Контрольная работа по эконометрике - файл n1.doc
Контрольная работа по эконометрикескачать (2612.5 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc
СОДЕРЖАНИЕ
Задача 1……………………………………………………………………….3
Задача 2 .…………….………………………………………………….…....11
Литература …………………….…….………………………………………….17
ЗАДАЧА 1.
Целью работы является определение аналитических зависимостей между параметрами экономических моделей с помощью линейной и нелинейной регрессии.
Исходные данные приведены в таб. 1.1.
По данным таб. 1.1 требуется:
Для характеристики зависимости y от x рассчитать параметры следующих функций:
а) линейной;
б) степенной;
в) показательной;
г) равносторонней гиперболы.
2. Оценить каждую модель через среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера.
Таблица 1.1
Номер региона | Расходы на покупку продовольственных товаров в общих расходах, %, У | Среднедневная заработная плата одного рабочего, руб., X |
1 | 2 | 3 |
1 | 49,7 | 59,2 |
2 | 50,5 | 59,0 |
3 | 51,9 | 54,2 |
4 | 54,4 | 55,6 |
5 | 57,3 | 53,1 |
6 | 64,8 | 57,8 |
7 | 49,0 | 60,9 |
Решение. Парная регрессия – уравнение связи двух переменных
y и
x:

,
где
y – зависимая переменная (результативный признак);
x – независимая, объясняющая переменная (признак-фактор).
Различают линейные и нелинейные регрессии.
Линейная регрессия:

.
Нелинейные регрессии делятся на два класса: регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, и регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.
Регрессии,
нелинейные по объясняющим переменным:
полиномы разных степеней 
равносторонняя гипербола 
Регрессии,
нелинейные по оцениваемым признакам:
Степенная 
Показательная 
Экспоненциальная
Построение уравнения регрессии сводится к оценке ее параметров. Для оценки параметров регрессии, линейных по параметрам, используют
метод наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений признака
у от теоретических

минимальна, т. е.
Для линейных и нелинейных уравнений, приводимых к линейным, решается следующая система относительно
a и
b:
Можно воспользоваться готовыми формулами, которые вытекают из этой системы:

.
Тесноту связи изучаемых явлений оценивает
линейный коэффициент парной корреляции
для линейной регрессии

:
и индекс корреляции

- для нелинейной регрессии

:

.
Оценку качества построенной модели даст коэффициент (индекс) детерминации, а также средняя ошибка аппроксимации.
Средняя ошибка аппроксимации – среднее отклонение расчетных значений от фактических:

.
Допустимый предел значения

- не более 8-10%.
Средний коэффициент эластичности 
показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат
у от своей средней величины при изменении фактора
x на 1% от всего среднего значения:

.
Задача
дисперсионного анализа состоит в анализе дисперсии зависимой переменной:

,

- общая сумма квадратов отклонений;

- сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией («объясненная» или «факторная»);

- остаточная сумма квадратов отклонений.
Долю дисперсии, объявляемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака
у характеризует
коэффициент (индекс) детерминации 
:

.
Коэффициент детерминации – квадрат коэффициента или индекса корреляции
F-тест – оценивание качества уравнения регрессии – состоит в проверке гипотезы

о
статистической незначимости уравнения регрессии и
показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического

и критического (табличного)

значений
F-критерия Фишера. 
определяется из соотношения значений факторной и остаточной дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы:

.
где
п – число единиц совокупности;
т – число параметров при переменных
x.

- это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровня значимости
а. Уровень значимости
а – вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна. Обычно
а принимается равной 0,05 или 0,01.
Если

<

, то

- гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность. Если

>

, то – гипотеза

не отклоняется и признается статистическая незначимость, ненадежность уровня регрессии.
1а. Для расчета параметров
a и
b линейной регрессии

.
Решаем систему нормальных уравнений относительно
a и
b:
По исходным данным рассчитываем
Таблица 1.2

,

.

,

.
Уравнение регрессии:

.
Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:
Линейный коэффициент корреляции находится в границах:

Связь умеренная, обратная.
Определяем коэффициент детерминации, характеризует долю дисперсии результативного признака
у, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака:
Вариация результата на 99,7% объясняется вариацией фактора
х. Подставляя в уравнение регрессии фактические значения
х, определим теоретические (расчетные) значения

. Найдем величину
средней ошибки аппроксимации 
:

как высчитать /у-ух/
В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 0,8%.
Вывод. Ошибка аппроксимации показывает хорошее соответствие расчетных и фактических данных.
Рассчитаем F-критерий:
Вывод. Из проделанных вычислений можно сделать вывод, на долю вариации
x в регрессии приходится 99,4%, уровень значимости на 0,05.

, тогда

.
Поскольку

, следовательно, уравнение регрессии статистически значимое.
1б. Построению степенной модели

предшествует процедура линеаризации переменных. В примере линеаризации производится путем логарифмирования обеих частей уравнения:
где
Таблица 1.3
Рассчитаем С и b:
Получим линейное уравнение:
Выполним его потенцирование, получим:

.

Подставляя в данное уравнение фактические значения
x, получаем теоретические значения результата. По ним рассчитываются показатели: тесноты связи – индекс корреляции

и среднюю ошибку аппроксимации

:
Вывод. Характеристика степени модели указывает, что она несколько лучше линейной функции описывает взаимосвязь.

Нелинейной коэффициент корреляции находится в границах:

.
Вывод. Из проделанных вычислений можно сделать вывод, на долю вариации
x в регрессии приходится 94,3%, уровень значимости на 0,05.

, тогда

.
Поскольку

, следовательно, уравнение регрессии статистически значимое.
1в. Поступление уравнения показательной кривой

предшествует процедура линеаризации переменных при логарифмировании обеих частей уравнения:
где
Таблица 1.4
Значение параметров регрессии
А и
В составили:
Получено линейное уравнение:
Произведем потенцирование полученного уравнения и запишем его в обычной форме:
Тесноту связи оцениваем через индекс корреляции

:
Вывод. Связь тесная.

, что говорит о повышенной ошибке аппроксимации, но в допустимых пределах. Показательная функция чуть хуже, чем степенная, она описывает изучаемую зависимость.
.
Вывод. Из проделанных вычислений можно сделать вывод, на долю вариации x в регрессии приходится 94,3%, уровень значимости на 0,05.

, тогда

.
Поскольку

, следовательно, уравнение регрессии статистически значимое.
1г. Уравнение равносторонней гиперболы

линеаризуется при замене:
. Тогда
Таблица 1.5
Значение параметров регрессии
a и
b:
Получено линейное уравнение:
Индекс корреляции:
Вывод. 
. По уровню равносторонней гиперболы получена наибольшая оценка тесноты связи :

(по сравнению с линейной, степенной и показательной регрессиями).

остается на допустимом уровне:

Вывод. Из проделанных вычислений можно сделать вывод, на долю вариации
x в регрессии приходится 94%, уровень значимости на 0,05.

, тогда

.
Поскольку

, следовательно, уравнение регрессии не может быть статистически значимым.
ЗАДАЧА 2.
Исходные данные приведены в таблице 2.1.
По данным таблице 2.1 требуется:
1.Построить линейное уравнение парной регрессии
y от
x. 2.Рассчитать линейные коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации.
3.Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции.
4.Выполнить прогноз заработной платы
y при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума
x, составляющем 107% от среднего уровня.
5.Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный капитал.
Таблица 2.1
Номер региона | Средний прожиточный минимум в день одного трудоспособного, руб., x | Среднедневная заработная плата, руб., y |
1 | 2 | 3 |
1 | 73,0 | 139,0 |
2 | 68,0 | 142,0 |
3 | 74,0 | 148,0 |
4 | 77,0 | 146,0 |
5 | 69,0 | 156,0 |
6 | 80,0 | 162,0 |
7 | 79,0 | 160,0 |
8 | 82,0 | 169,0 |
9 | 86,0 | 168,0 |
10 | 85,0 | 171,0 |
Решение. Для оценки
статистической значимости коэффициента регрессии и корреляции рассчитывается
t- критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Выдвигается гипотеза

о случайной природе показателей, т.е. о незначимом их отличии от нуля. Оценка значимости коэффициентов регрессии и корреляции с помощью
t- критерия Стьюдента проводится путем сопоставления их значений с величиной случайной ошибки.
Случайные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции определяется по формулам:
Сравнивая фактическое и критическое (табличное) значение
t – статистики –

и

– принимаем или отвергаем гипотезу

.
Связь между F- критерием Фишера и
t – статистикой Стьюдента выражается равенством:
Если

<

, то

отклоняется, т.е.
a, b и

неслучайно отличается от нуля и сформировались под влиянием систематически действующего фактора
x. Если

>

, то гипотеза

не отклоняется и признается случайная природа формирования
a, b и

.
Для расчета доверительного интервала определяем
придельную ошибку
для каждого показателя:
Формулы для расчета
доверительных интервалов имеют следующий вид:
Если в границы доверительного интервала попадает ноль, т.е. нижняя граница отрицательна, а верхняя положительна, то оцениваемый параметр принимается нулевым, так как он не может одновременно принимать и положительное, и отрицательное значение.
Прогнозное значение

определяется путем подстановки в уравнении регрессии

соответствующего (прогнозного) значения

. Вычислим среднюю стандартную ошибку прогноза

:
где
Затем строим доверительный интервал прогноза
где

.
Для расчета параметров уравнения линейной регрессии строим расчетную таблицу (табл. 2.2).
Таблица 2.2

Получено уравнение регрессии:

.
С увеличением прожиточного минимума на 1 руб. средняя заработная плата возрастет в среднем на
1,52 руб.
Тесноту линейной связи оценит коэффициент корреляции:
Это означает, что 74% вариации заработной платы
(у) объясняется вариацией фактора
x – среднедушевого прожиточного минимума. Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации:
Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как

не превышает 8-10%.
Оценку статистической значимости параметров регрессии проведем с помощью t-статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала каждого из показателей.
Выдвинув гипотезу

о статистически незначимом отличии показателей от нуля:

для числа степеней свободы состоит 2,23.
Определим случайные ошибки
Тогда
Фактические значения t-статистически превосходят табличного значения:
поэтому гипотеза

отклоняется, т.е.
a,

неслучайно отличается от нуля, а статистически значимы.
Рассчитаем доверительный интервал для
a,b. Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:
Доверительные интервалы:
Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что в границы доверительного интервала попадает ноль, т.е. нижняя граница отрицательна, а верхняя положительна, то оцениваемый параметр принимается нулевым, так как он не может одновременно принимать и положительное, и отрицательное значение.
Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение прожиточного минимума составит:
тыс. руб., тогда прогнозное значение прожиточного минимума составит:

тыс.руб.
Ошибка прогноза составит:
Предельная ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет превышена, составит:
Доверительный интервал прогноза:
Выполненный прогноз среднемесячной заработной платы оказывается надежным
(р=1-а=1-0,05=0,95), но неточным, так как диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала

составляет 1,26 раза:
ЛИТЕРАТУРА
Елисеева И.И., Курышева С.В., Горденко Н.М. и др. Эконометрика/Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Изд-во «Финансы и статистика», 2002.
Елисеева И.И., Курышева С.В., Горденко Н.М. и др. Практикум по эконометрике/Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Изд-во «Финансы и статистика», 2002.
Доугерти К. Ведение в эконометрику. – М.: Изд-во «Финансы и статистика», 1999.
Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика: Начальный курс. – М.: Издательство «Дело», 1998.