Лекции по электростатике института нефти и газа - файл n1.doc

Лекции по электростатике института нефти и газа
скачать (1370 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc1370kb.19.11.2012 15:43скачать

n1.doc

1   2   3   4

4) Плоскость, бесконечно протяженная, заряженная с поверхностной плотностью заряда .

Выберем гауссову поверхность S в виде цилиндра, перпендикулярного заряженной плоскости. Высота цилиндра (2х/2). 9 Разобьем поверхность на боковую и две торцевых.



поток через Sбок = 0, т.к. En,

 = 90о и

cos = 0





Sзаштрих – площадка с зарядом, охватываемым цилиндром





S заштрих = S торц, т.к. образующие цилиндра перпендикулярны заряженной плоскости. Поле протяженной плоскости – однородное и не зависит от расстояния


5) Две плоскости, параллельные, разноименно заряженные (плоский конденсатор). В этом случае напряженность поля можно найти по принципу суперпозиции, зная напряженность поля одной плоскости:








  1. ЕА = Е2 Е1 = 0

  2. ЕВ = Е2 + Е1 = /о

  3. ЕС = Е1 Е2 =0

Поле плоского конденсатора можно считать однородным с достаточной степенью точности, если расстояние между пластинами значительно больше размеров пластин.


Потенциалы полей различных заряженных тел.

Будем рассматривать только случаи, когда напряженность и потенциал зависят только от одной координаты х или радиальной координаты r для сферически или цилиндрически симметричных тел. Разность потенциалов связана с напряженностью в этом случае как (см. формулу ()):

 ()

Связь разности потенциалов с напряженностью для случая одной переменной х или r (математически это уравнение однотипно с () при замене х r)

Из уравнений () или () можно найти разность потенциалов, если известна функция Е(r) или Е(r). Чтобы получить формулу для потенциала, следует выбрать уровень нулевого потенциала (так же, как в случае потенциальной энергии – см. механику). Обычно принимают = 0 на бесконечности, но для поля нити это невозможно (см. ниже).

1) Точечный заряд.

Подставим в формулу () выражение для напряженности поля точечного заряда. 1 и 2 – любые две точки на радиальной оси координат r. Примем 1 = 0 при

r1 , заменим 2 , r2r получим (r).





(при = 0)

2).Сфера радиуса R, заряженная с поверхностной плотностью заряда (Кл/м2).

Полный заряд на сфере q = 4R2 . Будем рассматривать две области:1)  выбираем две любые точки 1 и 2 в этой области и 2) также выбираем две любые точки уже в этой области. Потенциал должен быть непрерывной функцией, в отличие от напряженности он не может иметь разрывов в данной точке, т.к. по смыслу - потенциальная энергия единичного положительного заряда, а двух энергий у одного заряда в одной точке данного поля не может быть.



Подставим в () Е поля сферы. Для получается та же формула, что и для поля точечного заряда.

(при = 0)







3)Бесконечно длинная нить, заряженная с линейной плотностью заряда .

Выберем на оси радиальных координат r две любые точки с координатами r1 и r2.

(см. рис.). Подставим в () напряженность поля длинной нити и проинтегрируем.



В этом случае принять = 0 на бесконечности нельзя (см. график

ln x), поэтому выбираем = 0 в некоторой произвольной точке с координатой ro. Т.е. примем

1 = 0 при r1 = r0,

заменим 2 , r2r получим

 (r)



 = 0 при r = r0




4)Бесконечно протяженная плоскость, равномерно заряженная с поверхностной плотностью заряда (Кл/м2). Выберем на оси координат х две произвольные точки х1 и х2 .). Используем формулу связи Е и (), подставим выражение для напряженности поля бесконечной плоскости.



Чтобы получить выражение для потенциала примем 1) 1 = 0 при

х1 = 0 и 2) 1 = 0 при х1 = d (d – произвольная точка на оси х)

1) = 0 при х = 0

2) = 0 при х = d



Следует иметь в виду, что формулы для Е и в случаях плоскости, нити, цилиндра применимы только на расстояниях от них, существенно меньших размеров этих тел. В действительности при учете краевых эффектов поля становятся более сложными.

Во всех случаях, задавая нулевой уровень потенциала = 0 в различных точках, мы можем получить сколько угодно формул для потенциала данного поля. Потенциальные кривые (или прямые), т.е. графики (r)или (х) при этом будут перемещаться по вертикали параллельно самим себе. В принципе, неважно, где выбрать нулевой уровень потенциала, т.к. во всех задачах имеет значение не сам потенциал, а его изменение

Так как потенциал – скалярная величина, а напряженность – вектор, то значительно проще найти сначала зависимость (r) или (х), затем дифференцируя, получить формулу для Е(r)или Е (х).

В качестве примера найдем потенциал поля на оси тонкого кольца, равномерно заряженного с линейной плотностью , а затем Е (х).Для этого выделим в кольце бесконечно малый элемент dl с зарядом dq = dl (см. рис.) В некоторой точке A потенциал складывается из потенциалов, создаваемых всеми элементами кольца.



потенциал поля элементарного заряда dq ( = 0)





«суммируя» (интегрируя) потенциалы от всех элементов кольца, получим формулу для (х).



Дифференцируя по х, найдем напряженность Е(х)








Распределение зарядов в проводниках.

Металлические проводники в целом являются нейтральными: в них поровну отрицательных и положительных зарядов. Положительно заряженные – это ионы в узлах кристаллической решетки, отрицательные – электроны, свободно перемещающиеся по проводнику. Когда проводнику сообщают избыточное количество электронов, он заряжается отрицательно, если же у проводника «отбирают» какое-то количество электронов, он заряжается положительно.

Избыточный заряд распределяется только по внешней поверхности проводника. Если проводник полый, то на его внутренних поверхностях нет зарядов. Это используют для полной передачи заряда от одного проводника другому (см. рис.).

Отсутствие поля внутри полости в проводнике позволяет создать электростатическую защиту. Проводник или достаточно густая металлическая сетка, окружающие со всех сторон некоторую область, экранируют ее от электрических полей, созданных внешними зарядами.

В электростатике рассматривается стационарное, неизменное распределение зарядов. Условием стационарности является равенство нулю напряженности поля внутри проводника: Е = 0. Если бы напряженность не была равна нулю, это создало бы электрические силы, вызывающие направленное перемещение электронов, т.е. электрический ток.

Избыточные заряды, сообщаемые проводнику, распределяется равномерно только по поверхности металлических сферы или шара. Во всех остальных случаях заряды распределяются неравномерно: чем больше кривизна поверхности, тем больше поверхностная плотность зарядов на поверхности проводника. Докажем это. Возьмем два шара радиусами R1 и R2, заряженные зарядами q1 и q2 , соответственно. Соединим их проволочкой. Заряды будут перемещаться с одного шара на другой до тех пор, пока потенциал всей системы не станет одинаковым. Влиянием проволочки будем пренебрегать.



потенциалы заряженных сфер до их соединения





после соединения шаров – общий потенциал равен , полученное соотношение можно записать как:

R = const

  1/R

Заряд распределяется по поверхности так, что его поверхностная плотность обратно пропорциональна радиусу кривизны поверхности


Найдем напряженность поля заряженного проводника вблизи его поверхности, используя теорему Гаусса. Весь проводник представляет собой одну эквипотенциальную поверхность. Силовые линии перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям. Выберем в качестве гауссовой поверхности S цилиндр очень малого размера, образующие которого перпендикулярны поверхности проводника (см. рис.). В пределах цилиндра поверхностную плотность заряда будем считать постоянной.





Разобьем интеграл потока на три: по боковой, по нижней торцевой и по верхней торцевой поверхностям. Первый интеграл = 0, т.к. cos = 0, второй интеграл = 0, т.к. Е = 0. Получим:





Т.к. заштрихованная площадь равна верхней торцевой площади, то напряженность поля непосредственно у самой поверхности оказывается пропорциональной поверхностной плотности заряда.

Таким образом, чем более искривлена поверхность заряженного проводника, тем больше скапливается на ней зарядов и тем больше оказывается напряженность поля в этом месте. На рис.показаны силовые линии и эквипотенциальные поверхности поля заряженного тела. Наибольшая напряженность получается у острых выступов поверхности. Это приводит к так называемому «стеканию зарядов». В действительности из-за высокой напряженности вблизи острия возникают сложные явления: могут ионизироваться молекулы воздуха, дипольные молекулы втягиваются в область более сильного поля, в результате скорость потока частиц от острия оказывается большей, и образуется «электрический ветер». Этот ветер может привести во вращение легкое колесо, находящееся вблизи острия. Воздух становится проводящей средой, возникает разряд, вблизи острых концов часто наблюдается свечение. Поэтому всем деталям в электроустановках, находящихся под высоким напряжением, придают закругленную форму и делают их поверхности гладкими.

Проводники в электростатическом поле.

При внесении незаряженного проводника во внешнее электростатическое поле на его поверхности появляются заряды. Явление перераспределения зарядов в проводнике при внесении его во внешнее электростатическое поле, называется электростатической индукцией (наведением зарядов, электризацией посредством наведения).

1) Если в поле внести незаряженный металлический проводник из двух контактирующих частей, на их поверхностях возникнут индуцированные заряды. Если эти части развести с помощью изолирующих ручек, то каждая часть окажется заряженной соответствующим зарядом (см. рис.). При этом напряженность поля внутри проводников всегда равна нулю.

2) Незаряженный проводник, внесенный в электростатическое поле искажает поле (см. рис. линии со стрелками – силовые линии внешнего однородного поля; перпендикулярные им линии – это эквипотенциальные поверхности;  - обозначены наведенные заряды).

3) Величина наведенного (индуцированного) заряда всегда меньше величины наводящего заряда. Только в случае, когда наводящий заряд находится внутри металлической полости, наведенный заряд оказывается таким же по величине, но при этом поверхностная плотность зарядов оказывается различной. На рисунке: точечный заряд окружен незаряженным металлическим полым телом. И внутренняя и внешняя поверхности сферические, но центры их смещены. На внешней поверхности индуцированный заряд распределяется равномерно, а на внутренней – сложным образом.

4) Наведенные заряды влияют на электрическое поле наводящих зарядов.

5). Индуцированный заряд возникает и на уже заряженном теле. Если рядом находятся два положительных заряда +Q и +q, они должны отталкиваться. Но наведенный отрицательный заряд на одном из зарядов может оказаться бόльшим, чем его собственный заряд, и заряды будут притягиваться друг к другу.
Электроемкость.

Все проводники обладают свойством накапливать электрические заряды. Это свойство называется электроемкостью. Количественная характеристика этого свойства также называется электроемкостью 10 и обозначается С. Различают электроемкость уединенного проводника (собственная емкость), находящегося вдали от других проводников, и взаимную емкость системы из двух и более проводников.

(фарада) ()

(Ф = Кл/В)

емкость уединенного проводника (собственная емкость)– численно она равна тому заряду, который нужно сообщить проводнику, чтобы изменить его потенциал на единицу

()

взаимная емкость конденсатора (состоящего из 2-х обкладок) численно она равна тому заряду, который нужно сообщить конденсатору, чтобы изменить разность потенциалов между обкладками на единицу

Фарада – единица измерения емкости в СИ  является чрезвычайно большой величиной. Так, емкость земного шара примерно 7104 Ф, поэтому обычно пользуются микро-, нано- и пикофарадами.

Собственная емкость зависит только от формы и размеров проводника и от диэлектрических свойств окружающей среды (вакуум, воздух, керосин,…) и не зависит ни от материала проводника (Fe, Cu, Al,…), ни от того, заряжен он или нет.11 Каждый уединенный проводник обладает «своей» емкостью, если, например, изогнуть кусок проволоки или сделать вмятину в шарике, их емкость изменится.

Вычисление емкости представляет собой сложную математическую задачу, и если проводник имеет сложную конфигурацию, то аналитически эта задача не решается.

Вычислим электроемкость уединенной сферы (шара).



потенциал заряженной сферы (шара); подставим в (), получим:



емкость сферы (шара); в вакууме зависит только от радиуса сферы (шара)


Взаимная емкость также зависит от формы и размеров проводников и, кроме того, от их взаимного расположения. Система из двух проводников называется конденсатором в том случае, когда расстояние между ними достаточно мало, и электрическое поле (когда они заряжены) сосредоточено в основном между проводниками. Сами проводники при этом называют обкладками. Вычислить емкость такой системы можно для обкладок простей формы: плоских, сферических и цилиндрических (без учета краевых эффектов).

Вычислим емкость плоского конденсатора – это две металлические параллельные пластины (обкладки) одинаковых размеров, разделенные слоем диэлектрика (вакуум, воздух и др.). Если расстояние между пластинами значительно меньше размеров пластин: d  L, H, поле между пластинами можно считать однородным. В действительности вблизи краев пластин поле неоднородно (см. рис., на котором показана половина плоского конденсатора, линии со стрелками – это силовые линии, без стрелок – эквипотенциальные поверхности). Учесть эти краевые эффекты трудно.



q - заряд на обкладке

конденсатора;

 - разность потенциалов

для однородного поля;

S – площадь пластин. Подставим в ():





емкость плоского конденсатора


Цилиндрический конденсатор. Это два соосных металлических цилиндра, в промежутке между которыми – диэлектрик (вакуум, воздух и др.). Длина цилиндров-обкладок l, радиусы R и r (см. рис.). Если сообщить внутренней обкладке заряд +q, на внешней обкладке индуцируются заряды q и +q, положительный заряд с внешней поверхности наружной обкладки уводится в землю. Поле конденсатора в основном сосредоточено между обкладками, если расстояние между ними (R r)  l. Краевые эффекты не учитываем.



разность потенциалов между обкладками, - линейная плотность заряда, q – заряд на всей длине l. Подставив в (), получим:





емкость цилиндрического конденсатора длиной l


Сферический конденсатор. Это две металлические концентрические сферы, разделенные сферическим слоем диэлектрика. Если внутренней обкладке сообщить заряд +q, на внутренней поверхности внешней обкладки индуцируется заряд q, а на внешней ее поверхности +q. Этот заряд отводится в землю за счет заземления (см. рис.). Поле такого конденсатора сосредоточено только между обкладками.



разность потенциалом между обкладками.

Подставив в (), получим:





емкость сферического конденсатора



При наличии диэлектрика с диэлектрической

проницаемостью во всех формулах надо заменить

(см. ниже - диэлектрики):

0 0


Соединения конденсаторов.

Конденсаторы можно соединять параллельно или последовательно, или смешанным образом: часть параллельно, часть последовательно. При параллельном соединении емкость системы увеличивается и становится равной сумме емкостей. При последовательном соединении емкость системы всегда уменьшается. Последовательное соединение применяют не для уменьшения емкости, а главным образом для уменьшения разности потенциалов на каждом конденсаторе, чтобы не было пробоя конденсатора.

Введем более простое обозначение для разности потенциалов. Иногда U называют напряжением, это устаревший термин. Напряжение U = IR – это произведение силы тока на сопротивление (см. ниже – ток), а через конденсатор ток идти не должен. Если происходит пробой диэлектрика, конденсатор приходится выбрасывать.







запишем формулу () для каждого конденсатора и для всей системы (заменив U); подставляя q в последнюю формулу, получим: С паралл1 + С2 Обобщим на случай 3-х и более конденсаторов



параллельное соединение



емкость системы при параллельном соединении конденсаторов (i=1,2,…,n)

n - число конденсаторов
1   2   3   4


Учебный материал
© bib.convdocs.org
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации