Лекции по электростатике института нефти и газа - файл n1.doc

Лекции по электростатике института нефти и газа
скачать (1370 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc1370kb.19.11.2012 15:43скачать

n1.doc

  1   2   3   4




ВОЛОДИНА Л. А., доцент кафедры физики РГУ им.Губкина «Электромагнетизм и волны» (конспект, прод. 5)

ЭЛЕКТРОСТАТИКА

Электрический заряд – это свойство некоторых частиц, характеризующее их способность к особому типу взаимодействия, называемому электромагнитным взаимодействием. 1 Что нам известно об электрических зарядах?

1) Различают заряды двух типов – положительные и отрицательные.

2) Разноименные заряды притягиваются, одноименные – отталкиваются.

3) Наименьший отрицательный заряд – это заряд электрона (е = 1,61019Кл), положительный - протона (+е). Заряды любых тел всегда дискретны и кратны заряду электрона. Так как число заряженных частиц в телах огромно, а размеры частиц очень малы, в большинстве случаев можно говорить о непрерывном распределении зарядов в телах. 2

4) Закон сохранения электрического заряда: «В замкнутой (электрически изолированной) системе суммарный заряд остается постоянным».

5)Электрический заряд является инвариантом, иначе говоря, величина заряда остается одной и той же, независимо от того, движется он в какой либо системе отсчета или покоится.

Электростатическое поле в вакууме. 3

Закон Кулона 4 : сила электростатического взаимодействия между двумя заряженными сферами (шарами) прямо пропорциональна величинам их зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между их центрами. В общем случае кулоновская сила – это двойной векторный интеграл, который можно взять только в некоторых простейших случаях.

()

Кулоновская (электростатическая) сила. В таком виде закон Кулона применим только для двух точечных зарядов, сфер (шаров), r – расстояние между центрами сфер (шаров).



векторная форма, знак силы () зависит от выбора направления радиус-вектора



называется «коэффициент в СИ в законе Кулона»,

о  8,851012 (Кл2/Н.м2) – электрическая постоянная

В качестве примера вычисления кулоновского взаимодействия заряженных тел рассмотрим силу, с которой действует тонкий стержень длиной L, заряженный с линейной плотностью заряда (Кл/м) , на точечный заряд qо, находящийся на расстоянии а от конца стержня. (см. рис.). (Полем на концах стержня пренебрегаем)



выделим в стержне элементарный

заряд dq,






сила взаимодействия между зарядом qо и элементарным зарядом dq стержня



сила взаимодействия между стержнем и точечным зарядом

Заряды, сообщаемые телам, распределяются неравномерно. В металлах заряды распределяются всегда по поверхности; в тех местах, где кривизна поверхности большая, там больше скапливается зарядов (см. дальше). Для характеристики распределения зарядов используются:

(Кл/м)

линейная плотность заряда - эта заряд, приходящийся на единицу длины заряженного тела.

(Кл/м2)

поверхностная плотность заряда – это заряд, приходящийся на единицу площади поверхности заряженного тела

(Кл/м3)

объемная плотность заряда – это заряд, приходящийся на единицу объема заряженного тела

Электростатика изучает электрические поля, создаваемые заряженными телами, в которых распределение зарядов не меняется с течением времени. В электростатике используется модель – точечный заряд – это заряженное тело, размерами которого можно пренебречь по сравнению с другими размерами в данной задаче. Кроме того, вводится понятие – пробный заряд – это заряд, вносимый в поле другого заряженного тела, и при этом не влияющий на это поле. Это можно перефразировать (не очень научно) так: один заряд создает поле, а другой в этом поле находится и не влияет на поле. Именно такой подход используется при решении большинства задач. 5

Вокруг заряженных тел существует электрическое поле, которое характеризуют напряженностью Е и потенциалом (см. ниже).

(Н/Кл=В/м)

напряженность (вектор) – силовая характеристика электрического поля, по смыслу – это сила, действующая на единичный положительный пробный заряд в данной точке поля.








Используя закон Кулона, можно найти напряженность поля точечного заряда; q заряд, создающий поле, qo  пробный заряд, вносимый в это поле.



Работа по переносу заряда в электростатическом поле.



Сила, действующая на заряд в электрическом поле. Это выражение может быть использовано всегда, тогда как формула () применима только для точечных зарядов, сфер и шаров.

Пусть точечный заряд q переносится в поле, создаваемом другим точечным зарядом qо. Найдем работу, необходимую для переноса q из положения с радиус-вектором r1 в положение с радиус-вектором r2. (см. рис.).



полная работа по переносу заряда q в электрическом поле, - угол между вектором Е и вектором перемещения dl





Сведем подынтегральное выражение к одной переменной r, используя выражение для напряженности поля заряда qо и связь между перемещением dl и приращением радиус-вектора dr. Интегрируя, найдем выражение для работы.








Из этой формулы следует очень важный вывод: работа в электростатическом поле не зависит от формы пути, а определяется только начальным и конечным положением переносимого заряда.



Работа в электростатическом поле по замкнутому пути равна нулю

Из механики известно, что силовое поле, работа в котором определяется только начальным и конечным положениями тела, называется консервативным. Следовательно, электростатическое поле является консервативным или чаще говорят, потенциальным Линейный интеграл по замкнутому контуру L называется циркуляцией. Отсюда следует:



Циркуляция вектора напряженности электростатического поля равна нулю. 6 Это является условием потенциальности поля.

Работа консервативных (потенциальных) сил равна убыли потенциальной энергии тела. Следовательно, можно ввести еще одну характеристику электростатического поля – потенциал .



(В = Дж/Кл)

потенциал (скаляр) – энергетическая характеристика электростатического 7 поля  по смыслу это: 1) потенциальная энергия, которой обладает единичный положительный заряд, помещенный в данную точку поля или 2) работа, которую надо совершить, чтобы перенести единичный положительный заряд из данной точки 1 в бесконечность ().



разность потенциалов – это работа, которую надо совершить, чтобы переместить единичный положительный заряд из точки 1 в точку 2


Найдем связь между напряженностью и потенциалом.




работа в потенциальном (консервативном) поле равна убыли потенциальной энергии

dx ,  перемещение

выразим элементарную работу через напряженность и разность потенциалов; сократим на q, обозначим проекцию вектора Е на направление х как Ех, получим:



()

связь между Е и в дифференциальной форме для одномерного случая, когда потенциал зависит только от координаты х (х)









В трехмерном случае, когда потенциал является функцией (х,y,z), запишем формулы для каждой проекции и, объединяя их в одно выражение, найдем (учитывая, что Е  вектор):



 («набла»)  другое обозначение градиента (модуль вектора Е)

Напряженность электростатического поля равна градиенту потенциала, взятому с обратным знаком.


Градиент – это вектор, показывающий направление наибольшего роста скалярной функции (в нашем случае - потенциала).8 В одномерном случае градиент напряженности d / dx приобретает простой физический смысл: он показывает, на сколько изменяется потенциал на единице длины.

«» в правой части формул означает, что вектор напряженности Е всегда направлен в сторону убывания потенциала.

Из приведенных выражений, зная (х,y,z), можно, дифференцируя, найти напряженность поля. Производя обратную операцию – интегрирование, можно при известной напряженности найти потенциал. Рассмотрим случай зависимости

Е и только от одной переменной х. Из формулы () находим:


()

Связь разности потенциалов с напряженностью в интегральной форме для одномерного случая, когда Е(х)



Графическое изображение электростатического поля.

Электростатическое поле удобно изображать графически с помощью силовых линий и эквипотенциальных поверхностей.

Силовая линия – это линия, в каждой точке которой касательная совпадает с направлением вектора напряженности (см. рис.). Силовым линиям придают направление стрелкой. Свойства силовых линий:

1) Силовые линии непрерывны. Они имеют начало и конец – начинаются на положительных и заканчиваются на отрицательных зарядах.

2) Силовые линии не могут пересекаться друг с другом, т.к. напряженность – это сила, а две силы в данной точке от одного заряда не могут быть.

3) Силовые линии проводят так, чтобы их количество через единичную перпендикулярную площадку было пропорционально величине напряженности.

4) Силовые линии «выходят» и «входят» всегда перпендикулярно поверхности тела.

5) Силовую линию не следует путать с траекторией движущегося заряда. Касательная к траектории совпадает с направлением скорости, а касательная к силовой линии – с силой и, следовательно, с ускорением.

Эквипотенциальной поверхностью называют поверхность, в каждой точке которой потенциал имеет одинаковое значение = const.

Силовые линии всегда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям. Докажем это. Пусть вдоль эквипотенциальной поверхности перемещается точечный заряд q. Элементарная работа, совершаемая при этом равна dA=qEcosdl = qd = 0, т.к. d = 0. Поскольку q ,E и dl  0, следовательно

cos = 0 и = 90о .



На рисунке изображено электростатическое поле двух одинаковых точечных зарядов. Линии со стрелками – это силовые линии, замкнутые кривые – эквипотенциальные поверхности.

В центре осевой линии, соединяющей заряды напряженность равна 0. На очень большом расстоянии от зарядов эквипотенциальные поверхности становятся сферическими.

.



На этом рисунке показано однородное поле – это поле, в каждой точке которого вектор напряженности остается постоянным по величине и направлению Эквипотенциальные поверхности – это плоскости, перпендикулярные силовым линиям. Вектор напряженности всегда направлен в сторону убывания потенциала.


Принцип суперпозиции.

На основе опытных данных был получен принципа суперпозиции (наложения) полей: «Если электрическое поле создается несколькими зарядами, то напряженность и потенциал результирующего поля складываются независимо, т.е. не влияя друг на друга». При дискретном распределении зарядов напряженность результирующего поля равна векторной сумме, а потенциал алгебраической (с учетом знака) сумме полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности. При непрерывном распределении заряда в теле векторные суммы заменяется на интегралы, где dE и d– напряженность и потенциал поля элементарного (точечного) заряда, выделенного в теле. Математически принцип суперпозиции можно записать так.






при дискретном

распределении зарядов

принцип суперпозиции










при непрерывном

распределении зарядов



В качестве примера получения выражения для напряженности поля с помощью принципа суперпозиции найдем напряженность поля тонкого стержня конечной длины, равномерно заряженного с линейной плотностью заряда

Выберем бесконечно малый элемент dl стержня с зарядом dq. Поскольку напряженности от различных элементов направлены по-разному, введем оси проекций х и у. Итегрируя, найдем результирующие напряженности Ех и Еу.






dE- напряженность от элемента стержня dl с зарядом dq = dl, dEх и dEy – проекции dE на направления х и у.





Чтобы проинтегрировать, сведем к одной переменной



длина дуги АС при малых углах, она же из треугольника

(А, С, dl)







модуль

напряженности





Для бесконечно длинной нити 1  0, 2  180о, следовательно, Еу = 0 и Е = Ех (cos180o = 1),

r – расстояние от точки, в которой определяется напряженность, до нити.

Этот пример показывает, что вычисление напряженности полей представляет собой достаточно сложную задачу даже в нашем случае, когда мы не учитывали поле вблизи концов стержня.

Основной задачей электростатики является вычисление полей заряженных тел. Найти напряженность поля заряженного тела можно с помощью:

  1. принципа суперпозиции - это сложная математическая задача, решаемая только в некоторых простых случаях или

  2. теоремы Гаусса, которая упрощает расчеты, но только в случае бесконечной плоскости, бесконечной нити (цилиндра) или сфер и шаров (см. ниже).

Теорема Гаусса.

Сначала введем понятие «поток вектора» - это скалярная величина



(Нм2/Кл = Вм)

элементарный поток вектора напряженности Е,

n – нормаль к площадке, dS – элементарная площадка – это такая малая площадка, в пределах которой Е = const; Еn – проекция вектора Е на направление нормали n





поток вектора напряженности

через конечную площадку S



  через замкнутую поверхность S






при дискретном распределении зарядов

Теорема Гаусса: «Поток вектора напряженности через любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, охватываемых этой поверхностью, деленной на о»

(о – электрическая постоянная)




при непрерывном распределении зарядов


Применение теоремы Гаусса.

Чтобы найти напряженность с помощью теорем Гаусса, нужно взять интеграл. А как его взять, если мы Е еще только пытаемся найти? Кроме того, под интегралом «мешает» cos. Надо суметь выбрать такую замкнутую поверхность (ее удобно называть гауссовой), в каждой точке которой было бы Е = const, и cos = const. Тогда в левой части теоремы Е и cos можно будет вынести из-под знака интеграла. Поэтому практически теорему Гаусса можно применить только в следующих случаях: сфера, шар, длинная нить, длинный цилиндр, бесконечная плоскость.
1) Сфера, заряженная с поверхностной плотностью заряда (Кл/м2)

Рассмотрим области : 1) вне сферы () и внутри ее (). Выберем поверхности: 1) S1 и 2) S2 – обе поверхности – сферы, концентрические с заряженной сферой. Сначала найдем потоки вектора Е через выбранные поверхности, а затем воспользуемся теоремой.

()

Потоки вектора Е через S1 () и S2. ()

En, = 0, cos = 1.




()

по теореме Гаусса;

2 = 0, т.к. S2 не охватывает никаких зарядов. Приравнивая потоки из () и (), найдем E(r).





q = 2R2 – полный заряд сферы

Вне сферы поле такое же, как поле точечного заряда. На границе сферы происходит скачок напряженности.


2)Тонкая длинная нить, заряженная с линейной плотностью заряда (Кл/м)

В этом случае «гауссова» поверхность – соосный с нитью цилиндр длиной l.

Сначала найдем поток, потом воспользуемся теоремой Гаусса.



Разобьем поверхность цилиндра на боковую и две торцевых. Для боковой  cos = 1, для торцевых  cos = 0.





по теореме Гаусса; охватываемый заряд – это отрезок нити длиной l. Приравнивая и сокращая, получим E(r).







3) Тонкостенный длинный цилиндр, заряженный:

  1. с линейной плотностью заряда или

  2. с поверхностной плотностью заряда .

Этот пример аналогичен предыдущему. Выбираем гауссову поверхность в виде соосного цилиндра, разбиваем поверхность на боковую и две торциальные. В первом случае при заданной линейной плотности получим такую же формулу, как идля длинной нити. Во втором случае охватываемый заряд равен (2Rl) и формула для E несколько иная, хотя зависимость от r – та же.










  1   2   3   4


Учебный материал
© bib.convdocs.org
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации