Контрольная работа по эконометрике - файл n1.doc

Контрольная работа по эконометрике
скачать (451 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc451kb.03.12.2012 22:00скачать

n1.doc

Контрольная работа по эконометрике

Вариант 1

Задача 1.

По опытным данным

  1. Найти вид уравнения регрессии;

  2. Рассчитать основные характеристики и параметры;

  3. В поле корреляции построить график линии регрессии и нанести данные наблюдений (в виде крестиков или точек).




У

Х

-2

5

3

7

3

10

5

11

7

14

12

15

14

18


Решение:



  1. Для характеристики зависимости У от Х можно построить следующие модели:

При построении степенной и показательной модели уравнения сводится к линейному путем логарифмирования обоих частей уравнения. Так как среди значений У имеются отрицательные числа, то для построения этих моделей придется отбрасывать опытные данные с отрицательными числами. Поэтому по имеющимся опытным данным построим линейную и гиперболическую модели и выберем лучшую. Для этого для каждой модели вычислим следующие характеристики:
- индекса корреляции: для линейной модели rxy = b , для линейных моделей:
rxy =




  1. Линейная модель


Для расчетов параметров a и b линейной регрессии y = a + bx используем формулы:
b =
a = – b

Для вычисления необходимых средних значений составляем расчетную таблицу:



х

у

ху

X^2

Y^2

1

3

-2

-6

9

4

2

12

3

36

144

9

3

22

3

66

484

9

4

40

5

200

1600

25

5

48

7

336

2304

49

6

50

12

600

2500

144

7

60

14

840

3600

196

сумма

235

42

2072

10641

436

среднее

33,57

6

296

1520,14

62,28


Параметры линейного уравнения:

b = = 0,24

a =6 – 0,24 33,57 = -2,06
Уравнение имеет вид:

y = 0,24 – 2,06
Для расчета линейного коэффициента вычисляем средние квадратичные отклонения:

= = = 19,83
= = = 5,126

Итак, линейный коэффициент парной корреляции:

rxy = b  = 0,24  = 0,928 – между исследуемыми факторами существует прямая тесная связь.

Коэффициент детерминации:

R2 = rxy2 = 0,9282 = 0,86 – вариация фактора у на 86% объясняется вариацией фактора x.

Оценку значимости уравнения регрессии проведем с помощью F – критерия Фишера:

Fфакт = (n – 2) = (7-2) = 30,7

По таблице значений критерия Фишера найдем табличное значение:

Fтабл = 6,61 ( при k1=1 k2= 7-2=5)

Сравниваем: 30,76,61, значит уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое.


Найдем величину средней ошибки аппроксимации.

отн =  100%



х

у



(y-)/y



y = 0,24x – 2,06


1

3

-2

1,34

0,33

2

12

3

0,82

0,727

3

22

3

3,22

-0,073

4

40

5

7,54

-0,508

5

48

7

9,46

-0,35

6

50

12

9,94

0,172

7

60

14

12,34

0,118

сумма

235

42




0,416

среднее

33,57

6




0,06


отн =  100% = 0,85%



  1. Гиперболическая модель

y = a = b

Обозначим X =



х

X=1/x

у

X^2

Y^2

Xy

1

3

0,333

-2

0,1109

4

0,666

2

12

0,0833

3

0,007

9

0,2499

3

22

0,045

3

0,002

9

0,135

4

40

0,025

5

0,0006

25

0,125

5

48

0,0208

7

0,00043

49

0,1456

6

50

0,02

12

0,0004

144

0,24

7

60

0,017

14

0,00029

196

0,238

сумма

235

0,5441

42

0,12162

436

0,4675

среднее

33,57

0,0777

6

0,0174

62,28

0,0668


Найдем параметры уравнения: y = bX + a

b = = -35,15

a = 6 – 0,0777 (-35,15) = 8,73

Получили уравнение:

y = 8,73 -



х

у

Y

y-Y

(y-Y)^2

(y-)^2



1

3

-2

-2,987

0,987

0,974

64

+0,4935

2

12

3

5,8

-2,8

7,84

9

+0,933

3

22

3

7,132

-4,132

17,073

9

+1,377

4

40

5

7,85

2,85

8,1225

1

0,57

5

48

7

7,997

-0,997

0,994

1

0,1424

6

50

12

8,027

3,973

15,785

36

0,331

7

60

14

8,144

5,856

34,293

64

0,418

сумма

235

42







85,08

184

4,265

среднее

33,57

6













0,61


y = 8.73 -

Индекс корреляции: r = = = 0,7332

Коэффициент детерминации: R2 = 0,7332

Критерий Фишера: F = (n-2) = 5 = 13,74

Средняя относительная ошибка:

Еотн = 100% =  4,265100% = 61%

Среди этих двух моделей описывает исследуемую зависимость линейная модель, т.к. для этой модели значение коэффициента детерминации и значение критерия Фишера больше, чем для гиперболической.

Задача 2.

Используя косвенный метод наименьших квадратов, найти параметры структурной модели по данным таблицы.


y1

y2

x1

x2

8

6

1

1

5

5

2

2

2

3

5

1

3

4

4

4

2

2

8

7


Решение:

Косвенный метод наименьших квадратов используется для определения параметров системы, каждое уравнение которой и система в целом индентифицированы.

Значит, система будет иметь вид:


Методом наименьших квадратов определим параметры уравнения:



Для нахождения коэффициентов этой системы запишем и решим систему нормальных уравнений:


При решении системы предполагается, что переменные выражены через отклонения от средних уровней, то есть данные будут иметь вид:



y1

y2

x1

x2

1

8

6

1

1

2

5

5

2

2

3

2

3

5

1

4

3

4

4

4

5

2

2

8

7

сумма

20

20

20

15

среднее

4

4

4

3






y1

y2

x1

x2

y1 x1

x

x1x2

y1x2

x

1

4

2

-3

-2

-12

9

6

-8

4

2

1

1

-2

-1

-2

4

2

-1

1

3

-2

-1

1

-2

-2

1

-2

4

4

4

-1

0

0

1

0

0

0

-1

1

5

-2

-2

4

4

-8

16

16

-8

16

сумма













-24

30

22

-14

26


Определяем коэффициенты и





-14 = + 26

-14 = -17,6-16,13+26

9,87=3,6 =0,365

= -1,067

Для определения и решим систему уравнений







-11= +22

-11=-23,18- 35,45

13,45=-12,18

=0,2975

Приведенная форма модели вид:



Из второго уравнения выразим x2 и подставим в первое уравнение:

x2 =

y1 = -1,067x1 +

y1 = -1,067x1 + 0,12x1 – 0,403y2
y1 = -0,947x1 – 0,403y2
Из первого уравнения выразим x1 и подставим во второе
x1 =

y2 = 0,2975 -0,9055x2
y2 = 0,1017x2 – 0,2789y1 -0,9055x2
y2 = -0,8038x2 – 0,2789y1

Итак, структурная форма модели имеет вид:




Задача 3

По данным временного ряда выявить его структуру, рассчитать компоненты модели (аддитивной или мультипликативной) и сделать прогноз на четыре дискрета времени.

t

y

1

4,15

2

6,18

3

8,85

4

7,73

5

9,73

6

9,82

7

12,78

8

14,33

9

15,38

10

17,12

11

18,30

12

20,65

13

20,34

14

20,97

15

23,33

16

26,72


Решение:
Изобразим графически данный временной ряд



Факторы, в совокупности воздействующие на уровень ряда формируют его возрастающую тенденцию, так же в ряду наблюдаются циклические колебания.

При наличии во временном ряду тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда. Количественно её можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени.
Вычислим коэффициент автокорреляции уровней ряда первого порядка, то есть коэффициент корреляции между двумя соседними уровнями ряда t и t-1, то есть при лаге равном 1.

=1
Расчет коэффициента автокорреляции первого порядка

t

yt

yt -1

yt – y1

yt-1- y2

(yt-)(yt-)

(yt – y1)2

(yt-1- y2)2

1

4,15



















2

6,18

4,15

-8,59

-8,95

76,8805

73,7881

80,1025

3

8,85

6,18

-5,92

-6,92

40,9664

35,0464

47,8864

4

7,73

8,85

-70,4

-4,25

29,92

49,5616

18,0625

5

9,73

7,73

-5,04

-5,37

27,0648

25,4016

28,8369

6

9,82

9,73

-4,95

-3,38

16,731

24,5025

11,4244

7

12,78

9,82

-1,99

-3,28

6,5272

3,9601

10,7584

8

14,33

12,78

-0,44

-0,32

0,1408

0,1936

0,1024

9

15,38

14,33

0,61

1,23

0,7503

0,3721

1,5129

10

17,12

15,38

2,35

2,28

5,358

5,5225

5,1984

11

18,3

17,12

3,53

4,02

14,1906

12,4609

16,1604

12

20,65

18,3

5,88

5,2

30,576

34,5744

27,04

13

20,34

20,65

5,57

7,55

42,0535

31,0249

57

14

20,97

20,34

6,2

7,24

44,888

38,44

52,4176

15

23,33

20,97

8,56

7,87

67,367

73,2736

61,937

16

26,72

23,33

11,95

10,23

122,248

142,8025

104,653

сумма

236,38

209,66

10,68

13,15

525,662

550,925

523,1

среднее

14,77

13,1

0,6675

0,82











Вычислим коэффициент автокорреляции по формуле:
r1= , где 1 = , 2=
r1 = = 0,9792

Аналогично, определим коэффициенты автокорреляции более высоких порядков.

t

y

























1

4,15

























2

6,18

4,15






















3

8,85

6,18

4,15



















4

7,73

8,85

6,18

4,15
















5

9,73

7,73

8,85

6,18

4,15













6

9,82

9,73

7,73

8,85

6,18

4,15










7

12,78

9,82

9,73

7,73

8,85

6,18

4,15







8

14,33

12,78

9,82

9,73

7,73

8,85

6,18

4,15




9

15,38

14,33

12,78

9,82

9,73

7,73

8,85

6,18

4,15

10

17,12

15,38

14,33

12,78

9,82

9,73

7,73

8,85

6,18

11

18,3

17,12

15,38

14,33

12,78

9,82

9,73

7,73

8,85

12

20,65

18,3

17,12

15,38

14,33

12,78

9,82

9,73

7,73

13

20,34

20,65

18,3

17,12

15,38

14,33

12,78

9,82

9,73

14

20,97

20,34

20,65

18,3

17,12

15,38

14,33

12,78

9,82

15

23,33

20,97

20,34

20,65

18,3

17,12

15,38

14,33

12,78

16

26,72

23,33

20,97

20,34

20,65

18,3

17,12

15,38

14,33




Лаг

Коэффициент автокорреляции уровней

1

0,9792

2

0,965

3

0,965

4

0,959

5

0,9548

6

0,942

7

0,921

8

0,875

9

0,836


В данном случае наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка.

Уравнение тренда: y = 16,78 – 0,236x

b = a = – b


x

y

xy



y

1

4,15

4,15

1

17,22

2

6,18

12,36

4

38,2

3

8,85

26,55

9

78,32

4

7,73

30,92

16

59,753

5

9,73

48,65

25

94,673

6

9,82

58,92

36

96,43

7

12,78

89,46

49

163,33

8

14,33

114,64

64

205,35

9

15,38

138,48

81

236,54

10

17,12

171,2

100

293,1

11

18,3

201,3

121

334,89

12

20,65

247,8

144

426,42

13

20,34

264,42

169

413,71

14

20,97

293,58

196

439,74

15

23,33

349,95

225

544,29

16

26,72

427,52

256

714

сумма

236,38

2479,9

1496

4156

среднее

14,77

155

93,5

259,74


b = = = - 0,236

a = 14,77 – (-0,236)8,5 = 16,78

y = 16,78 – 0,236x

= = 4,61

= 6,45

= -0,236 = – 0,17

= 46,74

= 0,029





Учебный материал
© bib.convdocs.org
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации