Шпора по физике - файл n1.doc

Шпора по физике
скачать (408.1 kb.)
Доступные файлы (2):
n1.doc559kb.13.12.2006 14:55скачать
n2.rar

n1.doc

  1   2


Молекулярная физика и термодинамика

1 Основные понятия и определения. Уравнение состояния идеального газа

1.1 Предмет и метод молекулярной физики и термодинамики Статистические и термодинамические методы исследования
Молекулярная физика представляет собой раздел физики, в котором изучаются свойства веществ в зависимости от внутреннего строения, взаимодействия между частицами веществ и характера их движения.

Согласно молекулярно-кинетической теории (МКТ):

а) все тела (жидкие, твердые, газообразные) состоят из большого числа молекул (атом можно считать одноатомной молекулой).

б) молекулы вещества находятся в состоянии беспрерывного хаотического движения.

в) интенсивность движения частиц зависит от температуры вещества.

Основные положения МКТ были заложены Ломоносовым М.В. в 40 – х годах 18 столетия. Во второй половине 19 столетия МКТ получила всестороннее развитие и применение во многих областях физики и химии благодаря работам таких выдающихся физиков как Джоуль, Клаузиус, Максвелл, Больцман и др.

МКТ объясняет свойства тел, непосредственно наблюдаемые на опыте (, так называемые макроскопические параметры) как результат действия огромного числа молекул вещества. При этом она пользуется статистическим методом, основанным на теории вероятности и определенных моделях строения изучаемых систем. В поведении большого числа частиц проявляются особые статистические закономерности. Например, в газе можно определить средние значения скорости теплового движения молекул и их энергий, однозначно связанных с их температурами или найти зависимость от Т средней энергии колебательного движения молекул в твердом теле. Раздел физики, в котором изучаются физические свойства макросистем с помощью статистического метода, называется статистической физикой. Это другое название молекулярной физики.

Изучением различных свойств тел и изменений агрегатных состояний вещества занимается также термодинамика (т-ка). Однако, она не рассматривает внутреннее строение изучаемых тел и характер движения их частиц. Ее метод основан на анализе условий и количественных соотношений при различных превращениях энергии, происходящих в системе. В основе т-ки лежит несколько фундаментальных законов (начал т-ки), установленных на основе большого числа опытных фактов. Поэтому выводы т-ки имеют весьма общий характер.

Молекулярная физики и термодинамика при рассмотрении изменения состояния вещества с разных позиций взаимно дополняют и обогащают друг друга.

1.2 Термодинамические системы. Термодинамические параметры и процессы

Макросистема, рассматриваемая методами термодинамики, называется термодинамической (т.) системой. Это может быть, например, жидкость и пар, находящийся с ней в равновесии. Система может быть открытой или закрытой (в зависимости от того, обменивается ли она веществом с окружающими телами), изолированной (если нет обмена энергией с внешними телами).

Т. система может находиться в различных состояниях, отличающихся физическими величинами , называемых т. параметрами состояния. Состоянию газа отвечают также определенная масса и химический состав вещества.

Если параметры т. системы неизменны во времени и в системе отсутствуют потоки энергии и вещества, такое состояние т. системы называют равновесным. В такое состояние придет тело, если его изолировать от других тел и предоставить самому себе. Все его т. параметры (и др.) через некоторое время примут одинаковые для всех точек тела значения – тело перейдет в равновесное состояние.

Процесс перехода системы из равновесного состояния в неравновесное (или наоборот) называется релаксацией. Время, в течение которого физическая величина, возвращаясь в равновесное состояние, изменяется в раз, называется характеристическим временем релаксации.

В равновесном положении система может находиться сколь угодно долго. Оно может быть изображено точкой на координатной плоскости, образованной какими-либо двумя параметрами состояния. Неравновесное состояние не может быть изображено точкой, т.к., хотя бы один параметр системы не будет иметь определенное значение для всего его объема.

При переходе из одного т. состояния системы в другое равновесие нарушается, значит, система проходит через последовательность неравновесных состояний. Нарушение равновесия тем сильней, чем быстрее проходит процесс перехода. Следовательно, при очень медленном переходе состояние системы в каждый момент является квазиравновесным. Значит, бесконечно медленный процесс перехода будет состоять из последовательности равновесных состояний. Такой процесс называется равновесным или квазистатическим.

Равновесный т. процесс может быть проведен в обратном направлении, при этом система будет проходить через те же состояния, что и при прямом переходе, но в обратной последовательности. Поэтому, равновесные процессы называют также обратимыми. Они могут быть изображены на координатной плоскости линией.

Процесс, при котором т. система после ряда изменений возвращается в исходное состояние, называется круговым процессом или циклом. Его графиком является замкнутая линия.

Все количественные выводы термодинамики применимы только к равновесным состояниям и обратимым процессам.

Т. процессом называют всякое изменение параметров т. системы. Простейшими из них являются: изотермический, изохорный, изобарный и адиабатный.

1.3. Температура

Температура системы, находящейся в равновесном состоянии, является мерой интенсивности теплового движения молекул, образующих систему. В этом состоит молекулярно-кинетическое истолкование температуры.

Если соприкасающиеся тела находятся в состоянии теплового равновесия, т.е., не обмениваются энергией путем теплопередачи, то им приписывают одинаковую температуру, а если при тепловом контакте одно из них передает энергию другому посредством теплопередачи, то первому приписывают большую температуру, второму – меньшую.

Средняя кинетическая энергия теплового движения частиц прямо- пропорциональна термодинамической температуре системы.

Для измерения температуры используется зависимость от температуры ряда физических свойств тела, называемого термометрическим, при прямом или косвенном измерении: длина, объем, сопротивление и др. Их изменение является основой для измерения температуры.

Для практического измерения температуры применяются температурные шкалы, установленные с помощью термометрических тел. В Международной стоградусной шкале в качестве термометрического тела берется вода и температура выражается в градусах Цельсия. В термодинамической температурной шкале температура выражается в К и называется термодинамической температурой. Связь между шкалами . К называется абсолютный нуль температуры или нуль по термодинамической шкале.
1.4 Уравнение состояния идеального газа

Состояние данной массы газа определяется значением трех параметров , изменение одного из них приводит к изменению других. Соотношение, связывающее эти параметры, представляет собой уравнение состояния данной массы газа.

Простейшим объектом, для которого рассмотрено уравнение состояния, является идеальный газ. Это газ, взаимодействием между молекулами которого можно пренебречь. Всякий реальный газ при достаточном разрежении близок к идеальному при комнатной температуре, особенно гелий и водород.

Экспериментально показано, что при небольших плотностях газы с хорошей точностью подчиняются уравнению:

(1) - уравнение состояния идеального газа.

Согласно закону Авогадро 1 моль любого газа занимает при одинаковых условиях (и ) одинаковый объем. В частности, при нормальных : 1 атм. и 273К объем одного моля газа равен 22,4 л. Значит, в формуле (1) для 1 моля любого газа величина константы будет одной и той же. Она обозначается как - универсальная газовая постоянная, = 8,31Дж/моль К. Тогда уравнение состояния 1 моля газа: (2).

Теперь можно записать уравнение для произвольной массы газа, учитывая, что при одинаковых и число молей газа будет занимать объем в раз больше: , тогда умножив (2) на , получим: (3) – уравнение состояния для произвольной массы газа. Оно называется также уравнением Менделеева – Клапейрона.

Если его правую часть умножить и разделить на число Авогадро, то получим:

. Или учитывая, что - постоянная Больцмана, а - концентрация, получим окончательно:

-еще одна форма уравнения состояния идеального газа.
2 Первый закон термодинамики

2.1 Внутренняя энергия системы

Полная энергия т. системы равна сумме кинетической энергии механического движения системы как целого, потенциальной энергии системы во внешнем поле ( гравитационном или электромагнитном) и внутренней энергии , зависящей только от внутреннего состояния системы. Для неподвижных систем, не подверженных действию внешних сил, значение полной и внутренней энергий совпадают.

Внутренняя энергия включает в себя энергии всевозможных видов движения и взаимодействия всех частиц (молекул, атомов, ионов и др.) системы, Например, для газа внутренняя энергия состоит из:

а) кинетической энергии теплового поступательного и вращательного движения молекул, а также колебательного движения атомов в молекулах;

б) потенциальной энергии, обусловленной силами межолекулярного взаимодействия;

в) энергии электронных оболочек атомов и ионов;

г) энергии движения и взаимодействия нуклонов в ядрах.

Внутренняя энергия является однозначной функцией состояния т.системы, Ее значение в каком –либо произвольном состоянии системы не зависит от того, каким образом пришла система в это состояние. Т.е., изменение внутренней энергии при переходе системы из состояния 1 в состояние 2 не зависит от вида процесса перехода и равно . В частности, если система возвращается в результате какого-либо перехода в исходное состояние, то полное изменение внутренней энергии равно нулю.

Подобно потенциальной энергии в механике, определяется с точностью до постоянной величины , зависящей от выбора отсчета внутренней энергии, т.е., от выбора нуля. Так, как во всех расчетах термодинамики находят не абсолютное значение внутренней энергии, а ее изменение , то выбор не играет роли.

Составляющие внутренней энергии в) и г) не изменяются во всех процессах, не связанных с химическими реакциями и другими превращениями электронных оболочек атомов и ионов, а также ядерными реакциями и их можно не включать во внутреннюю энергию. Поэтому в дальнейшем под внутренней энергией в термодинамике будем понимать только сумму кинетической энергии теплового механического движения молекул и потенциальной энергии их взаимодействия. В идеальном газе последнее слагаемое равно нулю, значит его внутренняя энергия равна сумме кинетических энергий беспорядочного движения всех молекул.
2.2 Работа и теплота

Обмен энергией между т.системой и внешними телами может происходить двумя качественно различными способами: путем совершения работы и путем теплопередачи. Первый способ, как известно из механики, осуществляется при силовом взаимодействии между телами. Энергия, передаваемая при этом т. системе внешними телами, называется работой, совершаемой над системой

Энергия, передаваемая внешними телами путем теплообмена, называется теплотой, получаемой т. системой от внешней среды.

Для совершения работы над неподвижной системой необходимо, чтобы перемещались внешние тела, т.е., чтобы изменялись внешние параметры состояния системы.

В отсутствии внешних силовых полей обмен энергией между неподвижной системой и внешней средой путем совершения работы происходит только при изменении объема и формы системы. Например, работу над газом производят силы давления на газ со стороны внешней среды. При этом работа внешних сил над системой , численно равна и противоположна по знаку работе , совершаемой самой системой над внешней средой, т.е., против внешних сил.

В отличие от внутренней энергии системы, являющейся однозначной функцией состояния этой системы, понятие теплоты и работы имеют смысл только в связи с видом процесса изменения состояния системы. Они являются энергетическими характеристиками конкретного процесса.

Существует качественное различие между совершением работы и теплообменом, как способами обмена энергией между макросистемами. Совершение работы над системой может изменить любой вид энергии системы. Например, при неупругом соударении тел часть совершенной работы идет на изменение кинетической энергии, а часть работы – на приращение внутренней энергии. Если же энергия сообщается в виде теплоты, то она идет только на увеличение энергии теплового движения молекул, т.е. на .
2.3 Первый закон термодинамики

Равновесный процесс перехода т. системы из начального состояния 1 в другое – 2 можно рассмотреть с точки зрения закона сохранения энергии. Изменение внутренней энергии системы в таком процессе равно сумме работы, совершенной внешними силами над системой и теплоты, сообщенной системе, :

.

Работа численно равна и противоположна по знаку работе , совершаемой самой системой против внешних сил в том же равновесном переходе: , тогда первый закон термодинамики можно записать в виде:

,

т.е., теплота, сообщенная системе, идет на приращение внутренней энергии и на совершение системой работы над внешними телами.

Обычно первый закон записывают для изменения состояния системы при сообщении ей малого количества теплоты, совершением системой малой (элементарной) работы и элементарному изменению (приращению) внутренней энергии :



Отличие в записи малых величин теплоты и работы и изменении внутренней энергии не формальны, а отражают глубокое физическое различие этих величин. Дело в том, что внутренняя энергия системы является однозначной функцией ее состояния. Ее значение в каком-либо произвольном состоянии не зависит от того, каким способом система пришла в это состояние, . При совершении системой процесса, в результате которого она вновь возвращается в исходное состояние, полное изменение энергии , т.е., интеграл:



Это тождество является необходимым и достаточным условием для того, чтобы выражение представляло собой полный дифференциал. Ни работа, ни теплота не являются функциями состояния и поэтому и не являются полными дифференциалами. По определению из математики полный дифференциал функции:

, т.е., определяется значениями функции в конечном и начальном состояниях и не зависит от пути перехода.

Все физические величины, входящие в 1 закон термодинамики могут быть больше нуля или меньше нуля, возможно также, что = 0 и = 0. Если теплота подводится, 0, если отводится, то  0. На одних участках перехода она может быть положительна, на других – отрицательна.

Общее количество теплоты, сообщенное системе в конечном процессе перехода 1 – 2 равно алгебраической сумме теплот , сообщенных на всех участках процесса:

.

Работа, совершаемая системой в конечном процессе 1 – 2 равна алгебраической сумме работ , т.е.,



Изменение внутренней энергии в этом конечном переходе:

и не зависит от вида перехода.
2.4 Работа при расширении или сжатии газа

Найдем работу, которая совершается при расширении или сжатии газа, заключенного в сосуде с подвижным поршнем площадью . Внешняя сила, действующая на поршень . При перемещении поршня вверх на малое расстояние газ совершает элементарную работу , где - изменение объема газа. Если изменение объема происходит квазистатически, то в любой момент времени газ находится в равновесном состоянии с внешней средой и его давление Элементарная работа газа в равновесном (квазистатическом) процессе изменения его объема:. Т.к.,  0, то при расширении газ совершает положительную работу. При сжатии  0, значит,  0 – работа газа отрицательна, положительную работу в этом случае совершают внешние силы.

Если давление постоянное, то работа , при работа вычисляется как сумма элементарных работ, т.е., путем интегрирования:

. Это численно равно площади под кривой на соответствующем графике, рис. Эти выражения справедливы при любых изменениях объема твердых, жидких и газообразных тел.
2.5 Теплоемкость идеального газа

Из опыта следует, что внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры. Отсутствие зависимости от объема газа указывает на то, что молекулы идеального газа не взаимодействуют друг с другом, иначе бы во внутреннюю энергию входило слагаемое, зависящее от расстояния между молекулами, т.е., от . Значит, подавляющую часть времени молекулы проводят в свободном полете.

Теплоемкостью какого-либо тела называют величину, равную количеству тепла, которое нужно сообщить телу, чтобы повысить его температуру на 1К. Если сообщение телу тепла повышает его температуру на , то теплоемкость тела по определению: .

Теплоемкость единицы массы вещества называют удельной теплоемкостью:

, тогда, молярная теплоемкость: , а теплоемкость тела: .


2.6 Изопроцессы идеального газа

Уравнение первого закона термодинамики можно записать для равновесных процессов изменения его состояния в ином виде, используя выражения для теплоемкости однородного тела, откуда или с учетом молярной теплоемкости: , а для одного моля .

Тогда первый закон можно записать в виде:



Применим его к различным изопроцессам идеального газа.


  1. Изохорный процесс, .(закон Шарля).

На диаграмме это вертикальная прямая: 1 – 2 нагрев , а 1 - 3 охлаждение. Практически этот процесс проводят, изменяя температуру газа, находящегося в толстостенном сосуде с неизменным объемом. В этом процессе работа не совершается: . Вся теплота идет на изменение его внутренней энергии.,

(1), где - молярная теплоемкость при постоянном объеме. Из опытов известно, что зависит от химического состава газа и его Т. Для не очень широкой области температур можно считать, что =const.

При изохорном конечном нагреве газа от температуры Т1 до температуры Т2 изменение внутренней энергии равно

(2), и теплота, сообщенная системе:

(3)

Для идеального газа внутренняя энергия это энергия теплового движения молекул, непосредственно не зависящая от объема (расстояния между молекулами), как в реальных газах. При расширении и сжатии газа его будет изменяться только за счет изменения кинетической энергии теплового движения, т.е., за счет температуры. Таким образом, соотношения (1) и (2) справедливы для любого процесса изменения состояния идеального газа, а не только изохорного. Внутренняя энергия газа зависит только от его массы, химического состава и температуры. Это подтверждается опытами Гей – Люссака и Джоуля.

Значит, для любого равновесного процесса изменения состояния идеального газа уравнение первого закона термодинамики имеет вид:

(4)


  1. Изобарный процесс, . ( Закон Гей -Люссака)

Он реализуется при нагревании газа в цилиндре с подвижным поршнем, на который действует постоянное внешнее давление.

На рис. изображены процессы изобарного расширения газа при его нагревании (1-2) и изобарного сжатия при его охлаждении (2-3).

Элементарная теплота, сообщенная газу в изобарном процессе:

(5), где - молярная теплоемкость при постоянном давлении.

Элементарная работа, совершенная идеальным газом при этом:

(6), учитывая уравнение Менделеева –Клапейрона.

Из последнего уравнения можно выяснить смысл :

, т.е. универсальная газовая постоянная численно равна работе, совершенной одним молем идеального газа при его изобарном нагревании на 1К.

Подставим в первый закон выражения для и и найдем связь между и :

, откуда: (7) – уравнение Майера для молярных теплоемкостей. Отсюда видно, что при изобарном нагревании газа к нему должна быть подведена большая теплота, чем для такого же изохорного нагревания, разность их равна работе, совершенной газом при изобарном расширении.

Работа газа при изобарном расширении при переходе из состояния 1 в состояние 2 , рис.

(8).

Если постоянная, то теплота, сообщенная газу в изобарном процессе:

(9), а изменение внутренней энергии в процессе:

(10).
3. Изотермический процесс, Т=const. (закон Бойля – Мариотта)

Может происходить в условиях, когда теплообмен между газом и внешней средой осуществляется при постоянной (конечной) разности температур. Для этого теплоемкость внешней среды должна быть велика и процесс расширения или сжатия должен идти весьма медленно (для квазиравновесия). Изотермическими являются процессы кипения, конденсации, плавления и кристаллизации химически чистых веществ, происходящих при постоянном давлении.

Для идеального газа в этом процессе выполняется закон Бойля – Мариотта: , графиком которого является гипербола, рис. . Внутренняя энергия газа постоянна в процессе, значит:

(11) , а ,

т.е., вся теплота, сообщенная системе, идет на совершение газом работы против внешних сил:

(12)

При изотермическом расширении , к нему подводится теплота , газ совершает положительную работу, , рис. , процесс 1-2. При сжатии газа, процесс 1-3, работа, совершенная газом отрицательна, положительную работу при этом выполняют внешние силы, От газа отводится теплота .

Теплоемкость газа в изотермическом процессе  , т.к., .

  1. Адиабатный процесс, .

Это процесс, при котором система не обменивается теплотой с окружающей средой. Практически процесс производят при достаточно быстром расширении или сжатии газа.

Тогда из первого закона следует:

- система совершает работу за счет убыли внутренней энергии. Или, записывая более подробно, получим:

(13)

Здесь теплоемкость при адиабатном процессе -, т.к., .

Из (13) видно, что (14)

При расширении и , газ охлаждается, при адиабатном сжатии и , газ нагревается.

Связь между параметрами состояния адиабатного процесса можно найти, взяв дифференциалы от и от уравнения Менделеева - Клапейрона:

(15) , отсюда можно выразить , подставить в уравнение (14) и получить: . Заменив здесь из уравнения Майера, получим после простых преобразований:

, далее разделим переменные, поделив уравнение на и обозначим - показатель адиабаты или постоянная Пуассона.

Тогда . После интегрирования или:



Это есть уравнение адиабаты или уравнение Пуассона. С помощью уравнения Менделеева – Клапейрона его можно записать через другие параметры:

или .

Из рис. видно, что адиабата идет круче, чем изотерма, поскольку для любого идеального газа. Это объясняется тем, что при адиабатном сжатии увеличение давления происходит не только из-за уменьшения объема, как в изотермическом процессе, но и из-за возрастания температуры. При адиабатном расширении газа его температура уменьшается и давление падает сильнее, чем при соответствующем изотермическом расширении.

Работа в адиабатном (конечном) процессе 1-2 ( на рис. площадь под кривой)




  1. Политропный процесс

Он является обобщением рассмотренных выше процессов изменения состояния газа и описывается уравнением:

, здесь - постоянная безразмерная величина –показатель политропы. Различным изопроцессам соответствуют разные :

=0 – изобарный процесс:;

=1 – изотермический процесс: ;

= - адиабатный процесс: ;

=   - изохорный процесс.
3. Статистическая физика
3.1 Вероятность и средние значения величин

При описании систем, содержащих большое число частиц нет ни возможности, ни необходимости рассматривать значения физических величин, относящихся к каждой из частиц в отдельности. Использование их средних значений позволяет получить вполне точные законы, например, уравнение для давления идеального газа p= 1/3 m0nv2, где v2 среднее значение квадрата скорости молекулы.

Средние значения физических величин тесно связаны с понятием вероятности. Из-за непрерывных беспорядочных движений частиц всякая молекулярная система в течении достаточно большого промежутка времени проходит через бесконечный ряд состояний, сменяющих друг друга сложным образом из-за многочисленных взаимодействий. В каждом из состояний система за длительное время побывает не один, а много раз.

Пусть требуется измерить некоторую физическую величину, например, скорость молекулы. Предположим, что система состоит из N молекул (N – велико), которые имеют дискретные значения скорости. При этом для N1 молекул из общего числа N измеренная величина скорости равна v1, для N2 – v2 и т.д. По определению среднего арифметического

= (N1v1+ N2v2+…)/N = (? Nivi)/N.

Величина Ni/N – относительная частота появления результата измерения скорости vi (доля молекул из общего числа, имеющих скорость vi), а при стремлении N?? - это есть вероятность появления результата vi, поскольку, по определению:

Рi = limN?? Ni/N? Ni/N. Поскольку ?Ni = N, то ?Рi = ?Ni/N = 1

т.е. сумма вероятностей всех любых результатов измерений равна единице, что очевидно. Тогда среднее арифметическое значение скорости:

= ?Nivi/N = ?Рiviматематическое ожидание.

Отсюда следует, что среднее значение величины скорости равно сумме произведений отдельных ее значений на соответствующие вероятности.

Если величина vi принимает непрерывный ряд значений, то при вычислении среднего значения суммирование заменяется интегрированием

= ?(dNv/N)v = 1/N ?vdNv

где dNv/N – доля молекул из общего числа N, имеющих скорости, лежащие в интервале от v до v+dv. Для непрерывной случайной величины v с плотностью распределения вероятности f(v) ее среднее значение (математическое ожидание) равно = ?vf(v)dv. f(v)dv = dNv/N. По аналогии среднее значение квадрата скорости: 2> = ? v2f(v)dv.


vmax

0
Законы молекулярной физики имеют вероятностный характер, но из-за этого они не теряют ничего в своей точности и определенности. Это обусловлено тем, что для всякой системы, находящейся в неизменных внешних условиях, физические величины, описывающие ее, оказываются, тоже практически постоянными и равны их средним значениям. В таких случаях говорят, что система находится в состоянии равновесия.


    1. Характер теплового движения молекул

Если газ находится в равновесии, его молекулы движутся совершенно хаотически. Все направления движения равновероятны, ни одному из них не может быть отдано предпочтение, из-за этого молекулы будут равномерно распределены по объему. Скорости молекул могут быть самыми различными по величине. При каждом соударении с другой молекулой скорость данной молекулы может, как возрасти, так и уменьшиться с равной вероятностью. Изменение v молекулы происходит случайным образом. Скорость молекулы не может быть равной бесконечности, а также равной 0. Следовательно, очень малые и очень большие скорости молекул по сравнению со средней скоростью маловероятны; скорости молекул группируются в основном вблизи некоторого наиболее вероятного значения скорости.

Например, линейный размер молекулы кислорода  4 А, объем 10-23

см3 . При нормальных условиях на одну молекулу приходится объем  0,410-19

см3. Т.е., молекулы встречаются редко, проходя путь  1000А между столкновениями. Т.к. скорость молекул велика, примерно 500 м/с, столкновения происходят через 10-10 с. Удары о стенки сосуда ничего не меняют, т.к. скорость изменяется только по направлению.

Молекулы притягиваются, когда расстояние между ними имеет порядок их размеров. Значит, большую часть пути они движутся прямолинейно и равномерно. Время взаимодействия очень мало  10-13 с, т.е., взаимодействие можно считать соударением. Большую часть «своей жизни» молекула проводит в свободном движении по инерции.

Хаотичность движения молекул наглядна, если взять сферу некоторого произвольного радиуса r с центром в т. О. Любая т. А на сфере определяет направление от О к А. След-но направление движ. мол. в нек. момент времени м.б. задан. точками на сфере. Равновероятность всех напр. приводит к тому, что точки, изображающие напр. движ. мол., распределяется по сфере с пост. плотностью, равной числу мол. N/4?r2. Соударения приводит к измен. направлений движ. мол., поэтому положение N точек на сфере неопред. меняются, однако плотность точек из-за хаотичности движ. остается пост.

Можно найти какое кол-во мол. движется в напр., близких к данному (А). Таким напр. соответствуют все точки элемента пов. ?S в окрестности т.А. В пределах ?S будет

(*) ?NA = N(?S/4?r2) = N??/4? ?? тел угол, в кот. закл.напр.

Индекс А означает, что имеются ввиду мол. с направл. ? А. Направление ОА можно задать с помощью полярного угла ? и азимут угла ? отсчитываемых от напр. ОZ и плоск. Р0. Разделив dS/r2 получим элемент тел. угла, отвечающий инт. углов от ? до ?+d? и от ? до ?+d?

d? = sin?d?d?

Две сферы с r и r+dr, два конуса с углами раствора ? и ?+d? и две плоскости, образующие с Р0 углы ? и ?+d? образуют в пр-ве прямоуг. параллелепипед с объемом

dV = dSdr = r2sin?drd?d? –

элемент объема в сферической сист. коорд. (объем, отвечающий приращению корд. r, ?, ? на dr, d?, d?)

Перейдя от дельт и диффер. в ф-ле (*) и подставив d? получим

dNv,? = N(d?v?/4?) = Nsin?d?d?/4?

Индексы указывают на то, что имеются в виду молекулы, напр. движ. которых отвечают интервалам углов от ? до ?+d? и от ? до ?+d?.
3.3 Число ударов молекул о стенку

Рассмотрим находящийся в равновесии газ, заключенный в некотором сосуде. Допустим, что молекулы газа движутся только вдоль трех взаимно ┴ направлений. Это можно допустить из-за хаотичности движения молекул. Если в сосуде находится N молекул, то в любой момент времени вдоль каждого из направлений будет двигаться N/3 молекул и половина из них - N/6 вдоль данного направления в одну сторону, а вторая половина - в другую. Следовательно, в интересующем нас направлении по нормали к данному элементу ?S стенки сосуда движется N/6 молекул, а для единицы объема - , n – концентрация молекул.

Пусть все молекулы движутся с одинаковой средней скоростью . За время ?t элемента стенки ?S достигают все молекулы, находящиеся в параллелипипеде с площадью основания ?S и длиной ?t. Их число ?? = (n/6)?S?t, следовательно, число ударов о единичную площадку в единицу времени

??/?S?t = (n/6).

Если отказаться от допущения, что все молекулы движутся с одинаковой скоростью v = , то необходимо выделить в единице объема молекулы, скорости которых лежат в интервале от v до v+dv. Их число -. Количество ударов таких молекул, долетающих до площадки ?S за время ?t равно d?v = (1/6)(dnv?S
vmax

0
v?t).
vmax

0
Полное число ударов:

?? = d?v = 1/6?S?t vdnv = Выражение vdnv по определению является средней скоростью молекулы, тогда ?? = 1/6?S?tn , т.е., получили то же самое значение числа ударов.
3.4 Давление газа на стенку сосуда

Давление по определению можно записать: , а поскольку, из второго закона Ньютона: , то . Значит, необходимо вычислить импульс , передаваемый всеми молекулами со всеми скоростями единице площади за единицу времени.

Число молекул со скоростью v из общего количества n, долетающих до площадки ?S за время ?t равно:

d?v = (1/6)(dnv?Sv?t)

Далее, умножив это число на импульс, сообщаемый каждой молекулой при ударе равный – 2mv, получим импульс, сообщаемый площадке ?S за время ?t этими молекулами. Изменение импульса одной молекулы равно K2-K1= -2mv, значит, импульс передаваемый молекулой сте
vmax

0
нке равен +2mv.
vmax

0
Импульс, передаваемый молекулами со скоростями, лежащими в интервале от v до v +dv

равен v.

Импульс, передаваемый всеми молекулами со всеми скоростями:
K = (1/6)(dnv?Sv?t)2mv = 1/3 m ?S?t v2dnv (*)
Выражение v2dnv представляет собой среднее значение квадрата скорости молекул, тогда, заменив в (*) интеграл и, разделив это выражение на ?S и ?t, получим давление газа на стенку сосуда:

р = 1/3mn2>

т.к. m2>/2 = пост> по определению, получим:

р =2/3nпост>

- основное уравнение молекулярно- кинетической теории. Это уравнение раскрывает физический смысл макропараметра р: давление определяется средним значением кинетической энергии поступательного движения молекул.
3.5 Средняя энергия молекул

Из уравнения состояния идеального газа p=nkT и выражения для давления газа на стенку сосуда р =2/3nпост> следует, что

пост> = 3/2kT (1), откуда можно заключить, что температура есть величина, прямо пропорциональная средней энергии поступательного движения молекул.

Поступательно движутся молекулы газа. Молекулы твердых и жидких тел совершают колебания вблизи положений равновесия.

Из выражения (1) видно, что пост> зависит только от Т и не зависит от массы молекулы.

Т.к., пост> = 2/2> = m2>/2, то из сравнения с выражением (1), получим: 2> = 3kT/m а средняя квадратичная скорость:
vср.кв. = ?2> = ?3kT/m .

Можно представить 2> = 2x>+2y>+2z> = 32x>, поскольку, все направления движения молекул равноправны, т.е., 2x> = 2y> = 2z>, тогда:

2x> = 1/32> = kT/m

Формула (1) определяет энергию поступательного движения молекул. Наряду с этим движением возможны также вращение молекул и колебания атомов, входящих в состав молекул. Например, для двухатомной жесткой молекулы это вращение вокруг двух взаимно перпендикулярных осей, проходящих через центр масс молекулы. Эти виды движения также связаны с запасом энергии молекулы. Ее полную энергию позволяет определить, устанавливаемое статистической физикой, положение о равнораспределении энергии по степеням свободы молекулы. Такую гипотезу впервые высказал Больцман.

Числом степеней свободы механической системы называется количество независимых величин, с помощью которых может быть задано ее положение. Положение материальной точки определяется в пространстве значением трех координат, она имеет три степени свободы. Одноатомной молекуле следует приписывать три степени свободы, двухатомной: в зависимости от характера связи между атомами – либо три поступательных и две вращательных (жесткая связь), т.е. всего пять степеней; либо n = 3+2+1=6 с учетом колебательной степени свободы для нежесткой молекулы.

Поскольку ни одна из поступательных степеней свободы не имеет преимущества перед остальными, на каждую из них приходится в среднем одинаковая энергия 1/2kT. Согласно закону равнораспределения на каждую степень свободы молекулы приходится в среднем одинаковая энергия, равная 1/2kT. Согласно закону среднее значение энергии одной молекулы <?> будет тем больше, (при одинаковой Т), чем сложнее молекула и чем больше у нее степеней свободы. При определении необходимо учесть, что колебательная степень свободы обладает вдвое большей «энергетической емкостью» по сравнению с поступательной или вращательной. Это объясняется тем, что колебательное движение связано с наличием кинетической и потенциальной энергии, поэтому на колебательную степень приходится (1/2kT+1/2kT) = kT, т.е., одна половинка в виде ?кин , а вторая - ?пост.

Т.о. средняя энергия молекулы: = (i/2)(kT),

Где i- сумма поступательных, вращательных и удвоенного числа колебательных степеней свободы молекул.

i = nпост+nвращ+2nкол , здесь n – число степеней свободы.

Для молекул с жесткой связью i совпадает с числом степеней свободы.


    1. Внутренняя энергия и теплоемкость идеальных газов

В идеальном газе молекулы не взаимодействуют между собой, внутренняя энергия одного моля газа:

Uм = NA = i/2 NAkT = i/2 RT . Uм = i/2RT.

Если вспомнить, что по определению: Cv = ?Q/dT = dU/dT, поскольку, ?Q = dU+pdV, а для изохорного процесса dV = 0.

Тогда Cv = (i/2) R , а, учитывая, что Cр = Cv+R, получим:
Cр = (i+2)/2 R

Следовательно, коэффициент Пуассона ? = Cp/Cv = (i+2)/i , таким образом, ? определяется числом и характером степеней свободы молекулы.

Согласно этой ф-лы для одноатомной молекулы i = 3 и ? = 1,67; жесткой двухатомной i =5 и ? = 1,4; упругой двухатомной i = 7, а ? = 1,29. В области температур, близких к комнатной, это хорошо согласуется с опытом. Однако, в широком температурном интервале это не так. Оказывается, что вращательная и колебательная энергии молекулы квантованы. При низких Т вращательные и колебательные степени свободы не возбуждены. Молекула Н2 , например, ведет себя как одноатомная в этой области температур, i = 3. В области Т ? 500К вращательные степени «разморожены» > ?вращ и молекула Н2 ведет себя как жесткая двухатомная с = 3+2 = 5. При Т>1000К энергии достаточно для возбуждения колебательной степени свободы, «включены» все степени свободы, i = 7.
3.7 Барометрическая формула

Атмосфера, то есть воздушная оболочка Земли, обязана своим существованиям наличию теплового движения молекул и силы притяжения их к Земле. При этом в атмосфере устанавливается вполне определенное распределение молекул по высоте. Соответственно этому, устанавливается определенный закон изменения давления воздуха с высотой, который нетрудно найти.

Возьмем вертикальный столб воздуха. Считаем, что при х=0, y поверхности Земли р=р0 , а на высоте х давление равно р. При увеличении высоты на dx давление уменьшается на dp. Известно, что давление воздуха на некоторой высоте равно весу вертикального столба воздуха с площадью равной единице, находящегося над этой высотой. Поэтому, dp равно разности весов столбов воздуха с площадью s=1 м2 на высотах x и x+dx, то есть, равно весу столба воздуха высотой dx с площадью основания 1 м2:

p-dp-p= -dp= ?gdx 1 м2, значит, dp= -?gdx, плотность ?= m0N/V= m0n, (m0N = m – масса всех молекул).

Из молекулярной физики известно, p= nkT => n= p/kT => ?= m0 p/kT

и тогда, подставляя значение плотности, получим: dp= (-m0g/kT)pdx. После разделения переменных: dp/p= (-m0g/kT)dx

Считая для простоты температуру постоянной на всех высотах (что не так) после интегрирования найдем:

lnp= (-m0g/kT)x +lnC , откуда: p= Ce(-m0g/kT)x . Постоянную C находим из начальных

условий: при х= 0 р= р0, то есть р0=C и тогда:
р= р0e(-m0g/kT)x

или с учетом m0= M/NA : р= р0e(-Mg/RT)x - барометрическая формула, т.е., давление с высотой убывает по экспоненциальному закону.

Для градуировки барометров необходимо внести поправки на Т. Так как, давление пропорционально концентрации молекул в единице объема, то: n= n0 e(-mg/kT)x - закон убывания концентрации молекул, а значит, плотности с высотой.

Видно, что атмосфера Земли в принципе, простирается до ?. На больших высотах необходимо учесть, что g – меняется с высотой: g(r)= ?M/(r+x)2 .
3.8 Распределение Больцмана

Барометрическая формула выражает зависимость концентрации молекул газа, находящегося в поле сил тяжести. Величина mgx представляет собой потенциальную энергию молекул на высоте х. Можно также сказать, что формула

n= n0e(-m0 g/kT)x

дает нам число частиц n в единице объема, энергия которых равна m0gx, если концентрация частиц с энергией равной 0 равно n0 (отсчет х снизу).

Нет оснований считать, что поведение газа изменится, если вместо силы тяжести на него будет действовать какая либо другая сила, тогда для любого силового поля можно сказать,.что число частиц, имеющих заданную потенциальную энергию U, определяется формулой

n= n0e-U/kT – формула Больцмана

Она позволяет определить долю частиц, которые в условиях теплового равновесия обладают энергией U:

n/n0= e-U/kT

Отсюда видно, что доля n/n0 частиц с энергией U, т.е., их распределение по энергии определяется (кроме U) температурой. При данной Т доля молекул с той, либо иной энергией зависит от U и быстро уменьшается с ростом энергии. Доля молекул с большой энергией мала. И чем ниже Т, тем быстрее n/n0 убывает с ростом U, рис. . Чем выше температура, тем равнемернее распределен газ по объему.

Величина n/n0 в формуле имеет также смысл вероятности n молекул из всего числа n0 иметь заданную энергию U.


3.9 Функция распределения

В уравнение кинетической теории идеальных газов входит средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул, которая определяется в свою очередь их средней квадратичной скоростью. Смысл средней квадратичной скорости заключается в том, что это та скорость, которой должны были бы обладать все молекулы (если бы их скорости были одинаковы, а направления равновероятны), чтобы давление было таким, каким оно является на опыте. На самом деле скорости молекул не одинаковы и это учитывалось при выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории. На это указывают и опытные факты, в частности, эксперименты Штерна и Ламмерта. Полоска мишени в этих опытах оказывалась не резкой, а размытой.

Об этом свидетельствует и закон распределения молекул по высоте, то есть, барометрическая формула. Если бы все молекулы имели одинаковую скорость, то распределение было бы иным. Они все поднимались бы до одинаковой высоты mgh = mv2/2 => h= v2/2g, а затем возвращались бы к Земле с первоначальной v, то есть вели бы себя, как брошенное тело. Все молекулы были бы равномерно распределены по высоте, а, значит, атмосфера имела бы резкую границу, чего нет на самом деле.

Благодаря хаотичным движениям молекул и их взаимным столкновениям, молекулы газа каким-то образом распределены по скорости, так, что среди них имеются как очень быстрые, так и очень медленные. Несмотря на хаотичность движений, на случайный характер столкновений и, вызываемых ими изменений скорости молекул, их распределение по скорости, как показывают теория и опыт, оказывается не случайным, не произвольным, а вполне определенным. На его характер не влияют ни столкновения между молекулами, ни даже внешние поля. Оно является однозначным и единственным. И это не только не противоречит представлению о хаотичности молекулярных движений, а именно этим и обусловлено.

При поиске распределения частиц по скорости требуется найти число частиц, скорости которых (или их компоненты vх, vy, vz) лежат в определенном интервале значений скорости (или компонентов скорости). Очевидно, что число ∆n частиц в единице объема, скорости которых лежат в некотором интервале от v до v+∆v, тем больше, чем больше этот интервал, то есть ∆n~∆v или ∆n=k∆v, где k – коэффициент пропорциональности.

Ясно, что ∆n зависит от самой скорости, т. к., в одинаковых интервалах, но для разных значений скорости число частиц будет разное, как не одинаково, например, число людей возраста 99-100 лет и 30-31 года при одинаковом размере интервала – 1 год. Значит коэффициент пропорциональности k зависит от скорости, т.е., k = f(v).

Кроме того, величина n должна быть пропорциональна общему числу частиц в единице объема, значит формула для n имеет вид: n = nf(v) ∆v или ∆n/n = f(v) ∆v. Здесь, ∆n/n – доля частиц в единице объема газа, скорости которых лежат в интервале от v до v+∆v , а f(v) – функция распределения. Задачей статистики является найти её вид. Её смысл ясен из выражения
f(v)= ∆n/n при ∆v=1 м/с
Т.е., это доля частиц, скорости которых заключены в единичном интервале скоростей v =1 вблизи скорости v.

Переходя к пределу, т.е. к вероятностям, можно записать:
dn/n=f(v)dv

здесь величина dn/n имеет смысл вероятности того, что любая частица, содержащаяся в единице его объема, имеет скорость в интервале dv вблизи скорости v.

Величине же функции распределения f(v) можно приписать смысл вероятности любой частице в единице объема иметь скорость, заключенную в единичном интервале скоростей dv вблизи скорости v. Ее называют, поэтому плотностью вероятности.
f(v)=dn/ndv

3.10 Распределение Максвелла
Полученная ранее барометрическая формула обязана своим видом тому, что скорости молекул не одинаковы, а распределены определенным образом. Характер этого распределения и определяет вид зависимости плотности молекул от высоты.

n= n0е(-mg/kT)x

Пользуясь этой формулой можно найти вид функции распределения молекул по скорости.

Возьмем сосуд с газом в пустом пространстве в поле сил тяжести. Газ находится в состоянии равновесия и его молекулы каким-то образом распределены по скорости. Сила тяжести действует на Z компоненту скорости (по вертикали), поэтому найдем распределение молекул по значению составляющей скорости vz. Движение вверх вдоль оси Z сопровождается уменьшением Z компоненты скорости. Если на начальной высоте Z0 скорость равна vz0, то на высоте Z значение vz можно найти из закона сохранения энергии:

m(vz0)2/2= m(vz0)2/2+mgZ (*)

Молекулы с энергией m(vz0)2/2?mgZ не могут подняться выше Z=(vz0)2/2g, они после подъема до Z падают вниз c ускорением.

Выделим на высоте Z слой dZ с площадью S=1м2. Газ в слое состоит из движущихся вверх и вниз молекул (нас интересуют молекулы вдоль оси Z). Разница между молекулами снизу и сверху состоит в том, что молекулы, приходящие снизу, имеют Z-компоненту скорости с v??2gZ, в то время, как молекулы, приходящие сверху, могут иметь Z-компоненту с любыми скоростями от 0 до ?.

В условиях равновесия число молекул в слое должно быть постоянно, число молекул, проходящих сверху вниз, должно быть равно числу молекул, проходящих снизу вверх. На высоте Z0 число молекул в единице объема с Z компонентой скорости, лежащей в интервале от vz0 до vz0+dvz0 определяется выражением: dnz0= nz0f(vz0)dvz0


?

?2gz

?

?2gz
В единицу времени слой на высоте Z пересекает nz0f(vz0)dvz0 молекул, а общее число молекул, пересекающих слой снизу вверх (обозначим его через N?) равно

N?=?nz0vz0f(vz0)dvz0= nz0?vz0f(vz0)dvz0


?

0

?

0
Таким же образом число молекул, пересекающих слой сверху N?=?nzvzf(vz)dvz=nz? vzf(vz)dvz


?

?2gz

?

0
Приравняв N? и N?, разделив на nz0 и учтя барометрическую формулу nz/nz0(-mg/kT)z

Получим: ?f(vz0)vz0dvz0= е(-mg/kT)z ? f(vz)vzdvz


?

0
И
?

0
з закона сохранения энергии (*) при дифференцировании получим: vz0dvz0= vzdvz , тогда

?f(vz0)vzdvz=e-?f(vz)vzdvz

заменили предел интегрирования т. к. vZ изм. от 0 до 

то есть f(vz)=f(vz0(-mg/kT)z (**)

Сравнивая это с законом сохранения энергии (*) можно убедится, что функции f(v) должны иметь вид:

f(vz)=Ае и f(vz0)=Ae

Значит f(vz)=Ае

Число молекул в единице объема, с Z компонентой скорости, лежащей в интервале от vZ до vZ+ dvZ выражается формулой

dn=nAe dvZ; a dn/n=Ae dvz

в
?

-?

?

-?
ероятность того, что Z-комп. скорости любой молекулы газа равна ZZ с точностью до dvZ.

Постоянная А находится из усл. нормировки ? dn/n=A? e- dvz=1

В
?

-?
ероятность того, что молекула газа обладает скоростью с любым значением Z компоненты: А=(? е- dvz)-1

В
?

-?

2
водится переменная х2 = m(vz)2/2kT => vZ = ?2kT/m x => dvz = ? dx

Интеграл сводится к ? e dx = ? ? и тогда A = ?m/2?kT

И формула распределения принимает вид: f(vz) = dn/ndvZ = (m/2?kT)1/2Чe

f(vZ)?0 при vZ??

Видно,что доля молекул с Z-компонентой скорости равной 0 не равна 0, она равна А и с повышением Т уменьшается.

Мы получили распределение молекул по Z- составляющей скорости в поле сил тяжести, но это не означает, что распределение связано с действием силы тяжести. И что mg создает это распределение. Сама барометрическая формула является следствием распределения молекул по скорости. Сила тяжести лишь «проявила» существование в газе распределения, поэтому в f(v) сила тяжести не входит (нет g).

Очевидно, что совершенно такие же распределения должны быть и по другим компонентам скорости:

dn/ndvx = Ae

dn/ndvy = Ae

Теперь нужно найти вероятность того, что скорости молекул удовлетворяют трем условиям:

vx лежит в пределах от vx до vx+dvx , vy лежит в пределах от vy до vy+dvy , а vz лежит в пределах от vz до vz+dvz. Значения составляющих скоростей молекул по каждой из осей координат не зависят от значений по другим осям. Поэтому, вероятность того, что скорость молекулы одновременно удовлетворяет трем условиям является «вероятностью сложного события», т.е. равна произведению вероятностей.

Если обозначить число молекул в единице объема газа dnxyz с составляющими по осям dnx, dny, dnz ,то

dnxyz/n = A3e dvxdvydvz v2 = ?(vi)2

Эта формула показывает, сколько молекул из числа находящихся в единице объема обладают скоростями, составляющие которых по осям координат лежат в интервале между vx и vx+dvx, vy и vy+dvy, vz и vz+dvz , т.е. обладают скоростью, лежащей в интервале заданном и по величине и по направлению. В распределении необходимо учесть все любые направления движения.

Если собрать все молекулы единицы объема газа со скоростями в интервале от v до v+dv по всем любым направлениям и выпустить их, то они, разлетаясь по всем направлениям, через 1 с окажутся равномерно распределенными в шаровом слое радиусом v и толщиной dv. Число молекул в единице объема этого слоя (объем скоростей) такое же, как и в параллелепипеде объемом dvxdvydvz. Число же молекул во всем слое – это и есть число молекул в единице объема газа, независимо от направления, скорости которых лежат в интервале от v до v+dv:

dn = n(m/2?kT)3/2ed?; d? = 4?v2dv, отсюда:
dn/n =( 4/?? )(m/2kT) 3/2 v2 dv

Это и есть закон Максвелла распределения молекул по скоростям.

dn/n – вероятность того, что у произвольно выбранной молекулы газа скорость окажется лежащей в интервале от v до v+dv, Другими словами, это доля всех молекул ед. объема, скорости кот. лежат в интервале от v до v+ dv. Величина
f(v) = dn/ndv = (4/?? )(m/2kT) 3/2 v2 edv –функция распределения молекул по скоростям.

Она определяет долю молекул в единице объема, скорости которых заключены в единичном интервале скоростей вблизи v, включающем данную скорость.

f(v) обращается в 0 при v = 0 и v = ?, т.е., нет неподвижных молекул и нет молекул с бесконечно большой скоростью. Имеется максимум при vн, т.е. наибольшая часть молекул движется со скоростью v ? vн, т.е. вероятность того, что молекула имеет скорость vн – наибольшая, поэтому vн называют наиболее вероятной скоростью.

Пользуясь кривой распределения молекул по скоростям можно графически найти долю молекул dn/n в единице объема газа, скорости которых лежат в заданном интервале скоростей dv. Графически - это площадь с основанием dv и высотой f(v). Вся площадь под кривой f(v) соответствует общему числу молекул в единице объема.

Вид кривой зависит от природы газа и от Т. С повышением Т максимум смещается в сторону больших скоростей, но площадь под кривой остается постоянной, т.к. n = const.

При выводе распред. Максвелла по скоростям совершенно не принимали во внимание столкновения молекул между собой, хотя они изменяют скорость и влияют на распределение. В действительности именно благодаря столкновениям и устанавливается максвелловское распределение по скоростям. При каждом столкновении скорость одной молекулы увеличивается, другой уменьшается. Максвелл предположил, что равновесному состоянию отвечает такое, при котором число молекул, скорости которых увеличиваются при столкновении равно числу молекул, скорости которых уменьшаются при столкновениях. Такому состоянию и соответствует распределение Максвелла.

Позже Больцман показал, что если газ находится в состоянии с немаксвелловским распределением, то благодаря столкновениям он сам собой переходит в состояние с максвелловским распределением.

Распределение Максвелла (иногда говорят Максвелла -Больцмана) – это равновесное распределение. Теперь можно дать определение хаотичному движению: движение молекул полностью хаотично, если скорости распределены по закону Максвелла.
3.11 Распределение Максвелла- Больцмана

Распределение М. и Б. можно объединить в один закон – М-Б, согласно которому число молекул, компоненты скорости которых лежат в интервале от vx, vy, vz до vx+dvx….., а координаты в пределах от x, y, z до x+dx,….. равно:

dN(vx, vy, vz, x,y,z) = Aexp(-(U+mv2/2)/kT) dvxdvydvzdxdydz; А – нормировочный множитель, равный .

Здесь внутренняя энергия U и Екин = mv2/2 могут принимать непрерывный ряд значений.

  1   2


Учебный материал
© bib.convdocs.org
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации