Марков А.А. Математические методы анализа фрактальных свойств динамики цен фондовых рынков - файл n1.doc

Марков А.А. Математические методы анализа фрактальных свойств динамики цен фондовых рынков
скачать (2312.5 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc2313kb.23.11.2012 21:42скачать

n1.doc

1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   ...   17

2.8 Приближенная оценка стоимости опционов


Пусть рисковый актив, динамика ценообразования которого описана моделью (2.7.1), выступает в роли базисного актива для некоторого опциона. Начиная со следующего подраздела все оценки стоимости опционов будут производиться с учетом проблемы арбитража. В данном подразделе получим приближенные оценки стоимости опционов, допускающих досрочное исполнение. Приближенность данных оценок обусловлена абстрагированием (в текущем подразделе) от возникающих арбитражных возможностей.

Итак, рассмотрим рисковый актив, динамика дневных доходностей которого подчиняется процессу ФБД с показателем Херста Н. Пусть на рынке обращается опцион на данный актив, допускающий досрочное исполнение в заранее определенные моменты времени t1, t2, …, tk в течение срока действия опциона. Инвестору необходимо оценить стоимость опциона с учетом фрактальности ценообразования базисного актива.

Если опцион не исполнялся досрочно, то в момент истечения срока опциона, то есть на последнем шаге модели, инвестор получает сумму в случае опциона на покупку и в случае опциона на продажу, где К – цена исполнения, а SN – цена базисного актива на последнем, N-м шаге модели, рассчитанная согласно п.7 настоящей главы.

На всех шагах модели, кроме последнего, получаем цену опциона на покупку следующим образом:

(2.8.1),

где

- цена опциона на (n + 1)-м шаге в случае повышения цены базисного актива,

- цена опциона на (n + 1)-м шаге в случае понижения цены базисного актива,

р = 0.5 = 1 - р – вероятности повышения и понижения цены базисного актива соответственно2 (согласно п.7),

r – безрисковая процентная ставка в расчете на шаг модели.

На всех шагах модели, кроме последнего, получаем цену опциона на продажу следующим образом:

(2.8.2),

где

- цена опциона на (n + 1)-м шаге в случае повышения цены базисного актива,

- цена опциона на (n + 1)-м шаге в случае понижения цены базисного актива,

р = 0.5 = 1 - р – вероятности повышения и понижения цены базисного актива соответственно (согласно п.1),

r – безрисковая процентная ставка в расчете на шаг модели.

Таким образом, на каждом шаге инвестор выбирает более выгодную альтернативу – исполнить опцион или оставить позицию до следующего шага. Критерием выбора является величина выигрыша. Если при немедленном исполнении опциона инвестор получает больше средств, чем при его сохранении в условиях известных текущих процентных ставок, то опцион исполняется. В противном случае выгоднее опцион не исполнять как минимум до следующего шага.

В частном случае, когда имеем опцион европейского типа, не допускающий досрочного погашения, формулы (2.8.1)-(2.8.2) преобразуются к виду:

(2.8.3)

(2.8.4)

Не имея возможности исполнить опцион досрочно, инвестор дисконтирует стоимость опциона на последующем шаге по безрисковой процентной ставке.

2.9 Оценка верхних и нижних границ стоимостей опционов с учетом транзакционных издержек (брокерских комиссий)


Известно, что торговые операции на фондовых рынках осуществляются за определенную плату, включающую комиссии брокеру и бирже. Таким образом, инвестор может нести более существенные расходы по сравнению с бескомиссионной торговлей. Этот фактор необходимо учитывать и при оценке стоимости производных финансовых инструментов на фрактальных рынках. Получим оценку стоимости опционов-колл различного типа с учетом транзакционных издержек, установленных в процентах к торговому обороту. Данный подход является одним из возможных преобразований модели (2.1.1), позволяющих устранить арбитражные возможности, что доказано, например, в [60]-[63].

Предположим, что базисный актив не приносит дивидендного дохода. Для оценки границ стоимости опциона-колл европейского типа возьмем за основу методологию Дж. Константинидиса и С. Перракиса ([54]).

Винеровский процесс на фондовом рынке влечет независимость доходностей базисного актива на непересекающихся временных интервалах. В [54] результаты получены именно в предположении независимых и идентично распределенных доходностей. Если же динамика стоимости базисного актива подчиняется процессу ФБД, то доходности становятся зависимыми. Данное соображение повлекло необходимость внесения корректировок в исходную методологию.

Оценки верхней границы стоимости европейского опциона-колл на n-м шаге (n < N) будем вычислять по формуле:

(2.9.1),

где

Sn и SN – стоимость базисного актива на n-м и N-м шагах соответственно,

К – цена исполнения опциона-колл,

k – комиссия за операции по покупкам и продажам в процентах от оборота,

r – безрисковая процентная ставка в расчете на шаг модели.

Границы, найденные указанным способом, не зависят от количества совершенных торговых операций внутри инвестиционного горизонта и весьма просты в вычислении. Например, для оценки стоимости опциона в начальный момент времени следует положить n = 0 и произвести расчет, состоящий из одного действия.

Оценка нижней границы стоимости европейского опциона-колл на n-м шаге (n < N) будем вычислять по формуле:

(2.9.2),

где S(n) определяется из условия

(2.9.3).

При этом для n = N граница равна

.

Фактически S(n) – это такая граница цены базисного актива, при которой относительный прирост этой цены за один шаг модели в среднем не превысит безрисковой процентной ставки в расчете на шаг. В формулах (2.7.5)-(2.7.6) вероятности повышения и понижения цены базисного актива приняты одинаковыми и равными 0.5. В этом случае из (2.9.3) легко получить S(n):

, где - цена базисного актива на (n + 1)-м шаге при ее понижении.

Таким образом, при расчете нижней границы по формуле (2.9.2) имеем:



,

где

,

- цена базисного актива на (n + 1)-м шаге при ее повышении.

Формулы (2.9.1-2.9.3) не используют свойство независимости доходностей, вследствие чего действительно могут быть применены к случаю ФБД.

Оценки стоимостей опционов-пут можно получить теми же способами, что опционов-колл. Верхняя граница стоимости опциона на продажу вычисляется в виде:

(2.9.4),

где S(n) определяется из условия

(2.9.5).

При этом для n = N граница равна

.

Нижняя граница стоимости опциона на продажу оценивается следующим образом:

(2.9.6),

где

Sn и SN – стоимость базисного актива на n-м и N-м шагах соответственно,

К – цена исполнения опциона-колл,

k – комиссия за операции по покупкам и продажам в процентах от оборота,

r – безрисковая процентная ставка в расчете на шаг модели.

Границы, найденные указанным способом, не зависят от количества совершенных торговых операций внутри инвестиционного горизонта и весьма просты в вычислении.

Пусть теперь опцион допускает досрочное исполнение в заранее известные моменты времени n1, n2, …, nk в течение срока действия опциона. Кроме того, на каждом шаге модели базисный актив приносит инвестору дивидендный доход также заранее известной (в процентах от текущей цены базисного актива) величины. Будем считать, что сразу после осуществления дивидендных выплат цена базисного актива снижается на величину дивидендов. Таким образом, имеем:

(2.9.7),

где

а – смещение (тенденция), определяемое как средняя доходность в расчете на шаг;

ХХn – коэффициент повышения (понижения) из модели (2.7.1),

divn – дивидендные выплаты на n-м шаге.

Опцион-колл американского типа3 выгодно исполнять досрочно на шаге n, если

(2.9.8)

Если выполнено условие (2.9.8), инвестор на каждом шаге соотносит стоимость опциона с той суммой, которую он получит, исполнив опцион досрочно. Следовательно, необходимо осуществлять пошаговое дисконтирование верхних границ, что отличает расчет от случая европейского опциона. На каждом n-м шаге, n < N, верхняя граница определяется рекуррентно следующим образом:

,

если (2.9.9);

, если (2.9.10)

При этом для n = N граница равна

.

Опцион-колл, допускающий досрочное погашение, не может быть дешевле опциона-колл европейского типа. По этой причине нижняя граница вычисляется по-прежнему по формулам (2.9.2) и (2.9.3).

Верхняя граница опциона-пут вычисляется при наличии дивидендных выплат по формуле:

(2.9.11)

Эта формула применяется независимо от размера дивидендных выплат, поскольку условие (2.9.8) применимо только к опционам на покупку.

Опцион-пут, допускающий досрочное погашение, не может быть дешевле опциона-пут европейского типа. По этой причине нижняя граница вычисляется по-прежнему по формуле (2.9.4)-(2.9.6).

1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   ...   17


Учебный материал
© bib.convdocs.org
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации