Законы сохранения в механике - файл n1.doc

Законы сохранения в механике
скачать (197.5 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc198kb.06.11.2012 16:27скачать

n1.doc



КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА


по дисциплине «Физика»

Тема: «Законы сохранения в механике».

Содержание
Введение…………………………………………………………………………3

  1. Закон сохранения импульса. Импульс частицы и системы частиц, закон сохранения импульса…………………………………………………4

  2. Механическая энергия системы. Закон сохранения энергии………..7

  3. Момент импульса. Закон сохранения момента импульса…………….9

  4. Законы сохранения и симметрия пространства и времени………………12

Заключение……………………………………………………………………..15

Список использованной литературы…………………………………………16

Введение

Физика - наука о формах материи, которые входят в состав любых сложных материальных систем, о взаимодействиях этих форм материи и их движениях.

На основе результатов физических экспериментов формулируются физические законы. Каждый из них, в конечном счете, является обобщением некоторой совокупности опытных фактов. Физический закон формулируется так, чтобы он был согласован с имеющимися опытными данными и давал возможность предсказать результаты новых опытов и даже существование новых физических явлений.

Каждый закон имеет определенную область применимости. Физические законы с наиболее широкими областями применимости называют фундаментальными, например, законы сохранения энергии, импульса, момента импульса, законы Ньютона, закон Кулона. Одно из величайших достижений физики состоит в том, что небольшого количества наиболее фундаментальных законов в принципе достаточно для получения почти всех остальных законов и вообще для объяснения и предсказания хода почти любых физических процессов.

Цель данной работы - изучить законы сохранения в механике. Эти законы как раз и являются фундаментальными.

Закон сохранения импульса. Импульс частицы и системы частиц, закон сохранения импульса.

Вектор называют импульсом частицы. Зная изменение импульса, можно определить силу, действие которой испытывает частица:

, (1)

то есть производная от импульса частицы по времени равна действующей на частицу силе.

Теперь перейдем от одной частицы к системе частиц. Это может быть любое тело или совокупность тел. Частицы (или тела) системы могут взаимодействовать как между собой, так и с телами, не принадлежащими этой системе. Систему, на которую не действуют никакие посторонние тела или их действие пренебрежимо мало, называют замкнутой (или изолированной).

Чтобы решить задачу о движении тела, необходимо учесть все силы, действующие на него. Использование понятия замкнутой системы делает эту трудную задачу разрешимой, так как позволяет ограничить число взаимодействующих тел. Например, рассматривая движение ракеты в околоземном пространстве, можно пренебречь взаимодействием ракеты с другими объектами Вселенной и считать систему «Земля - ракета» замкнутой.

Импульс любой системы можно представить как векторную сумму импульсов всех частиц:

(2)

где - импульс i-й частицы.

Предположим, что замкнутая система состоит из N частиц (рис. 1). Обозначим силы, действующие на первую частицу со стороны всех остальных: , , …, ; на вторую - , , …, . Приняв подобные же обозначения и для других частиц, запишем уравнения движения: Рис. 1





…………………………

(3)

Поскольку система является замкнутой, силы, действующие со стороны других тел, не входящих в данную систему (внешние силы), в уравнениях отсутствуют. Силы взаимодействия между частицами системы (внутренние силы) в соответствии с третьим законом Ньютона попарно равны по абсолютной величине и противоположны по направлению. Поэтому векторная сумма всех внутренних сил равна нулю. В результате после сложения получим:

(4)

то есть в инерциальной системе отсчета суммарный импульс замкнутой системы частиц сохраняется. [1, с. 42-43]

Закон сохранения импульса: при любых процессах, происходящих в замкнутой системе, ее импульс остается неизменным:



При решении различных задач следует иметь в виду, что законом сохранения импульса можно пользоваться в следующих случаях:

1.  Когда рассматриваемая система является замкнутой, или, что фактически то же самое, когда сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю. Если, в частности, равна нулю лишь проекция этой суммы сил на какое-то (например, горизонтальное) направление, то сохраняется также лишь проекция импульса системы на это на­правление.

2.  Когда система не является замкнутой, но, во-первых, внешние силы оказываются значительно меньше внутренних, а, во-вторых, процессы,  происходящие в системе,  являются достаточно кратко­временными, так что эти внешние силы не успевают заметно изменить импульс системы. К этому случаю относятся различные столкновения тел, выстрелы, взрывы и т.д. [2, с.135]

Импульс незамкнутой системы тоже сохраняется, если результирующая всех внешних сил равна нулю. Если равна нулю проекция внешних сил на какое-либо направление (например, на ось Х), то сохраняется не сам импульс, а его проекция на это направление.

Рассмотрим более общий случай, когда результирующая внешних сил не равна нулю. Для этого продифференцируем (2) по времени:



В соответствии с (1)

(5)

где — силы, действующие на i-ю частицу со стороны других k = N - 1 частиц системы (внутренние силы); — сила, действующая на эту же частицу со стороны тел, не входящих в рассматривае­мую систему (внешняя сила).

Подставим (5) в предыдущее выражение:



Двойная сумма представляет собой векторную сумму всех внутренних сил. Она, как мы уже убедились, равна нулю. Таким образом, получим

(6)

то есть производная импульса системы по времени равна векторной сумме всех внешних сил, действующих на частицы системы.

Закон сохранения импульса относится к числу тех универсальных законов природы, которые не знают никаких исключений. Во всяком случае, до сих пор не обнаружено ни одного явления, где бы этот закон нарушался.

Для того чтобы закон сохранения импульса выполнялся в реляти­вистской механике, надо отказаться от ньютоновского определения импульса. Выражение для релятивистского импульса имеет вид

(7)

где т — собственная масса частицы; с — скорость света. [1, с. 43-44]

Одним из важнейших следствий закона сохра­нения импульса является существование реактив­ного движения. Реактивное движение возникает в случае, когда от тела с некоторой скоростью отде­ляется какая-либо его часть.

Например, реактивное движение совершает ра­кета. Перед стартом импульс ракеты равен нулю, таким он должен остаться и после старта. Применяя закон сохранения импульса (действие силы тяжести не учитываем), можно рассчитать, какую скорость разовьет ракета после сгорания в ней всего топлива.  Рассчитываем скорость ракеты:



m – масса ракеты,

mГ  - масса сгоревшего топлива,

v – скорость ракеты,

vГ – скорость газов, выбрасываемых в виде реактивной струи.

Схемы различных ракет были разработаны К. Э. Циолковским, который считается основопо­ложником теории космических полетов. На прак­тике идеи К. Э. Циолковского стали осуществлять­ся учеными, инженерами и космонавтами под ру­ководством С.П.Королева. [3]
Механическая энергия системы. Закон сохранения энергии.

Вспомним, что приращение кинетической энергии системы равно работе, которую совершают все силы, действующие на все частицы системы. В незамкнутой системе эти силы могут быть как внутренними, так и внешними, а внутренние, в свою очередь, — потенциальными и непотенциальными (например, могут действовать силы трения). Поэтому запишем:

(8)

Но теперь мы знаем, что работа внутренних потенциальных сил равна убыли собственной потенциальной энергии системы. перепишем предыдущее выражение:

(9)

или

(10)

Энергию, равную сумме кинетической и потенциальной энергии системы, называют полной механической энергией или просто механической энергией системы:

(11)

Она зависит от скорости частиц системы, характера взаимодействия частиц и конфигурации системы.

Таким образом, мы пришли к важному результату: механическая энергия системы может изменяться на величину алгебраической суммы работ всех внешних сил и всех внутренних непотенциальных сил:

(12)

Если система является замкнутой, то работа внешних сил равна нулю. Сделаем еще одно ограничение: будем считать все внутренние силы потенциальными. Такие системы принято называть консервативными системами. При этих условиях механическая энергия системы не изменяется во времени. Точнее говоря, в инерциальной системе отсчета полная механическая энергия замкнутой консервативной системы частиц сохраняется. [1, с. 60-61]

Закон сохранения энергии можно записать так:



Для системы, состоящей из тела массой т и пружины, закон сохранения энергии имеет вид

[3]

Кинетическая и потенциальная энергия системы могут при этом изменяться. Но изменения всегда происходят так, что приращение одной из них в точности равно убыли другой. [1, с. 61]
Момент импульса. Закон сохранения момента импульса.

Если момент инерции тела является постоянным во времени, то основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела можно записать так:

(13)

величина = носит название момента импульса относительно оси . Таким образом, производная во времени от момента импульса относительно оси равна моменту силы относительно этой оси:



Момент импульса твердого тела можно рассматривать как сумму

орбитальных моментов импульса всех частиц, из которых состоит тело. Тогда легко обнаруживается связь между импульсом и моментом импульса частицы. Эти два вектора вместе с радиус-вектором , определяющим положение частицы относительно некоторой произвольно выраженной точки на оси , образуют правовинтовую систему:

. (14)

Момент импульса относительно оси есть проекция вектора на данную ось вращения (рис. 2).

Если векторы и взяты относительно одной и той же точки, то для твердого тела (системы частиц) справедливо уравнение

или . (15)




Рис. 2
Это уравнение носит название уравнения моментов. В динамике твердого тела оно занимает такое место, какое в динамике материальной точки уравнение .

Значение момента импульса ограничивается лишь рамками классической механики. Он играет громадную роль и при анализе явлений, происходящих в немеханических системах.

Следует иметь в виду, что выражение момента импульса через произведение момента инерции системы на ее угловую скорость не всегда применимо, а потому и связь уравнения моментов с основным уравнением динамики точки (вторым законом Ньютона) имеет ограниченный характер. В физике микромира понятие момента импульса возникло независимо от механического движения частиц. Микрочастицы могут обладать моментом импульса двоякого рода. У них может быть собственный момент импульса, или спин, и орбитальный момент. Поведению микрочастиц аналога в повседневной жизни нет, но тем не менее спин в какой-то степени напоминает момент импульса вращающегося волчка, а орбитальный момент - гирьки, подвешенной к концу нити и вращающейся в одной плоскости с нитью. Всякое изменение момента импульса вдоль любой оси координат может быть равно лишь целому кратному постоянной Планка.

В микромире оказывается иным, не связанным с уравнением движения, и содержание понятия вращающего момента (момента силы). Он представляет собой меру изменения момента импульса.

Во всех записанных нами уравнениях является моментом внешней силы или равнодействующей внешних сил, сумма моментов внутренних сил всегда равна нулю. Если же система является замкнутой, то . Но тогда в (15) и , то есть

, (16)

в инерциальной системе отсчета суммарный момент импульса замкнутой системы частиц сохраняется.

Момент импульса может сохраняться и для незамкнутых систем.
Если относительно некоторой точки О в выбранной системе отсчета
суммарный момент внешних сил равен нулю, то согласно уравнению
моментов сохраняется момент импульса относительно этой точки О.
Если проекция суммарного момента всех внешних сил, например,
на неподвижную ось равна нулю, то сохраняется не сам момент
импульса, а его проекция на эту ось. Иначе говоря, в этом случае сохраняется момент импульса относительно оси:

, (17)

При этом сам импульс относительно точки О на этой оси может изменяться.

Сохранение момента импульса замкнутой системы допускает, что моменты импульса отдельных ее частей могут со временем изменяться. Однако при всех изменениях убыль момента импульса одной части системы всегда равна приращению момента импульса другой ее части.

И
Рис. 3
з закона сохранения момента импульса в применении к вращению твердого тела относительно оси



следует, что изменяя (увеличивая или уменьшая) каким-либо способом момент инерции тела во время вращения, можно изменять (уменьшать или увеличивать) в такое же число раз угловую скорость. Иллюстрацией могут служить, например, опыты на скамье Жуковского — подставке, свободно вращающейся в горизонтальной плоскости. Стоящий на скамье человек

раскидывает или прижимает к туловищу руки и тем самым изменяет момент инерции системы (рис. 3). В соответствии с законом сохранения момента импульса её угловая скорость изменяется. [1, с. 83-85]

Законы сохранения и симметрия пространства и времени.

Законы сохранения энергии, импульса и момента импульса среди всех других физических законов выделяются своей всеобщностью. Они выполняются одинаково строго в классических явлениях, происходящих с макроскопическими телами, и в квантовых явлениях, в механике Ньютона и в релятивистской механике. Сначала законы сохранения были установлены как результат обобщения огромного количества опытных фактов. Лишь значительно позднее пришло глубокое понимание этих законов и их взаимосвязи. Оказалось, что законы сохранения теснейшим образом связаны со свойствами симметрии природы. Здесь имеется в виду не симметрия физических тел (например, кристаллов), а свойство, выражающееся в неизменности вида физических законов при некоторых преобразованиях. Эти преобразования называют преобразованиями фундаментальной симметрии.

Рассмотренные нами законы сохранения связаны с фундаментальными свойствами симметрии времени и пространства.

Симметрия по отношению к сдвигу начала отсчета времени проявляется в физической эквивалентности, равноценности разных его моментов. Любые явления, происходящие в одних и тех же условиях, но в разные моменты времени, протекают совершенно одинаково.

Данное свойство времени называют его однородностью. Благодаря однородности времени можно сравнивать результаты опытов, которые были проделаны в прошлом или будут проделаны в будущем.

Симметрия по отношению к сдвигу начала координат означает, что все точки физического пространства эквивалентны. В пространстве нет таких точек, которые обладали бы какими-то особыми свойствами. Это свойство, называемое однородностью пространства, проявляется в том, что явление, которое произошло в данной области пространства, может повториться без изменений в другом месте. Необходимо лишь, чтобы совокупность факторов, обусловливающих ход явления, осталась той же. Если, например, два одинаковых лазера вывести на один и тот же режим работы в Москве и Новосибирске, то они будут давать одно и то же излучение. Но ход настенных часов с маятником при переносе из одной точки на Земле в другую может измениться вследствие изменения ускорения свободного падения тел.

Свойство однородности пространства позволяет сравнивать результаты одинаковых экспериментов, поставленных в разных лабораториях земного шара.

Симметрию по отношению к повороту координатных осей, или свойство изотропности пространства, рассматривают как эквивалентность различных направлений в пространстве. В изотропном пространстве нет выделенных направлений, обладающих особыми свойствами. Установку, агрегат, лабораторию можно повернуть в любом направлении, при этом все процессы будут протекать так же, как и до поворота. Но повернуто должно быть все, что определяет течение данного процесса.

Однородным и изотропным является пространство, свободное от сильных физических полей. В теории поля считают, что ответственным за появление сил, действующих на частицы, является поле, искажающее свойства пространства в той области, где оно существует. В сильных полях пространство неоднородно и неизотропно. Установлено, например, что вблизи Солнца и звезд сильные поля тяготения вызывают искривление пространства. Однако если поле, в котором движется частица или система частиц, является центрально-симметричным, по отношению к силовому центру этого поля пространство будет изотропным.

Каждому преобразованию фундаментальной симметрии соответствует определенный закон сохранения.

Однородность времени, то есть симметрия по отношению к выбору начала отсчета времени, приводит к закону сохранения энергии. Этот закон сохранения выполняется для систем, находящихся в неизменных во времени внешних условиях. Стационарность условий обеспечивается тем, что системы должны быть замкнутыми и адиабатически изолированными, а действие сил вызывается только потенциальными полями. Выбор начала отсчета времени несущественен.

Однородность пространства, то есть симметрия по отношению к преобразованию сдвига начала координат, приводит к закону сохранения импульса. Для выполнения закона сохранения импульса необходимо, чтобы система была замкнутой. Если система помещена во внешнее силовое поле, то есть незамкнута, то различные области пространства будут физически неэквивалентными. Внешнее поле в этих областях будет разным. Однако если исследуемую систему расширить и включить в нее тела, поле которых воздействует на систему, то импульс такой расширенной системы будет сохраняться. Такая система уже «чувствует» однородность пространства.

Изотропность пространства, то есть симметрия по отношению к поворотам координатных осей, приводит к закону сохранения момента импульса. Этот закон выполняется только в замкнутых системах. Необходимость замкнутости системы для сохранения момента импульса вызывается теми же причинами, что и для сохранения импульса. [1, с. 89-91]

Заключение.

Законы сохранения в механике являются фундаментальными. К ним относятся законы сохранения импульса, энергии, момента импульса. В заключении еще раз вернемся к их формулировкам.

Закон сохранения импульса:

При любых процессах, происходящих в замкнутой системе, ее импульс остается неизменным:



Закон сохранения энергии:

В инерциальной системе отсчета полная механическая энергия замкнутой консервативной системы частиц сохраняется.



Закон сохранения момента импульса:

В инерциальной системе отсчета суммарный момент импульса замкнутой системы частиц сохраняется.



Список использованной литературы


  1. Дерябин, В.М., Борисенко, В.Е. Физика: Учебник для вузов / В.М.Дерябин, В.Е. Борисенко - 2 изд., перераб. - Тюмень: Издательство Тюменского государственного университета, 2001. - 656 с.

  2. Китель, Ч., Найт, У., Рудерман, М. Механика. / Ч. Китель, У. Найт, М. Рудерман - М.: Наука, 1983. - 447 с.

  3. http://www.5ballov.ru




Учебный материал
© bib.convdocs.org
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации