Арзамасцев С.В. Полный факторный эксперимент - файл n1.doc

Арзамасцев С.В. Полный факторный эксперимент
скачать (1284.5 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc1285kb.06.11.2012 13:12скачать

n1.doc



Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Саратовский государственный технический университет

ПОЛНЫЙ ФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

Методические указания к выполнению лабораторных работ

по дисциплине «Моделирование и оптимизация

технологии полимерных материалов»

для студентов очной и заочной форм обучения специальности 240502.65






Одобрено

редакционно-издательским советом Саратовского государственного

технического университета



Саратов 2009
Дисциплина «Моделирование и оптимизация технологии полимерных материалов» является завершающим этапом в технологической подготовке инженеров химиков-технологов.

Лабораторные работы по дисциплине «Моделирование и оптимизация технологии полимерных материалов» имеют следующие цели:


В настоящих методических указаниях к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Моделирование и оптимизация технологии полимерных материалов» рассматриваются вопросы практического применения студентами приемов математического моделирования с использованием методики полного факторного эксперимента, включая следующие этапы:

- проверка воспроизводимости результатов эксперимента;

- построение математической модели в явном виде с расчетом коэффициентов уравнения регрессии;

- проверка адекватности математической модели;

- инженерная интерпретация полученного уравнения регрессии, позволяющая оценить зависимость параметра оптимизации от выбранных факторов и сформулировать условия для повышения эффективности изучаемого технологического процесса.
Теоретические подходы к моделированию

химико-технологических процессов.
Химико-технологические процессы представляют собой комплекс взаимосвязанных и протекающих в сложной взаимозависимости явлений, описание которых затрудняется необходимостью установления закономерностей протекания элементарных процессов и их взаимодействия и взаимовлияния друг на друга. Эти процессы относят к классу стохастических, в котором изменение определяющих величин происходит беспорядочно и часто дискретно. При этом значение выходной величины не находится в однозначном соответствии с входной. Для описания стохастических процессов используют статистико-вероятностные методы.

Примером стохастического процесса может служить контактно-каталитический процесс, в котором выход продукта изменяется с падением активности катализатора, обусловленным его старением во времени.

Одним из методов, хорошо зарекомендовавшим себя в решении такого рода задач, является метод полного факторного эксперимента, в основе которого лежит способ построения зависимости влияния определяющих факторов на параметр оптимизации в виде отрезка степенного ряда Тейлора.

Метод полного факторного эксперимента включает в себя последовательные этапы математического моделирования:

  1. Выбор параметра (или параметров) оптимизации и влияющих факторов.

  2. Выбор основного уровня и интервала варьирования по каждому фактору.

  3. Проверка воспроизводимости результатов эксперимента.

  4. Собственно построение математической модели с вычислением коэффициентов уравнения регрессии.

  5. Проверка адекватности уравнения регрессии.

  6. Инженерная интерпретация уравнения регрессии.

Выбор параметра (или параметров) оптимизации, влияющих факторов, а также выбор основного уровня и интервала варьирования по каждому фактору подробно рассматриваются в лекционном курсе. На лабораторных занятиях студенты приобретают навыки решения задач проверки воспроизводимости результатов эксперимента, построения математической модели и проверки её адекватности на ЭВМ.

Пример:

Изучить влияние на параметр оптимизации Y, в качестве которого выбрана дуктильность (растяжимость) полимербитумного композиционного материала при 00С, следующих факторов:

  1. Содержание каучука марки СКМС в составе полимербитумного вяжущего (X1);

  2. Количество вводимого в композицию полиэтилена высокого давления (X2);

  3. Время гомогенизации композиции (X3).

Для факторов 1-3 были выбраны основные уровни, интервалы варьирования (табл. 1).

Таблица 1

Значения уровней факторов и интервалов варьирования

Показатель

фактор X1

фактор X2

фактор X3

натуральное значение, %

кодированное значение

натуральное значение, %

кодированное значение

натуральное значение, мин

кодированное значение

Основной уровень


1,0


0


0,3


0


40


0

Интервал варьирования


0,5





0,2





20




Нижний уровень


0,5


-1


0,1


-1


20


-1

Верхний уровень


1,5


+1


0,5


+1


60


+1


Результаты эксперимента для проверки воспроизводимости опытов представлены в табл. 2.

Таблица 2

Эксперимент для проверки воспроизводимости опытов

Серия

№ опыта

фактор Х1

факторХ2

фактор Х3

Значения Y1, см

1

1

2

3

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

7,1

10,1

8,1

2

1

2

3

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

5,3

4,1

5,1

3

1

2

3

0

0

0

0

0

0

0

0

0

4,4

4,2

4,6


Матрица планирования полного факторного эксперимента представлена в табл. 3.


Таблица 3

Матрица планирования полного факторного эксперимента

№ опыта

X1

X2

X3

Y1эксп, см

1

+1

+1

+1

8,5

2

+1

+1

-1

9,7

3

+1

-1

+1

6,3

4

+1

-1

-1

12,0

5

-1

+1

+1

3,5

6

-1

+1

-1

4,7

7

-1

-1

+1

3,6

8

-1

-1

-1

5,2

Выполнение задания:

Обработка результатов ведется по следующему алгоритму:

  1. Для каждой серии параллельных опытов вычисляют среднее арифметическое значение функции отклика по формуле

(1)

где j- номер серии параллельных опытов;

k-число параллельных опытов, проведенных при одинаковых условиях;

- текущее значение параметра оптимизации i-го опыта j-й серии.

  1. Для каждой серии параллельных опытов вычисляется оценка дисперсии по формуле:

(2)

  1. Расчетное значение критерия Кохрена находят из отношения максимальной оценки дисперсии к сумме всех дисперсий

(3)

и сравнивают с табличным значением критерия Кохрена, выбираемым из справочника при известных значениях общего количества дисперсий , и числом степеней свободы , связанным с каждой из них как . Если выполняется условие , то опыты считаются воспроизводимыми, а оценки дисперсий - однородными. Оценки однородных дисперсий можно усреднить и найти величину, называемую оценкой дисперсии воспроизводимости

, (4)

с которой связано число степеней свободы

. (5)

Оценку дисперсии среднего значения рассчитывают по формуле

. (6)

С ней также связано число степеней свободы

. (7)

Результаты вычислений и выводы о воспроизводимости результатов эксперимента по параметру оптимизации Y представлены в табл. 4.

Таблица 4

Результаты проверки воспроизводимости эксперимента

по параметру оптимизации Y – дуктильности при 00С

Серия

№ опыта

фактор Х1

фактор Х2

фактор Х3

Значения Y1, см

, см



1

1

2

3

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

7,1

10,1

8,1


8,43


2,333

2

1

2

3

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

5,3

4,1

5,1


4,83


0,413

3

1

2

3

0

0

0

0

0

0

0

0

0

4,4

4,2

4,6


4,40


0,04


Расчетное значение критерия Кохрена

.

Табличное значение критерия Кохрена = 0,871

0,837<0,871 - опыты воспроизводимы.

Расчет коэффициентов уравнения регрессии ведется по формулам (8)-(10) по исходным данным, представленным в табл. 3.

; (8)

; (9)

, где . (10)

Оценка значимости коэффициентов уравнения регрессии проводится по условию

, (11)

где b - коэффициент уравнения регрессии;

t - критерий Стьюдента;

sb - оценка коэффициента уравнения регрессии, определяемая по формуле

. (12)

Адекватность уравнения регрессии проверяется с помощью критерия Фишера:

, (13)

где - оценка дисперсии адекватности. В числителе дроби (13) находится большая, а в знаменателе - меньшая из указанных оценок дисперсий.

Оценку дисперсии адекватности вычисляют по формуле

, (14)

где В - число коэффициентов регрессии искомого уравнения, включая

свободный член;

- экспериментальное и расчетное значение функции отклика в j-том

опыте;

N - число опытов полного факторного эксперимента.

С дисперсией адекватности связано число степеней свободы

. (15)

Расчетное значение критерия Фишера выбирается из Приложения 1. Уравнение регрессии считается адекватным, если выполняется условие

. (16)

Расчеты по приведенному выше алгоритму проводят в Microsoft Excel путем программирования ячеек электронной таблицы.

Пример расчета: Переносим данные таблицы 2 на лист созданной книги Microsoft Excel (рис. 1).

Расчет и производим путем программирования соответствующих ячеек книги Microsoft Excel. Ввод формулы в ячейку всегда начинается со знака равенства. Для расчета активизируем (выделяем мышью) ячейку G3 книги. После этого при помощи клавиатуры вводим знак равенства, а затем, используя мастер функций нажатием правой кнопкой мыши на значок , выбираем в категории «Статистические» функцию «среднее значение» - СРЗНАЧ (рис. 2) и нажимаем «ОК».



Рис. 1. Окно книги Microsoft Excel.
Рис. 2. Окно мастера функций.




Рис. 2. Окно «Аргументы функции»
Для указания диапазона вычислений среднего значения указываем в поле окна «число 1» (рис. 3) массив данных, находящихся в ячейках F2, F3 и F4, выделив правой кнопкой мыши ячейку F2 и, удерживая нажатой клавишу «Shift», ячейку F4. Заканчивается ввод формулы нажатием «Enter».

Для расчета оценки дисперсии для каждой серии параллельных опытов активизируем ячейку H3 и вводим в неё формулу (2) следующим образом: =(1/2)*((F2-G3)^2+(F3-G3)^2+(F4-G3)^2). Заканчивается ввод формулы нажатием «Enter».

Аналогичным образом для вычисления средних значений по следующим сериям параллельных опытов программируем ячейки G6 и G9. Для вычисления соответствующих оценок дисперсий второй и третьей серий проведенных параллельных опытов ячейки H6 и H9. Результат расчетов представлен на рис. 4.



Рис. 4. Результат расчетов

Вводим в ячейку А12 текст «Расчетное значение критерия Кохрена», а в ячейку А13 - текст «Табличное значение критерия Кохрена». В ячейку Е12 вводим формулу (3) как = МАКС(G3:G9)/СУММ(G3:G9), а в ячейку Е13 – табличное значение критерия Кохрена из Приложения 1.

Для сравнения расчетного и табличного значений критерия Кохрена используем логическую функцию «ЕСЛИ», программируя поле «Лог_выражение» как F12
Далее по формулам (4) - (7) проводится расчет оценки дисперсии воспроизводимости, оценки дисперсии среднего значения и связанных с ними значений числа степеней свободы.

Итоговый вид расчета проверки воспроизводимости результатов эксперимента представлен на рис. 6.

Рис. 5. Окно «Аргументы функции»




Рис. 6. Результаты расчета

Расчет коэффициентов уравнения регрессии проводится по формулам (8) – (10).

Переносим данные таблицы 3 на лист 2 созданной книги Microsoft Excel и создаем дополнительно таблицу для расчетов коэффициентов уравнения регрессии (рис. 7).




Рис. 7. Расчет коэффициентов уравнения регрессии

В ячейку B11, используя мастер функций, вводим формулу, по которой будет производиться расчет коэффициента b0 (рис. 8).




Рис. 8. Расчет коэффициента уравнения регрессии b0

Таким же образом, используя мастер функций, проводится вычисление остальных коэффициентов уравнения регрессии.

Как показывает практика создания математической модели с использованием метода полного факторного эксперимента, для точности предсказания результатов и адекватности полученного уравнения регрессии, можно не исключать из него элементы с незначимыми коэффициентами уравнения регрессии. Поэтому проверку значимости коэффициентов уравнении регрессии не проводят.

Полученное уравнение регрессии имеет вид:



Проверка адекватности полученного уравнения проводятся стандартным методом при помощи сравнения табличного и расчетного значений критерия Фишера.

Решение этой задачи требует вычисления значений Y1эксп. Для этого в уравнение регрессии построчно подставляются значения Х13 из табл. 3, соответствующие условиям проведения каждого из опытов полного факторного эксперимента и методом программирования ячеек проводятся соответствующие вычисления (рис. 9).
Рис. 9. Вычисление расчетных значений параметра оптимизации

Затем по формуле (14) рассчитывается значение дисперсии адекватности, а по формуле (15) – связанное с ней число степеней свободы.

Алгоритм расчета критерия Фишера заключается в сравнении дисперсии воспроизводимости с дисперсией адекватности и делении большего числа на меньшее. Программирование ячейки I19 заключается во вводе в нее формулы =МАКС(F19;F22)/МИН(F19;F22). Табличное значение критерия Фишера выбирается по Приложению 2 и вводится в ячейку I20.

Для сравнения расчетного и табличного значений критерия Фишера используем логическую функцию «ЕСЛИ», программируя поле «Лог_выражение» как I19


Рис. 10. Результат проверки адекватности полученного уравнения регрессии

После положительного вывода об адекватности уравнения регрессии, его подвергают инженерной интерпретации следующим образом.

Известно, что величина коэффициента уравнения регрессии - количественная мера его влияния. О характере влияния факторов говорят знаки коэффициентов. Знак «плюс» свидетельствует о том, что с увеличением значения фактора величина параметра оптимизации растет, а при знаке «минус» - убывает. На основании полученного уравнения регрессии можно сделать следующий вывод:

В исследованной области на дуктильность при 00С наибольшее влияние оказывает фактор X1 - содержание в составе композиции каучука СКМС, причем с увеличением его количества значение параметра оптимизации будет возрастать. Меньшее влияние оказывает время гомогенизации композиции; характер этого влияния отрицателен, т.е. с увеличением времени гомогенизации дуктильность снижается. Содержание полиэтилена высокого давления оказывает незначительное влияние на дуктильность при 00С.

Результаты расчета записываются в виде файла, а выполненная лабораторная работа соответствующим образом оформляется и сдается на проверку преподавателю.

ЛИТЕРАТУРА


  1. Саутин С.Н. Планирование эксперимента в химии и химической технологии. / С.Н. Саутин. - Л.: Химия, 1975. – 48 с.

  2. Адлер Ю.П. Введение в планирование эксперимента./ Ю.П. Адлер. - М.: Металлургия, 1969. – 157 с.

  3. Адлер Ю.П. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий./ Ю.П. Адлер, Е.В. Маркова, Ю.В. Грановский. - М.:Наука, 1971.-297 с.

  4. Кафаров В.В. Методы кибернетики в химии и химической технологии./ В.В. Кафаров. -М.: Химия, 1985. – 448 с.

  5. Закгейм А.Ю. Общая химическая технология: Введение в моделирование химико-технологических процессов./ А.Ю. Закгейм. - М.: Логос, 2009. – 304 с.

  6. Кузичкин Н.В. Методы и средства автоматизированного расчета химико-технологических систем./ Н.В. Кузичкин, С.Н. Саутин, А.Е. Пунин. - Л: Химия, 1987. – 152 с.

  7. Леонтьев В.П. Новейшая энциклопедия персонального компьютера 2009./В.П. Леонтьев. – М.: ОЛМА Медиа Групп, 2009. – 928 с.

  8. Ефимова О.П. Курс компьютерной технологии./ О.П. Ефимова, В.Н. Морозов, Н.П. Угринович. – М.: Издательство АСТ; ABF, 2005. – 432 с.

  9. Кольцова Э.М. Методы синергетики в химии и химической технологии: Учебное пособие для вузов./ Э.М. Кольцова, Л.С. Гордеев. – М.: Химия, 1999. – 256 с.

  10. Бояринов А.И. Методы оптимизации в химической технологии./ А.И. Бояринов, В.В. Кафаров. - М.: Химия, 1973. – 564 с.

  11. Бондарь А. Г. Планирование эксперимента в химической технологии (основные положения, примеры и задачи)./ А.Г. Бондарь, Г.А. Статюха. - Киев: Высшая школа. 1976г. - 184 с.

  12. Дорохов И.Н. Системный анализ процессов химической технологии./ И.Н. Дорохов, В.В. Кафаров. - М.: Наука, 1989. – 376 с.

Приложение 1.

Значение критерия Кохрена


N

f=k-1

1

2

3

4

5

6

7

8

2

0,999

0,975

0,939

0,906

0,877

0,853

0,833

0,816

3

0,967

0,781

0,798

0,746

0,707

0,677

0,653

0,633

4

0,907

0,768

0,684

0,629

0,590

0,560

0,637

0,518

5

0,841

0,684

0,598

0,544

0,507

0,478

0,456

0,439

6

0,781

0,616

0,532

0,480

0,445

0,418

0,398

0,382

7

0,727

0,561

0,480

0,431

0,397

0,373

0,354

0,338

8

0,680

0,516

0,438

0,391

0,360

0,336

0,319

0,304

9

0,639

0,478

0,403

0,358

0,329

0,307

0,290

0,277

10

0,602

0,445

0,373

0,331

0,303

0,282

0,267

0,254



Приложение 2.

Значение критерия Фишера

Число степеней свободы f2

Число степеней свободы f1 (для числителя)


1


2


3


4


5


6


7


8

1

161,45

199,50

215,71

224,58

230,16

23,99

236,77

238,88

2

18,51

19,00

19,16

19,25

19,30

19,33

19,35

19,37

3

10,13

9,55

9,28

9,12

9,01

8,94

8,89

8,85

4

7,71

6,94

6,59

6,39

6,26

6,16

6,09

6,04

5

6,61

5,79

5,41

5,19

5,05

4,95

4,88

4,82

6

5,99

5,14

4,73

4,53

4,39

4,28

4,21

4,15

7

5,59

4,74

4,35

4,12

3,97

3,87

3,79

3,73

8

5,32

4,46

4,07

3,84

3,69

3,58

3,50

3,44

9

5,12

4,26

3,86

3,63

3,48

3,37

3,29

3,24

10

4,97

4,10

3,71

3,48

3,33

3,22

3,14

3,07

11

4,84

3,98

3,59

3,36

3,20

3,10

3,01

2,95

12

4,75

3,89

3,49

3,26

3,11

3,00

2,91

2,85

13

4,67

3,81

3,41

3,18

3,03

2,92

2,83

2,77

14

4,60

3,74

3,34

3,11

2,96

2,85

2,76

2,70

15

4,54

3,68

3,29

3,06

2,90

2,79

2,71

2,64

16

4,49

3,63

3,24

3,01

2,85

2,74

2,66

2,59

17

4,45

3,59

3,20

2,97

2,81

2,70

2,71

2,55

18

4,41

3,56

3,16

2,93

2,77

2,66

2,58

2,51

19

4,38

3,52

3,13

2,90

2,74

2,63

2,54

2,48

20

4,35

3,49

3,10

2,87

2,71

2,60

2,51

2,45


ПОЛНЫЙ ФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ
Методические указания к выполнению лабораторных работ

по дисциплине «Моделирование и оптимизация

технологии полимерных материалов»
Составил: Арзамасцев Сергей Владимирович.

Рецензент Н.Л. Левкина

Редактор О.А. Панина.

Подписано в печать Формат 60х84 1/16

Тираж 100 экз. Заказ Бесплатно

Саратовский государственный технический университет

410054, Саратов, Политехническая ул., 77

Отпечатано в РИЦ СГТУ. 410054, Саратов, Политехническая ул., 77




Учебный материал
© bib.convdocs.org
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации