Марков А.А. Математические методы анализа фрактальных свойств динамики цен фондовых рынков - файл n1.doc

Марков А.А. Математические методы анализа фрактальных свойств динамики цен фондовых рынков
скачать (2312.5 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc2313kb.23.11.2012 21:42скачать

n1.doc

1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   17

1. Теоретические аспекты фрактального анализа финансовых временных рядов

1.1 Гипотеза фрактального рынка


В начале ХХ века произошел прорыв в развитии количественных методов в финансах. В качестве основной доктрины анализа бурно развивавшихся фондовых рынков была принята гипотеза эффективного рынка (Effective Market Hypothesis, далее EMH), обязанная своим рождением ряду выдающихся западных ученых. С появлением работ Л. Башелье (см., например, [17, 40]) в целях моделирования финансовых рынков стал активно применяться инструментарий теории вероятностей и математической статистики. Впоследствии на основе данного подхода были созданы широко известные модели оценки финансовых активов, такие, как модель Марковица ([75]), САРМ (см. [27]), арбитражная портфельная теория и др. По мере развития рынка производных финансовых инструментов были разработаны модели ценообразования опционов, в числе которых модель Кокса-Росса-Рубинштейна (биномиальная модель), модели Блэка-Шоулза ([87]) и Кармена-Кохлагена и т.д. (см., например, [27], [32], [76]).

На эффективном рынке цены мгновенно реагируют на новостной фон. Таким образом, в ценах естественным образом отражаются как фундаментальные факторы ценообразования рыночных инструментов, так и настроение участников рынка. Рынок устроен рационально, отсутствует информационная асимметрия. Предполагается, что логарифмическая доходность рисковых активов распределена по нормальному закону.

Позднее различными авторами было показано, что распределения ряда финансовых показателей отличаются от нормального. Логарифмические доходности ряда рисковых активов имеют плотность вероятности, график которой имеет высокий пик и «тяжелые хвосты» (в частности, подобный вид графика характерен для распределения, подчиняющегося закону Ципфа – см. [58]). Б. Мандельброт ([10], [11], [69]-[72]) был одним из первых, кто предложил включить в рассмотрение гипотезу фрактального рынка (Fractal Market Hypothesis, далее FMH).

FMH включает в себя ряд предположений.

1. Первопричиной возникновения организованных рынков служит потребность инвесторов в ликвидности.

2. Главный источник ликвидности – присутствие на рынке инвесторов с различными инвестиционными горизонтами.

3. Многообразие инвестиционных горизонтов делает рынок устойчивым, то есть в общем случае не склонным к резким колебаниям, скачкам и обвалам. При этом величина риска инвестора не зависит от длины его горизонта. Следовательно, частотное распределение прибыли на различных инвестиционных горизонтах выглядит приблизительно одинаково.

Именно многообразие инвестиционных горизонтов определяет фрактальную структуру рынка. Рынок лишается устойчивости, то есть становится потенциально склонным к скачкам и обвалам, при нарушении фрактальной структуры.

Таким образом, FMH возвращает в наше рассмотрение внутреннюю, «содержательную» стоимость финансового инструмента как фактор его ценообразования. В свою очередь, EMH говорит о цене как о результате коллективной рациональной оценки.

1.2 Фракталы и их размерность


Фрактал – это объект, обладающий свойством самоподобия и нецелой в общем случае размерностью.

Изобретателем термина «фрактал» является Б. Мандельброт. Мандельброт писал ([10]): “Я придумал слово “фрактал”, взяв за основу латинское прилагательное “fractus”, означающее нерегулярный, рекурсивный, фрагментный”.

Фрактал – самоподобная структура, чье изображение не зависит от масштаба. Это рекурсивная модель, каждая часть которой повторяет в своем развитии развитие всей модели в целом. Подобные структуры встречаются в природе (деревья, береговые линии). Еще в ХIХ веке были известные фрактальные геометрические объекты (снежинка Коха, «пыль» Кантора, кривые Пеано, различные «ковры» и др.).

Самоподобие фрактального объекта связано с его масштабной инвариантностью. Свойства фрактала не зависят от масштаба приближения. Например, ветвь дерева можно рассматривать как уменьшенную копию ствола.

Фрактальная размерность отлична от топологической и в общем случае является нецелой. Это связано с тем, что фракталы не полностью заполняют то пространство, которому принадлежат.

Рассмотрим множество точек в р-мерном пространстве. Покроем это множество (гипер)кубами с ребром ?. Пусть N(?) – наименьшее число кубов, необходимых для покрытия множества. Фрактальная размерность1 определяется (см. [8]) как предел, если он существует, отношения при ?, стремящемся к нулю, то есть

(1.2.1)

Также существуют специальные математические объекты, которые имеют целочисленную размерность, равную размерности топологической, но при этом обладают сложной геометрической структурой, напоминающей фрактальную. Такие объекты называют «толстыми» («жирными») фракталами. Для их анализа вместо понятия фрактальной размерности вводят понятие метаразмерности (см. [9]).

Допустим, что существует предел

(1.2.2)

Предположим, что . Метаразмерностью называется величина

(1.2.3)
Большинство фрактальных объектов обладают неравномерной плотностью структуры («заселенностью» в терминологии [3]). Мультифрактал – это фрактальный объект, размерность которого меняется при переходе от одной его части к другой. Для анализа подобных структур используется спектр размерностей (см. [3] и [9]).

Рассмотрим область ? размера L, целиком содержащую фрактальный объект, в евклидовом пространстве с размерностью d. Будем считать, что указанный фрактал состоит из N >> 1 точек. Разобьем область ? на ячейки со стороной и объемом . Пусть из всех ячеек ? занято ячеек, а номер ячеек i пробегает значения от 1 до . Пусть - количество точек фрактального объекта, содержащееся в ячейке i.

Обобщенная размерность Dq определяется как

(1.2.4)

где - вероятность того, что точка, принадлежащая фракталу, содержится в i-й ячейке.

В частном случае, когда для всех i выполнено , то есть все вероятности одинаковы, Dq перестает зависеть от q и мы имеем обычный однородный фрактал.

Пусть указанные вероятности различны, а рассматриваемый объект неоднороден.

Если q = 0, то сумма под логарифмом в формуле для Dq в точности равна N(?). Мы получаем выражение из определения для размерности (1.2.1). Таким образом, размерность (1.2.1) – это обобщенная размерность нулевого порядка.

Если q = 1, то имеем неопределенность, для раскрытия которой положим k = q - 1 и с помощью преобразований получаем

(1.2.5)

После разложения экспоненты и интеграла приходим к выражению

(1.2.6)

где - энтропия фрактального множества.

Обобщенную размерность первого порядка иначе называют информационной размерностью.

Если q = 2, то выражение для Dq преобразуется к виду

(1.2.7)

Такая мера называется корреляционной размерностью. Как будет показано в главе 2, она играет весьма важную роль при анализе динамики доходностей рисковых активов. В [2] описаны практические подходы к ее оценке.

Также определены и размерности высших порядков для всех q, в том числе для q ? ?.

1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   17


Учебный материал
© bib.convdocs.org
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации