Александрович В.М. Управление запасами и планирование снабжения - файл n1.doc

Александрович В.М. Управление запасами и планирование снабжения
скачать (6452 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc6452kb.06.11.2012 17:20скачать

n1.doc

1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   32

Упражнения



1.7.1 Цена закупки равна $100/шт., если размер заказа менее
1000 штук, и равна $85/шт. при покупке 1000 штук и более. Если издержки подачи заказа равны $50, годовой спрос 2000 штук, а издержки содержания одной штуки в запасах составляют 20% от цены штуки в год, то каковы будут суммарные годовые издержки при использовании оптимального объема заказа?

1.7.2 Пусть спрос равен 600 единицам в год, стоимость подачи заказа $8, коэффициент издержек содержания 0,2. Цена товара зависит от объема закупки: от 1 до 500 штук С0 = $0,3, от 500 до 1000 С1 = $0,29 и С2 = $0,28 при объеме закупки более 1000 штук. Определить оптимальный объем заказа.

1.7.3 В условиях предыдущей задачи принять границы, на которых изменяется цена, равными 300 и 400.

1.8 Расчет страхового запаса и точки заказа



В этом разделе мы рассмотрим расстановку моментов подачи заказов при использовании правила (Q, R) из таблицы 1.1. Фактически это означает вычисление точки заказа R. Предполагается, что уровень запасов отслеживается непрерывно, и когда он достигает значения, равного точке заказа, подается заказ на фиксированное количество Q. Выбор значения точки заказа зависит от четырех факторов:

  1. величины спроса;

  2. времени задержки пополнения (время, проходящее от момента подачи заказа до поступления прибывшего заказа в продажу);

  3. степени неопределенности спроса (точнее, неопределенности его прогноза на будущее) и времени задержки, если оно тоже является случайной величиной;

  4. принятого значения уровня обслуживания.

Очевидно, что точка заказа должна выбираться таким образом, чтобы запаса, равного точке заказа, хватило для удовлетворения спроса за время выполнения заказа на пополнения запасов. Когда неопределенности в спросе и во времени запаздывания нет, то страховой запас не нужен и точка заказа определяется просто. Например, для той же камеры, если спрос всегда в точности равен 5 штук в день, а время пополнения в точности один день, то точка заказа, равная 5 штукам, обеспечивает необходимый уровень запаса, из которого будет удовлетворяться спрос на интервале между подачей заказа и прибытием пополнения.

1.8.1 Неопределенность спроса и времени поставок


Предположения о строгом постоянстве спроса и времени задержки пополнения редко могут оказаться справедливыми на практике. Случайные колебания спроса для любого продукта могут возникать даже из-за непостоянства моментов покупок различными покупателями. Время выполнения заказа может изменяться из-за поломок оборудования, прогулов персонала, нехватки материалов или транспортных сбоев на производстве или в дистрибьюции.

Вернемся к примеру с камерой. Анализ продаж на складе и записей учета запасов показал, что для камеры время задержки пополнения абсолютно стабильно и составляет один день. Однако дневной спрос принимает значения от 1 до 9 с различными вероятностями, как показано на рисунке 1.8.



Рисунок 1.8 – Распределение вероятностей спроса на камеру

Если точка заказа установлена равной 5 единицам, чтобы покрывать спрос в течение однодневной задержки поставки, то возможна нехватка от одной до четырех единиц в течение этого времени. Это будет происходить, когда спрос за день окажется равным 6, 7, 8 или 9 единицам. Следовательно, если мы хотим не допускать дефицита запасов, то точка заказа должна быть выше среднего спроса за время пополнения. Разность между точкой заказа и средним спросом за время пополнения называется страховым запасом. Например, увеличение точки заказа до 9 единиц дает значение страхового запаса, равное 4. При таком значении страхового запаса дефицит вообще не возникал бы, если бы характер спроса, определенный по прошлым данным, сохранялся и в
будущем.

1.8.2 Страховой запас


Рисунок 1.9 иллюстрирует введение страхового запаса в точку заказа. Точка заказа R на этом рисунке имеет две компоненты: страховой запас SS и уровень запаса (R–SS), требуемый для удовлетворения среднего спроса d за время пополнения L. Точка заказа является суммой этих компонент:

R=d+SS.

Для простоты изложения время пополнения на рисунке 1.9 принято постоянным, а спрос переменным от одного цикла пополнения к другому.

После выдачи заказа на пополнение в точке а, изменения спроса за время пополнения могут уменьшить уровень запасов до любых значений между точками b и e. В примере с камерой уровень запасов к моменту прихода пополнения может уменьшиться по сравнению с точкой заказа на 1, или на 2, … или на 9 единиц. Когда спрос за время пополнения равен своему среднему значению в 5 единиц или меньше, то уровень запасов достигнет точки между b и с, и страховой запас не нужен. Но если спрос примет значения, большие чем 5, то уровень запасов упадет до точки, лежащей между с и e, и, если нет страхового
запаса, возникнет дефицит запасов. Можно построить аналогичную диаграмму для случая, когда изменяются и спрос за время пополнения, и само время пополнения.

Очевидно, что чем больше страховой запас, тем больше уровень запасов в конце цикла пополнения и, таким образом, больше издержки содержания запасов. Более точно, средний уровень запасов в конце цикла пополнения как раз и равен страховому запасу.

Прежде чем приступить к вычислению страхового запаса, мы должны установить критерий для степени защиты от дефицита. Наиболее часто используются два различных критерия: это 1) вероятность возникновения дефицита в любом данном цикле пополнения или 2) желаемый уровень обслуживания потребителей в удовлетворении их спроса непосредственно из запасов (fill rate). Для иллюстрации обоих критериев мы будем использовать распределение вероятностей спроса (см. рисунок 1.8).


Рисунок 1.9 – Страховой запас как противодействие
изменчивости спроса

1.8.3 Определение страхового запаса по заданной вероятности дефицита для дискретного распределения спроса


Один из методов определения страхового запаса состоит в задании приемлемой вероятности дефицита в течение любого данного периода пополнения. Рисунок 1.8 представляет распределение вероятностей спроса, необходимое для этого анализа. Из него следует, например, что вероятность того, что спрос превысит значение в 7 единиц (то есть он будет равен или 8, или 9), равна 0,05. Эта вероятность получается сложением вероятностей, соответствующих значениям 8 и 9, то есть 0,04 и 0,01. Таким образом, в этом случае дефицит наблюдался бы в среднем в пяти циклах из ста. Страховой запас при этом равен двум единицам (точка заказа равна 7 единицам, средний спрос за время пополнения равен 5, SS=Rd=7–5=2). Такой страховой запас означает, что в любом данном цикле спрос удовлетворяется с вероятностью
1–0,05=0,95. Заметьте, что при этом дефицит может быть равен либо одной, либо двум единицам.

Мы можем уменьшить риск дефицита, увеличив страховой запас (и соответственно вложение средств в него). То есть со страховым запасом в три единицы (точка заказа при этом равна 8) вероятность дефицита уменьшается до 0,01, а при страховом запасе, равном четырем, она будет равна 0, если распределение вероятностей спроса остается постоянным.

Уровень запаса в конце цикла пополнения (перед поступлением пополнения) является случайной величиной. Увеличение страхового запаса ведет к тому, что среднее значение этого запаса также будет расти. Как уже отмечалось, это среднее как раз и будет равно страховому запасу. Но увеличение уровня запасов ведет к увеличению стоимости запасов. Таким образом, цель определения страхового запаса состоит в том, чтобы достичь приемлемого компромисса между вероятностью дефицита и вложением средств в запасы.

Итак, чтобы определить страховой запас по заданной вероятности дефицита Рд, необходимо прежде всего иметь распределение вероятностей спроса за время доставки пополнения. В рассматриваемом нами дискретном случае это распределение представляет собой таблицу из двух строк (таблица 1.3). В одной строке ставятся все возможные значения случайной величины di (в нашем случае – спроса), в другой – вероятности этих значений pi.
Таблица 1.3 – Распределение вероятностей спроса

Спрос, di

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Вероятность, pi

0,01

0,04

0,1

0,2

0,3

0,2

0,1

0,04

0,01


Определяем точку заказа R, выбирая ее значения из таблицы распределения спроса. Начинаем этот перебор с наименьшего ее значения и увеличиваем его до тех пор, пока не выполнится условие:

,

то есть сумма вероятностей всех значений спроса, превышающих точку заказа, меньше или равна вероятности дефицита. Например, если задана вероятность дефицита, равная 0,05, то соответствующая ей точка заказа будет равна 7. В самом деле, значения спроса, превышающие точку заказа – это 8 и 9. Им соответствуют вероятности, равные 0,04 и 0,01. Их сумма и равна 0,05.

Далее надо вычислить среднее значение спроса по обычной
формуле:

.

Страховой запас тогда можно получить как разность точки заказа и среднего значения спроса:

.

Описанные вычисления иллюстрирует таблица 1.4, в которой для каждого значения точки заказа приведена соответствующая ему вероятность дефицита и страховой запас.
Таблица 1.4 – Определение страхового запаса по критерию вероятности дефицита

Точка заказа, R

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Вероятности значений спроса Р(d = R)

0,01

0,04

0,1

0,2

0,3

0,2

0,1

0,04

0,01

Вероятность
дефицита

0,99

0,95

0,85

0,65

0,35

0,15

0,05

0,01

0

Страховой запас, SS= R-

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

1.8.4 Определение страхового запаса по заданному уровню
обслуживания для дискретного распределения спроса


Определим уровень обслуживания как процент спроса, измеряемый в единицах измерения товара (не в числе покупателей), который может быть удовлетворен непосредственно из запаса. Таблица 1.5 содержит необходимые данные для примера с камерой. Она показывает, что 88,8% из годового спроса в 1250 штук может быть поставлено из запаса при значении страхового запаса, равном нулю, 95,8% может быть поставлено при значении страхового запаса в одну единицу и т. д.

Значения уровня обслуживания SL в таблице 1.5 вычислены следующим образом:

. (1.5)

где Q – размер заказа;

P(d) – распределение вероятностей спроса за время пополнения, или вероятность появления спроса, равного d;

R – точка заказа.

Числитель дроби в (1.5) – это математическое ожидание дефицита. По определению математического ожидания функции от дискретной случайной величины оно равно сумме произведений значений функции от случайной величины на вероятности соответствующих значений случайной величины. Сумма берется по всем возможным значениям случайной величины. В нашем случае функция – это дефицит, или разность между спросом за время пополнения и точкой заказа, то есть dR. Сумма берется по значениям спроса, превышающим точку заказа, так как если спрос меньше точки заказа, то дефицита нет. То есть мы суммируем произведения вероятностей спроса на величину дефицита, то есть на функцию:



Смысл формулы (1.5) прост: математическое ожидание (среднее значение) неудовлетворенного спроса за цикл потребления запасов делится на средний спрос за цикл (это и есть размер заказа Q). Полученное отношение есть средняя доля общего спроса, которая не удовлетворяется из наличного запаса. Если вычесть это отношение из единицы, то получим среднюю долю удовлетворенного спроса.

Например, когда страховой запас равен 1 в таблице 1.5, мы можем вычислить уровень обслуживания как

.

Уровень обслуживания в 95,8% означает, что 4,2% годового спроса или (0,042)(1250)=52,5 штук не могут быть поставлены непосредственно из запасов. Так как текущий размер заказа равен 5 и заказ подается 250 раз в год, то средний размер нехватки, приходящийся на один цикл, равен 0,21, то есть 52,5/250.

Таблица 1.5 показывает влияние увеличения страхового запаса как на уровень обслуживания, так и на среднюю величину дефицита за цикл пополнения. Уровень обслуживания может быть увеличен до 100% увеличением страхового запаса до 4 единиц. Снова, как и в случае с вероятностью дефицита, выбор значения страхового запаса определяется компромиссом между уровнем обслуживания и вложениями в запасы.
Таблица 1.5 – Определение страхового запаса и уровня обслуживания по заданной точке заказа

Точка

заказа

(R)

Страховой

запас

(S)

Вероят-

ность

спроса

(P(d=R))

Вероятность

дефицита

(P(d>R))

Средняя величина дефицита в одном цикле*)

Уровень обслужи -вания**)

(SL),%

5

0

0,30

0,35

0,56

88,8

6

1

0,20

0,15

0,21

95,8

7

2

0,10

0,05

0,06

98,8

8

3

0,04

0,01

0,01

99,8

9

4

0,01

0,00

0

100

*) Вычисляется как

**) Предполагается, что величина заказа Q равна 5 единицам


Итак, страховой запас и размер заказа для систем, работающих по правилу точки заказа, определяются отдельно. Эти два параметра, однако, взаимосвязаны в своем воздействии на уровень обслуживания. Этот эффект можно увидеть в выражении (1.5), так как и страховой запас (точка заказа), и размер заказа влияют на уровень обслуживания. Позднее в этой секции будет дан более подробный пример такого взаимодействия.

В заключение приведем схему вычисления страхового запаса по заданному уровню обслуживания для дискретного спроса. Как и в варианте с вероятностью дефицита, основой является распределение вероятностей спроса за время пополнения. Размер заказа в этом случае также должен быть задан. Последовательно выбирая значения точки заказа R, начиная с наименьшего и подставляя их в формулу (1.5), найдем такое ее значение, при котором в первый раз выполнится
неравенство

,

где SL – уровень обслуживания, вычисленный по формуле (1.5);

SL0 – заданный уровень обслуживания.

После того, как точка заказа определена, страховой запас находится как разность между точкой заказа и средним спросом за время пополнения.

1.8.5 Непрерывное распределение спроса


До сих пор мы использовали дискретное распределение для описания неопределенности спроса за время пополнения. Иногда удобно аппроксимировать дискретное распределение каким-либо непрерывным, чтобы упростить вычисления.

Но часто и сам спрос является непрерывной случайной величиной, то есть такой величиной, которая может принимать все возможные действительные значения из некоторого интервала. Например, спрос на камеру является дискретной случайной величиной, но спрос на уголь, бензин, сахар – это непрерывные величины.

Одним из распределений, часто используемых для описания эмпирических данных, является нормальное. В этом разделе мы опишем изменения в вычислениях, связанные с использованием нормального распределения для описания спроса за время пополнения.

Пусть спрос остается дискретным с тем же распределением вероятностей, которое было приведено на рисунке 1.8. На оси абсцисс построим 9 интервалов, длина каждого из которых равна единице, а середины совпадают со значениями спроса. Зададим математическое ожидание нормального распределения равным 5, как и у дискретного распределения спроса. Среднеквадратическое отклонение нормального распределения выберем таким образам, чтобы вероятности попадания в построенные нами интервалы были как можно ближе к вероятностям соответствующих значений дискретной случайной величины. Результат такого подбора приведен в таблице 1.6.
Таблица 1.6. – Нормальная аппроксимация эмпирического
распределения спроса

Середина

интервала

Диск-

ретное

распре-

деление

Интервал

Нормальное

распределение

Вероятность того, что спрос будет больше

Х+0,5

Ожидаемая величина дефицита при точке заказа,

равной Х

1

0,01

0,5-1,5

0,0085

0,9902

4,0068

2

0,04

1,5-2,5

0,0380

0,9522

3,0128

3

0,10

2,5-3,5

0,1109

0,8413

2,0591

4

0,20

3,5-4,5

0,2108

0,6305

1,2303

5

0,30

4,5-5,5

0,2610

0,3695

0,5983

6

0,20

5,5-6,5

0,2108

0,1587

0,2255

7

0,10

6,5-7,5

0,1109

0,0478

0,0641

8

0,04

7,5-8,5

0,0380

0,0098

0,0127

9

0,01

8,5-9,5

0,0085

0,0013

0,0018

Данные таблицы 1.6 позволяют нам сравнить эмпирически полученные вероятности спроса с вероятностями, вычисленными из нормального распределения. Сравнение показывает, что нормальное распределение близко аппроксимирует эмпирические значения и в данном случае может быть использовано для определения страхового запаса и точки заказа.

1.8.6 Вычисление страхового запаса по критерию вероятности дефицита для нормального распределения спроса


Когда спрос за время пополнения является непрерывной случайной величиной, то чаще всего распределение его оказывается близким к нормальному. В этом случае определение значения точки заказа и страхового запаса упрощаются.

Нормальное распределение полностью характеризуется двумя параметрами: математическим ожиданием (средним значением) и стандартным (средним квадратическим) отклонением. Таким образом, для расчета точки заказа и страхового запаса мы должны иметь среднее значение и стандартное отклонение спроса за время пополнения. Выведем формулы для расчета страхового запаса и точки заказа.

Вероятность дефицита – это вероятность того, что спрос за время пополнения превысит значение точки заказа. Запишем выражение для этой вероятности при нормальном распределении спроса:

,

где – среднее значение спроса за время пополнения;

– стандартное (среднеквадратическое) отклонение спроса за время пополнения.

Интеграл в этом выражении не может быть представлен в элементарных функциях. Для его представления введена специальная функция – интеграл вероятностей или функция Лапласа, или функция стандартного нормального распределения:

.

График этой функции приведен на рисунке 1.10. Термин «стандартное» означает, что математическое ожидание этого распределения равно нулю, а дисперсия равна единице.



Рисунок 1.10  Функция стандартного нормального распределения
Если в выражении для РД ввести замену переменных , то вероятность дефицита может быть выражена через эту функцию в следующем виде:

. (1.6)

В таблице 1.7 приведены значения этой функции и вероятности дефицита для нескольких значений их аргумента . Величина Z называется страховым множителем.

Подробная таблица значений нормального распределения вероятностей дана в Приложении А.2.

Таблица 1.7 – Таблица значений стандартного нормального
распределения

Ф(Z)

0,9

0,93

0,95

0,97

0,98

0,99

Рд

0,1

0,07

0,05

0,03

0,02

0,01

Z

1,282

1,476

1,645

1,881

2,054

2,326


Задав вероятность дефицита, можно из (1.6) получить значение , удовлетворяющее этому равенству. Например, пусть
Рд = 0,05, тогда Ф(Z) = 0,95, где . Используя таблицу значений Ф(Z), найдем то значение аргумента Z, которое соответствует этому значению Ф, это будет Z = 1,645. Но так как по определению разность – это и есть страховой запас, то отсюда следует, что страховой запас и точка заказа вычисляются как

SS=, (1.7)

R = , (1.8)

где Z – такое значение аргумента функции Ф(Z), которое обеспечивает выполнение равенства (1.6). Оно находится с помощью таблиц этой функции;

– стандартное отклонение спроса за время пополнения; в рассматриваемом примере оно равно 1,5;

– средний спрос за время пополнения. В нашем примере, который сейчас будет продолжен, он равен 5.

Итак, последовательность нахождения страхового запаса по заданной вероятности дефицита следующая. Задав вероятность дефицита, находим соответствующее значение Ф = 1Рд. Затем определяем в таблице соответствующее значение Z и по формулам (1.7) и (1.8) рассчитываем страховой запас и точку заказа.

В нашем примере значение Ф для вероятности дефицита 0,05 равно 0,95, а из приведенной выше таблицы этому значению Ф соответствует Z = 1,645. Требуемый уровень страхового запаса, следовательно, равен 2,5 единицам, то есть (1,645)(1,5), и точка заказа равна 5+2,5=7,5, или 8 единиц.

1.8.7 Вычисление страхового запаса по критерию уровня обслуживания для нормального распределения спроса


При использовании этого критерия мы также будем пользоваться нормальным распределением. В этом случае нам необходимо вычислить среднюю величину дефицита за один цикл пополнения. Она входит в выражение (1.5) для уровня обслуживания. Величина дефицита – это разность между спросом за время пополнения и точкой заказа . Тогда средний дефицит можно выразить как

,

где SL – средняя величина (математическое ожидание) дефицита;

– среднее значение спроса за время пополнения;

– среднеквадратическое отклонение спроса за время пополнения.

В формуле математического ожидания всегда используются пределы интегрирования от до , но в нашем случае подынтегральная функция обращается в 0 при значениях спроса d меньших, чем точка заказа R (дефицит при таких значениях спроса за время пополнения отсутствует). Поэтому в качестве нижнего предела интегрирования берется R.

Как и в случае вероятности дефицита проведем замену переменных . Получим:

,

где Z – как и ранее, равно ;

.

E(Z) называется функцией обслуживания и она пропорциональна математическому ожиданию величины дефицита в одном (любом) цикле пополнения при значении страхового запаса и нормальном распределении спроса. График функции обслуживания приведен на рисунке 1.11. Более подробная таблица значений E(Z) приведена в Приложении А.1.

Перепишем равенство (1.5), определяющее уровень обслуживания через средний дефицит и размер заказа, используя введенную нами функцию E(Z):

. (1.9)

Теперь мы можем получить значение E(Z), требуемое для достижения заданного уровня обслуживания SL:

. (1.10)

Предположим, что мы хотим установить 95% уровень обслуживания и будем использовать объем заказа в 5 единиц. Требуемое значение E(Z) вычисляется из уравнения (1.9). В нашем примере значение E(Z) равно

E(Z)=(100 – 95)(5)/[(100)(1,5)]=0,167.

Из таблицы значений функции обслуживания на рисунке 1.11 найдем, что этому значению E(Z) соответствует Z=0,6, то есть страховой запас равен (0,6)(1,5)=0,9. Точка заказа при этом равна 5,9.


Z

E(Z)

0,00

0,399

0,20

0,307

0,40

0,230

0,60

0,169

0,80

0,120

1,00

0,083

1,20

0,056

1,40

0,037

1,60

0,023

1,80

0,014

2,00

0,008

2,20

0,005

2,40

0,003

2,60

0,001

2,80

0,001

3,00

0,001




Рисунок 1.11 – Функция обслуживания

1.8.8 Временной корректирующий множитель
для расчета страхового запаса


В предыдущих примерах данные спроса были выражены в штуках в день и время задержки пополнения было один день, то есть единицы измерения времени для спроса была равна времени задержки. Иногда данные спроса представлены в других единицах времени, чем время задержки. В таком случае при вычислении страхового запаса должна быть сделана корректировка среднеквадратического отклонения спроса за время пополнения согласно выражению (1.11):

SS=, (1.11)

где: SS – страховой запас;

m – время задержки, выраженное в тех единицах времени, для которых даны данные спроса;

– стандартное отклонение спроса.

Например, мы можем иметь еженедельный спрос и время задержки, равное 11 дням. Тогда m=11/7=1,57.

Если бы время задержки для камеры было три дня вместо одного, то страховой запас был бы 4,3 единицы; то есть S=(1,645)(1,5)=4,3, и точка заказа была бы равна 19,3:

R = = (3 дня)(5 ед/день)+4,3 = 19,3.

Такая корректировка вполне обоснована, если m > 1, то есть если время задержки пополнения больше, чем интервал времени, за который отсчитывается спрос. Однако она должна применяться с некоторой осторожностью, когда m < 1. Например, когда данные спроса регистрируются еженедельно, а время задержки – один день. В подобных случаях, даже если данные спроса свидетельствуют об их нормальном распределении, спрос за меньшие интервалы времени может отличаться от нормального. В примере с еженедельным спросом ежедневный спрос может в отдельные дни быть равным нулю, то есть спрос становится прерывистым (intermittent). В этом случае распределение его далеко от нормального, и приведенные выше методы определения страхового запаса и точки заказа могут оказаться неприменимыми в этом случае. Кроме того, внутри недельного интервала могут присутствовать систематические изменения среднего значения спроса (сезонные колебания), что также ведет к ошибкам в расчете точки заказа.

Таким образом, когда данные спроса отсчитывались за более длительные интервалы, чем время задержки, то нужны также данные о спросе за интервалы, равные или меньшие времени задержки, для проверки правильности предположений о характере спроса.

1.8.9 Использование прогноза спроса и характеристик
точности прогнозирования для расчета точки заказа


До сих пор мы предполагали, что нам известно среднее значение спроса за время пополнения и его среднеквадратическое отклонение, если спрос имеет нормальное распределение. Если распределение спроса отличается от нормального, то оно должно быть известно.
Когда это распределение остается неизменным на протяжении достаточно большого интервала времени, то описанные методы расчета точки заказа можно применять, используя распределение спроса, а в случае нормального распределения достаточно его характеристик – среднего и дисперсии. Имея достаточно длинную предысторию спроса, можно по ней оценить распределение или его характеристики.

На практике такая ситуация встречается довольно редко. Чаще среднее значение спроса является переменной величиной из-за наличия тренда и сезонных колебаний. Оно практически всегда неизвестно заранее, в момент расчета точки заказа, и в качестве него реально может использоваться и используется только прогноз спроса за время пополнения, рассчитанный тем или иным способом. В этом случае роль страхового запаса сводится к защите от ошибок прогноза. Если ошибка прогноза равна нулю, то страховой запас не нужен: так как прогноз спроса за время пополнения точен, то точка заказа должна быть равна значению прогноза. Тогда в момент прихода пополнения и дефицит, и запас будут всегда равны нулю. Чем больше ошибка прогнозирования, тем больше должен быть страховой запас.

Таким образом, очевидно, что в отношении вычисления страхового запаса мы можем полностью повторить все предыдущие рассуждения и математические выкладки, и они будут также справедливы при использовании прогноза спроса вместо его среднего значения и среднеквадратического отклонения ошибки прогноза вместо среднеквадратического отклонения самого спроса. Отсюда следует, что страховой запас и точка заказа должны вычисляться заново каждый раз при поступлении нового значения прогноза спроса за время пополнения.

В коммерческих пакетах программ по управлению запасами независимого спроса данные, необходимые для вычисления страхового запаса и точки заказа представляют собой именно прогноз спроса на предстоящий период, характеристику его точности и вид распределения вероятностей ошибки прогноза. Данные для анализа распределения вероятностей ошибки прогноза и характеристик этого распределения – это ошибки прошлых прогнозов, накопленные за достаточно большой промежуток времени.

Часто используемая характеристика точности прогноза есть среднее абсолютное отклонение ошибки (MAD), которое вычисляется по формуле:

,

где  ошибка прогноза в i-ом наблюдении;

n – количество наблюдений.

Методы определения точки заказа и страхового запаса, описанные ранее в этой главе, остаются справедливыми и в случае, когда спрос на продукт за время пополнения является прогнозом и ошибка характеризуется MAD. Для нормального распределения справедливо следующее соотношение между MAD и среднеквадратическим отклонением:

.



Рисунок 1.12 – Плотность распределения ошибки прогноза
в примере с камерой

Пусть в примере с камерой задана вероятность дефицита, равная 0,05, а ошибка прогнозирования спроса имеет нормальное распределение, показанное на рисунке 1.12. Страховой запас вычисляется в этом случае следующим образом:

SS==Z1,25MAD, (1.12)

где Z – соответствующее значение из таблицы стандартного нормального распределения;

– стандартное отклонение ошибки прогноза.

Так как Z=1,645 для вероятности дефицита, равной 0,05, а MAD=1,2, как видно из рисунка 1.12, то страховой запас будет равен 2,5; то есть (1,645)(1,25)(1,2). Точка заказа будет равна 7,5, как и
раньше.

Страховой запас с использованием MAD может быть рассчитан и для случая, когда задан уровень обслуживания, а не вероятность дефицита. Здесь также заменяется на 1,25MAD.

1.8.10 Расчет страхового запаса по эмпирическому
распределению ошибки прогноза спроса


На практике вычисление страхового запаса и точки заказа обычно проводится на основе нормального распределения, как это изложено в п. п. 1.8.6 и 1.8.7 без каких-либо проверок распределения на нормальность. Величина ошибки страхового запаса вследствие отклонения распределения вероятностей ошибки прогноза от нормального будет зависеть от степени этого отклонения. Для того чтобы оценить эту ошибку, необходимо получить распределение вероятностей ошибки прогноза спроса за время задержки пополнения. Если это распределение уже получено, то можно вычислить размер страхового запаса на его основе, не пользуясь нормальным распределением. Получение эмпирического распределения случайной величины применительно к нашему случаю приведено в Приложении В.1. В данном пункте мы рассмотрим вычисление страхового запаса на числовом примере.

Пусть в результате обработки файла ошибок прогноза была получена таблица частот, приведенная в таблице 1.8. Количество наблюдений равно 103.
Таблица 1.8 – Эмпирическое распределение ошибки прогноза оптового спроса на растворимый кофе в килограммах

Интервалы значений ошибки прог-ноза спроса

-17 …-12

-12 … -7

-7 … -2

-2 … 3

3 … 8

8 … 13

13 … 18

18 … 23

23 … 28

28 …33

Частоты

11

19

22

23

11

8

5

2

1

1

Относитель-

ные частоты

0,107

0,184

0,214

0,223

0,107

0,078

0,049

0,019

0,01

0,01


Соответствующая этим данным гистограмма распределения ошибки приведена на рисунке 1.13. По оси абсцисс отложены интервалы значений ошибки прогноза. По оси ординат – число попаданий в каждый интервал.



Рисунок 1.13 – Гистограмма распределения ошибок прогноза
еженедельного спроса на растворимый кофе на оптовой базе

Среднее квадратическое отклонение ошибки прогноза, рассчитанное по этим данным, составило 9,5. Среднее значение ошибки оказалось равным –0,97, но для упрощения рассуждений мы будем считать его равным нулю.

Как уже было описано в предыдущем пункте, точка заказа может быть представлена как сумма среднего спроса за время пополнения и страхового запаса:

,

где R – точка заказа,

– прогноз спроса за время пополнения;

SS – страховой запас.

От величины страхового запаса зависит средний (ожидаемый) дефицит в каждом цикле пополнения; чем больше страховой запас, тем меньше дефицит. Величина дефицита является случайной, зависящей от спроса за время пополнения:



где SL – величина дефицита;

d – спрос за время пополнения, случайная величина.

Подставим сюда выражение для точки заказа R = и
получим:



где разность между фактическим спросом и его прогнозом
– это и есть ошибка прогноза , эмпирическое распределение которой приведено в таблице 1.8. Перепишем это выражения, используя для ошибки прогноза ее обозначение:

(1.13)

Чтобы получить ожидаемое значение дефицита, то есть математическое ожидание, надо воспользоваться формулой для математического ожидания дискретной случайной величины:

, (1.14)

где – математическое ожидание дефицита (средний дефицит) при значении точки заказа, равном R;

– ошибка прогноза спроса за время пополнения;

– величина дефицита при значении ошибки прогноза, равном ;

– вероятность (относительная частота) появления значения .

Наша непрерывная случайная величина – ошибка прогноза – стала дискретной по той причине, что при построении эмпирического распределения мы группируем значения непрерывной случайной величины по интервалам (см. таблицу 1.8) и всем наблюдениям, попавшим в определенный интервал, присваивается значение, равное середине этого интервала.

Подставим в (1.14) выражение для дефицита (1.13) и получим:

.

В качестве значений следует брать середины интервалов на оси абсцисс гистограммы распределения ошибки прогноза. В таблице 1.8 этими серединами будут –14,5; –9,5; –4,5; 0,5; 5,5; 9,5; 10,5; 15,5; 20,5; 25,5; 30,5. Вычисление дефицита будем проводить для
значений SS, равных левой (нижней) границе каждого интервала гистограммы, то есть для SS = –17, –12, –8 и т. д. Результаты вычислений приведены в таблице 1.9.
Таблица 1.9 – Сравнение вероятностей дефицита и уровней
обслуживания, вычисленных с использованием
нормального и эмпирического распределений
SS

-17

-12

-7

-2

3

8

13

18

23

28



15,95

11,21

7,21

4,20

2,28

1,19

0,56

0,24

0,10

0,02
Z

-1,79

-1,26

-0,74

-0,21

0,32

0,84

1,37

1,89

2,42

2,95



17,23

12,36

8,37

4,81

2,54

1,05

0,39

0,10

0,03

0,00

Pд,
эмпир.

1,00

0,894

0,710

0,496

0,273

0,166

0,088

0,039

0,020

0,010

Рд, норм.

0,963

0,896

0,770

0,583

0,377

0,200

0,085

0,029

0,007

0,002

SL %, эмпир.

81,2

86,8

91,5

95,0

97,3

98,6

99,3

99,7

99,90

99,98

SL, %, норм.

79,7

85,4

90,1

94,3

97,0

98,8

99,5

99,90

99,96

99,99


Обозначения в таблице 1.9:

, эмпир. – средний дефицит, вычисленный с использованием эмпирического распределения;

, норм. – средний дефицит, вычисленный с использованием нормального распределения ошибки прогноза, он равен ;

– страховой запас, отнесенный к среднеквадратическому отклонению ошибки прогноза (используется для расчета ожидаемого дефицита при нормальном распределении ошибки прогноза);

Pд, эмпир. – вероятность дефицита, вычисленная с использованием эмпирического распределения;

Рд, норм. – вероятность дефицита, вычисленная с использованием нормального распределения;

SL %, эмпир. – уровень обслуживания, вычисленный с использованием эмпирического распределения;

SL, %, норм. – уровень обслуживания, вычисленный с использованием нормального распределения.

Объем заказа Q = 85, среднеквадратическое отклонение ошибки прогноза равно 9,5.

Распределение ошибки прогноза весьма заметно отличается от нормального. Тем не менее сравнение вычисленных вероятностей дефицита для эмпирического распределения и для нормального распределения показывает, что с практической точки зрения эти вероятности мало отличаются. В самом деле, между вероятностями отсутствия дефицита (это 1 – Pд) нет заметной разницы при всех значениях страхового запаса SS, начиная с 13 и выше. Так, для SS = 13 эти вероятности равны 0,912 и 0,915. Это значит, что дефицита не будет наблюдаться в среднем в 912 циклах пополнения из 1000 или в 915. Столь же незначительно отличаются и уровни обслуживания, вычисленные с использованием эмпирического и нормального распределений. Конечно, при меньших размерах заказа различие в уровнях обслуживания может оказаться существенным. Но в нашем примере размер заказа Q равен 85, среднеквадратическая ошибка прогноза равна 9,5, а их отношение равно 8,94. Очевидно, что при больших значениях этого отношения совпадение будет еще лучше.

Приведенный пример позволяет сделать вывод о том, что даже при значительных отклонениях распределения ошибки прогнозирования от нормального можно использовать значения страхового запаса, рассчитанные с использованием нормального распределения. Тем не менее, желательно всегда проверять степень расхождения значений ожидаемого уровня обслуживания, вычисленных с использованием эмпирического и нормального распределений, подобно тому, как это сделано в таблице 1.9.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   32


Учебный материал
© bib.convdocs.org
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации