Марков А.А. Математические методы анализа фрактальных свойств динамики цен фондовых рынков - файл n1.doc

Марков А.А. Математические методы анализа фрактальных свойств динамики цен фондовых рынков
скачать (2312.5 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc2313kb.23.11.2012 21:42скачать

n1.doc

1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   17

2.4 Описание и обоснование примененных методов оценки показателя Херста Н


К настоящему времени разработано множество методов оценки показателя Херста на основе эмпирических данных (см. главу 1). Данные методы характеризуются различной точностью получаемых результатов. В настоящей работе используются следующие методы:

Рассмотрим эти методы подробнее и проведем их сравнение.

Метод нормированного размаха


  1. Пусть имеем временной ряд, состоящий из цен закрытия фондового индекса, длины М. Преобразуем его во временной ряд длины из логарифмических отношений вида (2.2.1);

  2. Разделим период времени N на А смежных подпериодов длины n, так, что . При этом N, A и n подбираются таким образом, чтобы было целочисленным значением. Пометим каждый подпериод Ia с учетом того что . Введем двойной индекс – каждый элемент Ni в Ia переобозначим Nk,a, . Для каждого Ia длины n среднее по интервалу значение определяется как .

  3. Находим элементы временного ряда накопленных отклонений (Xk,a) от среднего значения для каждого подпериода Ia: ;

  4. Диапазон определяется как максимальное значение за вычетом минимального значения Xk,a в пределах каждого подпериода Ia: .

  5. Выборочное стандартное отклонение рассчитывается для каждого подпериода Ia: ;

  6. Каждый диапазон RIa теперь нормализуется путем деления на соответствующее SIa. На шаге (2) мы получили смежные подпериоды длины n. Следовательно, среднее значение (R/S)n определяется как ;

  7. Длина n итеративно увеличивается до следующего более высокого значения. Шаги (2-6) повторяются до . Получаем два вектора: и .

  8. Теперь на основе значений, полученных на шаге (7), применим регрессию к уравнению , где c = const, а H – показатель Херста. Предварительно логарифмируем обе части уравнения регрессии. Отрезок, отсекаемый на координатной оси, является оценкой log(c), константой. Наклон прямой является оценкой показателя Херста Н.



Метод модулей приращений


  1. Пусть имеем ряд вида (2.2.1) длины N. Получим из элементов ряда новый ряд, состоящий из приращений вида .

  2. Вычислим среднее приращение: .

  3. Положим m = m0. Для получим числа (квадратные скобки обозначают целую часть числа).

  4. Для данного значения m получим значение статистики: .

  5. Для всех повторим шаги (3-4).

  6. Построим график зависимости АМ(m) от m в логарифмическом масштабе и вычислим тангенс tg(?) угла наклона его прямого участка. Показатель Херста равен .



Метод дисперсии приращений


  1. Пусть имеем ряд вида (2.2.1) длины N. Получим из элементов ряда новый ряд, состоящий из приращений вида .

  2. Вычислим среднее приращение: .

  3. Положим m = m0. Для получим числа (квадратные скобки обозначают целую часть числа).

  4. Для данного значения m получим значение статистики: .

  5. Для всех повторим шаги (3-4).

  6. Построим график зависимости от m в логарифмическом масштабе и вычислим тангенс tg(?) угла наклона его прямого участка. Показатель Херста .



Метод, основанный на скорости возрастания доходностей


Предполагая, что дисперсия логарифмических доходностей индексов возрастает пропорционально длине временного интервала, возведенной в степень 2Н, то есть , где ?2 – дисперсия, полученная по 1-дневным значениям Yk вида (2.2.1), - дисперсия, полученная по ?-дневным значениям Yk вида (2.2.1), получаем оценку показателя Херста, построив соответствующую линейную регрессию для относительно .
В настоящей работе описанные методы оценки показателя Херста применены к эмпирическим данным параллельно. Сделано это по причине как минимум двух проблем, затрудняющих интерпретацию оценки, полученной по какому-либо одному из методов:

Рассмотрим эти моменты подробнее.

Метод нормированного размаха является одним из самых популярных. Во-первых, он является достаточно простым и весьма удобным для программирования. Во-вторых, при построении регрессии на шаге (8) метода как правило имеем точки, точно лежащие на прямой. В качестве примера на рис. 2.4.1 приведен график R/S-статистики для однодневных доходностей индекса РТС за 1995-2009 гг. Красной сплошной линией показана фактическая зависимость R/Sn от n, синей точечной – линейная аппроксимация данной зависимости.



Рис. 2.4.1
Однако практическое применение данного метода выявило, что получаемые оценки показателя Херста в ряде случаев имеют склонность к возрастанию по мере увеличения временного интервала (подробно результаты вычислений описаны в главе 3). Например, для 1-дневных доходностей по ценам закрытия индекса РТС имеем оценку Н = 0.614, для 3-дневных – Н = 0.646, для 5-дневных – Н = 0.664.

Кроме того, в [33] подробно описаны трудности, возникающие при проверке значимости результатов R/S-анализа. В [18] предложен способ подобной проверки, однако он не получил такого доверия и распространения, как сам R/S-анализ.

Эти соображения обусловили необходимость параллельного применения иных методов для проверки и уточнения получаемых оценок.

Схожие методы модулей и дисперсии приращений лишены недостатков, свойственных методу нормированного размаха. Данные методы весьма легко алгоритмизируемы, однако не всегда дают возможность проводить столь же точные, как R/S-метод, линейные аппроксимации. Например, для 1-дневных доходностей по ценам закрытия индекса РТС построен следующий график зависимости статистики метода модулей приращений от длины временного интервала (в логарифмическом масштабе):



Рис. 2.4.2
Как видно, имеем большой разброс точек, что может сделать линейную аппроксимацию недостаточно качественной. В этой связи два последних метода используются в данной работе лишь как вспомогательные и проверочные по отношению к методу нормированного размаха.

Метод оценки скорости возрастания дисперсии логарифмических доходностей естественным образом вытекает из свойства (1.3.6) фрактального броуновского движения. Применив данный метод, получаем оценку показателя Херста. Недостаток метода состоит в необходимости наличия весьма значительного количества данных для проведения расчетов при больших ?. Однако в комплексе с остальными описанными методами он позволяет получить достаточно точную оценку показателя Херста.

1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   17


Учебный материал
© bib.convdocs.org
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации