Марков А.А. Математические методы анализа фрактальных свойств динамики цен фондовых рынков - файл n1.doc

Марков А.А. Математические методы анализа фрактальных свойств динамики цен фондовых рынков
скачать (2312.5 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc2313kb.23.11.2012 21:42скачать

n1.doc

1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   17

1.6 Литературный обзор по теме диссертационной работы


Проблема оценки фрактальных характеристик финансовых временных рядов

Начиная с середины ХХ века разработано большое количество методов оценки показателя Херста. Опишем наиболее известные из них (подробнее см. в [46], [53], [78]).
Метод нормированного размаха (R/S-метод)

Этот наиболее известный метод был предложен Г. Херстом [65] для естественных систем (уровень Нила), а к финансовым временным рядам применяется с появлением работ Б. Мандельброта [69]. Заслуга в популяризации данного метода принадлежит Э. Петерсу [18], [19], [82].

Пусть имеется временной ряд из N значений Y1, Y2,…, YN. Метод нормированного размаха (R/S-метод) предполагает вычисление следующей статистики для различных значений параметра n:

(1.6.1),

где

n – длина временного интервала разбиения, а – порядковый номер интервала разбиения, А – общее количество временных интервалов разбиения, A n = N;

ea – среднее по а-му временному интервалу длины n;

Yi, ai-е значение Y в а-м интервале разбиения, включающем k значений Y.

Показатель Херста равен тангенсу угла наклона графика зависимости ln(R/S)n от ln(n).
Метод модулей приращений

Метод модулей приращений дает возможность получить оценку показателя Херста, используя следующую статистику для целых положительных чисел k и m:

(1.6.2),

где , , ,

.

Квадратные скобки обозначают целую часть числа.

Статистика (1.6.2) пропорциональна mH – 1 для достаточно больших m.
Метод дисперсии приращений

Метод дисперсии использует похожую статистику:

(1.6.3),

которая пропорциональна m2H – 2 при m ? ?.
Метод дисперсии разностей

Обозначим

, где B(t) – винеровский процесс.

Также введем обозначения

,

Пусть

K1 = mH – 1(12A2 – 6A1), K2 = mH(4A1 – 6A2)

Статистика

(1.6.4)

имеет распределение, аналогичное m2Н.
Метод периодограмм

Пусть ковариация приращений Х1, Х2,…, ХN

(1.6.5)

Обозначим

(1.6.6)

При N ? ? величина (1.6.6) является спектральной плотностью ковариации (1.6.5). В этом случае (1.6.6) пропорциональна ?1 – 2Н при ? ? 0.
Метод дискретной вариации

Пусть - целое число. Фильтром длины l + 1 порядка р назовем (l + 1)-мерный вектор , такой, что для всех целых r, для которых выполнено , и . Определим случайную величину

(1.6.7)

и эмпирический момент k-го порядка

(1.6.8)

Пусть

(1.6.9)

Доказано (см. [78]), что , где

(1.6.10),

(1.6.11),

Г(x) – гамма-функция Эйлера.
Метод Уиттла

Спектральная плотность элементов ряда Х1, Х2,…, ХN есть

(1.6.12).

Обозначим

(1.6.13),

(1.6.14), где

Оценка Н по методу Уиттла вычисляется как

(1.6.14).
Метод максимального правдоподобия

Обозначим и ковариационную матрицу данного вектора

, где (см. выражение (1.6.5)).

Функция правдоподобия задается в виде

(1.6.15).

Соответственно, оценка показателя Херста Н находится как

(1.6.16).
Метод квази-максимального правдоподобия

Оценка показателя Херста получена в виде

(1.6.17), где (1.6.18).

Как уже говорилось выше, в ряде случаев фрактальная размерность может быть получена напрямую через показатель Херста (1.3.6).

Кроме вышеописанных, существует множество авторских методов оценки фрактальных характеристик финансовых временных рядов.

Определенное распространение получил метод DFA (Detrended Fluctuation Analysis) (см. [80]), позволяющий оценить показатель Херста.

Известным является подход, предложенный М. Дубовиковым и Н. Старченко (см. [6], [7], [23], [55]). Вместо показателя Херста Н вычисляется индекс вариации ? следующим образом. Пусть f(t) – некоторая одномерная функция, заданная на интервале [a, b]. Разобьем рассматриваемый отрезок равномерно, так что ?n = {a = t0 < t1 <…< tn-1 < tn = b}. Вычислим величину , где - длина шага разбиения отрезка, а Аi(?) – амплитуда рассматриваемой функции на этом отрезке, то есть разность между максимальным и минимальным значениями. Тогда если , то назовем ? индексом вариации. Авторами доказано, что фрактальная размерность dF и индекс вариации ? связаны следующим образом: ? = dF - 1.

Особый способ расчета фрактальной размерности был представлен Р. Брэбан и Х. Нусс (см. [44]). Данный метод предлагается применять для расчета размерности исключительно в случае «супернестационарных» (supertransient) систем.

В работе [45] описан способ оценки фрактальных характеристик при помощи вейвлет-преобразований.
Практическая оценка фрактальных характеристик фондовых рынков различных стран

Анализ фрактальных свойств финансовых временных рядов имеет достаточно длительную историю. Б. Мандельброт [10], [11], [69]-[72] был одним из первых, кто применил метод нормированного размаха для анализа прибылей на финансовых рынках. В 1977 г. М. Грин и Б. Фелитц [59] исследовали дневные прибыли по большим выборкам и показали, что для доходностей во многих случаях характерна долгосрочная корреляция.

Существенный рост интереса к фрактальным свойствам инструментов фондового рынка продолжился в 1990-е годы. Э. Петерс [18], [19], [82] провел системное исследование американского фондового рынка, проанализировав прибыли по индексам (в том числе по Dow Jones Industrial Average за весь срок его расчетов), выявил различие в характере динамики прибылей и волатильности индексов, а также показал особенности динамики курсов валют. А. Ло [67] внес вклад в разработку методологии фрактального анализа, не выявив, однако, значимой зависимости от начальных условий прибылей на американском фондовом рынке. В 1993 г. Т. Миллс [77] провел исследование фондового рынка Великобритании, в 1996 г. Т. Люкс [68] – аналогичное исследование рынка ФРГ. Необходимо выделить исследования В. Чоу, М. Пэна и Р. Сакано [52], а также И. Лобато и Н. Савина [66], авторы которых не нашли подтверждений персистентности фондовых рынков ряда стран. В свою очередь У. Уиллинджер, М. Такку и В. Теверовский [93] эмпирически выявили персистентность прибылей на фондовых рынках, однако не нашли подтверждений значимости полученных результатов. Особое место занимают широко известные исследования Р. Мантеня и Х. Стенли [73] и [74].

Начиная с конца 1990-х гг. различными авторами проводятся обширные исследования фрактальных свойств фондовых рынков стран Азии, Южной Америки, а также стран Европы, не входящих в «Большую восьмерку». В 2000 г. С. Чен [49] провел вычисления показателя Херста для рынков Азиатско-Тихоокеанского региона и выявил долгосрочные зависимости прибылей на всех рассмотренных рынках. В 2001 г. Г. Нэт [79] исследовал рынок Индии с помощью R/S-анализа, а в 2002 г. Дж. Кавальканте и А. Ассаф [48] провели анализ фрактальных свойств прибылей на фондовом рынке Бразилии. Е. Панас [81] в 2001 г. и Ю. Тольви [92] в 2003 г. исследовали фрактальные свойства рынков Греции и Финляндии соответственно. В том же 2003 г. Тольви [91] исследовал рынки Дании и Ирландии, выявив в этих странах наряду с Финляндией наличие у рынков длинной памяти. В 2001 г. С. Садик и П. Сильвапулль [86] провели анализ рынков Японии, Южной Кореи, Новой Зеландии, Малайзии, Сингапура, США и Австралии и показали, что рынкам Южной Кореи, Малайзии, Сингапура и Новой Зеландии свойственна длинная память. В 2005 г. Д. Кажуэйро и Б. Табак [47] на примере рынка Бразилии показали, что длинная память прибылей на фондовом рынке может быть частично объяснена с помощью переменных, описывающих особенности бизнеса конкретных фирм (firm-specific variables). В 2006 г. Г. О, К. Ум и С. Ким [80] применили метод DFA (Detrended Fluctuation Analysis) для анализа рынков на предмет наличия длинной памяти и не нашли значимых подтверждений данному свойству. В [39] авторы проводят анализ зависимости объема торгов на рынке и показателя Херста волатильности рынка. В работах [46] и [53] проведено обобщение и сравнение различных методов оценки показателя Херста.

В России фрактальный анализ фондовых рынков также получил активное развитие. В работах [6], [7], [23], [55] проведен локальный фрактальный анализ финансовых временных рядов при помощи индекса фрактальности. В [24] и [25] авторы проводят R/S-анализ российского и американского фондовых рынков с целью формализованного построения торговой стратегии на фрактальном рынке. В [29] предложена методология прогнозирования финансовых крахов на основе моделирования степенного ускорения роста цены актива.
Проблема арбитража в модели с ФБД

Как уже говорилось выше, предполагая, что логарифмические доходности рискового актива подчиняются процессу ФБД, мы вносим в модель арбитражные возможности (1.5.3), тем самым затрудняя оценку производных финансовых инструментов и вызывая возможность безрискового получения дохода. Рынок данного типа не является полным, что исключает единственность эквивалентной мартингальной меры. Более того, из наличия арбитражных возможностей следует, что множество эквивалентных мартингальных мер пусто (соответствующие теоремы и их доказательства см. в [28]). Существует ряд подходов (обобщены в [85]) к преобразованию процесса ФБД, позволяющие исключить арбитраж. Опишем наиболее известные из них.
Применение произведения Вика

Данный подход был развит в работе Оксендаля и Ху [64], а также Элиота и Ван дер Хойка [56].

Стоимость портфеля определяется как

(1.6.19),

где символ «» означает так называемое произведение Вика.

Таким образом, по сравнению с (1.5.1) «обыкновенное» произведение во втором слагаемом заменено на произведение специального вида.

Вводится новое определение самофинансируемости. Портфель называется самофинансируемым, если

(1.6.20)

Из (1.6.19) имеем

(1.6.21), что после подстановки в (1.6.20) и некоторых преобразований дает

(1.6.22).

В соответствии с теоремой Гирсанова (см. [34]) вводится в рассмотрение новая вероятностная мера , а

(1.6.23) есть ФБД в условиях новой вероятностной меры. Тогда (1.6.22) может быть переписано в виде

(1.6.24)

Домножая обе части (1.6.24) на e-rt и интегрируя их, авторы [64] получают выражение

(1.6.25)

Вычислив математическое ожидание с учетом новой вероятностной меры, получим

(1.6.26)

Если бы портфель допускал арбитраж, то левая часть (1.6.26) должна была быть неотрицательной. Однако это нарушает условие неположительности начальной стоимости портфеля (правая часть (1.6.26)). Таким образом, арбитраж в условиях данного преобразования невозможен.

В рамках данного подхода получены формулы для оценки опционов европейского типа для случая H > Ѕ. Стоимость европейского опциона-колл в момент времени t = 0 вычисляется следующим образом:

(1.6.27)

Это дает следующую конечную формулу:

(1.6.28), где

,

.

В формулах К – цена исполнения опциона, S – цена базисного актива, T – время до исполнения опциона, r – непрерывная ставка дисконтирования, ? – волатильность базисного актива, Н – показатель Херста базисного актива.

Очевидно, при Н = 0.5 получаем формулу Блэка-Шоулза.
Замена выражения в интегральном представлении ФБД

Известно (см., например, [89]), что ФБД можно представить в виде интеграла:

(1.6.29),

где Вs – винеровский процесс, а z(t, s) – детерминированное ядро, вычисляемое по формуле

(1.6.30),

, Г(х) – гамма-функция Эйлера.

Как было показано в работе [84], арбитраж может быть исключен при замене в правой части (1.6.28) в выражении под интегралом на новое выражение , где с – малая константа. В работе [51] в тех же целях предлагается осуществить замену на некоторую линейную функцию на малом временном интервале.
Смешанная модель ФБД

В случае если , мартингальная вероятностная мера может быть получена при включении в модель с ФБД винеровского процесса, что доказано в [50]. Изменение цены рискового актива представлено в виде

(1.6.31)

Автоковариационная функция смешанного процесса выглядит так:

(1.6.32)

В момент времени t = 0 с учетом новой вероятностной меры Q? и выбранного значения ? стоимость рискового актива равна, как показано в [50], стоимости опциона-колл на рисковый актив, вычисленной в рамках модели Блэка-Шоулза.
Учет транзакционных издержек

Доказано (см. [60]-[63], [94]), что при введении в рассмотрение пропорциональных транзакционных издержек за совершение сделок на фондовом рынке арбитраж из модели с ФБД исключается. Данный подход максимально приближает модель к реальной ситуации на рынке и будет подробно рассмотрен в главах 2 и 3.
Наложение ограничений на интервалы между сделками

Пусть t* - некоторый минимально возможный интервал времени, в течение которого инвестор не может совершать сделки на фондовом рынке, то есть не может покупать и продавать рисковые и безрисковые активы. В работе [85] показано, что подобное допущение позволяет устранить арбитраж в модели с ФБД. Рассмотрены как непрерывная, так и дискретная модель в виде биномиальной решетки. Доказана теорема Ито для случая ФБД.

Автором [85] получены формулы для оценки опционов европейского типа. Стоимость европейского опциона-колл в момент времени t вычисляется следующим образом:

(1.6.33), где

,

,

.

В формулах К – цена исполнения опциона, S – цена базисного актива, T – время до исполнения опциона, r – непрерывная ставка дисконтирования, ? – волатильность базисного актива, Н – показатель Херста базисного актива. ?Н выступает в роли поправочного коэффициента (ср. с формулами (1.6.28)).

Стоимость европейского опциона-пут равна

(1.6.34)
Проблема оценки риска в рамках FMH

М. Рогов в своих монографиях, а также статье (см. [20]) вносит поправки в расчет коэффициента ? рискового актива, а также в расчет величины резервов на основе методики VaR. Коэффициент ? i-го актива на инвестиционном горизонте Т равен

(1.6.35),

где ?i – коэффициент ? данного актива за единичный период времени, Hi – показатель Херста данного актива на временном интервале, соответствующем инвестиционному горизонту, Hm – показатель Херста рыночного портфеля (индекса) на том же периоде времени.

Расчет VaR предлагается осуществлять следующим образом:

(1.6.36)

Кроме того, предлагается вычислять показатель Херста для портфеля активов, имея сведения о показателях Херста для каждого из активов, включенного в портфель.

(1.6.37), где

, .

Здесь х с индексом обозначает доли активов в портфеле, Covij – ковариация доходностей активов.

Автор показывает, что диверсификация усредняет показатель Херста, то есть

.
FMH и технический анализ фондового рынка

Волны Эллиота

Со второй половины ХХ века фрактальная теория начала применяться в техническом анализе. Волновая теория Эллиота и использование чисел Фибоначчи (см. [16]) опираются на результаты фрактального анализа.

Основой волновой теории служит так называемая волновая диаграмма. Волна – это различимое ценовое движение. Следуя правилам развития массового психологического поведения, все движения цен разбиваются на пять волн в направлении более сильного тренда, и на три волны в обратном направлении. Например, в случае доминирующего тренда мы увидим пять волн при движении цены вверх и три – при движении (коррекции) вниз (рис. 1.6.1). Каждое из пятиволновых движений называют импульсным, каждое из трехвоновых - коррективным.



Рис. 1.6.1

Р. Эллиот (см. [16]) исходил из предположения, что каждая из показанных импульсных и коррективных волн также представляет собой волновую диаграмму. В свою очередь те волны тоже можно разложить на составляющие и так далее. Получается типичное фрактальное самоподобие. Таким образом, Эллиот применил теорию фракталов для разложения тренда на более мелкие части.


Индикатор Б. Вильямса

В начале 2000-х годов большую известность получила фрактальная торговая теория Б. Вильямса ([4], [5]). В России данный подход популяризировал М. Чекулаев ([31]), который несколько видоизменил теорию Вильямса, адаптировав ее для торгов на рынке Forex.

Рассматриваемый подход представляет собой один из возможных инструментов технического анализа, и он предусматривает в первую очередь анализ графиков ценовых изменений.

Для анализа используется график баров. Фрактал используется в качестве сигнала на покупку или на продажу. Применительно к своей торговой стратегии автор называет фракталом на покупку, или «фракталом наверх», «как минимум пять баров, стоящих в ряд, в которых самый высокий максимум выше двух предшествующих и двух последующих максимальных значений баров» (см.[4]). Соответственно, фрактал на продажу, или «фрактал вниз», предполагает наличие как минимум пяти баров, в которых самый низкий минимум ниже двух предшествующих и двух последующих минимумов. На рис. 1.6.2 синим цветом показан фрактал на покупку, а красным – фрактал на продажу.



Рис. 1.6.2

Изображенные на рисунке ситуации показывают явно выраженные фрактальные сигналы. Возможно, например, что максимум крайнего справа (пятого) бара фрактала на покупку (синий цвет) окажется выше максимума четвертого бара. Однако это не противоречит приведенному выше определению, а значит, сигнал в силе.

На рис. 1.6.3 показана кривая, отражающая цены акций Amgen Inc. Зелеными стрелками показаны фракталы на покупку, красными – фракталы на продажу.



Рис. 1.6.3
Аналогичные сигналы можно выявлять и на графиках японских свечей. На рис. 1.6.4 показан зарождающийся фрактал на покупку на графике CISCO SYSTEMS.



Рис. 1.6.4
Фрактал в контексте данного подхода не рассматривается как единственный сигнал. Кроме него, на основе скользящих средних разработан индикатор «Аллигатор», который позволяет некоторым образом оценивать потенциальную активность на рынке. В сочетании с использованием «Удивительного осциллятора» и показателя «Ускорение/замедление» выстраивается методика ведения торгов, предполагающая не только чередование покупок и продаж в некоторые моменты времени, но и варьировании «агрессивности» портфельного управляющего. Подробно данный подход изложен в [4] и [31].

Отметим, что отношение к этой методологии со стороны практических трейдеров весьма неоднозначное.
Аппроксимация ценовых колебаний степенными кривыми

В настоящее время некоторыми авторами, в числе которых В. Якимкин ([37], [38]), применяется методика аппроксимации наблюдаемых ценовых кривых степенными кривыми. Это позволяет строить вероятностные прогнозы динамики цен актива и, следовательно, корректировать структуру портфеля. Показатель степени аппроксимирующей кривой является одной из оценок фрактальной размерности исходной кривой. Подобный метод по сути является эмпирическим.

Схожая методика основана на использовании фрактальной размерности как индикатора реакции рынка на новости. Фрактальная размерность ценовой кривой измеряется два раза – до выхода новости и сразу же после него. Если фрактальная размерность не изменяется, то предполагается, что рынок на новость не отреагирует. Однако замечено, что часто сразу после выхода значимых новостей размерность кривой снижается, что потенциально может свидетельствовать о «затишьи перед бурей». Исследования в этой области проводились М. Дубовиковым и Н. Старченко, а также В. Якимкиным. Если размерность снизилась, то необходимо понять, действительно ли снижение размерности предвещает существенный прорыв. Для этого исследуется статистика чувствительности данного рынка к аналогичным новостям в ретроспективе. Если такая чувствительность оказывается существенной, то структура портфеля активов меняется вплоть до выхода с рынка.

1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   17


Учебный материал
© bib.convdocs.org
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации