Контрольная работа по эконометрике - файл n1.doc

Контрольная работа по эконометрике
скачать (2612.5 kb.)
Доступные файлы (1):

n1.doc

2613kb.

04.12.2012 03:23

скачать

n1.doc

СОДЕРЖАНИЕ

1. 
   Задача 1……………………………………………………………………….3
   
2. 
   Задача 2 .…………….………………………………………………….…....11
   

Литература …………………….…….………………………………………….17

1. 
   ЗАДАЧА 1.
   

Целью работы является определение аналитических зависимостей между параметрами экономических моделей с помощью линейной и нелинейной регрессии.

Исходные данные приведены в таб. 1.1.

По данным таб. 1.1 требуется:

1. 
   Для характеристики зависимости y от x рассчитать параметры следующих функций:
   

а) линейной;

б) степенной;

в) показательной;

г) равносторонней гиперболы.

2. Оценить каждую модель через среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера.

Таблица 1.1

Номер региона	Расходы на покупку продовольственных товаров в общих расходах, %, У	Среднедневная заработная плата одного рабочего, руб., X
1	2	3
1	49,7	59,2
2	50,5	59,0
3	51,9	54,2
4	54,4	55,6
5	57,3	53,1
6	64,8	57,8
7	49,0	60,9

Решение.

Парная регрессия – уравнение связи двух переменных y и x:

,

где y – зависимая переменная (результативный признак);

x – независимая, объясняющая переменная (признак-фактор).

Различают линейные и нелинейные регрессии.

Линейная регрессия: .

Нелинейные регрессии делятся на два класса: регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, и регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.

Регрессии, нелинейные по объясняющим переменным:

• 
  полиномы разных степеней
  
• 
  равносторонняя гипербола
  

Регрессии, нелинейные по оцениваемым признакам:

• 
  Степенная
  
• 
  Показательная
  
• 
  Экспоненциальная
  

Построение уравнения регрессии сводится к оценке ее параметров. Для оценки параметров регрессии, линейных по параметрам, используют метод наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений признака у от теоретических минимальна, т. е.



Для линейных и нелинейных уравнений, приводимых к линейным, решается следующая система относительно a и b:



Можно воспользоваться готовыми формулами, которые вытекают из этой системы:

.

Тесноту связи изучаемых явлений оценивает линейный коэффициент парной корреляции для линейной регрессии :



и индекс корреляции - для нелинейной регрессии :

.

Оценку качества построенной модели даст коэффициент (индекс) детерминации, а также средняя ошибка аппроксимации.

Средняя ошибка аппроксимации – среднее отклонение расчетных значений от фактических:

.

Допустимый предел значения - не более 8-10%.

Средний коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат у от своей средней величины при изменении фактора x на 1% от всего среднего значения:

.

Задача дисперсионного анализа состоит в анализе дисперсии зависимой переменной:

,

- общая сумма квадратов отклонений;

- сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией («объясненная» или «факторная»);

- остаточная сумма квадратов отклонений.

Долю дисперсии, объявляемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака у характеризует коэффициент (индекс) детерминации :

.

Коэффициент детерминации – квадрат коэффициента или индекса корреляции F-тест – оценивание качества уравнения регрессии – состоит в проверке гипотезы о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического и критического (табличного) значений F-критерия Фишера. определяется из соотношения значений факторной и остаточной дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы:

.

где п – число единиц совокупности;

т – число параметров при переменных x.

- это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровня значимости а. Уровень значимости а – вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна. Обычно а принимается равной 0,05 или 0,01.

Если < , то - гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность. Если > , то – гипотеза не отклоняется и признается статистическая незначимость, ненадежность уровня регрессии.

1а. Для расчета параметров a и b линейной регрессии .

Решаем систему нормальных уравнений относительно a и b:



По исходным данным рассчитываем



Таблица 1.2


, .

,

.

Уравнение регрессии: .
Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:



Линейный коэффициент корреляции находится в границах: Связь умеренная, обратная.

Определяем коэффициент детерминации, характеризует долю дисперсии результативного признака у, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака:



Вариация результата на 99,7% объясняется вариацией фактора х. Подставляя в уравнение регрессии фактические значения х, определим теоретические (расчетные) значения . Найдем величину средней ошибки аппроксимации :

как высчитать /у-ух/

В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 0,8%.

Вывод. Ошибка аппроксимации показывает хорошее соответствие расчетных и фактических данных.

Рассчитаем F-критерий:



Вывод. Из проделанных вычислений можно сделать вывод, на долю вариации x в регрессии приходится 99,4%, уровень значимости на 0,05.

, тогда .

Поскольку , следовательно, уравнение регрессии статистически значимое.
1б. Построению степенной модели предшествует процедура линеаризации переменных. В примере линеаризации производится путем логарифмирования обеих частей уравнения:



где

Таблица 1.3



Рассчитаем С и b:



Получим линейное уравнение:

Выполним его потенцирование, получим: .

Подставляя в данное уравнение фактические значения x, получаем теоретические значения результата. По ним рассчитываются показатели: тесноты связи – индекс корреляции и среднюю ошибку аппроксимации :



Вывод. Характеристика степени модели указывает, что она несколько лучше линейной функции описывает взаимосвязь.

2. 
   
   

Нелинейной коэффициент корреляции находится в границах: .

Вывод. Из проделанных вычислений можно сделать вывод, на долю вариации x в регрессии приходится 94,3%, уровень значимости на 0,05.

, тогда .

Поскольку , следовательно, уравнение регрессии статистически значимое.
1в. Поступление уравнения показательной кривой предшествует процедура линеаризации переменных при логарифмировании обеих частей уравнения:





где

Таблица 1.4



Значение параметров регрессии А и В составили:



Получено линейное уравнение:

Произведем потенцирование полученного уравнения и запишем его в обычной форме:



Тесноту связи оцениваем через индекс корреляции:



Вывод. Связь тесная. , что говорит о повышенной ошибке аппроксимации, но в допустимых пределах. Показательная функция чуть хуже, чем степенная, она описывает изучаемую зависимость.

2. 
   .
   
3. 
   Вывод. Из проделанных вычислений можно сделать вывод, на долю вариации x в регрессии приходится 94,3%, уровень значимости на 0,05.
   

, тогда .

Поскольку , следовательно, уравнение регрессии статистически значимое.

1г. Уравнение равносторонней гиперболы линеаризуется при замене: . Тогда

Таблица 1.5



Значение параметров регрессии a и b:



Получено линейное уравнение:

Индекс корреляции:





Вывод. . По уровню равносторонней гиперболы получена наибольшая оценка тесноты связи : (по сравнению с линейной, степенной и показательной регрессиями). остается на допустимом уровне:

2. 
   
   

Вывод. Из проделанных вычислений можно сделать вывод, на долю вариации x в регрессии приходится 94%, уровень значимости на 0,05.

, тогда .

Поскольку , следовательно, уравнение регрессии не может быть статистически значимым.

2. 
   ЗАДАЧА 2.
   

Исходные данные приведены в таблице 2.1.

По данным таблице 2.1 требуется:

1.Построить линейное уравнение парной регрессии y от x.

2.Рассчитать линейные коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации.

3.Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции.

4.Выполнить прогноз заработной платы y при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума x, составляющем 107% от среднего уровня.

5.Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный капитал.

Таблица 2.1

Номер региона	Средний прожиточный минимум в день одного трудоспособного, руб., x	Среднедневная заработная плата, руб., y
1	2	3
1	73,0	139,0
2	68,0	142,0
3	74,0	148,0
4	77,0	146,0
5	69,0	156,0
6	80,0	162,0
7	79,0	160,0
8	82,0	169,0
9	86,0	168,0
10	85,0	171,0

Решение.

Для оценки статистической значимости коэффициента регрессии и корреляции рассчитывается t- критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Выдвигается гипотеза о случайной природе показателей, т.е. о незначимом их отличии от нуля. Оценка значимости коэффициентов регрессии и корреляции с помощью t- критерия Стьюдента проводится путем сопоставления их значений с величиной случайной ошибки.



Случайные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции определяется по формулам:



Сравнивая фактическое и критическое (табличное) значение t – статистики – и – принимаем или отвергаем гипотезу .

Связь между F- критерием Фишера и t – статистикой Стьюдента выражается равенством:



Если < , то отклоняется, т.е. a, b и неслучайно отличается от нуля и сформировались под влиянием систематически действующего фактора x. Если > , то гипотеза не отклоняется и признается случайная природа формирования a, b и .

Для расчета доверительного интервала определяем придельную ошибку для каждого показателя:



Формулы для расчета доверительных интервалов имеют следующий вид:



Если в границы доверительного интервала попадает ноль, т.е. нижняя граница отрицательна, а верхняя положительна, то оцениваемый параметр принимается нулевым, так как он не может одновременно принимать и положительное, и отрицательное значение.

Прогнозное значение определяется путем подстановки в уравнении регрессии соответствующего (прогнозного) значения . Вычислим среднюю стандартную ошибку прогноза :



где

Затем строим доверительный интервал прогноза



где .

1. 
   Для расчета параметров уравнения линейной регрессии строим расчетную таблицу (табл. 2.2).
   

Таблица 2.2




Получено уравнение регрессии: .

С увеличением прожиточного минимума на 1 руб. средняя заработная плата возрастет в среднем на 1,52 руб.

2. 
   Тесноту линейной связи оценит коэффициент корреляции:
   

Это означает, что 74% вариации заработной платы (у) объясняется вариацией фактора x – среднедушевого прожиточного минимума. Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации:



Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как не превышает 8-10%.

3. 
   Оценку статистической значимости параметров регрессии проведем с помощью t-статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала каждого из показателей.
   

Выдвинув гипотезу о статистически незначимом отличии показателей от нуля: для числа степеней свободы состоит 2,23.

Определим случайные ошибки





Тогда



Фактические значения t-статистически превосходят табличного значения:





поэтому гипотеза отклоняется, т.е. a, неслучайно отличается от нуля, а статистически значимы.

Рассчитаем доверительный интервал для a,b. Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:



Доверительные интервалы:





Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что в границы доверительного интервала попадает ноль, т.е. нижняя граница отрицательна, а верхняя положительна, то оцениваемый параметр принимается нулевым, так как он не может одновременно принимать и положительное, и отрицательное значение.

4. 
   Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение прожиточного минимума составит: тыс. руб., тогда прогнозное значение прожиточного минимума составит:
   

тыс.руб.

5. 
   Ошибка прогноза составит:
   

Предельная ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет превышена, составит:



Доверительный интервал прогноза:



Выполненный прогноз среднемесячной заработной платы оказывается надежным (р=1-а=1-0,05=0,95), но неточным, так как диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала составляет 1,26 раза:

---