Контрольная работа по эконометрике - файл n1.docx

Контрольная работа по эконометрике
скачать (200.5 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.docx201kb.03.12.2012 22:08скачать

n1.docx

  1   2   3
Содержание

Задача 1 3

Решение задачи 1 4

Задача 2 16

Решение задачи 2 16

Задача 3 19

Решение задачи 3 19

Список использованных источников 22

Задача 1

В базе данных магазина, торгующего подержанными автомобилями, содержится информация об их потребительских свойствах и ценах.

Для анализа зависимости цены автомобиля Y от его возраста X1 и мощности двигателя X2 из базы данных выбраны сведения о 16 автомобилях. Эти сведения приведены в таблице 1.

Таблица 1

Номер автомобиля i

Цена (тыс. у.е.) yi

Возраст (лет) xi1

Мощность двигателя (л.с.) xi2

1

9,0

5,0

119

2

8,6

4,0

89

3

7,4

6,0

114

4

4,4

7,0

54

5

5,6

7,0

82

6

4,2

8,0

78

7

10,3

3,0

104

8

9,3

5,0

145

9

5,5

7,0

83

10

8,4

4,0

84

11

9,7

4,0

139

12

11,0

3,0

147

13

10,4

3,0

132

14

9,4

4,0

123

15

9,3

4,0

112

16

10,8

3,0

125

1. Парные зависимости

1.1. Построить поле рассеяния для цены Y и возраста автомобиля X1, а также для цены Y и мощности двигателя X2. На основе их визуального анализа выдвинуть гипотезы о виде статистической зависимости Y от X1, и Y от X2 и записать их математически.

1.2. Методом наименьших квадратов найти оценки линейных уравнений регрессии y = a0 + a1x1, y = ?0 + ?1x2.

1.3. С помощью коэффициентов парной корреляции проанализировать тесноту линейной связи между ценой и возрастом автомобиля, а также между ценой и мощностью автомобиля. Проверить их значимость с надежностью 0,9.

1.4. Проверить статистическую значимость параметров и уравнений регрессии с надежностью 0,9.

1.5. Построить доверительные полосы надежности 0,95 для среднего значения цены автомобиля в завимисти от его возраста, а также от мощности двигателя. Изобразить графически линии регрессии и доверительные полосы вместе с полями рассеяний.

1.6. На продажу поступила очередная партия однотипных автомобилей. Их возраст 3 года, мощность двигателя 165 л.с. Рассчитать точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей от возраста и мощности двигателя с доверительной вероятностью 0,95.

2. Множественная зависимость

2.1. По методу наименьших квадратов найти оценки коэффициентов множественной линейной регрессионной модели Y = a0 + a1X1 + a2X2 + ?.

2.2. Проверить статистическую значимость параметров и уравнения множественной регрессии с точностью 0,9.

2.3. Рассчитать точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей возраста 3 года и мощностью двигателя 165 л.с. с доверительной вероятностью 0,95.

3. Экономическая интерпретация

На основе полученных пунктах 1 и 2 статистических характеристик провести содержательный экономический анализ зависимости цены автомобиля от его возраста и мощности двигателя.

Решение

1. Парные зависимости.

1.1. Построение полей рассеяния.
На основе визуального анализа поля рассеяния выдвигаю гипотезу о том, что зависимость цены y от возраста автомобиля x1 описывается линейной моделью вида: y = a0 + a1x1 + ?, где a0, a1 – неизвестные постоянные коэффициенты, ? - случайная переменная, отражающая влияние неучтенных факторов от погрешностей измерений.
На основе визуального анализа поля рассеяния выдвигаю гипотезу о том, что зависимость цены y от мощности автомобиля x1 описывается линейной моделью вида: y = ?0 + ?1x2 + ?, где ?0, ?1 – неизвестные постоянные коэффициенты, ? - случайная переменная, отражающая влияние неучтенных факторов от погрешностей измерений.

2.2. Вычисление оценок параметров моделей.

Таблица 2

i

yi

yi2

xi1

xi12

xi1*yi

xi2

xi22

xi2*yi

1

9,0

81,0

5,0

25,0

45,0

119,0

14161,0

1071,0

2

8,6

73,96

4,0

16,0

34,4

89,0

7921,0

765,4

3

7,4

54,76

6,0

36,0

44,4

114,0

12996,0

843,6

4

4,4

19,36

7,0

49,0

30,8

54,0

2916,0

237,6

5

5,6

31,36

7,0

49,0

39,2

82,0

6724,0

459,2

6

4,2

17,64

8,0

64,0

33,6

78,0

6084,0

327,6

7

10,3

106,09

3,0

9,0

30,9

104,0

10816,0

1071,2

8

9,3

86,49

5,0

25,0

46,5

145,0

21025,0

1348,5

9

5,5

30,25

7,0

49,0

38,5

83,0

6889,0

456,5

10

8,4

70,56

4,0

16,0

33,6

84,0

7056,0

705,6

11

9,7

94,09

4,0

16,0

38,8

139,0

19321,0

1348,3

12

11,0

121,0

3,0

9,0

33,0

147,0

21609,0

1617,0

13

10,4

108,16

3,0

9,0

31,2

132,0

17424,0

1372,8

14

9,4

88,36

4,0

16,0

37,6

123,0

15129,0

1156,2

15

9,3

86,49

4,0

16,0

37,2

112,0

12544,0

1041,6

16

10,8

116,64

3,0

9,0

32,4

125,0

15625,0

1350,0

Сумма

133,3

1186,21

77,0

413,0

587,1

1730,0

198240,0

15172,1

Среднее значение возраста автомобилей:



Среднее значение цены автомобилей:



Среднее значение мощности двигателей автомобилей:



= = -1,2821.

.

Следовательно, уравнение линейной регрессии примет вид:



?1 = = = .



Следовательно, уравнение линейной регрессии примет вид:



1.3. Коэффициент парной корреляции характеризует тесноту линейной зависимости между x и y.



Коэффициент парной корреляции для линейной зависимости «Возраст – цена».



Коэффициент парной корреляции для линейной зависимости «Мощность двигателя – цена».



Проверка значимости коэффициента парной корреляции.



где - квантиль распределения Стьюдента, (n – 2) – число степеней свободы.

Статистической надежности в 90% соответствует доверительная вероятность 0,9. Соответственно, уровень значимости (?) при надежности 90% равен 0,1.

= =1,7613.

Для получаем:



Условие выполняется, следовательно коэффициент корреляции существенно отличается от нуля, и существует сильная линейная отрицательная связь между ценой и возрастом автомобиля.

Для получаем:

.

Условие выполняется, следовательно, коэффициент корреляции существенно отличается от нуля, и существует сильная линейная положительная связь между ценой автомобиля и мощностью двигателя.

1.4. Проверка статистической значимости параметров и уравнений регрессии с надежностью 0,9.

Для зависимости цены от возраста автомобиля коэффициент детерминации:

R2 = = = 0,9220. То есть вариация цены на 92,2% объясняется вариацией возраста автомобиля.

Для зависимости цены от мощности двигателя автомобиля коэффициент детерминации:

R2 = = = 0,6810. То есть вариация цены на 68,1% объясняется вариацией мощности двигателя.

Рассчитаем фактическое значение F-статистики Фишера по формуле:



Для зависимости «Возраст – цена» фактическое значение F-статистики Фишера:

= 165,4872.

Для зависимости «Возраст – цена» фактическое значение F-статистики Фишера:

= 29,8871.

F- распределение Фишера зависит от степеней свободы df1 и df2 и от уровня значимости. Количество степеней свободы df1 равно числу m объясняющих переменных модели. Для парной регрессии число m = 1, поэтому df1 = 1. Количество степеней свободы df2 определяется объемом выборки n за вычетом числа объясняющих переменных модели df1, минус единица. В данном случае, df2 = 16 – 1 – 1 = 14.

Статистической надежности 0,9 соответствует доверительная вероятность 0,9. Соответственно, уровень значимости (?), соответствующий надежности 0,9, равен 0,1.

При уровне значимости ? = 0,1 табличное значение Fm = 3,10221.

Качество уровня регрессии оценивает F-тест (проверка гипотезы H0 о статистической незначимости уровня регрессии и показателя тесноты связи). Сравниваем фактической значение Fф и табличное значение Fm. Если Fm < Fф, то гипотеза H0 отклоняется, и признается статистическая значимость уравнения регрессии. Если Fm > Fф, то гипотеза H0 не отклоняется, и признается статистическая незначимость, ненадежность уравнения регрессии.

Для зависимости «Возраст – цена» выполняется неравенство Fm < Fф [3,10221 < 165,4872], гипотеза H0 отклоняется, и признается статистическая значимость уравнения регрессии.

Для зависимости «Мощность двигателя – цена» также выполняется неравенство Fm < Fф [3,10221 < 29,8871], гипотеза H0 отклоняется, и признается статистическая значимость уравнения регрессии.

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии используется t – критерий Стьюдента. Выдвигается гипотеза H0: ?j = 0 о незначимом отклонении от нуля каждого отдельного параметра модели. Если для параметра ?j модуль фактического значения t-статистики превышает табличное , то гипотеза H0 отклоняется, и отклонение от нуля параметра ?j признается значимым. В противном случае гипотеза H0 принимается.

Для парной регрессии существует связь между статистиками Стьюдента и Фишера:

= F.

Для зависимости «Возраст – цена» получаем:

= 12,8642.

= = 1,7613.

.



Поскольку выполняется неравенство, гипотеза H0 отклоняется, и отклонение от нуля параметра ?1 признается значимым.

Для зависимости «Мощность двигателя – цена» получаем:

= 5,4669.

= = 1,761.





Поскольку выполняется неравенство, гипотеза H0 отклоняется, и отклонение от нуля параметра ?1 признается значимым.

1.5. Доверительная полоса для теоретического уравнения регрессии – это множество доверительных интервалов, содержащихся между нижней и верхней доверительными границами неравенства .

Доверительные интервалы среднего значения цены для y = ?0 + ?1x1:

,

где , - соответственно верхняя и нижняя границы доверительного интервала в точке . - значение независимой переменной x1, для которого определяется доверительный интервал, .

Стандартная ошибка :

.

Остаточная дисперсия уравнения регрессии:

,

Построение доверительной полосы для среднего значения цены автомобиля в зависимости от его возраста (с надежностью 0,95). При статистической надежности 0,95 уровень значимости (?) = 0,05.

Таблица 3

i

yi

xi1



ei



(xi1 - )2

Корень

*2,1448





1

9,0

5,0

8,0909

0,9091

0,8265

0,0352

0,2517

0,1871

7,7404

8,4414

2

8,6

4,0

9,373

-0,773

0,5975

0,6602

0,2794

0,2077

8,9839

9,7621

3

7,4

6,0

6,8088

0,5912

0,3495

1,4102

0,3094

0,2300

6,3779

7,2397

4

4,4

7,0

5,5267

-1,1267

1,2695

4,7852

0,4186

0,3112

4,9436

6,1098

5

5,6

7,0

5,5267

0,0733

0,0054

4,7852

0,4186

0,3112

4,9436

6,1098

6

4,2

8,0

4,2446

-0,0446

0,0020

10,1602

0,5495

0,4085

3,4793

5,0099

7

10,3

3,0

10,6551

-0,3551

0,1261

3,2852

0,3740

0,2781

10,1341

11,1761

8

9,3

5,0

8,0909

1,2091

1,4619

0,0352

0,2517

0,1871

7,7404

8,4414

9

5,5

7,0

5,5267

-0,0267

0,0007

4,7852

0,4186

0,3112

4,9436

6,1098

10

8,4

4,0

9,373

-0,973

0,9467

0,6602

0,2794

0,2077

8,9839

9,7621

11

9,7

4,0

9,373

0,327

0,1069

0,6602

0,2794

0,2077

8,9839

9,7621

12

11,0

3,0

10,6551

0,3449

0,1190

3,2852

0,3740

0,2781

10,1341

11,1761

13

10,4

3,0

10,6551

-0,2551

0,0651

3,2852

0,3740

0,2781

10,1341

11,1761

14

9,4

4,0

9,373

0,027

0,0007

0,6602

0,2794

0,2077

8,9839

9,7621

15

9,3

4,0

9,373

-0,073

0,0053

0,6602

0,2794

0,2077

8,9839

9,7621

16

10,8

3,0

10,6551

0,1449

0,0210

3,2852

0,3740

0,2781

10,1341

11,1761

Сумма

77

133,3

0

5,9038

42,4375

5,5111

4,0972

125,6247

140,9767

Среднее

4,8125

8,3313

0,0000

0,3690

2,6523

0,3444

0,2561

7,8515

8,8110



В графе «Корень» таблицы рассчитаны значения квадратного корня в :

= 0,6494.

Коэффициент детерминации: =0,9220. Совпадает с результатами, полученными в п.1.4. [R2 = = = 0,9220.]
На рис. 3 показаны: поле рассения, линия регрессии
; доверительные интервалы. Самое узкое место доверительной полосы соответствует среднему значению аргумента. . На рис. 3 проведена вертикальная прямая x = 4,8125. В этой точке доверительный интервал минимальный.

Построение доверительной полосы для среднего значения цены автомобиля в зависимости от мощности двигателя (с надежностью 0,95).
Таблица 4

i

yi

xi2



ei



(xi2 - )2

Корень

*2,1448





1

9,0

119,0

9,0697

-0,0697

0,0049

118,2656

0,2703

0,7614

8,7994

9,8311

2

8,6

89,0

7,0327

1,5673

2,4564

365,7656

0,3086

0,8691

6,7241

7,9018

3

7,4

114,0

8,7302

-1,3302

1,7694

34,5156

0,2561

0,7213

8,4741

9,4515

4

4,4

54,0

4,6562

-0,2562

0,0656

2929,5156

0,5696

1,6043

4,0866

6,2605

5

5,6

82,0

6,5574

-0,9574

0,9166

682,5156

0,3515

0,9899

6,2059

7,5473

6

4,2

78,0

6,2858

-2,0858

4,3506

907,5156

0,3790

1,0675

5,9068

7,3533

7

10,3

104,0

8,0512

2,2488

5,0571

17,0156

0,2530

0,7127

7,7982

8,7639

8

9,3

145,0

10,8351

-1,5351

2,3565

1359,7656

0,4291

1,2085

10,4060

12,0436

9

5,5

83,0

6,6253

-1,1253

1,2663

631,2656

0,3449

0,9714

6,2804

7,5967

10

8,4

84,0

6,6932

1,7068

2,9132

582,0156

0,3384

0,9532

6,3548

7,6464

11

9,7

139,0

10,4277

-0,7277

0,5295

953,2656

0,3844

1,0826

10,0433

11,5103

12

11,0

147,0

10,9709

0,0291

0,0008

1511,2656

0,4446

1,2521

10,5263

12,2230

13

10,4

132,0

9,9524

0,4476

0,2003

570,0156

0,3369

0,9488

9,6155

10,9012

14

9,4

123,0

9,3413

0,0587

0,0034

221,2656

0,2869

0,8079

9,0544

10,1492

15

9,3

112,0

8,5944

0,7056

0,4979

15,0156

0,2527

0,7117

8,3417

9,3061

16

10,8

125,0

9,4771

1,3229

1,7501

284,7656

0,2966

0,8354

9,1805

10,3125

Сумма

1730,0

133,30

0,00

24,1388

11183,750













Среднее

108,125




0,00

1,5087


















.

= 1,3131.

Коэффициент детерминации: = 0,6810. Совпадает с результатами, полученными в п.1.4 [R2 = = = 0,6810].
На рис. 4 показаны: поле рассения, линия регрессии: доверительные интервалы. Самое узкое место доверительной полосы соответствует среднему значению аргумента. . На рис. 4 проведена вертикальная прямая x = 108,1250. В этой точке доверительный интервал минимальный.
  1   2   3


Учебный материал
© bib.convdocs.org
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации