Ким Т.А. Ляховский Н.П. Общая физика - файл n1.doc

Ким Т.А. Ляховский Н.П. Общая физика
скачать (531.3 kb.)
Доступные файлы (2):
n1.doc1134kb.11.10.2005 18:02скачать
n2.doc1178kb.11.10.2005 18:02скачать

n1.doc

1   2   3   4   5   6

РАЗДЕЛ 1. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ




Основные формулы



Кинематика поступательного движения
1. Скорость при прямолинейном движении в общем случае

.

2. Ускорение

.

3. Уравнения кинематики равноускоренного поступательного движения:

V = V0 + a t,

S = V0 t + a t2/2,

где V – скорость тела в момент времени t; V0 – начальная скорость; a – ускорение движения тела; S – путь, пройденный за время t; t – время движения тела.

4. Полное ускорение при криволинейном движении

a2 = a2 + an2,

где a? = dV/dt – тангенциальное ускорение; an = V2/R – нормальное ускорение.
Кинематика вращательного движения
5. Угловая скорость при вращательном движении в общем случае

.

6. Угловое ускорение

.

7. Уравнения кинематики равноускоренного вращательного движения:

? = ?0 + t,

= ?0 t + t2/2,

где ? угловая скорость в момент времени t; ?0 – начальная угловая скорость; – угловое ускорение, с которым вращается тело; t – время вращения тела; – угол поворота за время t.

8. Угловая скорость при равномерном вращательном движении

? = /t = 2?/T = 2? ?,

где T – период обращения; ? – частота обращения, т. е. число оборотов в единицу времени.

9. Формулы, связывающие угловые и линейные величины при рассмотрении движения вращающегося тела:

S =  R, V = ? R,

а =  R, an = ? 2 R = V2/R,

где R – радиус траектории, по которой движется тело; a – тангенциальное ускорение; an – нормальное или центростремительное ускорение.
Динамика поступательного движения
10. Основной закон динамики поступательного движения

dt = d(m).

11. Второй закон Ньютона

= /m,

где – ускорение тела; – сила, действующая на тело; m – масса тела.

12. Сила упругости

= – kx,

где k – коэффициент упругости; х – величина деформации.

13. Сила трения

=  ,

где – коэффициент трения; N – сила нормального давления, прижимающая тело к плоскости при скольжении.

14. Гравитационная сила

F = G m1 m2 /r2,

где F – сила гравитационного притяжения между двумя точечными массами m1 и m2; r – расстояние между ними; G – гравитационная постоянная.

15. Закон сохранения импульса

= m11 + m22 + .... + mii = const.

16. Скорость движения тел после неупругого, центрального удара

= (m 11+ m 22)/(m 1+m2),

где m1 – масса первого тела; m2 – масса второго тела; 1 – скорость первого тела до удара; 2 – скорость второго тела до удара.

17. Скорости первого и второго тел после упругого соударения:

u1=(m1 – m2) V1 + 2m2V2/ (m1 + m2),

u2=(m2 – m1) V2 + 2m1V1/ (m1 + m2),

18. Механическая работа

A = ,

где FS – проекция силы на направление пути; S – величина участка пути.

В частном случае постоянной силы, действующей под неизменным углом к перемещению, имеем

A = F S cos  ,

где F – модуль вектора силы; S – модуль вектора перемещения; – угол между векторами силы и перемещения.

19. Мощность

N = dA/dt.

При постоянной мощности

N = A/t = F V cos ?,

где А – работа, произведенная какой-либо силой; t – время, за которое произведена эта работа.

20. Кинетическая энергия

Wк = mV2/2,

где m – масса движущегося тела; V – скорость, с которой это тело движется.

21. Потенциальная энергия тела в поле силы тяжести (вблизи поверхности Земли)

Wп = mgh,

где m – масса тела; g – ускорение свободного падения; h – высота тела над поверхностью Земли.

22. Закон сохранения механической энергии

Wк + Wп = const.

23. Давление в жидкости и газе

P = Fдав/S,

где Fдав – cила давления; S – площадь поверхности.

24. Закон Архимеда

Fa = ж gVпогр,

где ж – плотность жидкости; g – уcкорение свободного падения; Vпогр – объем жидкости, вытесненной погруженной частью тела.

Динамика вращательного движения
25. Момент силы относительно произвольной оси вращения

M = Fl,

где F – сила; l – расстояние от оси вращения до прямой, вдоль которой действует сила.

26. Момент инерции материальной точки относительно произвольной оси вращения

J = mr2,

где m – масса материальной точки; r – расстояние от точки до оси.
27. Момент инерции твердого тела относительно его оси вращения

J =,

где интегрирование должно быть распространено на весь объем тела.

Производя интегрирование, можно получить следующие формулы:

момент инерции сплошного однородного цилиндра (диска) относительно оси цилиндра

J = 1/2 mR2,

где m – масса цилиндра (диска); R – его радиус;

момент инерции тонкостенного полого цилиндра (обруча)

J = mR2;

момент инерции однородного шара радиуса R относительно оси, проходящей через его центр,

J = 2/5 mR2;

момент инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через его середину перпендикулярно его длине l,

J = 1/12 ml2.

28. Теорема Штейнера

J = J0 + md2,

где J0 – момент инерции тела относительно его оси, проходящей через центр масс; m – масса тела; d – расстояние от оси вращения до оси, проходящей через центр масс тела.

29. Основной закон динамики вращательного движения твердого тела

dt = d(J),

где – момент внешних сил, приложенных к телу, момент инерции которого равен J; – угловая скорость вращения тела. Если J = const, то

= J,

где – угловое ускорение, приобретаемое телом под действием вращающего момента .

30. Кинетическая энергия вращающегося тела

Wk = J?2/2.

31. Закон сохранения момента количества движения

?J = const.

32. Теорема о связи работы и кинетической энергии

A =M?=( J? 2)2/2 – (J? 1)2/2.
Механические колебания и волны
33. Уравнение гармонического колебания

x = A sin (?t + ? ),

где х – смещение колеблющейся точки от положения равновесия; А – амплитуда колебаний; ? – циклическая частота; ? – начальная фаза.

34. Циклическая частота

? = 2?? = 2?/Т,

где ? – частота (количество колебаний в единицу времени); Т – период колебаний (время одного полного колебания).

35. Скорость при гармоническом колебании

V = A ? cos ?t.

36. Ускорение при гармоническом колебании

a = – A ?2 sin ?t.

37. Период колебаний пружинного маятника

Т = 2? ,

где m – масса тела, подвешенного на пружине; k – коэффициент упругости пружины.

38. Период колебаний математического маятника

Т = 2? ,

где l – длина маятника; g – ускорение свободного падения.

39. Период колебаний физического маятника

Т = 2?,

где L – приведенная длина физического маятника.

40. Сложение колебаний одного направления и одинаковой частоты:

а) амплитуда результирующего колебания

A2 = A1 2 + A2 2 +2 A1 A2 cos (?1 – ?2);

б) начальная фаза результирующего колебания

? = arctg (A1 sin ?1 + A2 sin ?2) / (A1 cos ?1 + A2 cos ?2).

41. Траектория точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях (х = A1 cos ?t, у = A2 cos (?t + ?)):

а) если разность фаз ? = 0,

у = (A2 /A1)х – прямая;

б) если разность фаз ? = ?,

у = – (A2 /A1)х, – прямая;

в) если разность фаз ? = ?/2,

х2/ A1 2 + у2/ A2 2 = 1 – эллипс.

42. Уравнение затухающего колебания

x = Ae-?t sin (?t + ?),

где ? – коэффициент затухания. При этом ? = r/2m и ? = , где ?0 – угловая частота собственных колебаний.

43. Добротность колебательной системы

.

где ? = ?Т – логарифмический декремент затухания.

Примеры решения задач



Пример 1. Автомобиль движется по шоссе, имеющему радиус кривизны 50 м. Закон движения автомобиля определяется уравнением

S =10 + 10t – 0.5t2.

Найти скорость автомобиля, его тангенциальное, нормальное и полное ускорение в момент времени t = 5 c.

Решение. Найдем общее выражение для скорости автомобиля. Известно, что

.

Взяв производную по времени от заданного уравнения пути, получим

.

Значение скорости в данный момент можно найти, если в полученную общую формулу скорости вместо времени подставить заданное значение:

м/с.

Найдем общее выражение для тангенциального ускорения. Из теории известно, что

.

Взяв производную по времени от общего уравнения скорости, находим

м/с2.

Значение нормального ускорения найдем, подставив в общее уравнение его известные значения скорости и радиуса кривизны траектории:

м/с2.

Полное ускорение будет геометрической суммой взаимно перпендикулярных тангенциального и нормального ускорений:

м/с2.
Пример 2. Пуля выпущена со скоростью 800 м/с под углом 30 к горизонту. Найти:

а) время полета пули до падения на землю;

б) скорость полета пули в верхней точке ее траектории;

в) дальность полета;

г) наибольшую высоту подъема пули;

д) радиус кривизны траектории в ее верхней точке. Сопротивлением воздуха пренебречь.


Решение. а) Скорость пули Vo, направленную под углом к горизонту, разлагаем на две составляющие:

горизонтальную

Vox = Vo cos ? = 800 cos 300 = 694 м/с,

вертикальную

Voy= Vo sin ? = 800 sin 300 = 400 м/с.

Движение пули можно представить как совокупность двух движений: равномерного, происходящего в горизонтальном направлении по инерции с постоянной скоростью Vox = 694 м/с, и равнопеременного, происходящего в вертикальном направлении под действием силы тяжести со скоростью Vy.

При полете пули вверх скорость ее под влиянием силы тяжести будет постепенно уменьшаться по закону

Vy = Voy – gt.

В верхней точке траектории эта вертикальная скорость будет равна нулю. Следовательно, формула примет вид

0 = Voy – gt.

Отсюда находим время полета пули вверх как

t = Voy / g= 400 / 9.81 = 40.7 c.

Столько же времени будет продолжаться падение пули на поверхность Земли. Следовательно, полная продолжительность полета пули

2t = 2 · 40.7 = 81.4 c.

б) В верхней точке траектории результирующая скорость полета пули равна скорости ее в горизонтальном направлении, так как в этой точке вертикальная скорость равна нулю. Следовательно,

V = Vx = V0x = 694 м/с.

в) В горизонтальном направлении пуля летит с постоянной скоростью

Vx = V0 · cos ? = 694 м/с.

За время полета пуля пройдет расстояние

Sx = Vx·2t = 694 · 81.4 = 5.65·104 м.

г) За время подъема, равное 40.7 с, пуля пройдет в вертикальном направлении расстояние

м.

Это расстояние и определяет высоту верхней точки траектории над поверхностью земли.

д) В самой верхней точке траектории ускорение, сообщаемое пуле силой тяжести и направленное вертикально, совпадает по направлению с нормалью к траектории и поэтому является нормальным. Величина его выражается формулой



где R – радиус кривизны траектории в ее верхней точке.

Отсюда

м.
Пример 3. Груз массой 45 кг перемещается по горизонтальной плоскости под действием силы 294 Н, направленной под углом 30 к горизонту. Коэффициент трения груза о плоскость 0.1. Определить ускорение движения груза.

Решение. На груз действуют: – сила тяжести; – сила нормальной реакции плоскости; – сила тяги и – сила трения.

Запишем для данного тела уравнение второго закона Ньютона в векторной форме:

+ + + = . (1)

Выбрав направления осей X и Y и найдя проекции сил на оси, запишем это уравнение в скалярной форме:

(2)

(3)

Из уравнения (3) находим, что


Тогда .

Подставим это выражение в (2):

,

откуда найдем ускорение груза:

м/с2.

Пример 4. Тело массой m, находящееся на вершине наклонной плоскости, удерживается силой трения. За какое время тело спустится с наклонной плоскости, если плоскость станет двигаться в горизонтальном направлении с ускорением a0 = 1 м/с2. Длина плоскости l =1 м, угол наклона к горизонту  =30, коэффициент трения между телом и плоскостью  = 0.6.

Решение. Выберем систему отсчета, связанную с наклонной плоскостью. Пока плоскость покоится, на тело действуют три силы: сила тяжести , сила нормального давления опоры и сила трения покоя, которые уравновешивают друг друга. Как только начнется ускоренное движение плоскости, появится четвертая сила, действующая на тело, – сила инерции

.

Равновесие нарушится, и тело начнет скользить вниз по наклонной плоскости с ускорением . Так как искомое время определяется известной формулой пути равноускоренного движения без начальной скорости

(1)

то надо найти ускорение . Для этого запишем второй закон Ньютона в неинерциальной системе отсчета:

+ + + = . (2)

Проектируя все векторы, входящие в уравнение (2), на оси X и Y, получим два скалярных уравнения:

mg sin – Fтр + ma0 cos = ma, (3)

–mg cos + N + ma0 sin = 0. (4)

Решив систему уравнений (3), (4) с учетом Fтр = N, найдем ускорение:

а = g (sin cos ) + a0 (cos + sin).

Сделаем подстановку в формулу (1):



Подставив числовые значения величин, найдем t = 0.8 c.
Пример 5. Молот массой 5 кг, двигаясь со скоростью 4 м/с, ударяет по железному изделию, лежащему на наковальне. Масса наковальни вместе с изделием равна 95 кг. Считая удар абсолютно неупругим, определить энергию, расходуемую на ковку изделия. Чему равен КПД процесса ковки при данных условиях?

Решение. Обоснуем возможность применения законов сохранения для решения задачи. Система «молот – изделие – наковальня» не является замкнутой: на нее действуют извне сила тяжести (M + m)g и сила давления N опоры, на которой стоит наковальня. Во время удара молота вторая сила, в той или иной степени определяемая упругими свойствами опоры, будет превышать первую силу и к рассматриваемой системе будет приложена извне равнодействующая

R = N – (M + m)g.

Однако силы ударного взаимодействия тел весьма велики. Можно предположить, что по сравнению с этими силами величиной R можно пренебречь и, таким образом, считать систему замкнутой.

На основании закона сохранения энергии можно утверждать, что энергия, затраченная на деформацию изделия, равна разности значений механической энергии системы до и после удара. Так как во время удара изменяется только кинетическая энергия тел (незначительным перемещением тел по вертикали за время удара мы пренебрегаем), то энергия деформации

(1)

где V* общая скорость всех тел системы после неупругого удара. Ее найдем на основании закона сохранения импульса:

. (2)

Подставив в формулу (1) значение V* из уравнения (2), получим ответ на первый вопрос задачи:

. (3)

Так как энергия, расходуемая на ковку изделия, по замыслу задачи является полезной, то КПД процесса ковки

. (4)

Подставив числовые значения заданных величин в формулы (3) и (4) и выполнив вычисление, получим:

Wдеф = 38 Дж, ? = 0.95.
Пример 6. Человек стоит в центре скамейки Жуковского и вместе с ней вращается по инерции, делая 0.5 об/с. Момент инерции тела человека относительно оси вращения равен 1.6 кг  м2. В вытянутых в стороны руках человек держит две гири массой по 2 кг каждая. Расстояние между гирями 1.6 м. Сколько оборотов в секунду будет делать скамейка с человеком, если он опустит руки и расстояние между гирями станет равным 0.4 м? Моментом инерции скамейки пренебречь.

Решение. Человек, держащий гири, составляет вместе со скамейкой изолированную механическую систему, поэтому момент импульса этой системы должен иметь постоянное значение. Следовательно, для нашего случая

, (1)

где J1 и ?1 – момент инерции тела человека и угловая скорость скамейки и человека с вытянутыми руками; J2 и ?2 – момент инерции тела человека и угловая скорость скамейки и человека с опущенными руками.

Отсюда

(2)

Заменив в (2) угловую скорость ее выражением через число оборотов в единицу времени (? = 2 ??) и сократив на 2 ?, получим

(3)

Момент инерции системы, рассматриваемой в данной задаче, равен сумме момента инерции тела человека J0 и момента инерции гирь в руках человека. Так как размер гирь много меньше расстояния их от оси вращения, то момент инерции гирь можно определить по формуле момента инерции материальной точки



Следовательно,





где m – масса каждой из гирь; l1 – первоначальное расстояние между гирями; l2 – конечное расстояние между гирями.

Подставляя выражения J1 и J2 в (3), получим

(4)

Подставляя числовые значения в (4), получим

об/с.
Пример 7. Маховик имеет вид диска массой 50 кг и радиусом 20 см. Он был раскручен до скорости вращения 480 об/мин и затем предоставлен самому себе. Под влиянием трения маховик остановился. Найти момент силы трения, считая его постоянным, если маховик до полной остановки сделал 200 оборотов.

Решение. Применим формулу, выражающую связь работы с изменением кинетической энергии,

или , (1)

Работа при вращательном движении определяется по формуле

A = M?.

Подставив это выражение работы, а также выражение момента инерции диска в (1), получим



Отсюда момент силы трения

. (2)

Угол поворота

? = 2?N = 1256 рад.

Подставив числовые значения в (2), найдем момент силы трения:

М = – 1 H м.

Знак «минус» показывает, что момент силы трения оказывает тормозящее действие.
Пример 8. Материальная точка массой 5 г совершает колебания с частотой 0.5 с–1. Амплитуда колебаний 3 см.

Определить:

а) скорость точки в момент времени, когда смещение ее равно 1.5 см и положительно;

б) максимальную силу, действующую на точку;

в) полную энергию колеблющейся точки.

Решение. а) Уравнение гармонического колебания имеет вид

x = А sin (?t + ?), (1)

где x – смещение колеблющейся точки от положения равновесия; А – амплитуда; (?t + ?) – фаза колебания; ? – круговая частота; t – время; ? – начальная фаза.

Формулу скорости получим, взяв первую производную по времени от смещения:

(2)

Чтобы выразить скорость через смещение, надо исключить из (1) и (2) время. Для этого возведем оба уравнения в квадрат, разделим первое на А2, второе – на А2?2 и сложим



или



Решив последнее уравнение относительно V, найдем

(3)

Подставив в это выражение числовые значения величин в системе СИ, получим

м/с.

Знак «плюс» соответствует случаю, когда точка удаляется от положения равновесия (направления смещения и скорости совпадают), знак «минус» соответствует движению точки к положению равновесия (направления смещения и скорости противоположны).

Скорость гармонического колебательного движения можно определить также из уравнения

x = A cos (?t +?). (4)

Взяв вместо (1) уравнение (4) и повторив с ним такое же решение, получим тот же ответ.

б) Силу, действующую на точку, найдем по второму закону Ньютона:

F = ma, (5)

где а – ускорение точки, которое получим, если возьмем производную по времени от скорости,



или



Подставив выражение для ускорения в (5), будем иметь



Отсюда получим максимальное значение силы



Подставив в это уравнение числовые значения величин в системе СИ, найдем

Н.

в) Полная энергия колеблющейся точки есть сумма кинетической и потенциальной энергий, вычисленных для любого момента времени.

Проще всего вычислить полную энергию в момент, когда кинетическая энергия достигнет максимального значения. В это время потенциальная энергия равна нулю. Поэтому полная энергия Е колеблющейся точки равна максимальной кинетической энергии Wmах и может быть определена по формуле

(6)

Максимальную скорость можно определить из формулы (2), если принять cos (?t + ?) = 1:

Vmax = 2??A.

Подставив это выражение скорости в (6), найдем

Е = 2?2m?2А2.

После подстановки числовых значений получим

Дж.

Задачи для самостоятельного решения



1. Камень, брошенный со скоростью 10 м/с под углом 11 к горизонту, упал на землю на некотором расстоянии от места бросания. С какой высоты надо бросить камень в горизонтальном направлении, чтобы при той же начальной скорости он упал на то же место? (Ответ: 0.715 м.)

2. При выстреле из пистолета в горизонтальном направлении пуля летела 5 с до первого из двух вертикально закрепленных листов бумаги, расстояние между которыми 3 м. Определить скорость пули, если пробоина во втором листе оказалась на 15 см ниже, чем в первом. (Ответ: 982 м/с.)

3. Через сколько секунд вектор скорости тела, брошенного под углом 39 к горизонту с начальной скоростью 19 м/с, будет составлять с горизонтом угол 17? (Ответ: 0.759 с.)

4. Определить скорость встречного ветра, если при движении автобуса со скоростью 16 м/с капли дождя, имеющие вертикальную составляющую скорости 22 м/с, образуют на оконном стекле автобуса полосы под углом 43 к вертикали. (Ответ: 4.51 м/с.)

5. На наклонной плоскости с углом наклона 20 лежит тело. Какое наименьшее ускорение необходимо сообщить наклонной плоскости в горизонтальном направлении, чтобы лежащее на ней тело свободно падало? (Ответ: 27 м/с2.)

6. К потолку трамвайного вагона подвешен на нити шар, вагон движется по горизонтальной плоскости с ускорением 6 м/c2. На какой угол отклоняется при этом нить с шаром? Ответ дать в градусах. (Ответ: 31.5.)

7. Через невесомый блок, укрепленный к потолку, перекинута нить, к концам которой подвешены гири с массами 12 и 8 кг. Найти ускорение, с которым движутся гири, трением в блоке пренебречь. (Ответ: 1.96 м/с2.)

8. При торможении поезда скорость его изменяется от 65 до 28 м/с за время 15 с. При каком предельном значении коэффициента трения между чемоданом и полкой чемодан при торможении начинает скользить по полке? (Ответ: 0.252.)

9. С вертолета, неподвижно висящего на некоторой высоте над поверхностью земли, сброшен груз массой 116 кг. Считая, что сила сопротивления изменяется пропорционально скорости, определить, через какой промежуток времени ускорение груза будет в два раза меньше ускорения свободного падения, коэффициент сопротивления 13 кг/c. (Ответ: 6.18 с.)

10. К потолку лифта подвешен на нити груз, находящийся на расстоянии 5 м от пола лифта. Масса лифта вместе с грузом равна 149 кг, внешняя сила 4615 Н заставляет лифт двигаться вверх с ускорением, нить внезапно оборвалась. Сколько времени пройдет от момента разрыва нити до удара груза об пол? (Ответ: 0.568 с.)

11. На покоящийся шар налетает со скоростью 50 см/с другой шар одинаковой с ним массы. После столкновения ранее движущийся шар изменил направление движения по отношению к первоначальному на угол 10. Угол между направлениями движения разлетевшихся после удара шаров 90. Найти скорость после упругого удара шара, покоившегося первоначально. (Ответ: 0.086 м/с.)

12. По наклонной плоскости с углом наклона к горизонту 20 с высоты 4 м соскальзывает тело. Достигнув горизонтальной поверхности, тело поднимается по другой наклонной поверхности с углом наклона 42. Определить высоту подъема, если коэффициенты трения одинаковые и равны 0.03. (Ответ: 3.60 м.)

13. Лодка массой 793 кг с находящимся в ней человеком массой 93 кг неподвижно стоит на спокойной воде. Человек начинает идти вдоль лодки со скоростью 2 м/с относительно лодки. С какой скоростью будет двигаться человек относительно воды? Сопротивление воды движению лодки не учитывать. (Ответ: 1.79 м/с.)

14. На рельсах стоит платформа весом 12 т. На ней закреплено орудие весом 4 т, из которого производится выстрел вдоль рельсов. Вес снаряда 137 кг, его начальная скорость относительно орудия 376 м/с. Определить скорость платформы в первый момент после выстрела, если до него она двигалась со скоростью 27 км/ч в направлении выстрела. (Ответ: 4.28 м/с.)

15. Цирковой гимнаст падает с высоты 5.32 м на туго натянутую упругую предохранительную сетку. Найти максимальное провисание сетки, если в случае спокойно лежащего гимнаста провисание равно 0.29 м. (Ответ: 2.08 м.)

16. Груз, подвешенный на легкой пружине, совершает гармонические колебания в вертикальной плоскости с амплитудой 5 см. В некоторый момент точка подвеса сама начинает колебаться в вертикальной плоскости с амплитудой 5 см и тем же периодом. Найти разность фаз складываемых колебаний, если амплитуда результирующего колебания равна 5 см. (Ответ: 2.09.)

17. Снаряд разрывается в верхней точке траектории на высоте 80 м на две одинаковые части. Через 13 с после взрыва одна часть падает на землю под тем местом, где произошел взрыв. На каком расстоянии от места выстрела упадет вторая часть снаряда, если первая упала на расстоянии 116 м? Силу сопротивления воздуха не учитывать. (Ответ: 188 м.)

18. Определить амплитуду вынужденных колебаний груза массой 423 г, подвешенного на пружине с коэффициентом жесткости 16 Н/м, если действует вынуждающая сила с амплитудой 3 Н и частотой, в 2 раза большей собственной частоты колебания груза, а коэффициент затухания равен 8 с–1. (Ответ: 3.122 10–2 м.)

19. Амплитуда колебаний камертона за время 48 с уменьшилась в 604 раза. Найти коэффициент затухания колебаний. (Ответ: 0.133.)

20. Тонкий прямой стержень длиной 1 м прикрепили к горизонтальной оси, проходящей через его конец. Стержень отклонили на 61 и отпустили. Определить линейную скорость нижнего конца стержня в момент прохождения им положения равновесия. (Ответ: 1.95 м/с.)

Контрольная работа № 1



Студент-заочник должен решить восемь задач того варианта, номер которого совпадает с последней цифрой шифра его зачетной книжки (см. табл. 1).

Таблица 1

Номер

варианта

Номер задачи


1

101

105

121

122

141

151

161

171

2

102

107

123

124

142

152

162

172

3

103

109

125

130

143

153

163

173

4

104

110

126

131

144

154

164

174

5

106

111

127

134

145

155

165

175

6

108

112

128

135

146

156

166

176

7

113

114

129

136

147

157

167

177

8

115

116

132

137

148

158

168

178

9

117

119

133

139

149

159

169

179

0

118

120

138

140

150

160

170

180


101. Мяч, брошенный горизонтально, ударяется о стенку, находящуюся на расстоянии 6 м от места бросания. Высота места удара мяча о стенку на 57 см меньше высоты, с которой брошен мяч. Под каким углом (в градусах) мяч подлетает к поверхности стенки?

102. Под каким углом к горизонту брошено тело, если известно, что максимальная высота подъема в 17 раз больше дальности полета? Сопротивление воздуха не учитывать.

103. С башни высотой 36 м в горизонтальном направлении со скоростью 15 м/с брошено тело. Чему равна скорость тела в момент падения?

104. Камень брошен в горизонтальном направлении. Через 3 с после начала движения численное значение скорости камня стало в 4 раза больше его начальной скорости. Найти начальную скорость камня. Сопротивление воздуха не учитывать.

105. Точка движется по окружности радиусом 79 см с постоянным тангенциальным ускорением. Найти нормальное ускорение точки через 3 с после начала движения, если известно, что к концу пятого оборота после начала движения линейная скорость точки равна 3 м/с.

106. Ракета пущена под углом 73 к горизонту с начальной скоростью 21 м/с. Определить время полета ракеты до наивысшей точки траектории.

107. Точка движется по окружности радиусом 1 м с постоянным тангенциальным ускорением, равным 73 см/с2. Через сколько времени после начала движения нормальное ускорение точки вдвое больше тангенциального?

108. С балкона бросили мячик вертикально вверх с начальной скоростью 6 м/с. Через 7 с мячик упал на Землю. Определить скорость мячика в момент удара о Землю.

109. Найти угловое ускорение колеса, если известно, что через 6 с после начала равноускоренного движения вектор полного ускорения точки, лежащей на ободе, составляет угол 41 с направлением линейной скорости этой точки.

110. Диск радиусом 70 см, находившийся в состоянии покоя, начал вращаться с постоянным угловым ускорением, равным 1 рад/с2. Чему равно полное ускорение точек на окружности диска через 4 с после начала вращения?

111. Найти радиус вращающегося колеса, если известно, что линейная скорость точки, лежащей на ободе, в 5 раз больше линейной скорости точки, находящейся на 49 см ближе к оси колеса.

112. Найти, во сколько раз нормальное ускорение точки, лежащей на ободе вращающегося колеса, меньше ее тангенциального ускорения для того момента, когда вектор полного ускорения этой точки составляет угол 10
с вектором линейной скорости.

113. Маховик вращается равноускоренно. Найти угол, который составляет вектор полного ускорения любой точки маховика с радиусом в тот момент, когда маховик совершит 10 оборотов.

114. Определить время полета самолета между двумя пунктами, находящимися на расстоянии 477 км, если скорость самолета относительно воздуха равна 280 м/с, а скорость встречного ветра, направленного под углом 14 к направлению движения, равна 16 м/с.

115. Определить начальную скорость, с которой тело брошено вертикально вверх, если на высоте 13 м оно было два раза с интервалом во времени 3 с. Сопротивление воздуха не учитывать.

116. Определить среднее угловое ускорение маховика, угловая скорость которого за время 18 полных оборотов возросла от частоты 7 оборотов в секунду до 17 оборотов в секунду.

117. Сколько оборотов сделали колеса автомобиля после включения тормоза до полной остановки, если в момент начала торможения автомобиль имел скорость 69 км/ч и остановился через 3 с после начала торможения? Диаметр колес 50 см.

118. Линейная скорость точек на окружности вращающегося диска равна 28 м/с. Точки, расположенные на 21 см ближе к оси, имеют линейную скорость 5 м/с. Сколько оборотов в секунду делает диск?

119. С какой высоты упало тело, если последний метр своего пути оно прошло за 10 мс?

120. С вышки бросили камень в горизонтальном направлении. Через 25 с камень упал на землю на расстоянии 32 м от основания вышки. Определить конечную скорость камня.

121. Лифт с пассажирами поднимается вверх с ускорением, равным 5 м/c2, вес лифта вместе с пассажирами равен 10 кН. Чему равно натяжение троса?

122. Автомобиль с выключенным мотором скатывается по наклонной плоскости с постоянной скоростью, угол наклона дороги к горизонту равен 11. Чему равен коэффициент трения между колесами автомобиля и дорогой?

123. Чему равен максимальный угол наклона плоскости к горизонту, если на этой плоскости удерживается груз? Коэффициент трения между грузом и плоскостью равен 0.109. Ответ дать в градусах.

124. Тело массой 366 кг движется при торможении равнозамедленно, его скорость в течение 12 с уменьшается от 12 до 4 м/с. Найти силу торможения.

125. Два груза массами 13 и 7 кг соединены нитью, перекинутой через невесомый блок, укрепленный к потолку. Найти натяжение нити, трением пренебречь.

126. К нити подвешена гиря. Если поднимать гирю с ускорением 6 м/c2, то натяжение нити будет в три раза меньше того натяжения, при котором нить разрывается. С каким ускорением нужно поднимать груз, чтобы нить разорвалась?

127. Автомобиль массой 8108 кг разгоняется из состояния покоя по горизонтальному пути в течение 64 с под действием силы тяги 6016 Н. Коэффициент сопротивления движению равен 0.036. Какой скорости он достигнет за время разгона?

128. С каким наибольшим ускорением можно поднимать груз весом 1345 Н, подвешенный на проволоке, чтобы при этом проволока не разорвалась? Проволока выдерживает груз 3035 Н.

129. Поезд после прекращения тяги паровоза останавливается за 26 с, коэффициент трения равен 0.118. С какой скоростью шел поезд?

130. На вершине наклонной плоскости, составляющей с горизонтом 15, укреплен невесомый блок, две гири равного веса 9 Н соединены нитью, перекинутой через блок, при этом одна из гирь лежит на наклонной плоскости, а другая висит на нити вертикально, не касаясь плоскости. Найти натяжение нити, трением пренебречь.

131. По наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол 58, скользит тело. Пройдя расстояние 110 м, тело приобретает скорость 8 м/c. Чему равен коэффициент трения тела о плоскость?

132. По горизонтальной плоскости движется тело массой 1 кг под действием силы 47 Н, приложенной к телу под углом к горизонту 33. Коэффициент трения скольжения равен 0.22. Вычислить скорость тела через 29 с после начала действия силы?

133. Автомобиль массой 7686 кг разгоняется из состояния покоя по горизонтальному пути в течение 26 с под действием силы тяги 3404 Н, после чего он движется до остановки с выключенным двигателем. Определить, на каком расстоянии от начала движения он остановился, коэффициент сопротивления движению равен 0.01.

134. Автомобиль движется в гору с ускорением 1 м/c2, угол наклона горы к горизонту равен 10, вес автомобиля 7391 Н. Коэффициент трения равен 0.069. Найти силу тяги, развиваемую мотором.

135. Вверх по наклонной плоскости с углом наклона 31 пущена шайба, через некоторое время она останавливается и движется вниз. Определить коэффициент трения шайбы о плоскость, если время спуска в два раза больше времени подъема.

136. Тело весом 6217 Н равномерно поднимают по наклонной плоскости, образующей угол 55 с горизонтом, прикладывая силу 2453 Н вдоль линии движения. С каким ускорением будет соскальзывать тело вдоль наклонной плоскости, если его отпустить?

137. Наклонная плоскость, образующая угол 49 с плоскостью горизонта, имеет длину 9 м. Тело, двигаясь равноускоренно, соскользнуло с этой плоскости за время 10 с. Определить коэффициент трения тела о плоскость.

138. Катер массой 1380 кг трогается с места и за время, равное 9 с, развивает при движении в спокойной воде скорость 2 м/c. Определить силу тяги мотора, считая ее постоянной; сила сопротивления движению пропорциональна скорости, коэффициент сопротивления равен 191 кг/c.

139. Два груза с одинаковыми массами связаны между собой нитью, перекинутой через невесомый блок; плоскости, на которых находятся грузы, составляют с горизонтом углы 21 и 51. Коэффициент трения грузов о плоскости одинаков и равен 0.087. Найти ускорение грузов.

140. Сани можно удержать на ледяной горе с уклоном 0.507 силой, не меньшей 58 Н, а, предоставленные сами себе, они скатываются с ускорением 8 м/c2. Какую силу надо приложить к саням, чтобы тянуть их в гору равномерно? (Уклон равен тангенсу угла между наклонной плоскостью и горизонтом).

141. Шар массой 600 г сталкивается с покоящимся шаром большей массы. В результате прямого упругого удара шар потерял 17 % своей кинетической энергии. Определить массу шара, который до удара покоился.

142. Снаряд массой 27 кг ударяется в баллистический маятник, масса которого составляет 623 кг, а длина 4 м. Определить скорость снаряда, если после удара он застрял в маятнике, а последний отклонился на угол 58. Баллистический маятник считать математическим той же длины.

143. Снаряд массой 33 кг ударяется в баллистический маятник и падает вниз. Определить скорость снаряда, если маятник массой 327 кг и длиной 2 м после абсолютно неупругого удара отклонился на угол 84. Баллистический маятник считать математическим той же длины.

144. Снаряд разрывается в верхней точке траектории на высоте 99 м на две одинаковые части. Через 18 с после взрыва одна часть падает на землю под тем местом, где произошел взрыв. На каком расстоянии от места выстрела упадет вторая часть снаряда, если первая упала на расстоянии 954 м? Сопротивление воздуха не учитывать.

145. С какой скоростью после горизонтального выстрела из винтовки стал двигаться стрелок, стоящий на весьма гладком льду? Масса стрелка с винтовкой составляет 89 кг, а масса пули 19 г и ее начальная скорость 388 м/с.

146. Из двух соударяющихся абсолютно упругих шаров больший шар покоится. В результате центрального упругого удара меньший шар потерял 21 % своей кинетической энергии. Определить отношение масс шаров m2/m1.

147. Сани соскальзывают с ледяной горы высотой 45 м и останавливаются, пройдя по горизонтальной поверхности 725 м. Найти коэффициент трения о лед, если угол наклона горы равен 11.

148. С какой скоростью должен лететь снаряд массы 88 кг, чтобы при ударе с судном массы 35 т оно получило скорость 31 см/с? Удар считать
неупругим.

149. За какую часть периода точка, совершающая гармонические колебания, пройдет путь, равный 0.583А, где А – амплитуда колебаний, если в начальный момент точка находилась в положении равновесия?

150. Пуля массой 8 г, вылетевшая из винтовки с начальной скоростью 512 м/с, упала на землю со скоростью 200 м/с. Какая работа была совершена по преодолению сил сопротивления воздуха?

151. Энергия, затраченная на толкание ядра, брошенного под углом 13 к горизонту, равна 153 Дж. Какую потенциальную энергию будет иметь ядро в точке максимального подъема, если в момент бросания оно находилось на высоте 1,5 м над землей? Масса ядра равна 2 кг. Сопротивлением воздуха пренебречь.

152. На рельсах стоит платформа весом 12 т. На платформе закреплено орудие весом 2 т, из которого производится выстрел вдоль рельс. Вес снаряда 98 кг, его начальная скорость относительно орудия равна 410 м/с. Определить скорость платформы в первый момент после выстрела, если до выстрела платформа была неподвижна.

153. Из ружья массой 9 кг вылетает пуля массой 19 г со скоростью 139 м/с. Найти скорость отдачи ружья.

154. Тело массой 41 кг, движущееся горизонтально со скоростью 4 м/с, сталкивается неупруго с неподвижным телом массой 23 кг. Какую скорость будут иметь тела после столкновения?

155. Тело массой 1 кг, движущееся горизонтально со скоростью 1 м/с, неупруго сталкивается со вторым телом массой 46 кг. Какую скорость будут иметь тела, если второе тело до соударения двигалось со скоростью 29 м/с навстречу первому?

156. Человек массой 53 кг, стоя на коньках на льду, бросает в горизонтальном направлении камень массой 1 кг со скоростью 2 м/с. На какое расстояние откатится при этом конькобежец, если коэффициент трения коньков о лед равен 0.02?

157. Тело массой 31 кг движется со скоростью 90 м/с и ударяется о
неподвижное тело массой 41 кг. Считая удар центральным и неупругим, найти количество теплоты, выделившейся при ударе.

158. Тело массой 8 кг ударяется о неподвижное тело массой 2 кг. Кинетическая энергия системы этих двух тел непосредственно после удара стала равна 5 Дж. Считая удар центральным и неупругим, найти кинетическую энергию первого тела до удара.

159. На железнодорожной платформе установлено орудие. Масса платформы с орудием 2 т. Орудие стреляет вверх под углом 57 к горизонту в направлении пути. С какой скоростью покатится платформа вследствие отдачи, если масса снаряда 23 кг и он вылетает со скоростью 351 м/с?

160. Снаряд массой 14 кг обладает скоростью 134 м/с в верхней точке траектории. В этой точке он разорвался на две части. Меньшая часть массой 1 кг получила скорость 271 м/с в прежнем направлении. Найти скорость второй, большей, части, после разрыва.

161. Под действием постоянной силы вагонетка (из состояния покоя) прошла путь 5 м и приобрела скорость 1 м/с. Определить работу силы, если масса вагонетки 233 кг и коэффициент трения 0,01. Масса колес вагонетки по сравнению со всей массой пренебрежимо мала.

162. На доске лежит груз массой 6 кг. Доска совершает гармонические колебания с периодом 0.988 с и с амплитудой, равной 2 см. Определить вес груза в момент времени, равный 1/8 периода колебаний. (Время отсчитывается от момента, когда доска, поднимаясь, проходит среднее положение).

163. Амплитуда затухающих колебаний математического маятника за 31 с уменьшается в 5 раз. Длина маятника равна 29 см. Сколько полных колебаний должен сделать маятник, чтобы амплитуда уменьшилась в 67 раз?

164. Тело совершает гармонические колебания с частотой 2 Гц. Начальная фаза равна 15. Через сколько секунд после начала движения кинетическая энергия в первый раз будет равна потенциальной?

165. В колебательной системе возбуждаются вынужденные колебания с частотой 9 Гц. При увеличении возбуждающей частоты в 9 раз амплитуда колебаний не изменилась. Найти собственную частоту колебаний системы, пренебрегая коэффициентом затухания.

166. На краю свободно вращающегося горизонтального диска (радиус 3 м, момент инерции 142 кг  м2) стоит человек массой 80 кг. Во сколько раз изменится кинетическая энергия системы (W2/W1), если человек перейдет от края диска к центру? Момент инерции человека рассчитать как для материальной точки.

167. Энергия, затраченная на толкание ядра, брошенного под углом 13 к горизонту, равна 153 Дж. Какую потенциальную энергию будет иметь ядро в точке максимального подъема, если в момент бросания оно находилось на высоте 1,5 м над землей? Масса ядра равна 2 кг. Сопротивлением воздуха пренебречь.

168. Маховик, момент инерции которого равен 45 кг·м2, начал вращаться равноускоренно из состояния покоя под действием момента сил 13 Н·м, вращение продолжалось 13 с. Определить кинетическую энергию, приобретенную маховиком за это время.

169. Сплошной цилиндр массой 8 кг катится без скольжения по горизонтальной поверхности. Линейная скорость оси цилиндра равна 1.90 м/с. Определить полную кинетическую энергию цилиндра.

170. Кинетическая энергия вращающегося маховика равна 1 кДж. Под действием момента сил торможения маховик начал вращаться равнозамедленно и, сделав 54 оборота, остановился. Определить момент сил торможения.

171. На скамье Жуковского (в виде диска) стоит человек и держит стержень длиной 2.20 м и массой 5 кг, расположенный вдоль оси вращения скамьи (момент инерции системы 1 кг·м2). Скамья вращается с частотой 5 с–1. Определить частоту вращения скамьи, если человек повернет стержень в горизонтальное положение.

172. Шарик, привязанный к концу нити длиной 1 м, вращается, опираясь на горизонтальную плоскость, с частотой 1 с–1. Нить укорачивают, и шарик приближается к оси вращения до расстояния 0.30 м. С какой частотой будет при этом вращаться шарик? Трением шарика о плоскость пренебречь.

173. Шарик массой 145 г, привязанный к концу нити длиной 1 м, вращается, опираясь на горизонтальную плоскость, с частотой 5 с–1. Нить укорачивают, и шарик приближается к оси вращения до расстояния 0.80 м. Определить работу внешней силы, укорачивающей нить. Трением шарика о плоскость пренебречь.

174. Платформа в виде диска радиусом 1 м вращается по инерции с частотой 7 об/мин. На краю платформы стоит человек, масса которого равна 68 кг. С какой частотой будет вращаться платформа, если человек перейдет в ее центр? Момент инерции платформы равен 99 кг  м2. Момент инерции человека рассчитать как для материальной точки.

175. Пластилиновый шарик (М1=17 г), летящий со скоростью 5 м/с перпендикулярно стержню (М2 = 123 г, длина АВ = 1.30 м), попадает в точку А на его конце и прилипает. В результате этого стержень начинает вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку О на стержне. Определить угловую скорость стержня, если расстояние АО = АВ/2.

176. Пластилиновый шарик (М1=17 г), летящий со скоростью 1 м/с перпендикулярно стержню (М2=585 г, длина АВ = 0.50 м), попадает в точку А на его конце и прилипает. В результате этого стержень начинает свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку О на стержне. Определить линейную скорость точки В на стержне, если расстояние АО = АВ/3.

177. Сплошной цилиндр радиусом 0.30 м, вращающийся вокруг своей оси с частотой 9 об/с, ставят вертикально (без изменения частоты) на горизонтальную поверхность. Сколько оборотов сделает цилиндр до остановки? Коэффициент трения скольжения между основанием цилиндра и поверхностью постоянен и равен 0.10.

178. На краю свободно вращающегося диска, имеющего радиус 1 м и момент инерции 77 кг  м2, стоит человек массой 82 кг. Диск совершает 6 об/мин. Во сколько раз изменится угловая скорость вращения диска, если человек перейдет от края диска к центру? Момент инерции человека рассчитать как для материальной точки.

179. В центре свободно вращающегося диска, имеющего радиус 1 м и момент инерции 75 кг  м2, стоит человек массой 61 кг. Диск совершает 5 об/мин. Во сколько раз изменится кинетическая энергия системы, если человек перейдет из центра диска на край? Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки.

180. На покоящемся горизонтальном диске массой 118 кг и радиусом 1.75 м находится человек (М = 64 кг). В некоторый момент человек начинает двигаться по окружности радиусом 0.70 м, концентричной диску, со скоростью 1 м/с относительно диска. С какой угловой скоростью будет вращаться диск?

1   2   3   4   5   6


Учебный материал
© bib.convdocs.org
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации