Лекции по электростатике института нефти и газа - файл n1.doc

Лекции по электростатике института нефти и газа
скачать (1370 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc1370kb.19.11.2012 15:43скачать

n1.doc

1   2   3   4

2) Система n точечных дискретных зарядов.

Рассуждая аналогично случаю 2-х точечных зарядов, можно получить 16:



энергия системы n точечных зарядов (i = 1, 2,…, n)

I – потенциал, создаваемый всеми зарядами, кроме

i -го в точке, где находится i –ый заряд,


3) Заряженный проводник.

Если заряды распределены в теле непрерывно, то суммирование заменяем на интегрирование. Если учесть, что для проводника = const и использовать выражение для емкости проводника С=q/, можно получить различные выражения для энергии проводника.



Энергия заряженного проводника


4) Заряженный конденсатор.

Рассмотрим две параллельные одинаковые незаряженные пластины, Мысленно перенесем с одной пластины на другую бесконечно малый заряд +dq. Для этого не требуется никакой работы, т.к. пластина пока не заряжена. После этого пластины окажутся разноименно заряженными, и между ними появится разность потенциалов . Для переноса следующей «порции» заряда уже требуется работа dА = dq = dq(q/C), где С – емкость конденсатора. Каждая новая «порция» заряда будет повышать заряд q на пластине, и все труднее будет переносить новые порции. Поэтому для вычисления полной работы следует проинтегрировать.



работа, которую надо затратить, чтобы зарядить конденсатор зарядом q. А=W



энергия заряженного конденсатора


Энергия электростатического поля.

В предыдущих формулах электрическая энергия выражалась через характеристики, связанные с проводником: емкость, заряд, разность потенциалов.

Получим формулы для энергии, выразив ее через характеристики электрического поля, существующего вокруг заряженных тел: напряженность Е и электрическую индукцию D. Рассмотрим плоский конденсатор, считая поле между обкладками однородным.



энергия заряженного конденсатора



 - разность потенциалов между обкладками,

С -емкость плоского конденсатора,

V – объем пространства между обкладками;

подставим формулы в (), получим:



электрическая энергия, сосредоточенная в пространстве между обкладками плоского конденсатора.

Обобщим полученные результаты на случай неоднородного поля. Введем понятие объемная плотность энергии.

(Дж/м3)

объемная плотность энергии - по смыслу – это энергия, приходящаяся на единицу объема пространства.



запас энергии в элементарном объеме dV, т.е. в таком малом объеме, в пределах которого Е=const



запас энергии электростатического поля

в объеме V



объемная плотность энергии

электростатического поля

В различных случаях элементарный объем выражается по-разному, при использовании декартовых координат dV=dx dy dz.

при осевой симметрии (цилиндр)

при сферической симметрии

(шар, сфера)



элементарный объем – это тонкий цилиндрический слой (заштрихован)





элементарный объем – это тонкий сферический слой

(заштрихован)




Сравним запас энергии электростатического поля (в единице объема) в вакууме () и при наличии диэлектрика (). Для простоты расчетов будем считать, что напряженность поля в вакууме и в диэлектрике незначительно отличаются друг от друга Е Ео .



Таким образом,  0, т.е. при введении диэлектрика энергия увеличивается. Это объясняется тем, что в энергию входит не только собственная энергия поля, но и та энергия, которая затрачивается на поляризацию диэлектрика  . Эта часть энергии переходит в тепловую, т.е. диэлектрик, вносимый в электрическое поле, нагревается.

Зададимся вопросом, где сосредоточена электростатическая энергия: в самом заряженном теле, как потенциальная энергия взаимодействующих зарядов, или в пространстве вокруг него? Электростатическое поле неотрывно связано с заряженным телом, их нельзя отделить друг от друга. Поэтому в рамках электростатики ответить на этот вопрос невозможно. В случае переменных электромагнитных полей электромагнитные волны, порождаемые электрическими зарядами, могут отделяться от них и распространяться в пространстве самостоятельно. Они несут в себе энергию, но ее уже нельзя рассматривать как потенциальную энергию взаимодействующих зарядов. Таким образом, носителем энергии является все же электромагнитное поле, а электростатику следует рассматривать как частный случай электродинамики.

ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК

Электрическим током называется упорядоченное движение электрических зарядов.17 Заряды, создающие электрический ток, называются носителями тока. В металлах носителями тока являются электроны, в жидких проводниках – ионы. Ток, связанный с перемещением зарядов по проводнику, называют током проводимости. Ток характеризуют силой тока I и плотностью тока j:



Сила тока (А = Кл/с) – скалярная величина, численно равна тому заряду, который проходит через поперечное сечение проводника за единицу времени. За направление силы тока традиционно принимается движение положительных зарядов 18.



Плотность тока (А/м2) – это вектор, направленный так же, как скорость движения положительных зарядов. Численно она равна силе тока, проходящего через единицу площади поперечного сечения или равна тому заряду, который проходит за единицу времени через единичное поперечное сечение проводника.








Чтобы найти заряд, прошедший по цепи

за время t, нужно взять интеграл.

На графике – это площадь под кривой I(t)



Получим формулу для плотности тока. Пусть в единице объема проводника длиной L, по которому течет ток, находится n носителей тока (электронов) с зарядом е. Средняя скорость направленного движения носителей vср .



плотность тока (по определению)



полный заряд, прошедший через сечение проводника за время t;

N – число носителей тока в некотором объеме V проводника



(1/м3) концентрация носителей тока, V объем проводника



средняя скорость направленного движения носителей

(скорость дрейфа)






Подставив вышеприведенные формулы в первую из них, получим выражение, связывающее плотность тока с величиной заряда носителей тока (заряд электрона), их средней скорости направленного движения и концентрации.


Как создать ток в проводнике? Можно за счет трения зарядить, например, стеклянную палочку и дотронуться ею до какого-либо проводника. За счет действия электростатических сил заряды будут перемещаться внутри проводника, и по проводнику пройдет ток. Если мы хотим, чтобы по проводнику шел ток длительное время, нам придется все время натирать палочку и дотрагиваться до проводника. Иначе говоря, чтобы поддерживать в проводнике ток, нужно некоторое устройство, которое поставляло бы к проводнику заряды за счет действия сил неэлектростатического происхождения. Это устройство можно сравнить с насосом, который все время подает воду к трубе, и по трубе движется поток воды. Любые силы неэлектростатического происхождения, создающие в проводнике ток, называются сторонними силами. Это могут быть механические силы (натирание вручную стеклянной палочки), химические силы в электрических батарейках, электромагнитные силы в генераторах 19. Устройства, в которых возникают сторонние силы, называются источниками тока. Источники тока характеризуют величиной, называемой электродвижущей силой.



Электродвижущая сила (ЭДС) источника тока; это название устаревшее, по смыслу ЭДС – это не сила, а работа сторонних сил по переносу единичного положительного заряда



Внутри проводников заряды переносятся электростатическими силами при наличии разности потенциалов между точками проводника. Разность потенциалов – это работа электро-сатических сил по переносу единичного положительного заряда.



Если мы рассматриваем участок цепи, на котором проявляются и сторонние и электростатические силы, то используется понятие напряжение U – это работа по переносу единичного положительного заряда сторонними и электростатическими силами.


Закон Ома (в интегральной форме).20





2  1

закон Ома для однородного участка цепи (без источника тока); смысл закона в том, что сила тока прямо пропорциональна разности потенциалов, приложенной к концам проводника



()



закон Ома для неоднородного участка цепи (с источником тока) (о выборе знаков см. дальше)





закон Ома для замкнутой цепи

Во внешней цепи традиционно считается, что ток идет от «+» батареи к «»

В формулах:

R – суммарное сопротивление участка цепи, указанного символически

прямоугольником; оно может состоять из нескольких проводников,

соединенных и последовательно, и параллельно

- общая ЭДС источников тока - это может быть несколько батарей,

соединенных параллельно или последовательно;

r – общее внутреннее сопротивление источников тока




Напряжением U называется произведение силы тока на сопротивление участка. Из формулы () следует, что напряжение и разность потенциалов численно равны только для однородного участка цепи ( = 0).

Перепишем (), выразив разность потенциалов, т.к. вольтметр измеряет именно разность потенциалов, а не напряжение (они равны только для однородного участка): . Пусть требуется найти разность потенциалов  = 2 1. Выбрать знаки можно с помощью такого ненаучного правила: «Идем» по цепи от 2 к 1, если ток – с нами – берем «+», если упираемся в «+» батареи, - берем «+». Если при числовых расчетах получим, например, (5 В) это означает, что 2 1.


























Вывод закона Ома на основе электронной теории электропроводности металлов.

В электронной теории проводимости предполагается:

1) В металлах имеются свободные электроны, которые в отсутствие внешнего

электрического поля движутся хаотически, а при

наличии поля приобретают характер упорядоченного

движения (см.рис.).

2) Движение каждого электрона подчиняется законам

классической механики.

3) Все вместе электроны образуют электронный газ и подчиняются законам

молекулярной физики.

4) Взаимодействие электронов с ионами решетки рассматривается как простое

столкновение, взаимодействием электронов между собой пренебрегается.

5) Напряженность поля внутри металла считается постоянной.

6) Все электроны под действием внешнего электрического поля приобретают

одинаковые скорости vср.
При выводе закона Ома будем считать, что электрон, сталкиваясь с ионом, полностью отдает ему свою энергию, а затем снова набирает скорость под действием сил поля (см. рис.- фрагмент кристаллической решетки). Электрон в кристалле участвует одновременно в двух движениях: хаотическом тепловом со скоростью u 105 м/с и направленном под действием поля со скоростью vср порядка 0,001 м/с, т.е. u  vср



II закон Ньютона для электрона





из кинематики, t – время движения электрона между двумя столкновениями



средняя скорость электрона за время между двумя столкновениями



 - средняя длина свободного пробега электрона – это расстояние, которое проходит электрон между двумя последовательными столкновениями с ионами (u  vср)

()

плотность тока в проводнике; подставив в эту формулу вышеприведенные, получим:



мы получили закон Ома в дифференциальной

форме, запишем его в векторном виде:






закон Ома в дифференциальной форме. В такой форме закон применим для бесконечно малого объема проводника, фактически – для точки проводника.

()



 - удельная электропроводность проводника;

 - удельное сопротивление проводника


Электронная теория проводимости металлов, несмотря на множество упрощающих предположений, позволяет теоретически вывести закон Ома и закон Джоуля – Ленца (см. ниже). Это свидетельствует о том, что модель поведения электронов в металле соответствует действительности. Вместе с тем эта теория столкнулась с рядом трудностей. Рассмотрим некоторые из них.

1)Теплоемкость металла теоретически должно складываться из теплоемкости кристаллической решетки и теплоемкости электронов: СМе = Срешэлнов=

6R/2 + 3R/2 (для моля). Но из опыта следует, что теплоемкость почти всех твердых тел равна 3R. Таким образом, получается, что электроны не участвуют в теплоемкости, т.е. не «принимают» тепло при нагревании вещества. В дальнейшем с развитием квантовой механики выяснилось, что электроны в металле могут иметь не любые энергии, а только те, значения которых лежат в разрешенных зонах (см. III часть курса).

2)В формуле () e,m известны, n, u – можно вычислить, а = 1/ измерить опытным путем. Таким образом можно оценить длину свободного пробега электрона . Она оказалась равной порядка 105 см, тогда как расстояние между ионами примерно 108 см. Получается, что электрон пролетает мимо сотен ионов, не сталкиваясь с ними. Это затруднение также объяснила квантовая механика: движение электрона в металле – это распространение некоторой волны, искажение этой волны происходит на примесях (чужеродных атомах), а их металле значительно меньше, чем атомов решетки.

3)Затруднение возникло также с зависимостью сопротивления от температуры. Из () следует, что удельное сопротивление =1/ , т.к. скорость теплового движения u , а остальные величины практически не зависят от температуры. Но из опыта следовало, что Т. Квантовая механика разрешила и это затруднение (см. III часть курса).
Закон Джоуля – Ленца: «Если по проводнику протекает ток, в проводнике выделяется теплота Q». Найдем выражение для Q. Сначала получим закон в дифференциальной форме на основе электронной теории. Введем новое понятие:

(Дж/м3с)

удельная мощность – это энергия, выделяющаяся в единице объема проводника за единицу времени 21






энергия, передаваемая одним электроном иону решетки за одно столкновение, т.е. за время t  время между двумя столкновениями.



энергия, передаваемая электронами, находящимися в единице объема проводника за одно столкновение (за время t), n- концентрация электронов



энергия, выделяющаяся в единице объема за единицу времени (формулы - см. закон Ома)






закон Джоуля – Ленца в дифференциальной форме

Чтобы найти количество теплоты, выделяющейся во всем проводнике за некоторое время нужно проинтегрировать и использовать закон Ома:




закон Джоуля - Ленца

в интегральной форме

при постоянной силе тока, R – общее сопротивление участка цепи



для случая, когда сила тока

зависит от времени


Электрическое сопротивление.

В законе Ома электрическое сопротивление R – коэффициент пропорциональности между разностью потенциалов, приложенной к концам проводника, и силой тока, возникающего при этом в проводнике. Исходя из этого, электрическое сопротивление можно определить следующим образом: это мера

того сопротивления, которое оказывает проводник попытке установления в нем тока. С позиций электронной теории сопротивление объясняется тем, что ионы решетки препятствуют движению электронов. Сталкиваясь с ионами, электроны теряют энергию, передавая ее ионам и меняют направление движения.

Электрическое сопротивление данного проводника зависит от его природы и размеров. Опытным путем установлено, что сопротивление R проводника прямо пропорционально его длине l и обратно пропорционально площади его поперечного сечения:



Эта формула применима только для однородного по составу проводника с постоянной площадью поперечного сечения.

 (Ом.м)- удельное сопротивление – это характеристика электрических свойств

металла, оно зависит от природы металла и от его температуры. По смыслу - это электрическое сопротивление единицы длины проводника с единичной площадью поперечного сечения. (В СИ – это сопротивление, например, металлического куба с ребром 1м при условии, что ток распространяется параллельно ребру куба).

С увеличением температуры сопротивление металлов увеличивается. При умеренных температурах удельное сопротивление линейно зависит от температуры:


(1/К)

зависимость удельного сопротивления металлов от температуры;

0 – удельное сопротивление при 0оС,

 - температурный коэффициент сопротивления, определяющий относительное изменение сопротивления при нагревании проводника на один градус.

Зависимость сопротивления от температуры используется для точного измерения температуры с помощью термометров сопротивления. В простейшем виде – это намотанная на изолятор тонкая проволочка, сопротивление которой при различных температурах заранее известна. Для измерения температуры проволочка приводится в контакт с телом, температуру которого хотят измерить, и измеряется ее сопротивление.

При соединении сопротивлений выполняются следующие соотношения.





последовательное соединение







параллельное соединение




1 Ничего более конкретного сказать нельзя, т.к. по сути, мы не знаем, что такое электрический заряд. Это некое неотъемлемое свойство, присущее частицам, подобно психике у человека

2 Существуют также частицы – кварки – с зарядами 1/3 еи 2/3е, но это виртуальные частицы, которые не могут длительное время находится в свободном состоянии.

3 Электрические и магнитные явления существуют в неразрывном единстве. Однако общая теория электромагнитных явлений (релятивистская квантовая электродинамика) слишком сложна для курса общей физики, поэтому мы будем рассматривать электрические и магнитные явления традиционно, т.е. раздельно.

4 Был установлен опытным путем фр. ученым Кулоном в 1785 г.

5 В действительности, существует явление электрической индукции, т.е. взаимное влияние заряженных тел друг на друга (см. ниже).

6 Циркуляция вектора напряженности электрического поля  0 (см. дальше в тексте)

7 Различают электростатическое (потенциальное) и электрическое (вихревое) поля, оба поля характеризуют напряженностью Е, потенциал  - характеристика электростатического поля .

8 grad или – это краткое обозначение математической операции:

9 Не обязательно брать цилиндр, можно взять любую призму, важно, чтобы ее образующие были перпендикулярны торцевым сечениям и самой заряженной плоскости.

10 Будем употреблять для краткости слово «емкость»

11Подумайте над вопросом: проводник заряжен зарядом 1 мкКл. Во сколько раз изменится его емкость, если заряд увеличить до 5 мкКл?

12 Силы F2 и F1 направлены по касательным к силовым линиям , а не горизонтально, как показано на рис., но мы будем этим небольшим различием пренебрегать.

13 Существуют также жидкие проводники, но мы их рассматривать не будем.

14 Для газов использовать  неудобно, т.к. она очень мало отличается от единицы (для воздуха  = 1,000576), поэтому для газов чаще используют .

15 На границе двух диэлектриков силовые линии преломляются. При этом для вектора Е совпадают касательные составляющие, а отношение нормальных составляющих равно отношению диэлектрических проницаемостей. Для вектора D –наоборот (см. учебник).

16 Не приводим из-за громоздкости.

17 Если бросить заряженный металлический предмет – его движение можно считать кратковременным током. Если

вблизи находится компас, его стрелка даст отклонение, т.к. она реагирует на магнитное поле тока.

18 В металлах положительные заряды (ионы решетки) не могут перемещаться – они и есть сам металл.

19На вопрос, где работают сторонние силы ответить трудно. Натираем стеклянную палочку, дотрагиваемся до проводника, работают сторонние силы, а где? В батарейках сторонние силы работают только на границе проводника с электролитом. Внутри проводника всегда работают электростатические силы.

20 Открыт опытным путем нем. учителем Омом в 1827 г.В приведенных формулах интегралов нет, но формулы можно вывести из дифференциальной формы закона путем интегрирования (см. дальше по тексту).

21  - большая печатная греческая буква «омега».

1   2   3   4


Учебный материал
© bib.convdocs.org
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации