Марков А.А. Математические методы анализа фрактальных свойств динамики цен фондовых рынков - файл n1.doc

Марков А.А. Математические методы анализа фрактальных свойств динамики цен фондовых рынков
скачать (2312.5 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc2313kb.23.11.2012 21:42скачать

n1.doc

1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   17

1.3 Винеровский процесс и фрактальное броуновское движение


Гауссовский процесс B(t) называется броуновским движением (одномерным), или винеровским процессом, на интервале [a, b], если он обладает следующими свойствами:

  1. B(0) = 0 и функция B(t) почти всегда непрерывна,

  2. Приращения процесса – случайные величины, подчиненные нормальному закону распределению с математическим ожиданием 0 и дисперсией , то есть

(1.3.1)



Гауссовский процесс BH(t) называется фрактальным броуновским движением (одномерным) с параметром Н (показатель Херста), 0 < H < 1, на интервале [a, b], если он обладает следующими свойствами:

  1. BH(0) = 0 и функция BH(t) почти всегда непрерывна,

  2. Приращения процесса – случайные величины, подчиненные нормальному закону распределению с математическим ожиданием 0 и дисперсией , то есть

(1.3.2)



Ковариационная функция фрактального броуновского движения (далее – ФБД) определяется следующим образом:

(1.3.3)

Как видно, винеровский процесс – частный случай фрактального броуновского движения с коэффициентом Н = 0.5. Простейший метод получения винеровского процесса – моделирование случайного блуждания частицы. Начальному моменту времени ставится в соответствие некоторое начальное (нулевое) положение точки. В следующий момент времени точка случайным образом смещается влево либо вправо на единицу. Следующим шагом будет новое смещение влево либо вправо, но уже не из начального положения, а из положения в предыдущий момент времени и т.д. Приращения винеровского процесса представляют собой белый шум.

Винеровский процесс имеет независимые приращения. Винеровский процесс – марковский процесс. Дисперсия приращений увеличивается линейно со временем, то есть:

(1.3.4)

Соответственно, СКО увеличивается как корень квадратный из времени.

В случае фрактального броуновского движения с H ? 0.5 приращения процесса уже не будут независимыми. Корреляция между приращениями в этом случае определяется так:

(1.3.5)

Дисперсия приращений процесса пропорциональна модулю приращения времени в степени 2Н:

(1.3.6)

В некоторых случаях (см. [8]) размерность (1.2.1) и показатель Херста Н связаны простым соотношением:

dF = 2 – H (1.3.7)

1.4 Связь показателя Херста Н с персистентностью / антиперсистентностью финансовых временных рядов


Рассмотрим временной ряд, элементами которого могут быть в зависимости от постановки задачи цены pi активов, прибыли bi = pipi-1 по активам, доходности или логарифмические доходности , . Предположим, что данный временной ряд есть реализация фрактального броуновского движения с показателем Херста Н. Вычислив Н (способы оценки Н см. в главе 2), на основании сопоставления полученной характеристики со значениями, свойственными стохастическим и детерминированным системам, сделаем вывод о принадлежности анализируемой системы к тому или иному классу (см. [18], [19]). Показатель Херста винеровского процесса равен 0.5. Если 0.5 < H < 1, соответствующий временной ряд называется персистентным и характеризуется эффектами долговременной памяти. Персистентная система проходит большее расстояние, чем случайная система. С экономической точки зрения это означает склонность исследуемой системы следовать трендам, в роли которых могут выступать, например, экономические циклы. Существует сильная зависимость от начальных условий, причем долговременная память не зависит от масштаба времени. Если же 0 < H < 0.5, то имеем антиперсистентный временной ряд. Антиперсистентная система проходит меньшее расстояние, чем случайная система, меняясь чаще. Если бы такая система имела устойчивое среднее, то ее реализации представляли собой процесс, возвратный к среднему. Если предыдущее изменение было положительным, то следующее, скорее всего, будет отрицательным.

Оценка показателя Херста финансового временного ряда позволяет отнести его к одному из трех возможных классов процессов (см. [18], [19]):

1. Броуновское движение (винеровский процесс);

2. Черный шум;

3. Розовый шум.

Свойства винеровского процесса описаны в п. 3 настоящей главы. Рассмотрим два остальных случая.


Персистентная система следует т.н. процессу черного шума. Данный процесс имеет ряд основных свойств.

В качестве приемлемого средства моделирования черного шума можно использовать модели типа ARFIMA.


Антиперсистентная система следует процессу розового шума. Основные свойства данного процесса приведены ниже.

  1. Дисперсия приращений процесса растет медленнее, чем дисперсия приращений броуновского движения.

  2. Существует отрицательная корреляция приращений.

  3. Имеет место эффект долговременной памяти, что в сочетании со свойством (2) приводит к более сильной «изрезанности» траектории системы, следующей процессу розового шума, по сравнению с броуновским движением.

В качестве приемлемого средства моделирования черного шума можно использовать:



1.5 Фрактальное броуновское движение и проблема арбитража


Итак, пусть логарифмические доходности некоторого рискового актива подчиняются процессу фрактального броуновского движения (1.3.2) с показателем Херста Н. Известно (см., например, [33]), что модель ценообразования актива, основанная на ФБД, допускает арбитраж.

Пусть в момент времени t портфель инвестора состоит из ?t единиц безрискового актива и ?t единиц рискового актива. Стоимость портфеля в момент t определим как

(1.5.1).

Заметим, что коэффициенты ?t и ?t могут быть и отрицательными.

Портфель называется самофинансируемым, если его стоимость в любой момент времени t может быть представлена в виде:

(1.5.2).

Соотношение (1.5.2) означает, что сумма средств, вложенных в безрисковый актив, может возрастать только за счет уменьшения средств, вложенных в рисковый актив, и наоборот. Инвестор не вкладывает в портфель дополнительных средств на протяжении своего инвестиционного горизонта.

Говорят, что в момент Т (T > t) самофинансируемый портфель реализует арбитражные возможности, если при нулевой начальной стоимости (Х0 = 0) выполнено:

, причем (1.5.3).

Соотношения (1.5.3) означают, что структура портфеля допускает получение безрискового дохода. С качественной точки зрения арбитражный рынок, то есть рынок, на котором для рискового актива возможна ситуация (1.5.3), является менее «справедливым» и «рациональным», чем рынок безарбитражный. Кроме того, как будет показано ниже, наличие арбитражных возможностей создает трудности при оценке стоимости производных финансовых инструментов. Вместе с тем, существуют (и будут показаны ниже) подходы, позволяющие решить проблему арбитража и в модели с ФБД.

1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   17


Учебный материал
© bib.convdocs.org
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации