Контрольная работа по экономико-математическим методам и моделям - файл n1.docx

Контрольная работа по экономико-математическим методам и моделям
скачать (207.5 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.docx208kb.06.11.2012 15:56скачать

n1.docx

Федеральное агентство по образованию

Новосибирский государственный университет экономики и управления – «НИНХ»

Кафедра: Экономико – математических методов и прогнозирования

Учебная дисциплина: Экономико – математические методы и модели

Номер группы: ФКП 022

Наименование специальности: Финансы и кредит

Студент: Кривоногова Ирина Викторовна

(фамилия, имя, отчество)

Номер зачетной книжки (студенческого билета): 102281

Номер варианта контрольной работы: № 1226

Дата регистрации институтом « ___ » _________________ 201 __ г.

Дата регистрации кафедрой « ___ » _________________ 201 __ г.

Проверил _____________________________________________________________

(фамилия, имя, отчество преподавателя)

Год написания 2011

Задача 1.      

 

Для изготовления продукции двух видов А и Б предприятие расходует ресурсы, а от реализации этой продукции получает доход. Информация о нормах затрат ресурсов на единицу выпускаемой продукции, запасах расходуемых ресурсов, имеющихся в распоряжении предприятия, и выручки от реализации готовой продукции приведены в таблице.

 

Наименование ресурсов

Норма затрат на

Объем ресурса

Продукт А

Продукт В

Сырье (кг)

3

1

418

Оборудование (ст. час)

1

4

388

Трудоресурсы (чел час)

7

1

475

Цена реализации (руб.)

121

214

 

 

Задача предприятия заключается в том, чтобы разработать программу выпуска, обеспечивающую получение максимальной выручки от реализации готовой продукции.

Требуется:

  1. Построить математическую модель оптимизации выпуска продукции в форме задачи линейного программирования.

  2. Используя графический метод решения задачи линейного программирования, найти оптимальную программу выпуска продукции и максимум ожидаемой выручки.

  3. Составив задачу, двойственную к задаче оптимизации выпуска продукции, найти ее оптимальное решение, используя условия «дополняющее не жесткости». Дать экономическую интерпретацию этого решения.



Решение:

1. Построим математическую модель оптимизации выпуска продукции и запишем ее в форме задачи линейного программирования:

Обозначим:

x1 – количество производимой продукции А

x2 – количество производимой продукции Б

Тогда производственная программа выпуска изделий А и Б будет определяться вектором X=(x1;x2)

Искомая программа должна удовлетворять всем ресурсным ограничениям:

3x1+x2418

x1+4x2388

7x1+x2475

Z=121x1+214x2MAX

2. Используя графический метод решения задачи линейного программирования, найдем оптимальную программу выпуска продукции:




I. 3x1+x2=418

x1

0

139,3

x2

418

0

II. x1+4x2=388

x1

0

388

x2

97

0

III. 7x1+x2=475

x1

0

67,9

x2

475

0



Так как О.Д.Р. представляет собой некоторый замкнутый многоугольник, полученный путём пересечения полуплоскостей, отвечающих отдельным неравенствам задачи, определим по какую сторону от граничных прямых располагается искомая полуплоскость. Для этого в каждое из трёх неравенств – ограничений подставим пробную точку (0;0):



Т.к. точка (0;0) удовлетворяет всем трём неравенствам, то искомые полуплоскости будут располагаться слева (ниже) граничных прямых (1) –(3).

Кроме основных ограничений на ресурсы, в задаче имеются также тривиальные неравенства Х10; Х20. Неравенству Х10 отвечает полуплоскость, расположенная справа от оси Х2, а граничная прямая, задаваемая уравнением Х1=0 совпадает с осью Х2. Граничная прямая Х2=0 совпадает с осью Х1, а множество точек удовлетворяющих неравенству Х20 – это полуплоскость, лежащая выше оси ОХ. Изобразим О.Д.Р. графически:



Найдём теперь в этой области точку максимума целевой функции Z: grad Z=(121;214)=. Из начала координат, в направлении вектора откладываем вектор произвольной длины и перпендикулярно ему проведём через начало координат нулевую линию уровня.

Двигая эту линию в направлении вектора или параллельно самой себе, достигнем самой крайней точки О.Д.Р., это и будет точка максимума целевой функции Z:

Х*=(Х1*2*). В нашей задаче точка Х* лежит на пересечении граничных прямых (II) и (III):

Х*:

Оптимальная производственная программа Х*=(56;83) состоит в выпуске 56 ед. продукции А и 83 ед. продукции Б.

Ожидаемая выручка от их реализации составит:

Z=12156+21483=24538 руб.

3. Запишем задачу, двойственную к задаче оптимизации выпуска продукции.

Исходная задача:

u1 3x1+x2418

u2 x1+4x2388

u3 7x1+x2475

x10; x20

Z=121x1+214x2MAX

Двойственная задача:

x1 3u1+u2+7u3121

x2 u1+4u2+u3214

u10; u20; u30

W=418u1+388u2+475u3MIN

Здесь u1, u2, u3 – двойственные оценки используемых ресурсов.

Используя условия «дополняющей нежесткости», найдём оптимальное решение двойственной задачи:

Условия «дополняющей нежесткости»:

1: ХjVj=0;

2: UiYi=0;

При известном оптимальном векторе Х*=(56;83):

1: X1V1=0  X1=56  V1=0 ~ 3u1+u2+7u3=121

X2V2=0  X2=83  V2=0 ~ u1+4u2+u3=214

2: U1Y1=0  Y1=418-3X1-X2=418-356-83=167,  U1=0

U2Y2=0  Y2=388-X1-4X2=388-56-483=0  U20

U3Y3=0  Y3=475-7X1-X2=475-756-83=0,  U30

Итак, получили систему уравнений:

 U*=(0;51;10)

Оптимальные целевой функции при этом

W*=4180+38851+47510=24538 руб.

Получены следующие результаты расчета модели:

X*=(56;83)

U*=(0;51;10)

Z*=W*=24538 руб.

Проведем экономическую интерпретацию полученных результатов решения двойственной задачи:

Единицы измерения двойственных оценок определяются по формуле: (Ui)=(Z)/(bi),

где (Ui); (Z); (bi) - единицы измерения соответственно двойственной оценки оптимизируемого показателя и ресурса i-ого вида.

В нашей задаче оптимизируемый показатель – выручка Z, измеряемая в рублях, единицы измерения ресурсов заданы в исходных данных задачи.

Итак: (U1)= руб./кг.; (U2)= руб./ст.-час; (U3)= руб./чел.-час.

Оптимальная оценка U1=0 руб./кг означает, что сырье в имеющемся объеме является избыточным, т.е. оно недоиспользуется.

Оптимальная оценка ресурса оборудования U2=51 руб./ст.-час показывает, что если имеющийся фонд времени на оборудование увеличить (снизить) на 1 кг, то ожидаемая выручка может увеличиться (снизиться) на 51 руб.

Оптимальная оценка U3=10 руб./чел.-час. означает, что если имеющийся объем трудоресурса увеличить (снизить) на 1 чел.-час., то ожидаемая выручка может увеличиться (снизиться) на 10 руб.

Задача 3.      

 

Малое предприятие намерено организовать в следующем квартале выпуск новой продукции А и Б, пользующейся высоким спросом на рынке. Предприятие располагает необходимым сырьем и оборудованием и может привлечь квалифицированных рабочих на условиях почасовой оплаты, но не имеет средств на оплату труда рабочих. Для этого оно может получить в банке кредит сроком на три месяца под 40% годовых с погашением кредита и процентов по нему в конце квартала.

Информация о нормах затрат сырья, оборудования и трудовых ресурсов, объемах сырья и оборудования, имеющихся в распоряжении предприятия, размер выручки от реализации продукции А и Б дана в таблице.

 

Наименование ресурсов

Норма затрат на

Объем ресурса

Продукт А

Продукт В

Сырье (кг)

6

2

1080

Оборудование (ст. час)

1

2

280

Трудоресурсы (чел час)

5

2

?

Цена реализации (руб.)

2476

840

 

 

Целью организации выпуска новой продукции является получение максимальной суммарной прибыли, которая определяется как разность между суммарной выручкой, полученной от реализации произведенной за квартал продукции А и Б, и затратами, связанными с обеспечением кредита (возврат суммы кредита и начисленных процентов).

Требуется:

  1. Построить математическую модель оптимизации выпуска продукции с использованием кредита для выплаты рабочим с произвольной почасовой ставкой t (руб./чел - час) оплаты труда.

  2. Определить оптимальную программу выпуска продукции, максимальную прибыль, необходимый размер кредита, сумму уплаченных процентов и потребность в трудовых ресурсах, если почасовая ставка t оплаты труда равно 10 руб./чел – час.

  3. Найти функцию спроса на трудовые ресурсы, как функцию почасовой ставки оплаты труда t, построить график этой функции. Исследовать зависимость размеров максимальной прибыли и кредита, обеспечивающего ее получение, от почасовой ставки t оплаты труда в диапазоне от 10 до 50 рублей за чел – час. Найти функции, выражающие эти зависимости, и построить их графики.

Решение:

1. Построим математическую модель оптимизации выпуска продукции с использованием кредита для выплаты заработной платы рабочим с произвольной почасовой ставкой t ( руб./чел.-час) оплаты труда.

Пусть Х1, Х2- объёмы выпуска продуктов А и Б

S – потребность в трудовых ресурсах

t- почасовая ставка оплаты труда;

V - размер кредита;

Z- выручка от реализации произведенной продукции

P - прибыль предприятия

Выразим в математической форме основные условия и ограничения задачи:

Ограничения по использованию сырья: 6Х1+2X21080

Ограничения по использованию оборудования: Х1+2X2280

Потребность в трудовых ресурсах: S=5Х1+2X2

Размер необходимого кредита: V=tS=t(5Х1+2X2)

Выручка от реализации произведенной продукции: Z=2476x1+840X2

Сумма расходов по кредиту:

Прибыль предприятия:

P=Z–1,1V=2476x1+840X2-1,1t(5X1+2X2)=(2476-5,5t)X1+(840-2,2t)X2

Тогда математическая модель задачи примет вид:

1+2X21080

Х1+2X2280

X10; X20

P=(2476-5,5t)X1+(840-2,2t)X2MAX

При этом необходимый размер кредита V определяется по формуле:

V=tS=5t+2t

2. Определим оптимальную программу выпуска продукции, максимальную прибыль, необходимый размер кредита, сумму уплаченных процентов и потребность в трудовых ресурсах, если t=10 руб/чел.-час.

При t=10 руб/чел.-час математическая модель примет вид:

1+2X21080

Х1+2X2280

X10; X20

P=2421X1+818X2MAX

Построим область допустимых решений и найдем графическое решение задачи:


I. 6x1+2x2=1080

x1

0

180

x2

540

0

II. x1+2x2=280

x1

0

280

x2

140

0



Точка max Х*=(Х1*; Х2*) находится в точке B(160;60)

 X*=(160;60) – оптимальная производственная программа при t=10 руб./чел.-ч.

Определим другие показатели:

Максимальный размер прибыли:

P*=2421160+81860=436440 руб.

Размер необходимого кредита:

V*=510160+21060=9200 руб.

Сумма уплаченных процентов:

0,1V*=0,19200=920 руб.

Потребность в трудовых ресурсах:

S*=5160+260=920 чел.-час

3. Найдём функцию спроса на трудовые ресурсы, как функцию почасовой ставки оплаты труда t и построим её график:

grad P(t)=(2476-5,5t;840-2,2t)

При росте t, нормаль к линиям уровня р(t) будет поворачиваться по часовой стрелке, т.к. 2-ая компонента градиента становится нулевой раньше 1-ой компоненты градиента при росте t.

Точка B остается точкой максимума, пока линии уровня p(t) не станут параллельны прямой (1)



t=40 руб./чел.-час

При t[0;40) точкой максимума будет точка B.

При t=40 оптимальной будет любая точка отрезка АВ.

При t>40 точкой максимума станет точка A(180;0) и будет оставаться ею до тех пор, пока 1-ая компонента градиента не станет отрицательной:

2476 – 5,5t=0

t=450,2 руб./чел.-час

При t(40;450,2) точкой максимума будет точка A(180;0).

При t=450,2 оптимальной будет любая точка отрезка AO.

При t>450,2 оптимальной точкой будет начало координат, т.е. точка О(0;0).
Представим полученные результаты таблично:

t

S*(t)

0t40

B

t=40

(1-)А+В

40t450,2

A

t=450,2

(1-)A+O

t>450,2

О

где А(180;0), В(160;60)

Найдем зависимость S от t:

При t[0;40] S*(t)=S*(B)=920 чел.час.

При t[40;450,2] S*(t)=S*(A)=900 чел.час.

При t=40, t=450,2 производственная программа определяется неоднозначно, а, следовательно, неоднозначен спрос на трудоресурс.

Оформим полученные результаты в виде таблицы и построим график функции S*(t)

t

S*(t)

0t40

920

t=40

[900;920]

40t450,2

900

t=450,2

[0;900]

t>450,2

0



Исследуем зависимость P*(t) и V*(t) при t[10;50]

При t[10;40]:

V*(t)=VB=920t

P*(t)=446560 - 1012t

При t[40;50]:

V*(t)=VA=900t

P*(t)=445680 - 990t

При t=40:

V*(t)=VB=92040=36800

V*(t)=VA=90040=36000

P*(40)=446560 - 101240=406080 руб.

P*(40)=445680 - 99040=406080 руб.

Представим полученные результаты в виде таблицы и построим графики функций P*(t) и V*(t)

t (чел.-час)

10t40

t=40

40t50

V*(t) (руб.)

920t

[36000;36800]

900t

P*(t) (руб.)

446560 – 1012t

406080

445680 – 990t




Задача 4.      

 

Фирма при производстве продукции использует два вида ресурсов: рабочую силу (L, тыс. чел – час) и оборудование (К, тыс. ст. – час). Производственная функция (ПФ) фирмы, построенная путем обработки статистических данных, имеет вид:

 

http://www.zauchka.ru/content/fileup/3712/1226.files/image001.gif

 

где, Y – объем выпуска продукции (ед.).

Требуется:

  1. Построить графики ПФ при фиксированном значении одной из переменных:

а) К = 54

б) L = 9

2. Найти уравнения изоквант ПФ и построить их графики для Y1 = 18, Y2 = 26, Y3 = 35.

3. Пусть известны объем выпуска продукции Y = 26 и налоговые трудовые ресурсы L = 9 в базовом периоде. Определить потребность в оборудовании в плановом периоде при увеличении объема выпуска продукции на 10%, если возможность увеличения трудовых ресурсов составляет не более 5%.

4. Рабочая сила нанимается по контракту с почасовой оплатой труда 200 (ден. ед./тыс. чел – час), оборудование берется в аренду с суммарными затратами 50 (ден. ед./тыс. ст. – час). Объем капитала, который фирма может затратить на рабочую силу и оборудование, составляет 5000 (ден. ед.). Построить математическую модель задачи оптимизации выпуска продукции, считая, что произведенная функция задана на множестве К?0, L?0, и найти графическим методом ее решение. Определить предельную норму технологического замещения оборудования рабочей силой и предельную эффективность финансовых ресурсов в точке оптимума.

Решение:

1. Фиксируем значение K=54, тогда

Y(L;54)=1L0,4540,6

Построим график при изменении рабочей силы в пределах 10?L?100



Фиксируем значение L=9, тогда

Y(9;K)=190,4K0,6

Построим график при изменении оборудования в пределах 10?K?100



2. Изоквантой производственной функции называется совокупность всех точек K и L, при которых производственная функция принимает одно и то же значение.

Составим уравнения изоквант при фиксированных значениях объема выпуска продукции:

y1=18: 1L0,4K0,6=18 (1 изокванта)

y2=26: 1L0,4K0,6=26 (2 изокванта)

y3=35: 1L0,4K0,6=35 (3 изокванта)

Построим их графики:



3.

yбаз=26

Lбаз=9

yпл=1,1yбаз=1,126=28,6

Lпл=1,05Lбаз=1,059=9,45

Используя уравнение изокванты Y=1L0,4K0,6=28,6, получим выражение для потребности в оборудовании:



Если объем трудовых ресурсов не изменится, то потребность в оборудовании в базовом периоде составит

(тыс. ст.-час.)

Если объем трудовых ресурсов увеличится на 5%, то потребность в оборудовании в плановом периоде составит

(тыс. ст.-час.)

4. Составим ограничение по величине денежных средств, которые фирма может затратить на приобретение ресурсов:

pLL+pKK?C

200L+50K?5000

Тогда экономико-математическая модель задачи будет иметь вид:



Y(L,K)=1L0,4K0,6max

Т.е. нужно найти точку касания самой высокой изокванты с линией бюджетного ограничения.

Y(L,K)=1L0,4K0,6max

200L+50K=5000



Граничная прямая АВ бюджетного ограничения задается уравнением: 200L+50K=5000.

Для нахождения оптимального решения используем тот факт, что градиент целевой функции в точке касания будет перпендикулярен прямой АВ. Поэтому имеем равенство:



=0,6L0,4K-0,4, а =0,4L-0,6K0,6, то  L=K

Подставим это выражение в бюджетное ограничение:

200K+50K=5000  K=5000  K*=60, тогда L*=60=10

При этом объем выпуска продукции максимален и составляет:

Y(L;K)=1100,4600,6=29,3 ед.

Определим предельную норму технологического замещения оборудования рабочей силой:



Эта величина показывает, что затраты рабочей силы нужно увеличить на 0,25 единиц, чтобы при уменьшении затрат оборудования на одну единицу объем выпуска продукции остался на прежнем уровне.

Определим предельную эффективность финансовых ресурсов:



Эта величина показывает, что при увеличении объема капитала на 1 денежную единицу производительность увеличится на 0,0059 единиц.

Задача 5.      

 Фирма может влиять дополнительным финансированием на скорость строительства своего торгового павильона. Очередность выполнения работ, нормальная продолжительность их выполнения приведены в следующей таблице: 

 

Имя работы

A

B

C

D

E

F

G

H

Q

V

Опирается на работу

E,H,B

G, Q

 

C, F

 

E,H,B

 

G, Q

V

 

Нормальный срок (дни)

20

10

40

10

30

10

23

10

14

10

Ускоренный срок (дни)

14

7

28

7

21

7

14

7

7

7

Нормальная ст-сть (тыс. р.)

4,2

4,2

25,2

50,4

10,5

54,6

113,4

58,8

60,9

63

Срочная ст-сть (тыс. р.)

6

6

36

72

15

78

186,3

84

121,8

90

Требуется:

  1. С учетом технологической последовательности работ поострить сетевой график выполнения этих работ.

  2. Рассчитать временные характеристики сетевого графика при нормальном режиме выполнения работ. Найти критический путь и его продолжительность, указать все возможные критические пути.

  3. Найти минимальное удорожание комплекса работ при сокращении сроков строительства на 2 дня

 

Решение:

С учетом технологической последовательности работ построим сетевой график выполнения этих работ:



Прямоугольниками на сетевом графике обозначены события; в прямоугольниках сверху записан номер события, в левой части прямоугольника находится раннее, а в правой части – позднее время выполнения работ. Стрелками обозначены работы. Жирными стрелками обозначены работы, принадлежащие критическому пути. Над стрелочками написано имя работы, а в скобках - нормальный срок выполнения работы,

2. Рассчитаем временные характеристики сетевого графика при нормальном режиме выполнения работ. Найдем критический путь и его продолжительность, укажем все возможные критические пути и определим стоимость всего комплекса работ.

Рассчитаем раннее время выполнения работ:

Тр1=0 дней

Тр2р1+t12=0+10=10 дн.

Тр3=max[Тр1+t13р2+t23]=max[0+23;10+14]=24 дн.

Тр4=max[Тр1+t14р3+t3А4р3+t3В4]=max[0+30;24+10;24+10]=34 дн.

Тр5=max[Тр1+t15р4+t45]=max[0+40;34+10]=44 дн.

Тр6=max[Тр4+t46р5+t56]=max[34+10;44+10]=54 дн.

Итак, раннее время конечного события графика равно Тр(кр.)=Тр6=54 дня, т.е. раньше чем через 54 дня строительство торгового павильона завершено быть не может.

Обратным ходом находим критический путь (пути) Lкр.:

Lкр.1={V;Q;B;F;D} Lкр.2={V;Q;B;A} Lкр.3={V;Q;H;F;D} Lкр.4={V;Q;H;A}

Определим стоимость строительства торгового павильона при нормальном режиме выполнения работ:

Sнорм.=4,2+4,2+25,2+50,4+10,5+54,6+113,4+58,8+60,9+63=445,2 тыс. руб.

Рассчитаем позднее время выполнения работ:

Тп6р6=54 дн.

Тп5п6-t56=54-10=44 дн.

Тп4= min[Тп6-t46п5-t45]= min[54-20;44-10]=34 дн.

Тп3=min[Тп4-t3А4п4-t3В4]=min[34-10;34-10]=24 дн.

Тп2п3-t23=24-14=10 дн.

Тп1р1=0 дней

3. Укажем стратегию минимального удорожания комплекса работ при сокращении сроков строительства на 4 дня, и в какую итоговую сумму обойдётся фирме ускоренная стройка павильона:

Рассчитаем затраты на ускорение строительства и предельно-возможное уменьшение длительности в днях в таблице:

Работа

A

B

C

D

E

F

G

H

Q

V

tнорм.-tср

6

3

12

3

9

3

9

3

7

3

,(тыс.руб.)

0,3

0,6

0,9

7,2

0,5

7,8

8,1

8,4

8,7

9

где  = норма платы за ускорение за каждый день.

Критический срок будем сокращать последовательно по одному дню за счёт ускорения критических работ. В данном случае это будут работы D и A.

Шаг первый:



Результаты ускорения:

Ускоряемая работа: D и A

Новая длительность: 9 и 19 дней

Критические пути со временем завершения работ за 49 дней

Lкр.1={V;Q;B;F;D} Lкр.2={V;Q;B;A} Lкр.3={V;Q;H;F;D} Lкр.4={V;Q;H;A}

Суммарная стоимость: 452,7 тыс. руб.

Шаг второй:



Результаты ускорения:

Ускоряемая работа: D и A

Новая длительность: 8 и 18 дней

Критические пути со временем завершения работ за 48 дней

Lкр.1={V;Q;B;F;D} Lкр.2={V;Q;B;A} Lкр.3={V;Q;H;F;D} Lкр.4={V;Q;H;A}

Суммарная стоимость: 460,2 тыс. руб.

Результаты проведенного анализа:


Нормальный режим

Критическое время завершения строительства: 54 дня

Критический путь:

Lкр.1={V;Q;B;F;D} Lкр.2={V;Q;B;A}

Lкр.3={V;Q;H;F;D} Lкр.4={V;Q;H;A}

Суммарная стоимость: 445,2 тыс. руб.

Директивный срок

Критическое время завершения строительства: 27 дней

Критические пути:

Lкр.1={V;Q;B;F;D} Lкр.2={V;Q;B;A}

Lкр.3={V;Q;H;F;D} Lкр.4={V;Q;H;A}

Суммарная стоимость: 460,2 тыс. руб.


 



Учебный материал
© bib.convdocs.org
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации