Марков А.А. Математические методы анализа фрактальных свойств динамики цен фондовых рынков - файл n1.doc

Марков А.А. Математические методы анализа фрактальных свойств динамики цен фондовых рынков
скачать (2312.5 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc2313kb.23.11.2012 21:42скачать

n1.doc

1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   17

2.5 Выявление непериодических циклов в динамике ценообразования фондовых индексов


Вычислим величину, называемой V-статистикой (см. [18]):

(2.5.1)

Построим в двумерной системе координат зависимость V от натурального логарифма n. Для 1-дневных логарифмических доходностей по ценам закрытия индекса РТС имеем следующую зависимость:



Рис. 2.5.1
Сплошная линия соответствует зависимости, рассчитанной по фактическим данным. Прерывистая линия соответствует аналогичной зависимости для случая математического ожидания нормированного размаха и приведена для сравнения. Прерывистая линия стремится к асимптоте по мере увеличения интервала. Заметим, что красная линия имеет изломы. Аппроксимируем все видимые прямые участки между изломами прямыми линиями. Построим регрессию логарифма нормированного размаха от логарифма длины подынтервала для каждой из прямых. Если мы строим k регрессий, то на выходе будем иметь k значений показателя Херста. В нашем случае сплошная линия имеет два участка: один с относительно умеренным наклоном, другой с существенно более выраженным наклоном. Таким образом, длина персистентного непериодического цикла составляет примерно e6 ? 403 дня. Именно в этой области индекс подчиняется процессу «черного шума» с показателем Херста близким к среднему. По мере увеличения временного интервала персистентность в случае индекса РТС становится более выраженной.

Феномен фондовых рынков состоит в том, что если длительность инвестиционного горизонта превышает некоторую величину t0, то может меняться и характер процесса, которому подчиняются логарифмические доходности. Инвесторы, осуществляющие долгосрочные вложения средств (год и более) в некоторых случаях сталкиваются с проявлениями антиперсистентности, что показано в главе 3. В таком случае показатель Херста Н < 0.5, и наблюдается розовый шум.

2.6 Оценка корреляционной размерности логарифмических доходностей индексов


Как уже говорилось в п. 3 настоящей главы, для оценки корреляционной размерности логарифмических доходностей фондовых индексов используются ?-дневные логарфмические доходности вида:

, где

Sk – цена закрытия индекса в k-й день;

Sk - ? – цена закрытия индекса в (k - ?)-й день.
Корреляционная размерность вычисляется следующим образом. Пусть имеется N значений ?-дневных логарифмических доходностей: Z1, Z2,…, ZN.. Объединим первые р значений Z1, Z2,…, Zp в р-мерный вектор. Это есть первая точка x1 в новом р-мерном пространстве. Вторая точка x2 получается объединением в вектор значений со второго по (р + 1)-е. Третья – с третьего по (р + 2)-е. Далее по аналогии, сдвигаясь каждый раз на единицу указанным образом, получим (N p + 1) вектор. Теперь зафиксируем некоторое число r > 0 и вычислим количество пар полученных векторов, модуль расстояния между которыми меньше r. Разделив это количество на общее число неповторяющихся пар векторов, равное , получим значение корреляционного интеграла С(r):

(2.6.1),

где m – число пар i, j, для которых .

Построив график корреляционного интеграла С(r) для различных значений размерности вложения р, вычисляем тангенс угла наклона его прямой части. На рис. 2.6.1 приведен график корреляционного интеграла 10-дневных логарифмических доходностей индекса РТС за период 1995-2009 гг.



Рис. 2.6.1
Если начиная с некоторого р = р* наклон стабилизируется, то значение тангенса данного угла наклона есть корреляционная размерность индекса.

Если стабилизация наклона отсутствует, то отсутствует и конечная корреляционная размерность. Подробнее данный алгоритм изложен, например, в [2].

В рассматриваемом примере наклон стабилизировался на уровне около 7, что показано на рис. 2.6.2.



Рис. 2.6.2
Это означает, что в случае индекса РТС на определенных инвестиционных горизонтах инвестор имеет дело с детерминированной системой. Причины и следствия подобной ситуации подробно описаны в главе 3.

2.7 Дискретная аппроксимация модели с ФБД


Непрерывная модель (2.1.1) является исходной в данной работе, однако для дальнейшего решения ряда задач возникает потребность в переходе к ее дискретному аналогу. С качественной точки зрения дискретная модель легче поддается экономической интерпретации, так как:

Таким образом, дискретная модель – весьма удобный инструмент для описания рынка и его анализа с позиции инвестора.

С точки зрения количественного анализа дискретная модель имеет ряд важных полезных свойств:


В данной работе используется дискретная аппроксимация модели (2.1.1), предложенная Т. Соттиненом [88]. Данный N-шаговый дискретный аналог представляет собой модифицированное биномиальное дерево, в котором цена рискового актива на n-м шаге определяется по формуле:

(2.7.1),

где

а – смещение, определяемое как средняя доходность в расчете на шаг;

ХХn – коэффициент повышения (понижения).

Известно (см., например, [89]), что ФБД можно представить в виде интеграла:

(2.7.2),

где

Вs – винеровский процесс, а z(t, s) – детерминированное ядро, вычисляемое по формуле

(2.7.3),

, Г(х) – гамма-функция Эйлера.

Вычислим следующие коэффициенты:

(2.7.4),

n – номер шага, N – общее число шагов в дискретной модели.

Пусть ?i – дискретная случайная величина, такая, что . Получаем на n-м шаге повышающие и понижающие коэффициенты:

(2.7.5),

(2.7.6).

В формулах (2.7.5) и (2.7.6) 1 и (-1) – возможные значения дискретной случайной величины ?n. Соответственно, на n-м шаге ХXn из формулы (2.7.1) может принять одно из двух значений:

ХXn = un, если ?i = 1, и

ХXn = dn, если ?i = -1.

Таким образом, повышающие и понижающие коэффициенты модели (2.7.1) отличаются от шага к шагу и зависят от движений цены базисного актива на предыдущих шагах модели. Это отражает память приращений, свойственную ФБД. В результате в данной биномиальной решетке, в отличие от классической биномиальной модели Кокса-Росса-Рубинштейна, на любом n-м шаге все значения Sn различны.

Динамика цены безрискового актива описывается соотношением

(2.7.7),

где rn – безрисковая процентная ставка на n-м шаге.

В [88] подчеркивается, что рынок не допускает арбитражных возможностей, если и только если для всех n = 1, …, N выполнено:

(2.7.8).

1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   17


Учебный материал
© bib.convdocs.org
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации