Степанов А.П. Расчет и исследование линейных электрических цепей - файл n1.doc

Степанов А.П. Расчет и исследование линейных электрических цепей
скачать (2078.5 kb.)
Доступные файлы (4):
n1.doc8661kb.27.11.2003 17:10скачать
n2.doc27kb.16.02.2005 12:48скачать
n3.docскачать
n4.doc12847kb.27.11.2003 19:04скачать

n1.doc

  1   2   3   4   5   6


Предисловие
В настоящее время процесс обучения студентов все больше ориентирован на их самостоятельную работу. Поэтому создание учебных пособий, помогающих студентам самостоятельно осваивать дисциплины с привлечением вычислительной техники, является актуальным. Предлагаемое учебное пособие способствует усвоению и закреплению теоретического материала в том объеме, который бы позволил студенту самостоятельно выполнить и защитить расчетно – графические и лабораторные работы, а также рассчитать любые домашние задания с привлечением вычислительной техники (применяя программные продукты типа MathCad или Electronics Workbench) в объеме курсов теоретических основ электротехники (ТОЭ) для электротехнических специальностей и электротехники для неэлектротехнических специальностей ВУЗов. Подробность и глубина изложения материала в главах 1-11 учебного пособия разная, такое изложение основано на опыте автора при ведении дисциплины ТОЭ для студентов дневного и заочного обучения специальностей 101800, 210700 и 181400, глава 12 посвящена исследованию линейных электрических цепей путем схемотехнического моделирования на Electronics Workbench. При этом исследование оформлено в виде законченных лабораторных работ по ТОЭ. Электронная версия данного пособия позволит студентам самостоятельно изучить представленный материал в системе дистанционного обучения.

Список рекомендованной литературы при освоении раздела ТОЭ “Расчет линейных электрических цепей ”, а также литературы по реализации методов расчета и анализа электрических цепей с помощью компьютера приведен в конце пособия [1–23].

1. Основные понятия, определения и законы электротехники


В этом разделе изложение материала носит справочный характер. Электротехника - это наука о техническом использовании электрических, магнитных, электромагнитных явлений, занимается вопросами производства, передачи и преобразования электроэнергии.

Курс ТОЭ - это основа всех электротехнических дисциплин.

1.1. Определения


Электрической цепью называется совокупность соединенных друг с другом источников электрической энергии и нагрузок, по которым может протекать электрический ток.

Графическое изображение электрической цепи называется схемой.

Электромагнитные процессы в электрической цепи можно описать с помощью понятий: электрический ток (i, I), электродвижущая сила (ЭДС, e, E), падение напряжения (u, U), сопротивления, элементы (резистивный, индуктивный, емкостной) и т.д.

Основными элементами электрических цепей являются источники и приемники электрической энергии, а также провода, соединяющие их между собой. В источниках электрической энергии механическая, химическая и другие виды энергии преобразуются в электрическую, а в приемниках - наоборот: электрическая энергия в другие виды энергии.

Электрические цепи, в которых течет неизменный во времени ток

(i = = I = const), называются электрическими цепями постоянного тока. Если в цепи течет синусоидальный ток i = = Im sin(t + ), то такая цепь называется электрической цепью синусоидального тока.

1.2. Идеальные элементы электрических цепей и схем


Реальные элементы электрических цепей представляют следующими идеальными элементами:

1. Резистивный элемент отображает преобразование электрической энергии в тепловую в элементах реального устройства (рис. 1.1).



Рис. 1.1

Закон Ома для резистивного элемента I = (или для мгновенных значений i = ), где U = а - b > 0 , ток течет от большего потенциала а к меньшему b . Здесь и далее заглавные буквы I, R, U используются для цепей постоянного тока (в других случаях будет оговорено особо).

2. Индуктивный элемент накапливает энергию в виде энергии магнитного поля. Примером индуктивного элемента может служить реальный элемент - катушка индуктивности. Графическое изображение индуктивного элемента показано на рис. 1.2.



Рис. 1.2
Основные соотношения для индуктивного элемента:

u = = L, ,

где = Li – потокосцепление; L – индуктивность;

Wм = - магнитная энергия.

Индуктивный элемент не оказывает сопротивление постоянному току:

u = L = 0, т.к. I = const .

3. Емкостной элемент накапливает энергию в виде энергии электрического поля. Примером емкостного элемента может служить конденсатор. Емкостной элемент показан на рис. 1.3.



Рис. 1.3

Основные формулы для емкостного элемента:
, u = ,

где q = C u – заряд; C – емкость; - электрическая энергия.

Постоянный ток не течет через емкостной элемент:

, т.к. U = const .
4. Идеальный источник э.д.с. используется при замене реального источника электрической энергии, если внутренним сопротивлением источника можно пренебречь. Схема идеального источника э.д.с. показана на рис. 1.4.



Рис. 1.4 Рис. 1.5
У идеального источника э.д.с. внутреннее сопротивление равно нулю и не зависит от тока, который течёт по нему, см. рис. 1.5. Стрелка э.д.с. направлена на больший потенциал: а > b, Uab = а - b = Е.

5. Идеальный источник тока используется при замене реального источника электрической энергии, если внутреннее сопротивление реального источника энергии велико.

На рис. 1.6 показан идеальный источник тока.


Рис. 1.6
Внутреннее сопротивление идеального источника тока равно бесконечности. Отсюда следует, что "посторонний" ток по идеальному источнику тока не течёт.

Рассмотрим примеры замены реальных элементов электрической цепи идеальными.

1. Катушка индуктивности при прохождении по ней переменного тока накапливает энергию в виде магнитного поля и нагревается, поэтому она может быть заменена эквивалентной схемой замещения, рис. 1.7, где резистивный и индуктивный элементы соединены последовательно.


Рис. 1.7
2. Реальный источник постоянного тока имеет напряжение на разомкнутых зажимах, равное Uab, и внутреннее сопротивление Rвн . Заменим источник двумя эквивалентными схемами замещения: одна с идеальным источником э.д.с. и вторая с идеальным источником тока, рис. 1.8 и рис. 1.9 соответственно.



Рис. 1.8

Рис. 1.9

1.3. Неразветвленные и разветвленные электрические цепи


Ветвь - участок цепи, образованный последовательно соединенными элементами, по которым течет один и тот же ток, и двумя узлами, рис. 1.10.

Рис. 1.10
Узел - точка цепи, в которой сходится не менее трех ветвей, обозначен на рис. 1.10 цифрами 1 и 2.

Неразветвленная электрическая цепь - это цепь, по которой течет один и тот же ток, рис. 1.11.


Рис. 1.11
Разветвленная электрическая цепь - это цепь, имеющая три и более ветвей, рис. 1.12.

Рис. 1.12
Контур - любой замкнутый путь в электрической цепи. В неразветвленной электрической цепи один контур.


1.4. Закон Ома , законы Кирхгофа , баланс мощностей



1. Закон Ома для участка цепи записывается в виде (рис. 1.13)
I = и i = ,



Рис. 1.13
2. Обобщенный закон Ома иллюстрируется рисунком 1.14 и следующими формулами:

.

Рис. 1.14
Здесь знак у напряжения и э.д.с. берется плюс, если стрелки напряжения и э.д.с. совпадают по направлению с током, в противном случае берется знак минус.
В общем виде для цепей постоянного тока формула может быть записана


где G = - проводимость,

ток I течет от большего потенциала a к меньшему потенциалу b (формула записывается по обозначениям на схеме, а не по величинам потенциалов).

3. Первый закон Кирхгофа. Aлгебраическая сумма токов в любом узле электрической цепи равна нулю:
и .
4. Второй закон Кирхгофа. Для любого контура электрической цепи алгебраическая сумма падений напряжений на элементах равна алгебраической сумме э.д.с., действующих в данном контуре:
и .
Пример.

Составить уравнение по второму закону Кирхгофа для контура, показанного на рис. 1.15.


Рис. 1.15
Отметим, что стрелка падения напряжения на пассивном элементе электрической цепи совпадает по направлению с током, текущим по этому элементу (как показано на рис. 1.15).

Выбираем направление обхода контура по часовой стрелке и запишем уравнение. При этом падения напряжения, совпадающие с выбранным направлением обхода, запишем со знаком плюс, а несовпадающие с направлением обхода - со знаком минус. Затем ставим знак равенства и напишем правую часть уравнения, при этом берем э.д.с. со знаком плюс, если стрелки э.д.с. совпадают с направлением обхода, и со знаком минус, если не совпадают. Уравнение имеет вид

+U1 + U2 - U3 - U4 = +E1 - E3,

с учетом закона Ома уравнение может быть записано
R1I1 + R2I2 - R3I3 - R4I4 = E1 - E3 .
5. Баланс мощностей. Баланс мощностей вытекает из закона сохранения энергии и сводится к следующему: в любой электрической цепи сумма мощностей отдаваемой источниками энергии равна сумме мощностей потребляемой нагрузками (пассивными элементами электрической цепи).

Для цепей постоянного тока баланс мощностей может быть записан в виде

Ри = Рн ,
где - мощность источников; знак плюс у произведения э.д.с. на ток берется, если направления стрелок Ек и Iк совпадают, в противном случае берется знак минус,
- мощность нагрузок.

Для цепей переменного тока баланс мощностей записывается в общем виде аналогично. Конкретные формулы будут приведены ниже. По балансу мощностей проверяется правильность расчетов электрических цепей.

Примеры составления баланса мощностей будут приведены в разделе 2 (для цепей постоянного тока) и в разделе 3 (для цепей синусоидального тока).


1.5. Последовательное , параллельное и смешанное соединения элементов



Приведенные ниже формулы справедливы для резистивных элементов цепей постоянного и переменного тока. Для цепей синусоидального тока, содержащих реактивные элементы (индуктивный и емкостной), формулы записываются в других обозначениях, см. раздел 3.

1. Последовательное соединение резистивных элементов, рис.1.16.


Рис. 1.16
При последовательном соединении элементов по ним течет один и тот же ток. Левая и правая схемы рис. 1.16 эквивалентны.

При этом должны выполняться соотношения:
R = R1 + R2 + R3 - эквивалентное сопротивление;

Uав = U1 + U2 + U3 ; Uав = E ; I = .
В общем виде при к-последовательно соединенных элементах эквивалентное сопротивление находится по формуле

.
2. Параллельное соединение резистивных элементов, рис 1.17.

Рис. 1.17
При параллельном соединении элементов на них одно и то же напряжение (в нашем случае Uав = E ). Левая и правая схемы эквивалентны. При этом должны выполняться соотношения:
или G = G1 + G2 + G3 ,

где  эквивалентная проводимость;

- проводимости параллельных ветвей (для нашего примера=1,2,3);



В случае к-параллельных ветвей общая (эквивалентная) проводимость параллельных ветвей находится по формуле
.

Пример 1.

Найти эквивалентное сопротивление двух параллельных ветвей схемы рис. 1.18 при заданных R2, R3 и R4.


Рис. 1.18
Находим сопротивление первой ветви R1 = R3 + R4, затем определяем общее сопротивление цепи:


  1. , 2) , 3) .


Последняя формула часто используется самостоятельно (при этом эквивалентное сопротивление должно быть по величине меньше меньшего из параллельных сопротивлений).
Пример 2. Найти сопротивление между точками цепи , рис. 1.19 .


Рис. 1.19
Решение: Rав = R1 + R3 , Rad = R1 + R3 , Rcв = R2 + R3 ,

Rac = R1 + R2 , Rcd = R2 + R3 , Rвd = 0 .
3. Смешанное соединение резистивных элементов.

Рассмотрим пример расчета электрической цепи с использованием закона Ома, рис. 1.20 .

Дано: R1, R2, R3, U .

Найти: I1, I2, I3, U1, U2, R.

Рис. 1.20
Порядок расчета.

1) Найдем эквивалентное сопротивление параллельного участка цепи:

.

Тогда схему рис. 1.20 можно упростить, рис. 1.21.



Рис. 1.21 Рис. 1.22


  1. Согласно схемы рис. 1.21, резисторы R1 и R23 включены последовательно, поэтому общее сопротивление найдем по формуле

R = R1 + R23 .

Схему рис. 1.21 преобразуем в схему рис. 1.22.

  1. Используя схему рис.1.22, найдем общий ток:

.

  1. По схеме рис.1.21 определим падения напряжения:

U1 = I1 R1, Uаb = R23 I1 .

  1. Недостающие токи параллельных ветвей найдем по исходной схеме, рис.1.20:

, .


  1. Проверим найденные токи по первому закону Кирхгофа. Должно соблюдаться соотношение (с определенной степенью точности)


I1 = I2 + I3 .


1.6. Преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду и обратно



Приведем формулы преобразования треугольника сопротивлений (рис. 1.23) в эквивалентную звезду (рис. 1.24):
Ra = , Rb = , Rс = ,

где Rm = Rаb + R + Rса.


Рис. 1.23 Рис. 1.24
Формулы обратного преобразования из звезды в треугольник имеют следующий вид:

, , .
Если использовать проводимости ветвей, то последнее преобразование можно осуществить по формулам:
Gаb = , Gbс = , Gca = , где Gn = Ga + Gb + Gc.
Пример.

Дано: R1, R2, R3, R, Rвс, Rca .

Найти: эквивалентное сопротивление R заданной электрической цепи, рис.1.25.


Рис. 1.25 Рис. 1.26
Преобразуем треугольник сопротивлений авс в эквивалентную звезду. Тогда схема примет вид, рис. 1.26 . Дальнейший расчет сводится к вычислениям по формулам:
Rc2 = Rc + R2 , Rb3 = Rb + R3 , , R = R1 + Ra + Rc2, b3.


2. Основные методы расчета линейных электрических цепей постоянного тока



В настоящей главе выводы методов расчета опущены, приведены примеры и порядок расчета.

2.1. Метод непосредственного применения законов Кирхгофа



Метод сводится к составлению системы независимых линейных алгебраических уравнений по законам Кирхгофа и ее решению относительно неизвестных. Обычно в роли неизвестных выступают токи в ветвях электрической цепи. Порядок расчета рассмотрим на примере.

Постановка задачи: задана электрическая цепь (рис. 2.1), заданы величины сопротивлений R1- R6, Э.Д.С. Е1 и Е2; требуется найти токи в ветвях I1 – I 6.



Рис. 2.1
Решение.

1. Определим число уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа по формуле n - 1 = 3 и по второму закону Кирхгофа по формуле m - (n - 1) = 3, где n = 4 - число узлов, m = 6 - число ветвей (рис 2.1).

2. Выбираем (произвольно) направление токов в ветвях, рис. 2.1.

3. Составляем систему из трех уравнений по первому закону Кирхгофа (для узлов 1, 2 и 3) и из трех уравнений по второму закону Кирхгофа (контуры I, II и III).

Направление обхода контуров выберем по часовой стрелке, рис. 2.1 .

Система имеет вид

-I1 – I4 + I6 = 0,




I1 – I2 + I3 = 0,




-I3 + I5 – I6 = 0,

(2.1)

R1 I1 + R2 I2 – R4 I4 = E1 – E2,




-R2 I2 – R3 I3 – R5 I5 = E2,




R4 I4 + R5 I5 + R6 I6 = 0.





Система ( 2.1 ) может быть решена любым из известных методов расчета, например, методом подстановки или численным методом на ЭВМ. Рассмотрим решение системы с помощью ЭВМ. Приведем систему уравнений к стандартному виду:

-I1 + 0 I2 + 0 I3 - I4 + 0 I5 + I6 = 0,




I1 – I2 + I3 + 0 I4 + 0 I5 + 0 I6 = 0,




0 I1 + 0 I2 – I3 + 0 I4 + I5 – I6 = 0,

(2.2)

R1 I1 + R2 I2 + 0 I3 - R4 I4 + 0 I5 – 0 I6 = E1 – E2,




0 I1 – R2 I2 – R3 I3 + 0 I4 – R5 I5 + 0 I6 = E2,




0 I1 + 0 I2 + 0 I3 + R4 I4 + R5 I5 + R6 I6 = 0.




В матричной форме система (2.2) может быть представлена в виде


RI = E ,

(2.3)





Решение системы (2.2) или (2.3) при численных значениях:

R1 = 10 Ом , R2 = 15 Ом , R3 = 20 Ом , R4 = 25 Ом , R5 = 30 Ом ,

R6 = 35 Ом и E1 = 100 В , E2 = 200 В дает значения токов:

I1 = -0,4570 А ; I2 = -3,8995 А ; I3 = -3,4425 А ;

I4 = 1,4775 А ; I5 = -2,4219 А ; I6 = 1,0206 A .


  1. Правильность расчета проверим по балансу мощностей.

Мощность источников тока определим по формуле, составленной согласно схемы рис. 2.1,

Pи = E1I1 – E2I2 = 100 (-0,4570) - 200 (-3,8995) = 734,2 Вт.

Мощность потребителей (нагрузок) найдем по формуле, рис. 2.1,

Pн = Iк2 = 10 (-0,4570) 2 + 15 (-3,8995) 2 + 20 (-3,4425) 2 +
+ 25 . (1,4775) 2 + 30 . (-2,4219) 2 + 35 . (1,0206) 2 = 734,1961 Вт.

Относительная ошибка должна быть меньше наперед заданного числа, например, 5 % :



Расчет выполнен правильно.




2.2. Метод контурных токов



Метод контурных токов выводится из метода непосредственного применения законов Кирхгофа путем исключения уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа. Указанная процедура достигается за счет введения обобщенных переменных, так называемых контурных токов, относительно которых составляются уравнения по второму закону Кирхгофа. Полученные уравнения решаются относительно контурных токов. Затем токи в ветвях выражаются через найденные контурные токи.

Порядок расчета рассмотрим на примере.

Решим тот же пример, что и в предыдущем разделе, рис. 2.2 .

Дано: Е 1 = 100 В, Е 2 = 200 В,

R1 = 10 Oм, R2 = 15 Oм, R3 = 20 Oм,

R4 = 25 Oм, R5 = 30 Oм, R6 = 35 Oм.
Найти : токи в ветвях.

Рис. 2.2
Решение.

1. Определим число уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа: m - (n - 1) = 3, где m и n - число ветвей и узлов соответственно. Число уравнений равно числу неизвестных контурных токов. В нашем случае - три. Обозначим контурные токи: I11, I22 и I33.

2. Выберем направление контурных токов совпадающим с направлением вращения часовой стрелки. Номера контуров совпадают с индексами контурных токов. Отметим, что по второй, четвертой и пятой ветвям текут по два контурных тока.

3. Составим систему из трех уравнений по второму закону Кирхгофа относительно контурных токов. При этом учтем падение напряжения на резистивных элементах от каждого контурного тока, текущего по нему. Направление обхода контуров выберем совпадающим с направлением соответствующего контурного тока. Первое уравнение соответствует первому контуру, второе - второму и т.д. :
(R1 + R2 + R4) I11 - R2 I22 – R4 I33 = E1 – E2,

(R2 + R3 + R5) I22 - R2 I11 – R5 I33 = E2, (2.4)

(R4 + R5 + R6) I33 - R4 I11 – R5 I22 = 0.


  1. Приведем систему (2.4) к стандартному виду:


(R1 + R2 + R4) I11 – R2 I22 - R4 I33 = E1 – E2,

- R2 I11 + (R2 + R3 + R5) I22 – R5 I33 = E2, (2.5)



В более общем виде система (2.5) запишется:
R11 I11 + R12 I22 + R13 I33 = E11,

R21 I11 + R22 I22 + R23 I33 = E22, (2.6)

R31 I11 + R32 I22 + R33 I33 = E33
или в матричной форме

RI = E ,

здесь

R11 = R1 + R2 + R4 , R12 = R21 = -R2,

R22 = R2 + R3 + R5 , R13=R31= -R4, (2.7)

R33 = R4 + R5 + R6 , R23 = R32 = -R5,

E11 = E1 – E2, E22 = E2, E33 = 0,


Запишем формулы для расчета контурных токов:
; ; .


Здесь



Решение в матричной форме

I = R-1 E .
Подставим в (2.5) величины заданных сопротивлений и э.д.с.:

50 I11 - 15 I22 - 25 I33 = -100,

-15 I11 + 65 I22 - 30 I33 = 200,

-25 I11 - 30 I22 + 90 I33 = 0 .

Решим полученную систему на ЭВМ:

I11 = -0,4570 А ; I22 = 3,4425 А ; I33 = 1,0206 А.
4. Выразим токи в ветвях через контурные. Выберем направление токов в ветвях, например, такое же, как в предыдущем методе расчета,см. рис. 2.3 . Тогда имеем:
I1 = I11 = -0,4570 A,

I2 = I11 – I22 = -0,4570 - 3,4425 = -3,8995 A,

I3 = - I22 = -3,4425 A,

I4 = I33 - I11 = 1,0206 + 0,4570 = 1,4776 A,

I5 = I33 – I22 = 1,0206 - 3,4425 = -2,4219 A,

I6 = I33 = 1,0206 A.
Отметим, что при определении токов I2, I4 и I5 учитывалось, что контурный ток, совпадающий с током в ветви, берется со знаком "+", не совпадающий - со знаком "-". При этом значения контурных токов подставляются в формулы со своим знаком.

Поскольку значения токов получились практически одинаковыми

в обоих методах расчета, то проверку расчета по балансу мощностей не проводим.

Рис. 2.3

2.3. Метод узловых потенциалов



Метод выводится из метода непосредственного применения законов Кирхгофа путем исключения уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа, и замены переменных токов на потенциалы узлов. Полученная система из (n-1) уравнений решается относительно неизвестных потенциалов узлов, далее токи в ветвях находятся по обобщенному закону Ома.

Порядок расчета рассмотрим на том же примере, рис. 2.4.

Дано:

E1 = 100 B, E2 = 200 B, R1 = 10 , R2 = 15 ,

R3 = 20 , R4 = 25 , R5 = 30 Oм, R6 = 35.

Решение.

1. Определим число уравнений: n - 1 = 4 - 1 = 3, где n - число узлов. Заземлим четвертый узел, потенциал его примем равным нулю 4 = 0.

2. Составим систему из трех уравнений относительно неизвестных потенциалов 1, 2 и 3 по следующему правилу:

а) Рассмотрим первый узел. Потенциал этого узла 1 умножим на сумму проводимостей ветвей, образующих этот узел (G1 + G4 + G6), минус потенциал второго узла 2 , умноженный на проводимость ветви между первым и вторым узлами G2, минус потенциал третьего узла 3, умноженный на проводимость ветви между первым и третьим узлами G6, полученная сумма равна алгебраической сумме призведений э.д.с. ветвей,


Рис. 2.4
образующих первый узел, на соответствующую проводимость ветвей. При этом знак плюс берем, если стрелка э.д.с. направлена к рассматриваемому узлу, и знак минус, если стрелка э.д.с. направлена от него. В нашем примере: -E1 G1. Итак, первое уравнение имеет вид

(G1 + G4 + G6) 1 - G12 - G63 = - E1 G1 .

б) Рассмотрим второй узел и по аналогии составим второе уравнение

(G1 + G2 + G3) 2 - G11 - G33 = E1 G1 + E2 G1 .

в) Аналогично запишем уравнение для третьего узла:

(G3+ G5+ G6) 3 - G61 - G32 = 0 ,

здесь правая часть в уравнении равна нулю, т.к. ветви, образующие третий узел, не содержат э.д.с. .

Перепишем полученную систему уравнений:

(G1 + G4 + G6) 1 - G12 - G63 = - E1 G1 ,

-G1 1 + (G1 + G2 + G3) 2 - G3 3 = E1 G1 + E2 G2, (2.8)

- G61 - G32 + (G3 + G5 + G6) 3 = 0
или

G11 1 + G12 2 + G13 3 = I11 ,

G21 1 + G22 2 + G23 3 = I22, (2.9)

G311 + G322 + G333 = I33 ,

Здесь

G11 = G1 + G4 + G6, G12 = G21 = - G1 ,

G22 = G1 + G2 + G3, G13 = G31 = - G6 ,

G33 = G3 + G5 + G6, G23 = G32 = - G3 ,



I11 = - E1 G1,

I22 = E1 G1 + E2 G2,

I33 = 0.
Систему уравнений (2.9) можно записать в векторно-матричной форме


G? = I ,

(2.10)


где


3. Решение системы (2.9) или (2.10) проводится теми же методами, что мы рассматривали в разделе 2.2. Ограничимся численным решением системы (2.8) на ЭВМ. Найдем проводимости ветвей:





Подставим найденные значения в (2.8):

0,1686 1 - 0,1 2 - 0,0286 3 = -10,

-0,1 1 + 0,2167 2 - 0,05 3 = 23,34,

-0,0286 1 - 0,05 2 + 0,1119 3 = 0.

Решение системы уравнений дает значения потенциалов: 1 = 36,9683 В, 2 = 141,5386 В , 3 = 72,6919 В.

Затем, произвольно выберем направление токов в ветвях, например, такое же, как в предыдущих методах, рис. 2.5.

Рис. 2.5
Используя обобщенный закон Ома, найдем токи в ветвях:

I1 = (1 – 2 + E1) G1 = (36,9683 - 141,5386 + 100) 0,1 = - 0,4570 A;

I2 = (2 – 4 – E2) G2 = (141,5386 - 0 - 200) 0,0667 = - 3,8994 А;

I3 = (1 – 2) G3 = (72,6919 - 141,5386) 0,05 = - 3,4423 A;

I4 = (1 – 4) G4 = (36,9683 - 0) 0,04 = 1,4787 A;

I5 = (4 - 3) G5 = (0 - 72,6919) 0,0333 = - 2,4206 A;

I6 = (3 – 1) G6 = (72,6916 - 36,9683) 0,0286 = 1,0217 A.
Значения токов практически совпадают с полученными ранее в разделах 2.1 и 2.2.

2.4. Метод двух узлов



Метод двух узлов выводится из метода узловых потенциалов. Применяется для расчета электрических цепей, имеющих два узла. Порядок расчета рассмотрим на примере, рис. 2.6 .
Дано: R1 = 10 , R2 = 15 , R3 = 20 , R4 = 25 ,

E1 = 100 , E2 = 150 , E3 = 200 .

Найти: I1, I2, I3, I4 .

Рис. 2.6


  1. Найдем напряжение между узлами а и b по формуле


,
где знак плюс в числителе берем, если стрелка э.д.с. направлена к узлу а, в противном случае берем знак минус; Gк = 1/Rк - проводимость к-ой ветви.

Для рассматриваемого примера
,
здесь




2. Используя обобщенный закон Ома, найдем токи в ветвях. Зададимся направлениями токов (произвольно) и запишем формулы определения токов:

I1 = (E1 - Uав) G1 = (100 - 38,96) 0,1 = 6,10 A;

I2 = (-E2 - Uав) G2 = (-150 - 38,96) 0,0667 = - 12,60 A;

I3 = (-E3 + Uав) G3 = (-200 + 38,96) 0,05 = - 8,05 A;

I4 = Uав G4 = 38,96 . 0,04 = 1,56 A.
3. Найденное решение проверим по балансу мощностей:

Мощность источников



=4110,40 Bт .
Мощность нагрузок


.
Относительная ошибка
.
Расчет выполнен верно.

Отметим, что при этом методе расчета бывает достаточно проверить уравнения по первому закону Кирхгофа:
I1 + I2 – I3 - I4 = 6,10 - 12,60 + 8,05 - 1,56 = 0.




2.5. Метод эквивалентного генератора



Выводится из теоремы об активном двухполюснике. Применяется для расчета электрических цепей, в которых требуется найти ток в какой - либо одной ветви.

Суть метода сводится к следующему. Выделим нагрузку, в которой требуется найти ток, а оставшуюся электрическую цепь примем за активный двухполюсник (или за эквивалентный генератор), рис. 2.7. Затем опытным (с помощью приборов) или расчетным путем определим параметры схемы замещения активного двухполюсника ( эквивалентного генератора), рис. 2.8, где Ег - э.д.с. эквивалентного генератора, равная напряжению холостого хода Uав (при отсутствии нагрузки Rн), рис. 2.9; R г - внутреннее сопротивление эквивалентного генератора, равное входному сопротивлению двухполюсника Rав, рис. 2.10.

Затем, по схеме рис. 2.8, находим требуемый ток:
.
Порядок расчета рассмотрим на примере, рис. 2.11.




Рис. 2.7 Рис. 2.8


Рис. 2.9 Рис. 2.10
Дано: R1 = 20 ; R2= 25 ; R3 = 30 ; R4 = 40 ;

Е 1 = 100 В; Е 2= 150 В; Е 4 = 50 В.

Найти: I4 .


Рис. 2.11
1. Удалим нагрузку R4 и найдем напряжение холостого хода Uab

на разомкнутых зажимах а и b оставшейся схемы, рис. 2.12.


Рис. 2.12
Обойдем третий контур III (рис. 2.12), содержащий вектор Uab, по часовой стрелке. Тогда по второму закону Кирхгофа можно записать

Uab – R3 I3 = -E 4 или E г = Uab = - E 4 + R3 I3 , (2.11)

где I3 - ток, который надо найти по схеме рис. 2.12.

Определим ток I3 с помощью метода контурных токов. Выберем контурные токи I11и I22 , рис. 2.12, и составим систему из двух уравнений, поскольку четвертая ветвь разомкнута:

(R1 + R2) I11 - R2 I22 = E 1 + E 2,

- R2 I11 + (R2 + R3) I22 = - E 2,

подставим значения сопротивлений:

45 I11 - 25 I22 = 250,

-25 I11 + 55 I22 = - 150,

и решим эту систему : I11 = 5,405 A; I22 = - 0,270 A .

Ток I3 = I22 = - 0,270 A подставим в (2.11) , тогда

E г = Uab = - 50 + 30 (- 0,270) = - 58,1 В.

2. Найдем сопротивление между зажимами а и b. Поскольку идеальные источники э.д.с. имеют внутреннее сопротивление, равное нулю, то расчетная схема примет вид, показанный на рис. 2.13.



Рис. 2.13
Все элементы включены параллельно:

Gab = G1 + G2+ G3 = 0,1233 См ;





Итак, Rг = Rab = 8,11 .

3. По эквивалентной схеме генератора с подключенной к нему нагрузкой R4, рис. 2.14, находим ток в четвертой ветви:





Рис. 2.14
Очевидно, что в этом случае правильность расчета нельзя проверить по балансу мощностей.

2.6. Метод наложения


Метод наложения выводится из уравнений, составляемых в методе контурных токов при решении системы уравнений в матричном виде. Суть метода заключается в том, что в линейной электрической цепи от каждой э.д.с. в отдельности находят так называемые частичные токи в ветвях. Реальный ток в ветви находят как алгебраическую сумму частичных токов, текущих по этой ветви. Частичные токи находят любым из известных методов расчета, например, по закону Ома.Порядок расчета рассмотрим на примере, рис. 2.15.

Дано: R1 = 10 , R2 = 20 , R3 = 10 ,

E 1 = 100 В, E 3 = 150 В.

Найти: I1, I2, I3.



Рис. 2.15

Решение.

1. Оставим в исходной электрической цепи одну первую э.д.с. Е 1,

а третью э.д.с. закоротим, т.к. ее внутреннее сопротивление равно нулю. Тогда расчетная схема примет вид, показанный на рис.2.16.


Рис. 2.16

Найдем частичные токи от первой э.д.с. Расчет проведем по закону Ома (см. рис. 2.16 )



где


;
.
2. Оставим в исходной электрической цепи (рис. 2.15) следующую э.д.с. Е3, а первую э.д.с. закоротим, рис. 2.17.


Рис. 2.17
Для нахождения частичных токов воспользуемся законом Ома

,

где ;
;

; .

3. Найдем токи в ветвях (рис. 2.15) как алгебраическую сумму соответствующих частичных токов (рис. 2.16 и рис. 2.17):

;

;

.

4. Найденные значения токов проверим по балансу мощностей:

Pи = E1I1 - E3 I3 = 100 . 12 - 150 . (-13) = 3150 Вт,

Pн = R1I1 2 + R2I2 2 + R3I3 2 = 10 . 122 + 20 . (-1) 2 + 10 . (-13) 2 = 3150 Вт,

.

Токи найдены правильно.Отметим , что из приведенного решения видно , что с помощью метода наложения можно находить и падение напряжения, например:



2.7. Потенциальная диаграммма



Потенциальная диаграмма - это график распределения потенциалов точек какого-либо контура от суммы сопротивлений этого контура.

Порядок построения потенциальной диаграммы рассмотрим на примере, разобранном в разделе 2.1. Для удобства приведем пример ниже, рис. 2.18.



Рис. 2.18
Дано: R1 = 10 , R2 = 15 , R3 = 20 , R4 = 25 , R5 = 30 ,

R6 = 35 , E1 = 100 B, E2 = 200 B, I1 = - 0,457 A, I2 = - 3,8995 A,

I3 = -3,4425 A, I4 = 1,4775 A, I5 = - 2,4219 A, I6 = 1,0206 A .

Решение.

1. Выберем контур, например, аbсdea, рис. 2.18 . Заземлим точку а, потенциал которой примем равным нулю, и найдем (выразим) потенциалы остальных точек относительно потенциала точки а. При этом учтем (по направлению токов на схеме), что ток течет от большего потенциала к меньшему, а стрелка э.д.с. показывает на больший потенциал. С учетом сказанного, соотношения запишутся:
a = 0,

b = a + Е2 = 0 + 200 = 200 В,

c = b + R2I2 = 200 + 150 (-3,8995) = 141,51 В,

d = c + R1I1 = 141,51 + 10 (-0,457) = 136,94 В,

e = d – Е1 = 136,94 - 100 = 36,94 В,

a = e – R4I4 = 36,94 - 25 . 1,4775 = 0,00В.
2. Нарисуем диаграмму.

По оси абсцисс отложим сумму сопротивлений контура (R2, R1, R4), по оси ординат нанесем соответствующие потенциалы точек контура аbсdea , рис. 2.19. При этом учтем, что у идеальных источников э.д.с. внутреннее сопротивление равно нулю.

Рис. 2.19
Нанесенные точки соединим прямыми, на идеальных источниках э.д.с. наблюдаются скачки потенциалов на величину э.д.с.:

b – a = E2, d – e = E1.
Потенциальная диаграмма может быть получена и опытным путем. Для этого достаточно один зажим вольтметра подключить к точке a электрической цепи, а другой зажим подключать поочередно к другим точкам контура, что позволит по показаниям вольтметра определить потенциалы соответствующих точек контура.

Отметим, что потенциалы точек в общем случае могут быть положительными и отрицательными числами. В этом случае ломаная будет пересекать ось абсцисс.


3. Комплексный метод расчета линейных электрических цепей синусоидального тока



Расчет линейных электрических цепей на основе мгновенных значений токов и напряжений, изменяющихся по синусоидальному закону, вызывает серьезные трудности. Избежать этих трудностей можно с помощью комплексного или символического метода расчета, который позволяет исключить при расчетах одну из координат (частоту питающей сети), т.к. все токи и падения напряжения в линейной электрической цепи изменяются с одной и той же частотой. Такое преобразование позволяет избавиться от мгновенных синусоидальных значений токов и напряжений, что значительно упрощает расчет.

Суть комплексного метода заключается в следующем:

1. Делаем переход из множества "t" мгновенных значений токов и падений напряжения в множество “j ” их комплексных значений (векторов), рис. 3.1.



t

?

j =










i(t) = sin(?t+)

?

= Im e j










+, -, *, /

?

+, -, *, /









  1   2   3   4   5   6


Учебный материал
© bib.convdocs.org
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации