Шпоры по статистической физике и термодинамике - файл n1.doc

Шпоры по статистической физике и термодинамике
скачать (811.6 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc1712kb.10.06.2009 01:42скачать

n1.doc

  1   2   3   4
1.1Основные представления и методы в молекулярно-кинетической теории вещ-ва

Молекулярная физика и термодинамика-разделы физики, в которых изучаются макроскопические процессы в телах, связанные с огромным числом содержащихся в телах атомов и молекул. Для исследования этих процессов применяют два качественно различных и взаимно допол­няющих друг друга метода: статистический (молекулярно-кинетический) и термодинами­ческий. Первый лежит в основе молекулярной физики, второй — термодинамики.Молекулярная физика-раздел физики, изучающий строение и свойства вещества исходя из молекулярно-кинетических представлений, основывающихся на том, что все тела состоят из молекул, находящихся в непрерывном хаотическом движении.Процессы, изучаемые молекулярной физикой, являются результатом совокупного действия огромного числа молекул.Законы поведения огромного числа молекул, являясь статистическими закономерностями, изучаются с помощью статистического метода.Этот метод основан на том,что свойства макроскопической системы в конеч­ном счете определяются свойствами частиц системы. Например, температура тела определяется скоростью хаотического движе­ния его молекул, но так как в любой момент времени разные молекулы имеют различные скорости, то она может быть выражена только через среднее значение скорости движения молекул. Нельзя говорить о температуре одной молекулы. Таким образом, макроскопические характеристики тел имеют физический смысл лишь в слу­чае большого числа молекул.


1.2Понятие об идеальном газе,Законы и уравнения состояния идеального газа

В молекулярно-кинетической теории пользуются идеализированной моделью идеаль­ного газа, согласно которой считают, что:1) собственный объем молекул газа пренебрежимо мал по сравнению с объемом сосуда;2) между молекулами газа отсутствуют силы взаимодействия;3) столкновения молекул газа между собой и со стенками сосуда абсолютно упругие.Модель идеального газа можно использовать при изучении реальных газов, так как они в условиях, близких к нормальным (например, кислород и гелий), а также при низких давления» и высоких температурах близки по своим свойствам к идеальному газу. Уравнение состояния идеального газа (иногда уравнение Клапейрона или уравнение Клапейрона-Менделеева)-формула, устанавливающая зависимость между давлением, молярным объёмом и абсолютной температурой идеального газа. Уравнение имеет вид:где P-давление,-молярный объём,T-абсолютная температура,R-универсальная газовая постоянная. Эта форма записи носит имя уравнения (закона) Менделеева - Клапейрона. -закон Бойля-Мариотта.-закон Гей-Люссака.-закон Шарля (второй закон Гей-Люссака)Часто пользуются несколько иной формой уравнения состояния идеального газа, вводя постоянную Больцмана:След-но где NA/Vm = nконцентрация молекул (число молекул в единице объема).


1.3Внутренняя энергия,работа и теплота в термодинамике.Теплоёмкость вещ-ва.Работа расширения газа

Внутренняя энергияоднозначная функция термодинамического состояния систе­мы, т. е. в каждом состоянии система обладает вполне определенной внутренней энергией . Допустим, что некоторая система (газ, заключенный в цилиндр под поршнем), обладая внутренней энергией U1, получила некоторое количество теплоты Q и, перейдя в новое состояние, характеризующееся внутренней энергией U2, совершила работу А над внешней средой, т. е. против внешних сил. Количество теплоты считается положительным, когда оно подводится к системе, а работа — положительной, когда система совершает ее против внешних сил. Опыт показывает, что в соответствии с законом сохранения энергии при любом способе перехода системы из первого состояния во второе изменение внутренней энергии U=U2U1 будет одинаковым и равным разности между количеством теплоты Q, полученным системой, и работой А, совершенной системой против внешних сил:или (1)Уравнение (.1) выражает первое начало термодинамики: теплота, сообщаемая систе­ме, расходуется на изменение ее внутренней энергии и на совершение ею работы против внешних сил. (1) в дифференциальной форме будет иметь видили в более корректной формегде dU бесконечно малое изменение внутренней энергии системы, A элементар­ная работа, Q бесконечно малое количество теплоты. В этом выражении dU является полным дифференциалом, а A и Q таковыми не являются. ля рассмотрения конкретных процессов найдем в общем виде внешнюю работу, совершаемую газом при изменении его объема. Рассмотрим, например, газ, находя­щийся под поршнем в цилиндрическом сосуде. Если газ, расширяясь, пере­двигает поршень на бесконечно малое расстояние dl, то производит над ним работугде S-площадь поршня, Sdl=dV-изменение объема системы. Таким образом, Полная работаУдельная теплоемкость вещества-величина, равная количеству теплоты, необходи­мому для нагревания 1 кг вещества на 1 К: Молярная теплоемкость-величина, равная количеству теплоты, необходимому для нагревания 1 моль вещества на 1 К: выражение первого начала термодинамики для 1 моль газа :. тогда Молекула двухатомного газа облада­ет тремя поступательными, двумя вращательными и одной колебательной степенями свободы.
1.4 Первое начало термодинамики

Рас-м термод-ю систему, для которой мех-я энергия постоянна, а изменяется лишь внут-я энергия. Внут-я энергия сис-мы может изменяться в результате разл-х процессов, например совершения над системой рабо­ты или сообщения ей теплоты. Вдвигая поршень в цилиндр, в котором находится газ, мы сжимаем этот газ, в результате темп-ра повы­шается, т. е. уве­личивается внут-я энергия газа. С другой стороны, температуру газа и его внутреннюю энергию можно увели­чить за счет сообщения ему некоторого количества теплоты - энергии, пере­данной системе внешними телами пу­тем теплообмена. Таким образом, можно говорить о двух формах передачи энергии от одних тел к другим: работе и теплоте. Энер­гия механического движ-я может превращаться в энергию теплового движ-я, и наоборот. При этих превраще­ниях соблюдается закон сохранения и превращения энергии; применительно к термодинамическим процессам этим законом и является первое начало тер­модинамики. Допустим, что некоторая сис-ма (газ, заключенный в цилиндр под пор­шнем), обладая внутренней энергией Uj, получила некоторое количество тепло­ты Q и, перейдя в новое состояние, ха­рактеризующееся внутренней энергией U2, совершила работу А над внешней средой, т. е. против внешних сил. Коли­чecтвo теплоты считается положитель­ным, когда оно подводится к системе, а работа - положительной, когда сис-ма совершает ее против внешних сил. В соответствии с законом сохранения энергии при переходе сис-мы из 1-го состояния во 2-е измен-е внутренней энергии ∆U= U2 U1 будет одинаковым и рав­ным разности между количеством теплоты Q ,полученным системой, и рабо­той А, совершенной системой против внешних сил: ∆U = Q- А, или Q= ∆U + А. Это уравнение выражает первое начало термодинамики: теплота, со­общаемая системе, расходуется на измен-е ее внутренней энергии и на со­вершение ею работы против внешних сил. Его можно записать в виде dQ= dU + dA, или в более корректной форме бQ= dU+ бА, где бQ - бесконечно малое количество теплоты; dU - бесконечно малое измен-е внутренней энергии сис-мы; бА -элементарная работа. В этом вы­ражении dU является полным диффе­ренциалом, а бА и бQ таковыми не яв­ляются. Количество теплоты выражается в тех же единицах, что работа и энергия, т. е. в джоулях (Дж). Если сис-ма периодически воз­вращается в первоначальное состояние, то измен-е ее внутренней энергии ∆U = О. Тогда, согласно первому нача­лу термодинамики, А= Q.


1.5Адиабатический процесс

Адиабатическим называется процесс, при котором отсутствует теплообмен (Q=0) между системой и окружающей средой. К адиабатическим процессам можно отнести все быстропротекающие процессы. Например, адиабатическим процессом можно счи­тать процесс распространения звука в среде, так как скорость распространения звуко­вой волны настолько велика, что обмен энергией между волной и средой произойти не успевает. Адиабатические процессы применяются в двигателях внутреннего сгорания (расширение и сжатие горючей смеси в цилиндрах), в холодильных установках и т. д.Из первого начала термодинамики (Q=dU+A) для адиабатического процесса следует, что(1) Используя и , для произвольной массы газа перепишем уравнение (1) в виде (2)Продифференцировав получим(3) Исключим из (2) и (3) температуру Т.найдемИнтегрируя это уравнение в пределах от p1 до p2 и соответственно от V1 до V2, а затем потенцируя, придем к выражению(4)Полученное выражение есть уравнение адиабатического процесса, называемое также уравнением Пуассона. называется показателем адиабаты (или коэффициентом Пуассона). Вычислим работу, совершаемую газом в адиабатическом процессе. Запишем урав­нение (1) в виде где .


2.1Вероятность и флюктуации.Распределение Максвелла и его Зависимость от темпер-ры.Среднее значение скоростей и наиболее вероятная скорость

При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории молекулам зада­вали различные скорости. В результате многократных соударений скорость каждой молекулы изменяется по модулю и направлению. Однако из-за хаотического движения молекул все направления движения являются равновероятными, т. е. в любом направ­лении в среднем движется одинаковое число молекул.По молекулярно-кинетической теории, как бы ни изменялись скорости молекул при столкновениях, средняя квадратичная скорость молекул массой т0 в газе, находящемся в состоянии равновесия при Т= const. остается постоянной и равной Этот закон теоретически выведен Дж. Максвеллом.При выводе закона распределения молекул по скоростям Максвелл предполагал, что газ состоит из очень большого числа N тождественных молекул, находящихся в состоянии беспорядочного теплового движения при одинаковой температуре. Пред­полагалось также, что силовые поля на газ не действуют.Закон Максвелла описывается некоторой функцией f(v), называемой функцией распределения молекул по скоростям. Если разбить диапазон скоростей молекул на малые интервалы, равные dv, то на каждый интервал скорости будет приходиться некоторое число молекул dN(v), имеющих скорость, заключенную в этом интервале. Функция f(v) определяет относительное число молекул dN(v)/N, скорости которых лежат в интервале от v до v+dv, т. е.откуда закон о распределеня молекул идеального газа по скоростям: (1) Из (1) видно, что конкретный вид функции зависит от рода газа (от массы молекулы) и от параметра состояния (от температуры Т).Относительное число молекул dN(v)/N, скорости которых лежат в интервале от v до v+dv, находится как площадь заштрихованной полоски на рис. Площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице. Это означает, что функция f(v) удовлетворяет условию нормировкиСкорость, при которой функция распределения молекул идеального газа по скоро­стям максимальна, называется наиболее вероятной скоростью. Значение наиболее веро­ятной скорости можно найти продифференцировав выражение (1) и используя условие для максимума выражения f(v):Значения v=0 и v= соответствуют минимумам выражения (1), а значение v, при котором выражение в скобках становится равным нулю, и есть искомая наиболее вероятная скорость vB:Средняя скорость молекулы <v> (средняя арифметическая скорость) определяется по формулеПодставляя сюда f(v) и интегрируя, получаем

2.2Давление газа с точки зрения молекулярно-кинетической теории

Для вывода основного уравнения молекулярно-кинетической теории рассмотрим одно­атомный идеальный газ. Предположим, что молекулы газа движутся хаотически, число взаимных столкновений между молекулами газа пренебрежимо мало по сравнению с числом ударов о стенки сосуда, а соударения молекул со стенками сосуда абсолютно упругие. Выделим на стенке сосуда некоторую элементарную площадку S и вычислим давление, оказываемое на эту площадку. При каждом соударении молеку­ла, движущаяся перпендикулярно площадке, передает ей импульс m0v(– m0v) = 2m0v, где m0 — масса молекулы, v ее скорость. За время t площадки S достигнут только те молекулы, которые заключены в объеме цилиндра с основанием S и высотой vt. Число этих молекул равно nSvt (n — концентрация молекул).Для упрощения расчетов хаотическое движение молекул заменяют движением вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений, так что в любой момент времени вдоль каждого из них движется 1/3 молекул, причем половина молекул 1/6 движется вдоль данного направления в одну сторону, половина — в противоположную. Тогда число ударов молекул, движущихся в заданном направлении, о площадку S будет 1/6nSvt. При столкновении с площадкой эти молекулы передадут ей импульс

тогда(1) (2).Уравнение (1) с учетом (2) примет вид

(3)Выражение (3) называется основным уравнением молекулярно-кинетической те­ории идеальных газов.

2.3Распределение числа частиц по высоте.Распределение Больцмана.Распределение Максвелл-Больцмана

При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории газов и максвелловского распределения молекул по скоростям предполагалось, что на молекулы газа внешние силы не действуют, поэтому молекулы равномерно распределены по объему. Однако молекулы любого газа находятся в потенциальном поле тяготения Земли. Тяготение, с одной стороны, и тепловое движение молекул-с другой, приводят к некоторому стационарному состоянию газа, при котором давление газа с высотой убывает.Выведем закон изменения давления с высотой.Разность давлений р и p+dp равна весу газа, заключенного в объеме цилиндра высотой dh с основанием площадью 1 м2:где плотность газа на высоте h (dh настолько мало, что при изменении высоты в этом пределе плотность газа можно считать постоянной). Следовательно, (1), pV=(m/M)RT

Подставив это выражение в (1), получимС изменением высоты от h1 до h2 давление изменяется от р1 до р2 т. е.или(2)Выражение (2) называется барометрической формулой.(3)где р — давление на высоте h, p=nkT:где n-концентрация молекул на высоте h, n0-то же, на высоте h=0. -распределение Больцмана для внешнего потенциаль­ного поля.Если частицы имеют одинаковую массу и находятся в состоянии хаотического теплового движения, то распределение Больцмана справедливо в любом вне­шнем потенциальном поле, а не только в поле сил тяжести.

При рассмотрении распределения Максвелла — Больцмана, бросается в глаза важное свойство — его можно представить как произведение двух множетелей:.

Первый множитель есть ничто иное как распределение Максвелла, оно характеризует распределение вероятностей по импульсам. Второй множитель зависит только лишь от координат частиц и определяется видом её потенциальной энергии. Он характеризует вероятность обнаружения частицы в объеме dV.Согласно теории вероятности, распределение Максвелла — Больцмана можно рассматривать как произведение вероятностей двух независимых событий — вероятность данного значения импульса и данного положения молекулы. Первая из них:представляет распределение Максвелла; -распределение Больцмана.


2.4 Распределение Максвелла и Больцмана

Максвелл

В состоянии теплового равновесия, средняя квадратичная скорость молекул в газе, при Т=cоnst, остается постоянной и равной . Это объясняется тем, что в газе, устанавливается некоторое стационарное статистическое распределение молекул по значениям скоростей, называемое распределением Максвелла.

рис.1 рис. 2 Распределение Максвелла описывается некоторой функцией f(), называемой функ­ци­ей распределения молекул по скоростям., где N – общее число молекул, dN()- число молекул, скорости которых принадлежат интервалу скоростей от  до  + d. Функция Максвелла f() равна вероятности того, что величина скорости наугад выбранной молекулы принадлежит единичному интервалу скоростей. Явный вид функции f() был получен теоретически Максвеллом. функции распределения-рис.1. Из графика следует, что функция распределения стремится к нулю при 0 и  и проходит через максимум при некоторой скорости В, называемой наиболее вероятной скоростью. Этой скоростью и близкой к ней обладает наибольшее число молекул. Кривая несимметрична относительно В.Значение наиболее вероятной скорости можно найти, используя условие для максимума функции f()..На рис.2 показано смещение В с измен-ем темп-ры, при этом площадь под графиком остается постоянной и равной 1, что следует из условия нормировки функции Максвелла. Знание функции распределения молекул газа по скоростям позволяет вычислять средние значения любых функций скорости, в частности средней арифметической скорости <>..

Больцман

Тепловое движ-е частиц тела приводит к тому, что положение их в пространстве изменяется случайным образом. Поэтому можно ввести функцию распределения частиц по координатам, определяющую вероятность обнаружения частицы в том или ином месте пространства. где -плотность вероятности т.е. вероятность обнаружения частицы в единичном объеме вблизи точки с радиус-вектором r. При отсутствии внешних силовых полей существует равномерное распределение частиц идеального газа по координатам, при этом функция распределения ,где n-концентрация частиц, N-полное число частиц газа.Если внешнее силовое поле является потенциальным, то концентрация частиц вблизи точки пространства с радиус-вектором r, зависит от потенциальной энергии частиц в данном месте.где no-концентрация частиц в том месте, где Ep=0.В этом случае вероятность .Этот закон называется распределением Больцмана. Для идеального газа давление связано с концентрацией соотношением Р=nkT. В поле земного тяготения концентрация изменяется с высотой над поверхностью Земли и, если газ находится в равновесном состоянии при температуре Т, то измен-е давления с высотой происходит по закону.- барометрическая формула.



2.5Распределение Гиббса и его связь с распределением Больцмана

Микроканоническое распределение Гиббса-распределение вероятностей разл-х состояний замкнутой макроскопической сис-мы, т. е. сис-мы, не взаимодействующей с окружающими телами и имеющей постоянную энергию. Подобная сис-ма в действительности не может быть получена и является идеализированной. Кратностью вырождения состояния называется число состояний, обладающих энергией . Связь с методом Больцмана. 3аметим, что в пределе при левая и правая части уравнения представляют собой интегралы движ-я, так что гипотеза Гиббса (как и гипотеза Больцмана) относится лишь к начальным условиям. Более того, взяв производную по Н1 и Н.' получимСледовательно, отношения должны быть постоянны. Интегрируя, сразу находим функцию распределения Больцмана (1) Величина Z есть сумма состояний в Г-пространстве. Из Z можно вывести все величины, характеризующие равновесие. В частности, вариация Z по Н дает Для средней энергии получаем Темп-ра и энтропия определяется из второго начала получим: на основании этого равенства приходим к выводу,отсюда находим (2) Из уравнений (1) и (2) следует далее Черта здесь означает усреднение. В явном виде мы имеем ,основываясь на получаем .Таким образом, гипотезы Гиббса и Больцмана эквивалентны.

2.6 Квантовые статистики. Распределение Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна

Квантовая статистика исследует физические свойства систем одинаковых микрочастиц(электронов, фотонов и т.д.) Поведение совокупности частиц одного сорта описывается волновой функцией.Квантовая статистика допускает 2 класса функций: симметричные, сохраняющие свой знак при перестановке двух частиц: антисимметричные, меняющие знак при перестановке.Одним из важнейших «объектов» изучения квантовой статистики, как и классической, является идеальный газ.Состояние сис-мы невзаимодействующих частиц задается с помощью так называемых чисел заполнения Ni — чисел, указывающих степень заполнения квантового состояния (характеризуется данным набором i квантовых чисел) частицами сис-мы. Для систем частиц, образованных бозонами частицами с нулевым или целым спином, числа заполнения могут принимать любые целые значения: 0, 1, 2, ... Для систем частиц, образованных фермионами - частицами с полуцелым спином, числа заполнения могут принимать лишь два значения: 0 для свободных состояний и 1 для занятых. Идеальный газ из бозонов — бозе - газ — описывается квантовой статистикой Бозе-Эйнштейна.Распределение бозонов по энергиям вытекает из так называемого большого канонического распределения Гиббса (с переменным числом частиц) при условии, что число тождественных бозонов в данном квантовом состоянии может быть любым: (1)Это распределением Бозе-Эйнштейна. Здесь -среднее число бозонов в квантовом состоянии с энергией Еi, k-постоянная Больцмана, Т—термод-я темп-ра, µ - химический потенциал. Химический потенциал находится обычно из условия, что сумма всех равна полному числу частиц в системе. Здесь µ<=0, так как иначе среднее число частиц в данном квантовом состоянии отрицательно, что не имеет физического смысла. Он определяет измен-е внутренней энергии сис-мы при добавлении к ней одной частицы при условии, что все остальные величины, от которых зависит внут-я энергия (энтропия, объем), фиксированы.Идеальный газ из фермионов — ферми-газ — описывается квантовой статистикой Ферми-Дирака. Распределение фермионов по энергиям имеет вид(2) где — среднее число фермионов в квантовом состоянии с энергией Еi, µ — химический потенциал. В отличие от (1) µ может иметь положительное значение (это не приводит к отрицательным значениям чисел . Это распределение называется распределением Ферми — Дирака.
  1   2   3   4


Учебный материал
© bib.convdocs.org
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации