Контрольная работа по эконометрике - файл n1.doc

Контрольная работа по эконометрике
скачать (1455 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc1455kb.03.12.2012 21:12скачать

n1.doc

Контрольная работа по дисциплине

Экономико-математические методы
Параметр ? = 280;

Задание 1.


  1. 1. Определите, на какой диаграмме показаны временные данные, а на какой пространственные


















  1. 2. Дайте определение регрессии.

  2. 3. Определите виды регрессий:

у = 12,5 – 1,44х1 + 5х2 – 2,27х3 + е,

y = 1/(11+10,45х1–9,44х2+3,33 х3–1,37х4+е),

y = e45,54+100x+е.

Покажите, где здесь результирующая и объясняющие переменные. Что обозначает е в уравнениях регрессии?
Решение:
1. При моделировании экономических процессов встречаются два типа данных – пространственные данные и временные ряды. Примеры пространственных данных – набор сведений по разным предприятиям, фирмам (объем производства, площадь арендуемого помещения, жирность молока и т. д.) в один и тот же момент времени.

Примеры временных данных – изменение курса доллара, цен на какую-нибудь продукцию, показатели смертности/рождаемости за определенный период времени и т.д.

Значит, на первой диаграмме представлен временной ряд, а на второй пространственный ряд.

2. Под регрессией понимается функциональная зависимость между объясняющими переменными и условным математическим ожиданием (средним значением) зависимой переменной, которая строится целью предсказания (прогнозирования) этого среднего значения при фиксированных значениях первых. Регрессия – односторонняя вероятностная зависимость между случайными величинами. Y = f(X).
3. Определите виды регрессий:
у = 12,5 – 1,44х1 + 5х2 – 2,27х3 + е - линейная функция (результирующая переменная - y , объясняющая – x).

y = 1/(11+10,45х1–9,44х2+3,33 х3–1,37х4+е), - гипербола (результирующая переменная - y , объясняющая – x).

y = e45,54+100x+е - экспоненциальная (результирующая переменная - y , объясняющая – x).
Число е в уравнениях показывает ошибку регрессии - разницу между фактическим и теоретическим значениями y – теоретическое случайное отклонение.

Задание 2


  1. 1. Дайте определение парной регрессии.

  2. 2. По Российской Федерации за 2001 год известны значения двух признаков (см. табл.)






Месяц

Расходы на покупку продовольственных товаров в общих расходах, % (y)


Средний денежный доход на душу населения, руб. (x)

Январь

69,0

1964,7

Февраль

65,6

2292,0

Март

60,7

2545,8

Апрель





Май





Июнь





Июль





Август





Сентябрь





Октябрь

53,3

3042,8

Ноябрь

50,9

3107,2

Декабрь

47,5

4024,7


Для оценки зависимости у от х построена парная линейная регрессионная модель с помощью метода наименьших квадратов: у = а + bх + е, где а = ?/4 b = - (1/?)
Парный коэффициент корреляции rxy= [1/(- ?)]*78

Средняя ошибка аппроксимации = ? /46 + 4.6

Известно, что Fтабл = 4,96, а Fфакт = ?/2 +5

Определите коэффициент детерминации. Оцените линейную модель через среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера.
Решение:

Парная регрессия – уравнение связи между двумя переменными у и х. у = f(x).

? = 280;

Найдем коэффициенты а и b:

а = ?/4 = 280/4 = 70

b = - (1/?) = - (1/280) = - 0,0036
Уравнение регрессии принимает вид: y = 70 – 0.0036x + e;
Линейный коэффициент парной корреляции rxy= [1/(- ?)]*78 = [1/(-280)]*78 = - 0,28 (связь умеренная, обратная).

Найдем коэффициент детерминации, r = (-0.28) = 0,78 Вариация результата на 7,8 % объясняется вариацией фактора х.

Средняя ошибка аппроксимации = ? /46 + 4.6 = 280/46 +4,6 = 10,67. В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 10,67%. Это говорит о высокой ошибке аппроксимации. Допустимый предел не более 8–10%.
Проверяем F-критерий Фишера. Для этого сравним Fтабл и Fфакт

Fфакт = ?/2 +5 = 280/2 +5 = 145

Fтабл < Fфакт значит Н0 – гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность с вероятностью 1–?. = 0,95 (Уровень значимости ? – вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна. Обычно ? принимается равной 0,05.)

Вывод: линейная парная модель плохо описывает изучаемую закономерность.


Задание 3


  1. В табл. приведены данные, формирующие цену на строящиеся квартиры в двух различных районах.




Район, a/b

Жилая площадь, м2

Площадь кухни, м2

Этаж средние/крайние

Дом кирпич/панел.

Срок сдачи, через сколько мес.

Стоимость квартиры, тыс. долл.

1

17,5

8

1

1

6




1

20

8,2

1

2

1




2

23,5

11,5

2

2

9


















1

77

17

2

1

1




2

150,5

30

2

2

2




2

167

31

2

1

5





Имеется шесть факторов, которые могут оказывать влияние на цену строящегося жилья:

  1. 1) район, где расположена строящаяся квартира (а или б);

  2. 2) жилая площадь квартиры;

  3. 3) площадь кухни;

  4. 4) этаж (средний или крайний);

  5. 5) тип дома (панельный или кирпичный);

  6. 6) срок сдачи квартиры (через сколько месяцев).

Определите минимальный объем выборки Nmin. Для оценки зависимости у от х построена линейная множественная регрессионная модель с помощью метода наименьших квадратов
у = а0 + а1х1 + а2х2 + а3х3 + а4х4 + а5х5 + а6х6 + е,

где

а0 = (-?)/11,5

а1 = ,(-?)/8 - 10

а2 = 1/? + 0,79

а3 = 0,1 - 1/?

а4 = ?/5 - 16

а5 = 0,12 *?

а6 = 1/ ?-0,4

Какие фиктивные переменные были использованы в модели?

Дайте экономическую интерпретацию полученной модели.

Решение:

Найдем минимальный объем выборки nmin. Определить минимальный объем выборки для получения статистически значимой модели можно по формуле

Nmin = 5(m + n), где m – число факторов, включаемых в модель, n – число свободных членов в уравнении

Число факторов, включаемых в модель, m = 6, а число свободных членов в уравнении n = 1. Nmin = 5(6 + 1) = 35.

? = 280, найдем коэффициенты линейной множественной регрессионной модели:

.

а0 = (-?)/11,5 = -280/11,5 = -24,35

а1 = (-?)/8 - 10 = -280/8 – 10 = -45,0

а2 = 1/? + 0,79 = 1/280 + 0,79 = 0,79

а3 = 0,1 - 1/? = 0,1-1/280 = 0,9960,1

а4 = ?/5 – 16 = 280/5 – 16 = 40,0

а5 = 0,12 *? = 0,12*280 = 33,6

а6 = 1/?-0,4 = 1/280-0,4 = -0,396 -0,4

Получили уравнение регрессии: у = -24,35 - 45х1 + 0,79х2 + 0,1х3 + 40х4 + 33,6х5 – 0,4х6 + е,

Экономическая интерпретация полученной модели: квартиры в районе a стоят на 45 % дешевле, чем в районе b. При увеличении жилой площади на 1 % стоимость квартиры возрастает на 0,79 %. При увеличении площади кухни на 1 % стоимость квартиры увеличивается на 0,1 %. Квартиры на средних этажах стоят на 40 % дороже, чем на крайних. Квартиры в кирпичных домах стоят на 33,6 % дороже, чем в панельных. При увеличении срока сдачи дома на 1 % стоимость квартиры уменьшается на 0,4 %.

Качественные признаки можно задавать с помощью фиктивных переменных. Обычно фиктивным переменным присваивают значения 0 и 1. Фиктивными переменными в данном случае являлись те, которые показывали район (a или b), этаж (средний или крайний), материал стен дома (кирпич или панель) – т.е. а1, а4, а5.


Задание 4
Постройте модель сезонных колебаний дохода торгового предприятия, используя первую гармонику ряда Фурье по данным, приведенным в табл., изобразите графически.


Месяц

Доход, тыс. руб.

Январь

58,33 + 112*(1/ ?)

Февраль

52,00 + 112*(1/ ?)

Март

43,67 + 112*(1/ ?)

Апрель

41,02 + 112*(1/ ?)

Май

42,77 + 112*(1/ ?)

Июнь

50,01 + 112*(1/ ?)

Июль

56,60 + 112*(1/ ?)

Август

64,74 + 112*(1/ ?)

Сентябрь

71,04 + 112*(1/ ?)

Октябрь

73,54 + 112*(1/ ?)

Ноябрь

72,16 + 112*(1/ ?)

Декабрь

66,30 + 112*(1/ ?)

Решение:

? = 280, тогда исходная таблица будет выглядеть следующим образом:


Месяц

t

Доход, тыс. руб.

Январь

0

58,7300

Февраль

0,523599

52,4000

Март

1,047198

44,0700

Апрель

1,570796

41,4200

Май

2,094395

43,1700

Июнь

2,617994

50,4100

Июль

3,141593

57,0000

Август

3,665191

65,1400

Сентябрь

4,18879

71,4400

Октябрь

4,712389

73,9400

Ноябрь

5,235988

72,5600

Декабрь

5,759587

66,7000



Если мы рассматриваем год как цикл, то n=12. Параметры уравнения могут быть найдены по формулам:


; ;
Получили а0 = 58,0817. Найдем промежуточные значения и .

Месяц

t

Доход, тыс. руб.

y*cos t

y*sin t

Январь

0

58,7300

58,7300

0,0000

Февраль

0,523599

52,4000

45,3797

26,2000

Март

1,047198

44,0700

22,0350

38,1657

Апрель

1,570796

41,4200

0,0000

41,4200

Май

2,094395

43,1700

-21,5850

37,3863

Июнь

2,617994

50,4100

-43,6563

25,2050

Июль

3,141593

57,0000

-57,0000

0,0000

Август

3,665191

65,1400

-56,4129

-32,5700

Сентябрь

4,18879

71,4400

-35,7200

-61,8688

Октябрь

4,712389

73,9400

0,0000

-73,9400

Ноябрь

5,235988

72,5600

36,2800

-62,8388

Декабрь

5,759587

66,7000

57,7639

-33,3500


= 5,8144
= - 96,1905
= 2/12*5,8144 = 0,9691

= 2/12*(-96,1905) = - 16,0317

Первая гармоника ряда Фурье будет выглядеть следующим образом:

= 58,0817 + 0,9691*cos t – 16,0317*sin t;
Подставим фактические значения t в полученную первую гармонику ряда Фурье.


Месяц

t

Доход, тыс. руб., (y)

y(t)

Январь

0

58,7300

59,0508

Февраль

0,523599

52,4000

50,90511

Март

1,047198

44,0700

44,68239

Апрель

1,570796

41,4200

42,0500

Май

2,094395

43,1700

43,71329

Июнь

2,617994

50,4100

49,22659

Июль

3,141593

57,0000

57,11261

Август

3,665191

65,1400

65,25828

Сентябрь

4,18879

71,4400

71,48101

Октябрь

4,712389

73,9400

74,1134

Ноябрь

5,235988

72,5600

72,45011

Декабрь

5,759587

66,7000

66,93681


Строим график исходных данных и первой гармоники ряда Фурье:



Задание 5
В торгово-розничную сеть поступило 3 вида взаимозаменяемой продукции разных производителей: А1, А2, А3. Предположим, что покупатели приобретают продукцию только одного из них. Пусть в среднем они стремятся поменять её не более одного раза в год, и вероятности таких изменений постоянны. Результаты маркетинговых исследований покупательского спроса на продукцию дали следующее процентное соотношение:

Х1 % покупателей продукции А1 переходит на продукцию А2,

Х2 % покупателей продукции А2 – на продукцию А3,

Х3 % покупателей продукции А3 – на продукцию А1, где

Х1 = (?-90)/3;

Х2 = (315- ?)/5,

Х3 = (?-90)/4.


Требуется:
1. Построить граф состояний.

2. Составить матрицу переходных вероятностей для средних годовых изменений.

3. Предположить, что общее число покупателей постоянно, и определить, какая доля из их числа будет покупать продукцию А1, А2 и А3 через 2 года.

4. Определить какая продукция будет пользоваться наибольшим спросом.
Решение:
? = 280, тогда

Х1 = (?-90)/3 = (280-90)/3 = 63,33

Х2 = (315-?)/5 = (315-280)/5 = 7,0

Х3 = (?-90)/4 = (280-90)/4 = 47,5
Построим граф состояний:


Переходные вероятности однородной марковской цепи Pij образуют квадратную матрицу. Она обладает следующими свойствами:


= , где

Pij - вероятность перехода за один шаг из состояния Si в состояние Sj;

Pii – вероятность задержки системы в состоянии Si.
Составим матрицу переходных вероятностей:


= =
Зададим вектор начальных вероятностей:
P(0) =
т. е. Р1(0) = 1; Р2(0) = 1; Р3(0) = 1;
Определим вероятности состояния Pi(k) после первого шага (после первого года):

P1(1) = P1(0)?P11 + P2(0)?P21 + P3(0)?P31 = 1?0,37+1?0+1?0,48 = 0,85;

P2(1) = P1(0)?P12 + P2(0)?P22 + P3(0)?P32 = 1?0,63+1?0,93+1?0 = 1,56;

P3(1) = P1(0)?P13 + P2(0)?P23 + P3(0)?P33 = 1?0+1?0,07+1?0,53 = 0,6.
Определим вероятности состояний после второго шага (после второго года):
P1(2) = P1(1)?P11 + P2(1)?P21 + P3(1)?P31 = 0,85?0,37 + 1,56?0 + 0,6?0,48 =

= 0,315 + 0 + 0,288 = 0,603;

P2(2) = P1(1)?P12 + P2(1)?P22 + P3(1)?P32 = 0,85?0,63 + 1,56?0,93 + 0,6?0 =

= 0,536 + 1,451 + 0 = 1,987;

P3(2) = P1(1)?P13 + P2(1)?P23 + P3(1)?P33 = 0,85?0 + 1,56?0,07 + 0,6?0,53 =

= 0 + 0,109 + 0,318 = 0,427.
Вывод. Через 2 года только 60,3 % покупателей будут приобретать продукцию А1; 42,7 % покупателей – А3, число покупателей продукции А2 увеличится почти в 2 раза.

Продукция А2 будет пользоваться наибольшим спросом.


Список используемой литературы:
1. Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем: Учеб. пособие. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Финансы и статистика, 2006. - 432 с: ил.
2. Практикум по эконометрике: Учеб. пособие/ И. И. Елисеева, С. В. Курышева, Н. М. Гордеенко и др. – М.: Финансы и статистика, 2002.-192 с.ил.

Учебный материал
© bib.convdocs.org
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации