утверждения о равноправии всех инерциальных систем отчета, на электромагнитные и оптические явления приводит к выводу о постоянстве скорости света в вакууме во всех инерциальных системах отчета. Отсюда сразу видна необходимость пересмотра классических представлений о пространстве и времени.

К тому же отрицательный результат многих опытов, поставленных с целью обнаружить влияние движения Земли на различные процессы путем измерений на ней самой, позволяет утверждать о принципиальной независимости любых явлений в движущийся системе от поступательного движения самой системы в целом. Можно сказать, что имеется троекратно бесконечное множество (здесь не учитываются изменения начала координат и вращение координатных осей) равномерно и прямолинейно движущихся друг относительно друга систем отчета, в которых все явления протекают одинаковым образом. Эти системы Эйнштейн назвал галилеевыми, так как в них соблюдается закон инерции Галилея. Правда, в общей теории относительности доказана справедливость принципа относительности применительно ко всем инерциальным системам отчета, но в рамках специальной теории относительности мы должны ограничиться галилеевыми системами, то есть относительностью при равномерных и прямолинейных движениях.

Постулат относительности устраняет из физических теорий эфир, рассматриваемый в качестве субстанции. Но после отказа от представлений об эфире принцип относительности не становится очевидным. Действительно, невозможно сообщить поступательного движения всей вселенной и проверить, влияет ли это движение на течение каких-либо процессов. Поэтому принцип относительности имеет эвристическое и физическое значения, только если он справедлив в отношении любой замкнутой системы. В случае равномерного и прямолинейного движения достаточно условия отдаленности масс, не входящих в рассматриваемую систему. Резюмируя, можно сказать, что постулат относительности включает в себя утверждение, что равномерное и прямолинейное движение центра тяжести вселенной относительно некоторой замкнутой системы не влияет на процессы в этой системе.

  1. Постулат постоянства скорости света. Теория Ритца и родственные теории.

Лоренц и независимо от него Фицжеральд предположили, что все тела, движущиеся поступательно со скоростью , изменяют свои размеры и в направлении движения уменьшение размера тела определяется множителем ?1 — 2/c2(3.1), где — изменение размеров в направлении, перпендикулярном к скорости тела. Лоренц также доказал инвариантность уравнений Максвелла относительно преобразований координат вида x = ? 1 - ; y = y; z= z; t =

= ?1 - , где = /с (3.2) при условии подходящего выбора выражений для напряженности электрического и магнитного полей. К тому же Лоренц смог показать, что сокращение размеров имеет место для всех тел даже при наличии молекулярного движения. Более отдаленным следствием из преобразования Лоренца является соотношение = 1 , то есть что в направлении, перпендикулярном к движению. Размеры тел не изменяются, если указанное объяснение вообще возможно.

Из принятия принципа относительности еще не следует вывод о ковариантности законов природы относительно преобразования Лоренца. Эйнштейн показал, что для этого вывода достаточно принять только следующее электродинамическое положение: скорость света не зависит от движения источника. Об универсальном постоянстве скорости света в пустоте нельзя утверждать потому, что скорость света постоянно только в галилеевых системах отчета. Независимость же скорости света от движения источника сохраняется и в общей теории относительности.

Из принципа инвариантности скорости света следует, что все взаимодействия между телами распространяются в пустоте с универсальной скоростью, не зависящей от движения тел и равной c. Значение этого постулата связано с фундаментальной ролью передачи сигналов с предельной скоростью в определении понятий, относящихся к пространству и времени. Принцип существования универсальной предельной скорости распространения взаимодействий утверждает существование общего предела для скорости передачи любых действий и сигналов и придает скорости света в вакууме универсальное значение, отражающее некоторое объективное свойство пространства и времени.

Принятие принципа относительности и положения о постоянстве скорости света приводит к изменению старых понятий о времени. Поэтому Ритц и независимо от него Толмэн, Кунц и Комсток подняли вопрос о возможности, отказавшись от принципа постоянства скорости света и сохраняя только утверждение об эквивалентности всех инерциальных систем отчета, построить теорию, согласующуюся с опытом. Это было выполнено в форме систематической теории только Ритцем. Он сохранил уравнения rotE+c H = 0; divH =0 (3.3), так что напряженности полей могут быть, как и в обычной электродинамике, выражены через скалярный и векторный потенциалы: E =—grad—c A; H= rotA (3.4).

Уравнения обычной термодинамики

 dVP v dVP

[ rPP ]t=t - r/c c  rPPt=t-r/c

заменяются следующими:

 dVP v dVP

[ rPP ] [ rPP ]

t=t- c+ t=t- c+ (3.5)

в соответствии с предположением, что скорость света равна c лишь относительно источника, так же как скорость электромагнитного возмущения равна c лишь относительно электрона, его вызывающего. Теории, в которых делается подобное предположение, были названы теориями истечения. Принцип относительности в них удовлетворяется сам собой. Но эти теории не согласуются с молекулярным объяснением преломления и отражения света, так как они отрицают явление интерференции падающей волны с вторичными волнами. Далее, теории истечения позволяют объяснить фундаментальный для оптики движущихся сред опыт Физо лишь с помощью искусственных дополнительных гипотез. К тому же, если представить скорость света в виде c+k, то должно быть k<0,002. Этот результат в сочетании с трудностями при объяснении опыта Физо и при построении молекулярной теории преломления позволяет почти с достоверностью считать правильным положение об инвариантности скорости света, а теории истечения Ритца и других признать ведущими к непреодолимым затруднениям.

4. Относительность одновременности. Вывод преобразований Лоренца из обоих постулатов. Аксиоматика преобразований Лоренца.

При поверхностном рассмотрении принцип относительности и принцип постоянства скорости света кажутся несовместными. Пусть, например, наблюдатель A движется со скоростью  относительно источника света L, а наблюдатель B покоится относительно L. Оба наблюдателя при этом в качестве фронта волны видят сферы, центры которых покоятся относительно наблюдателей, то есть видят две различные сферы. Противоречие исчезает, если допустить, что до точек пространства, до которых свет одновременно дошел с точки зрения наблюдателя A, с точки зрения наблюдателя B свет доходит не одновременно. Таким образом, можно прийти к выводу об относительности одновременности. Но сначала необходимо дать определение синхронности двух часов, находящихся в различных местах пространства.

Эйнштейн предложил следующее определение синхронности часов: часы в точках P и Q синхронны, если световой сигнал, посланный из P в момент tP , придет в Q в момент tQ (tQ измеряется по часам в Q), причем tQ =( tP + tP )/2 (4.1), где tP —время возвращения света, отраженного в точке Q, обратно в P. Эйнштейн выбирает в качестве синхронизирующего сигнала световой сигнал потому, что, пользуясь принципом постоянства скорости света, можно высказать определенные утверждения о процессе распространения света. Вообще, синхронизация часов возможна и другими методами: с помощью переноса часов из одного места в другое, с помощью упругой связи и так далее. При этом необходимо потребовать, чтобы при подобной синхронизации не получалось никаких неразрешимых противоречий с синхронизацией часов посредством световых сигналов. С точки зрения нерелятивистской физики любой способ синхронизации часов должен дать одно и то же. Но, если часы в Q синхронизированы с часами в P с помощью световых сигналов и хронометр C, сверенный с часами в точке P, перевозится затем в точку Q, то показания в точке Q не совпадут с показаниями находящихся там часов, а будут зависеть от скорости перевозки. Совпадение достигается только при бесконечно малой скорости перевозки хронометра.

Операцию измерения расстояний с точки зрения постулатов теории относительности наиболее разумно определить на основе «радиолокационного» способа: из некоторого пункта посылаются световые и радиосигналы, которые после отражения от наблюдаемого предмета возвращаются в точку отправления. При этом измеряется время прохождения сигнала туда и обратно по часам, связанным с радиолокатором. Расстояние до предмета получается при умножении одинаковой по всем направлениям скорости на половину времени прохождения: l=1/2c(t2—t1) (4.2). В принципиальном отношении этот способ важен потому, что в нем измерение расстояний сводится к измерению времени.

Рассмотрим опять две инерциальные системы отчета К и К, движущиеся относительно друг друга равномерно и прямолинейно. Условия введения систем остаются такими же, как и в главе 1. Вследствие обоих принятых постулатов уравнение x2+y2+z2-c2t2=0 (4.3) влечет за собой уравнение x2+y2+z2-c2t2=0 (4.3). Это возможно вследствие линейности преобразования, только если (x2+y2+z2-c2t2)= (x2+y2+z2-c2t2) (4.4), где — постоянная, зависящая от . Если учесть, что любое движение, параллельное оси x, после преобразования должно оставаться параллельным этой оси, то отсюда следуют формулы (3.2). Теперь необходимо показать, что =1. Эйнштейн приводит это доказательство, применяя преобразование (3.2) еще раз (на этот раз к К), и при этом с обратной скоростью:

x= (-)?1 ; y= (-)y; z= (-)z;

t= (-)?1 (4.5). Отсюда x= () (-)x,

y= () (-)y, z= () (-)z, t= () (-) (4.6). Так как система К покоится относительно К и, следовательно, идентична с нею, должно иметь место равенство () (-)=1 (4.7). Как уже отмечено в главе 1, () равно изменению поперечных размеров тела и не должно, из соображений симметрии, зависеть от направления скорости. Поэтому ()= (-), откуда в сочетании с равенством (4.7) следует, что ()=1, поскольку должно быть положительным.

В итоге мы приходим к вполне определенным формулам преобразования: x=?1 ; y=y; z=z; t=?1— ; (4.8)

x2+y2z2-c2t2=x2+y2+z2-c2t2 (4.9).

Преобразования, обратные к (4.8), получаются путем замены  на -: x=?1 ; y=y; z=z; t=?1 (4.8а). Для некоторых преобразований нужно знать также формулы преобразования в общем случае, когда ось x не параллельна скорости движения. Эти формулы были получены Герглотцем путем разбиения r на компоненту r, параллельную скорости v системы К и К, и компоненту r, перпендикулярную к v. Из (3.2) следует

r=?1 ; r=r ; t=?1 ; (4.11) в силу соотношений

r=(rv)v : r=r- r= r—(rv)v ; r= r+ r эти формулы можно записать в таком виде r=r+ (?1 —1)(rv)v—?1 ;t= ?1 .

Простое строение формул (4.8) делает естественным вопрос о возможности их получения из общих теоретико-групповых соображений, без требования инвариантности уравнения (4.3). Если предположить, что: 1) преобразования образуют однопараметрическую однородную линейную группу, 2) вектор скорости системы К относительно К противоположен вектору скорости К относительно К, 3) сокращение длины тела, покоящегося в К, с точки зрения К, равно сокращению длины тела, покоящегося в К, с точки зрения К, то можно показать, что формулы преобразования должны иметь вид

x= ?1 ; t= ?1 (4.12). Относительно знака, величины и физического смысла  сказать на основе высказанных положений ничего нельзя. Таким образом, из теоретико-групповых соображений можно получить лишь внешний вид формул преобразований, но не их физическое содержание. Между прочим, из (4.12) вытекают, если положить =0, формулы преобразований обычной механики: x=x-t; t=t (4.13). Эти формулы получаются так же, если положить в (3.2) c=.

  1. Лоренцево сокращение и замедление времени. Интервал.

Лоренцево сокращение является простейшим следствием преобразований (4.8), а, следовательно, и обоих основных положений теории. Рассмотрим стержень, лежащий вдоль оси x и покоящийся в системе отчета К. Следовательно, координаты x1 и x2 его концов не зависят от t, и величина x2- x1=l0 равна длине покоящегося стержня. Длину стержня в системе К можно определить, если найти x1 и x2 как функции от t и считать длиной l стержня в движущейся системе отчета расстояние между двумя точками, которые совпадают с концами стержня одновременно с точки зрения системы отчета К: x2(t)-x1(t)=l (5.1). Поскольку в системе К эти точки не одновременны, то l не будет равно l0: x2= ?1 ; x1= ?1 и, следовательно, l0= ?1 ;

l= l0?1— (5.2). Таким образом, стержень сокращается в отношении ?1— :1. Вследствие неизменности поперечных размеров тел при переходе в движущуюся систему, сокращение объема описывается формулой: V=V0?1— (5.2а).

Лоренцево сокращение связано с относительностью одновременности; поэтому может показаться, что сокращение зависит только от выбора способа пространственно-временных измерений. Но мысленный эксперимент, предложенный Эйнштейном, показывает, что необходимая для наблюдения лоренцева сокращения констатация одновременности происходящих в различных местах событий может быть осуществлена с помощью одних тел, без использования часов. Рассмотрим два тела A1B1 и A2B2 одинаковой длины l0 (в покоящейся системе), движущихся относительно К с равными по модулю, но противоположно направленными скоростями  и -. Отметим в системе К точку A*, в которой перекрываются точки A1 и A2, и точку B*, в которой перекрываются точки B1 и B2. Из соображений симметрии ясно, что оба события одновременны в системе К. Расстояние A*B* равно

l=l0?1— (5.3). Поэтому лоренцево сокращение не есть свойство одного тела, а представляет собой принципиально наблюдаемое взаимное свойство двух движущихся относительно друг друга тел.

Масштаб времени при движении испытывает изменение, аналогичное изменению масштаба длины. Рассмотрим часы, покоящиеся в системе К. Время t, которое они показывают в К, есть их собственное время 0. Координату часов x можно считать равной нулю. Из (4.8а) следует t= ?1 ; 0= ?1— t (5.4). Таким образом, часы, движущиеся со скоростью , при измерении в единицах времени системы К идут медленнее в отношении ?1— :1, чем покоящиеся часы.

Выявить относительный промежуток времени между событиями можно и с помощью опыта. Пусть два события в системе отчета К происходят в одной и той же точке и промежуток времени между равен 0 по часами системы К. Рассмотрим мысленный опыт со «световыми


Свет проходит от одного зеркала до другого и обратно за разное время в разных системах отчета.

часами». На концах стержня длиной l закреплены два параллельных зеркала. Между зеркалами движется короткий световой импульс. Пусть этот прибор неподвижен в системе К и его стержень расположен перпендикулярно скорости К относительно К. Рассмотрим один цикл таких часов, то есть выход светового импульса от нижнего зеркала и его возвращение после отражения от верхнего зеркала, с точки зрения каждой из систем. В системе К оба рассматриваемых события происходят в одной и той же точке и промежуток времени между ними (собственное время) равен 0=2l/c (5.5). С точки зрения системы К часы находятся в движении и световой импульс движется между ними зигзагообразно. Свет при этом проходит за один цикл больший путь, и, согласно принципу инвариантности скорости света, промежуток времени  между этими же событиями, измеряемый в системе отчета К, больше, чем в К:  > 0. Как видно из рисунка, пройденный светом путь за один цикл равен 2l2+(/2)2 , и для определения  можно записать уравнение c=2l2+(  ) , откуда = 2l 1 /c . Используя соотношение (5.5), получаем = 1 /c .

Замедление времени приводит к парадоксальному следствию. Пусть в точке P находятся синхронизованные часы C1 и C2. В момент прибытия в точку P часов C2 они будут показывать время t?1— вместо t (момент, когда часы начали двигаться, принят за момент t=0). Указанное отставание часов C2 имеет место и в частном случае, когда конечная точка пути P совпадает с начальной P. При рассмотрении этого явления в галилеевой отчета влиянием ускорения на ход часов можно пренебречь. Если рассматривать частный случай, когда часы C2 движутся по оси x до точки Q, а затем обратно к точке P, так что изменения скорости в P и Q будут противоположными, то влияние ускорения не зависит от t и легко может быть исключено. Парадокс заключается в следующем: если рассматривать весь процесс с точки зрения системы отчета К*, относительно которой часы C2 покоятся, а часы С1 движутся так же, как часы C2 движутся относительно К, то окажется, что часы C2 опередили часы С1. Решение этого парадокса заключается в том, что система К* не является галилеевой системой, поэтому в ней влиянием ускорения на ход часов пренебречь нельзя; это связано с тем, что в системе К* ускорение вызывается не внешними силами, а силами инерции.

Можно также рассмотреть опыты, ставящие своей целью обнаружить влияние прямолинейного движения всей координатной системы на явления, происходящие в этой системе, с точки зрения несопутствующей системы К, то есть системы, относительно которой наблюдатель и приборы движутся. Разберем интерференционный опыт Майкельсона. Пусть l1 и l2—суть длины параллельного и перпендикулярного к направлению движения плеч прибора, измеренные в системе К. Временные интервалы t1 и t2, за которые свет проходит эти расстояния, определяются из соотношений ct1= ?1 ; ct2= ?1 . Благодаря лоренцеву сокращению l1=l0?1— . Поскольку l2=l0, получаем ct1=ct2= ?1 . Может показаться, что наблюдатель в системе К, движущийся вместе с прибором, обнаруживает скорость света, равную c=c?1— (5.6), отличную от измеряемой наблюдателем в К. Но скорость света в системе К такая же, как в К, так как необходимо учитывать замедление хода часов, а поэтому t=t?1— и ct1=ct2=2l0.

Такой же важной инвариантной величиной, как и скорость света в вакууме, является пространственно-временной интервал между событиями, определяемый следующим отношением: S1 2= c2t122—l122 (5.7), где t1 2 —промежуток времени между событиями, а l1 2— расстояние между точками, в которых происходят рассматриваемые события. В частности, если одно из событий происходит в начале координат x1=y1=z1=0 в момент времени t1=0, а второе — в точке x, y, z в момент времени t, то интервал между ними S=c2t2—x2—y2—z2 (5.8).

Пусть первое событие представляет собой вспышку света, происходящую в начале координат при t=0, а второе— приход фронта этой световой волны в точку с координатами x, y, z в момент времени t. Тогда x2+y2+z2=c2t2 и интервал для такой пары событий S=0. Для координат и времени второго события в системе отчета К в силу инвариантности скорости света будет выполняться соотношение x2+y2+z2=c2t2 и S=0. Таким образом, если два события связаны световым сигналом, то интервал между ними равен нулю во всех инерциальных системах отчета (такой интервал называется светоподобным). Этот результат является математическим выражением абсолютного характера скорости света.

Для любой другой пары событий, не связанных световым сигналом, интервал отличен от нуля, но его величина для всех инерциальных систем отчета одинакова:

c2t2—x2—y2—z2=c2t2—x2—y2—z2. В этом легко убедиться с помощью преобразований Лоренца(4.8), подставив в левую часть выражения для x, y, z и t через координаты и время этого же события x, y, z и t в другой системе отчета.

Понятие интервала между событиями является обобщением понятий промежутка времени и расстояния между точками. В зависимости от преобладающей составляющей—временной или пространственной—в рассматриваемом интервале, возникает деление интервалов на времениподобные и простпранственноподобные. Для времениподобного интервала c2t122> l122, то есть S122> 0. в этом случае всегда можно найти такую систему отчета К, в которой рассматриваемые события происходят в одной точке, то есть l12=0, и промежуток времени между ними в такой системе отчета является собственным временем t12=0: S122=c2 t122— l122=c2t12—l12=c20. Очевидно, что между такими событиями может иметь место причинно-следственная связь.

Для событий разделенных пространственноподобным интервалом, c2t122< l122, то есть S122<0, а интервал является мнимым числом. В этом случае всегда можно найти такую систему отчета К, в которой эти события произошли одновременно, то есть t12=0:

c2t122—l122=c2 t12l12=— l12. Абсолютная величина пространственноподобного интервала представляет собой пространственное расстояние между событиями в той системе отчета, в которой эти события произошли одновременно. Причинно-следственная связь между такими событиями, для которых l1 2< ct1 2, невозможна, потому что никакое взаимодействие не может распространяться со скоростью, большей c.

6. Теорема сложения скоростей Эйнштейна. Аберрация. Коэффициент увеличения.

Способ сложения скоростей, применяемый в классической кинематике, непригоден в кинематике релятивистской: скорость dt=ux=ucos; dt=uy; dt=uz; u=ux+uy+uz , и соответствующими величинами в К: dt=ux=ucos; dt=uy; dt=uz; u=u2x +u2y+u2z . Из (4.8а) получаем dx=?1 ; dy=dy; dz=dz; dt= ?1 . Отсюда путем деления на последнее уравнение находим

ux+ 1— uy 1— uz

1+u 1+u 1+u (6.1).

Из этих соотношений следует, что

u+2+2ucos— c (usin)2

1+ucos (6.2), или в другой записи

1— u =1- /c 1-u/c (6.2а) и tg=1- /c usin (6.3). Обратные формулы получаются из приведенных путем замены  на -. Для абсолютных величин скоростей имеет место коммутативный закон; он не имеет место для направления скоростей. Из (6.1) получаются формулы для сложения параллельных или перпендикулярных друг другу скоростей.

Из (6.2а) следует, что сумма двух скоростей, меньших скорости света, всегда меньше скорости света. К тому же скорости относительного движения двух тел, большей скорости света, преобразования (4.8) приводят к мнимым значениям координат. Можно также утверждать, что если действие распространяется в системе К со сверхсветовой скоростью, то имеются такие системы К, движущиеся относительно К со скоростями < c, в которых событие, происходящее в К после некоторого другого, происходит раньше этого последнего. Принимая, что uy=uz=0 и u< c, имеем после обращения формулы (6.1)

u=1u/c < 0, если u < <1. Поскольку понятия причины и следствия меняются местами сигналы, распространяющиеся со сверхсветовой скоростью, невозможны. Поэтому скорость света в теории относительности играет во многих отношениях роль предельно большой скорости. Но следует подчеркнуть, что теорема о невозможности сверхсветовых скоростей справедлива лишь в галилеевских системах отчета.

Рассмотрим теперь случай, когда одна из складываемых скоростей равна скорости света, то есть u=c. Направление светового луча оставим произвольным. Прежде всего, из (6.2) мы видим, что u=c, то есть сумма световой скорости и скорости, меньшей световой, равна опять скорости света. Соотношение (6.3) дает tg= ?1 sin (6.3). Это выражение представляет собой релятивистскую формулу для аберрации света. Теория относительности вносит здесь одно принципиальное упрощение, заключающееся в полной идентичности двух случаев: движущийся источник света—неподвижный наблюдатель и неподвижный источник света— движущийся наблюдатель.

Рассмотрим точечный источник света, покоящийся в системе

К и равномерно излучающий свет по всем направлениям. Рассмотрим те 50% светового потока, которые источник излучает в переднюю полусферу в системе отчета К. С точки зрения наблюдателя в системе

К излучение не будет изотропным: эти 50% будут излучаться преимущественно вперед в конус с углом , причем cos=/c. В самом деле, в системе К луч света, ограничивающий данный пучок, направлен вдоль оси y и для него ux=0, uy=c, uz=0. Переходя в систему отчета К,


Неподвижный источник света Для наблюдателя, относительно

излучает равномерно по всем которого источник движется,

направлениям. излучение не является изотропным.

для этого луча получим, согласно формулам (6.1), ux=, uy=c1—2/c2 , uz=0, откуда cos= u +u = . Совершенно аналогично с помощью релятивистского закона преобразования скорости объясняется явление аберрации света звезд, проявляющееся в том, что направления, в которых наблюдатель с Земли видит звезды, будут все время меняться, не образуя постоянных углов друг с другом. В этом явлении обнаруживается факт изменения скорости планеты: в разное время года положения звезд сдвинуты по-разному.

Второе применение теоремы сложения скоростей Эйнштейна состоит в объяснении френелевского коэффициента увеличения. Релятивистский вывод в данном случае проще, и из него очевидна независимость конечной формулы от специальных предположений о механизме преломления света. Кроме того, при этом опыт Физо не рассматривается как прямое доказательство существования неподвижного эфира Мы должны принять, что для наблюдателя, движущегося со средой, свет распространяется во все стороны со скоростью c/n. Из этого следует, что для наблюдателя, движущегося со скоростью  относительно среды, свет распространяется не со скоростью c/n+, а с некоторой скоростью V, определяемой соотношениями (6.1). Мы ограничимся случаем, когда направление света совпадает с направлением движения наблюдателя относительно среды, так как в общем случае применение теоремы сложения скоростей требует осторожности. Полагая ux=u=c/n; ux=u=V1 получаем, используя первое из уравнений (6.1), v= 1+/cn ~ n +(1— n ) (6.4). В случае диспергирующей среды в правую часть формулы нужно внести еще одну поправку. В этом случае n есть показатель преломления для длины волны , измеряемой в сопутствующей системе координат К. Вследствие эффекта Доплера длина волны  через длину волны , измеряемую в системе К, так: =(1+ u )=(1+ n ), поэтому

n() = n() c d n и, если заменить n на n(), получаем окончательно: V= n +(1— n d ) (6.4а).

  1. Релятивистский импульс. Зависимость массы от скорости. Релятивистская энергия.

Так как уравнения классической динамики удовлетворяют принципу относительности в отношении преобразований Галилея, то их следует изменить так, чтобы они были инвариантными для любой системы отчета согласно преобразованиям Лоренца. При малых скоростях (<
Прежде всего, выясним зависимость массы частицы от скорости. Для этого рассмотрим картину абсолютно упругого «скользящего»


а) б) в)

К выводу зависимости массы тела от скорости.

столкновения двух одинаковых частиц. В системе центра масс частицы 1 и 2 движутся навстречу друг другу с одинаковыми по величине скоростями, после столкновения частицы разлетаются в разные стороны с теми же по величине скоростями. При таком столкновении происходит только поворот векторов скоростей каждой из частиц на один и тот же небольшой угол .

Направим ось вдоль биссектрисы угла  и введем систему отчета К, движущуюся вдоль оси x относительно системы центра масс со скоростью, равной x-составляющей скорости частицы 1. В этой системе отчета частица 1 движется параллельно оси y, изменив при столкновении направление скорости и импульса на противоположное, Сохранение y-составляющей полного импульса системы частиц при столкновении выражается соотношением p1y+p2y= p1y+p2y, где p1 и p2—импульсы частиц после столкновения. Так как p1y=—p1y и p2y=—p2y, требование сохранения импульса означает равенство величин y-составляющих импульса частиц 1 и 2 в системе отчета К: p1y=p2y.

Теперь ведем в рассмотрение систему отчета К, которая движется относительно системы центра масс со скоростью, равной x-составляющей скорости частицы 2. В системе К частица 2 до и после столкновения движется параллельно оси y. Применяя закон сохранения импульса, убеждаемся, что в этой системе отчета тоже выполняется равенство y-составляющих импульса частиц 1 и 2: p1y=p2y(7.1).

Но из симметрии картин столкновения на рис. б), в) легко сделать вывод о том, что величина импульса частицы 1 в системе К равна величине импульса частицы 2 в системе К: p1y=p2y (7.2).

Сопоставляя равенства (7.1) и (7.2), находим p1y=p1y. Также находим p2y=p2y. Таким образом, y-составляющая импульса любой частицы, перпендикулярная направлению относительной скорости систем отчета, одинакова в этих системах.

Согласно формулам преобразования скорости (6.1) u1y=u1y1— , где —скорость системы К относительно К. Уменьшение y-составляющей скорости частицы 1 при переходе от К к К непосредственно связано с релятивистским преобразованием времени: одинаковое в К и К расстояние между штрихами А и В частица 1 в системе К проходит за большее время, чем в К. Если в К это время равно 0 (так как оба события—пересечение штрихов А и В—происходят в К при одинаковом значении координаты x), то в системе К это время равно =0/1—2/c2 .

Из постоянства y-составляющей импульса частицы 1 в системах К и К следует, что в системе К. где y-составляющая скорости частицы меньше и этой частице нужно приписать большую массу.

В системе отчета, где скорость частицы много меньше скорости света, для связи между импульсом и скоростью можно написать классическое выражение p=m0u, где m0—масса покоя частицы. Примем, что в рассматриваемом «скользящем» столкновении скорость частицы 1 в системе К u1y много меньше скорости света, то есть ее масса в К—масса покоя, и p1y=m0u1y. Написав выражение для y- составляющей импульса в системе К будет p1y=mu1y, видим, что равенство p1y=p2y будет обеспечено, если в Кприписать частице 1 большую массу m: m=1 (7.3),—уменьшение поперечной составляющей скорости при переходе от К к К должно быть скомпенсировано возрастанием массы частицы. Масса частицы, движущейся со скоростью, близкой к скорости света, может значительно превышать массу покоя. Энергия и импульс такой частицы будут увеличиваться за счет роста ее массы.

Выясним, к каким изменениям в выражении для энергии частицы приводит полученная выше формула для релятивистского импульса: p=m, m=1 . В механике приращение импульса частицы p за промежуток времени t равно импульсу действующей на нее силы F: p=Ft. Приращение кинетической энергии частицы EК за тот же промежуток времени равно работе силы F: EК=Fr=Ft=p=(m) (7.4). Перепишем формулу (7.3) для массы следующим образом:

m2(1—2/c2)=m0. Умножим обе части на с2 и раскроем скобки:

m2c2—(m)2=m0c2 (7.5).

При движении частицы под действием силы F ее скорость и релятивистская масса меняются. Рассмотрим приращения левой и правой частей (7.5) за промежуток времени t. Приращение правой части равно нулю, так как она не зависит от состояния движения частицы. Для нахождения приращения левой части воспользуемся тем, что приращения квадрата любой переменной величины f за малый промежуток времени приближенно равно (f2)=(f+f)2—f22ff. Поэтому 2mc(mc)—2m(m)=0. Откуда (mc2)=(m) (7.6). Правые части в выражениях (7.4) и (7.6) совпадают. Поэтому левая часть (7.6) есть приращение кинетической энергии частицы: EК=(mc2) (7.7). Следовательно, приращение кинетической энергии частицы пропорционально приращению ее релятивистской массы. Так как кинетическая энергия покоящейся частицы равна нулю, а ее масса равна массе покоя, то из (7.7) находим EК=mc2—m0c2= m0c2( 1 —1) (7.8). Эта формула дает выражение для релятивистской кинетической энергии частицы. Если скорость частицы мала по сравнению со скоростью света, формула (7.8) переходит в обычное выражение EК=m02/2 для кинетической энергии в нерелятивистской физике. При  с релятивистская кинетическая энергия (7.8) неограниченно возрастает: частица, обладающая конечной массой покоя m0 и движущаяся со скоростью света, должна была бы иметь бесконечную кинетическую энергию.

Важнейшим свойством энергии является ее способность переходить из одной формы в другую в эквивалентных количествах при различных физических процессах—именно в этом заключается содержание закона сохранения и превращения энергии. Поэтому возрастание релятивистской массы тела будет происходить при любом увеличении энергии тела независимо от конкретного вида энергии. Отсюда можно сделать фундаментальное заключение о том, что полная энергия тела пропорциональна его релятивистской массе независимо от того, из каких конкретных видов энергии она состоит.

Рассмотрим неупругое столкновение двух одинаковых тел, движущихся навстречу друг другу с одинаковыми скоростями, так что в

После После

столкновения столкновения


До столкновения До столкновения
а) б)

Неупругое столкновение, наблюдаемое в разных системах отчета.

результате столкновения образуется одно тело, которое покоится. Пусть величина скорости каждого из тел до столкновения равна , а масса покоя m0. Массу покоя образовавшегося тела обозначим через M0.Теперь рассмотрим это столкновение с точки зрения наблюдателя в другой системе отчета К, движущейся относительно исходной системы К налево с малой (нерелятивистской) скоростью —u. Так как u c, то для преобразования скорости при переходе от К к К можно использовать классический закон сложения скоростей. До столкновения полный импульс системы равен 2mu, где m=m0/1—2/c2 —релятивистская масса сталкивающихся тел; после столкновения M0u, ибо вследствие u c массу образовавшегося тела и в К можно считать равной массе покоя. Таким образом, из закона сохранения импульса следует, что масса покоя образовавшегося в результате неупругого соударения тела равна сумме релятивистских масс сталкивающихся частиц: M0=2m= 1 /c > 2m0 . Рассмотренный пример неупругого соударения двух тел, при котором происходит превращение кинетической энергии во внутреннюю. Показывает, что увеличение внутренней энергии тела также сопровождается пропорциональным увеличением массы.

Обобщение соотношения (7.7) на все виды энергии приводит нас к знаменитой формуле Эйнштейна: E=mc2= 1 /c (7.9). Отсюда следует, что покоящееся тело обладает энергией покоя E0=m0c2.

Заключение.

Все физические явления происходят в пространстве и во времени, поэтому неудивительно, что внесенное теорией относительности уточнение некоторых основных понятий, в особенности воззрений на пространственные и временные измерения, затронуло в конечном счете всю физику. Классические представления, господствующие в то время, противоречили релятивистской физике. Правда, в то время, когда была создана теория относительности, ее экспериментальное подтверждение можно было найти лишь в исключительно тонких оптических и электродинамических опытах. В настоящее время в больших ускорителях заряженные частицы нередко разгоняются до скоростей, составляющих 99% и более от скорости света. Для расчета траекторий столь быстрых частиц пользоваться классической механикой уже нельзя. Поэтому теория относительности в наши дни стала инженерной наукой.

Учебный материал
© bib.convdocs.org
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации