Примеры решения задач по механике - файл n1.doc

Примеры решения задач по механике
скачать (174.1 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc717kb.23.12.2002 19:48скачать

n1.doc

Две частицы движутся с ускорением в однородном поле тяжести. В начальный момент времени частицы находились в одной точке и имели скорости V1 и V2 направленные горизонтально и в противоположенные стороны. Найти расстояние между частицами в момент когда векторы окажутся взаимно перпендикулярными.


Дано: |1(t)|= V1, |2(t)| = V2

Угол между 1 и 2 в момент

времени t равен

1 и 2 в момент времени t0 антинаправлены




O x

mg 2
1(t) 2(t)

2(t)|

y

Найти:


Решение: Свяжем систему координат с начальной точкой нахождения частиц:

V1x(t)= |1|

V1y(t)= V1y(t 0)+gt

V2x(t)= V1x(t 0)= |2|

V2y(t)= V2y(t 0)+gt

Запишем условие перпендикулярности 1 и 2 так:

|1(t)|2+|2(t)| 2 = (V1x(t)- V2x(t)) 2+(V1y(t)- V2y(t)) 2=

=(V1x(t 0)- V2x(t0)) 2+ (V1y(t 0)+ gt-V2y(t0)-gt) 2
V1x2 (t)+V1y2 (t)+V2x2 (t)+V2y2 (t)= V1x2 (t0)+2 V1x(t 0) V2x(t0)+ V2x2 (t0)
V1x2 (t0)+V1y2 (t0)+2V1y(t0)gt+g2t2+V2x2 (t0)+V22y(t 0)+V2y(t0)gt+g2t2= V1x2 (t0)- 2V1x(t0) V2x(t0)+ V22x(t0)
pg2t2=-2 V1x (t0) V2x (t0)

t=

Ответ:

Полый шар (внешний радиус R1, внутренний R2), сделанный из материала плотностью

1 плавает на поверхности жидкости плотностью2. Какова должна быть плотность вещества 3, которым следует заполнить внутреннюю плотность шара, чтобы он находился в безразличном равновесии внутри жидкости?
Дано: Решение:




1,2

,

R2 рис





31

Шар будет находится во взвешен-

ном состоянии внутри жидкости, если его

масса (вес) будет равна массе (весу) жидкости,

объем которой равен объему шара.

Запишем закон Архимеда:

;

В данном случае для тела, находящегося во взвешен-

ном состоянии:

;



Выразим из уравнения плотность жидкости:





Ответ:


Твердое тело начинает вращаться вокруг неподвижной оси с угловым ускорением =a*t, где a=2,0*10-2 рад/с3. Через сколько времени после начала вращения вектор полного ускорения произвольной точки тела будет составлять угол =600 с ее вектором скорости?
Д

ано:
Решение:



=a*t

a=2,0*10-2 рад/с3





=600

t

- ?


Угловое ускорение  связано с угловой скоростью 



Вектор полного ускорения w раскладывается на две составляющие : тангенсальное ускорение w и нормальное ускорение wn





Вычисления


Ответ: 7 с

Радиус вектор точки А относительно начала координат меняется со временем по закону , где  - сonst. Найти уравнение траектории, скорость и ускорение этой точки.

Дано:

A




Найти: y,V,





Решение:


Ответ:






Из пушки выпустили последовательно два снаряда со скоростью v0, первый под углом , второй под углом  к горизонту (азимут один и тот же ). Найти интервал времени между выстрелами, при котором снаряды столкнутся друг с другом.

Дано:

0






Y




X1=X2

Найти:

Свяжем систему отсчета с пушкой

X0=0, Y0=0

X2=U0cost

Y1=U0sint

Учитывая Y1 =Y2, X1= X2

Запишем:














Ответ:

Точка движется по окружности со скоростью постоянная величина. Найти ее полное ускорение, в момент когда она пройдет n, n1 длины окружности после начала движения.

Дано:








R





O








Найти:

По условию задачи



Обозначим что:



Следовательно:





Из вышеприведенных выражений следует:


Ответ:


В установке показанной на рис., массы тел равны m0, m1, m2 . Массы блока и нитей пренебрежимо малы, трения в блоке нет. Найти ускорение с которым опускается тело m0 и силу натяжения нити, связывающую тела m1 и m2 , если коэффициент трения между этими телами и горизонтальной поверхностью равен k.

Дано:



k










T
g xx

Найти: a











Ответ: ,

Небольшое тело пустили снизу вверх по наклонной плоскости, составляющей угол  с горизонтом. Найти коэффициент трения, если время подъема оказалось в n раз меньше времени спуска.

Дано:



















x

Найти:


Решение:

Для подъёма:



Для спуска:





















Ответ:

Через блок прикрепленный к потолку кабины лифта, перекинута нить, к концам которой привязаны грузы m1 и m2. Кабина начинает подниматься с ускорением а. Пренебрегая массами блока и нити, а также трением найти ускорение груза m1 относительно кабины, силу с которой блок действует на потолок кабины.

Дано: m1, m2 , а






















a1, F-?



Свяжем систему отсчёта с лифтом,

Запишем второй закон ньютона с учётом знаков, для обоих тел:
пусть

Ответ:

Катер массы m движется по озеру со скоростью v0. В момент времени t=0 выключили его двигатель. Считая силу сопротивления пропорциональной скорости катера F = - r v, найти время движения катера с выключенным двигателем и его полный путь до остановки.

Дано:

m

V0






Найти:

Решение:

По второму закону Ньютона:

Т.К. по условию , 2-й закон Ньютона будет иметь вид:

; (1)

из (1) следует:



из (1) следует:




(3)

принимая во внимание (2) и (3) получаем:



логарифмируем:



при ,

Ответ: , при ,

Небольшое тело поместили на вершину гладкого шара радиуса R. Затем шару сообщили в горизонтальном направлении постоянное ускорение а0 , и тело начало скользить вниз. Найти скорость тела относительно шара в момент отрыва.

Дано:

R











R





Найти: V

Решение: Переведем в систему отсчета связанную с шаром. В этой системе в начальный момент времени

Воспользуемся законом сохранения энергии.

(1)

V-скорость отрыва.

Заметим 2-рой закон Ньютона

(V) где -центростремительное ускорение

спроецируем Сx на 0x

(3)
(1)(3)


m


(4)-(1)





Ответ:

На экваторе с высоты H свободно падает тело без начальной скорости относительно Земли. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти, на какое расстояние и в какую сторону отклонится от вертикали тело при падении.

Дано:

H



R-радиус Земли




H
L=R



R

Найти: l,отклонение от вертикали при падении

Решение:



Так как Земля двигаются с запада на восток, то тело упадет на l западней.

Ответ:


Небольшая шайба А соскакивает без начальной скорости с горки высотой H, имеющей горизонтальный трамплин. При какой высоте h трамплина шайба пролетит расстояние s, чему оно равно?

Дано:

H

h





Найти: S


Решение: Запишем закон сохранения энергии





h= S= t



Найдем максимум:





Ответ: S=H

Летевшая горизонтально пуля массой m попала, застряв в тело массы M , которое подвешено на двух одинаковых нитях длиной l . В результате нити отклонились на угол . Считая m<

Дано:

M

m

l



m<






0



m



Найти: Vп

Решение:

Запишем Закон Сохранения Импульса:

(1)

где V-скорость: с которой система состоящая пули и тела будет двигаться сразу

(2)

(3)

(3) (2): (4)

(4)(1): (5)

Закон сохранения энергии для начального отдела.

Q ,V-внутренняя энергия

(4)(6) (6)

(5) (7)

(7): (8)

Найдем относительную долю начальной кинетической энергии, которая перешла во внутреннюю.

(9)

Так как m<Ответ:

С

вершины гладкой сферы радиусом R=1,00 м начинает соскальзывать небольшое тело массы m=30 кг. Сфера вращается с постоянной угловой скоростью =6,0 рад/с вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр. Найти в системе отсчета, связанной со сферой, центробежную силу инерции и силу Кориолиса в момент отрыва тела от поверхности.


h

N



Д
aн

a

Fцен.ин.

L


ано:

=6,0 рад/с

R=1,00 м

m=30 кг

1
mg

V1

) Fцен.ин-?

2) FКориолиса-?
1)

Для нахождения центробежной инерции запишем систему для нормального и тангенсального ускорений:

maн=mgsin - N,

Так как в момент отрыва N=0, то система будет выглядеть

ma = mgcos; будет выглядеть следующим образом:


maн=mgsin,



ma = mgcos;

Учитывая, что нормальное ускорение равно отношению квадрата cкорости тела к радиусу, то запишем:
V12=Rgsin;
Запишем закон изменения кинетической энергии для данного тела:

Так как начальная скорость была равна 0, то уравнение примет вид:

V21=2gh;

V21=2g (R-Rsin);

2gR-2gRsin=Rgsin;

sin=2/3;

=0

Так как sin=2/3, то V21=2Rg/3. По определению Fцен.инерции=mRcos2, то в нашем случае она будет равна mR25/9.



Так как тело вращается по окружности с радиусом L и cos = (1-sin2) = 5/9

Запишем конечную формулу для центробежной силы инерции:

Fцен.инерции= mRcos2

Вычисляя силу инерции получаем, что

Fцен.инерции=30 кг 36 (рад/с)2 1 м 5/9=805 Н

2
V2
)


V2 = MD = Rcos;

V


M

a2Кор

a1Кор

D
21= gR2/3;

Учитывая, что относительная скорость равна

векторной сумме V1 и V2 запишем:



Подставляя значения в конечную формулу получим, что

aКор=2/336 (рад/с)21м5+80 м/с2/336 (рад/с)21м = 57.5 м/с2
Ответ: Fцен.инерции=805 Н, aКор= 57.5 м/с2

Тело бросили с поверхности Земли под углом  к горизонту с начальной скоростью v0. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти:

А) время движения;

Б) максимальную высоту подъема и горизонтальную дальность полета; при каком значении угла  они будут равны друг другу.


Дано: Решение:







y

v0 ymax



v0y v0

tп-?

y



max-?

xmax-? 

р-? v0x xmax x
Д

вижение данного тела можно представить как суперпозицию горизонтального равномерного движения по оси х со скоростью vx и движения тела, брошенного вертикально вверх по оси y со скоростью vy.



З

апишем уравнения движения вдоль осей





В момент падения тела на Землю координата y=0. Приравняв y нулю, из уравнения ( 3 ) найдем время движения



Значение времени t1=0 соответствует точке бросания тела. Таким образом, время движения


При подъеме тела значение скорости vy уменьшается и при ymax равно нулю. Из уравнения (1), приняв vy=0, находится время подъема тела на максимальную высоту



Подставив время подъема tпод в формулу (3), найдем максимальную высоту подъема тела



Дальность полета определяется, если в уравнение (2) вместо t подставить время движения



Приравняем xmax и ymax



При =00, тело не оторвется от Земли и xmax=ymax=0.

Значит р=2=760



Ответ:


Пушка массы M начинает свободно скользить вниз по гладкой поверхности,

составляющей угол ? с горизонтом. Когда пушка прошла путь , произвели

выстрел, в результате которого снаряд вылетел с импульсом в горизонтальном

направлении, а пушка остановилась. Пренебрегая массой снаряда по сравнению

с массой пушки, найти продолжительность выстрела.




Д
A




ано: Решение:



, M, ?


h



















Запишем теорему об изменении кинетической энергии для данного тела :

(1)

Так как начальная скорость пушки была равна 0, то уравнение (1) запишется в виде:

; Выразив отсюда скорость получим, что илиесли выразить h из прямоугольного треугольника.

-скорость пушки к моменту выстрела.

; Выразив отсюда t получим



Ответ:


Р
Fт
акету массой М запускают вертикально. Скорость истечения газов из сопла двигателя равна V. При каком расходе топлива (массы в единицу времени) сила тяги двигателя будет достаточна, чтобы: а) уравновесить действующую на ракету силу тяжести; б) сообщить ракете ускорение а = 19.6 м/с2 .


Fт

а



Дано: 1) 2

M
V

?
mg

mg

1) Если расход топлива равен ?, а скорость истечения газов из сопла V, то за единицу времени ракете сообщается импульс ?V, который, согласно законам Ньютона, равен реактивной силе. Поэтому:

MּdV/dt = Fт – ?V2;

0 = Fт – ?V2;

Fт=mּg;

? = mּg/ V2;

2) Mּa = Fт – ?V; (1)

Выражая из (1) ? получим, что ? =

? =;

Ответ: ? = mּg/ V2; ? = (Fт– Mּa)/V; ? = (mּg – 19.6ּM)/V;

В установке массы тел равны mo, m1, m2, массы блока и нитей пренебрежимо малы и

трения в блоке нет. Найти ускорение , с которым опускается тело mo, и натяжение нити, связывающей тела m1, m2, если коэффициент трения между этими телами и горизонтальной поверхностью равен k. Исследовать возможные случаи.





Д

ано: Решение:

m

o, m1, m2

k









- ?



- ?






Ответ:

На наклонную плоскость, составляющую угол ? с горизонтом, поместили два

соприкасающихся бруска 1 и 2. Массы брусков равны m1, m2, коэффициенты

трения между наклонной плоскостью и этими брусками – соответственно k1,k2,

причем k1 больше k2. Найти: а) Силу взаимодействия между брусками в процессе

движения;

б) Минимальное значение угла, при котором начинается скольжение.
Д





ано: Решение:

m1, m2, ?

k

1, k2

k
?




1>k2

Fвз, ?min



Для решения задачи распишем второй закон Ньютона для данных тел:







Это и будет ?min при котором начинается скольжение







Ответ:


Твердое тело вращается с постоянной угловой скоростью 0=0,50 рад/с вокруг горизонтальной оси АВ. В момент t=0 ось АВ начали поворачивать вокруг вертикали с постоянным угловым ускорением 0=0,10 рад/с2. Найти угловую скорость и угловое ускорение тела через t=3,5 c.
Дано Решение

0=0,50 рад/с 1  1

0=0,10 рад/с2

t=3,5 c

- ?

- ? 0 0

Из рисунка видно, что находится как геометрическая сумма векторов .



Угловое ускорение



Вычисления




Ответ :
Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси так, что его угловая скорость зависит от угла поворота  по закону =0-a, где 0 и a – положительные постоянные. В момент времени t=0 угол =0. Найти зависимость от времени:

А) угла поворота;

Б) угловой скорости.
Дано Решение




=0-a

(t) - ?

(t) - ?



0



Продифференцируем данное уравнение по t



Учитывая, что , получим



Интегрируем и вычисляем произвольную постоянную интегрирования из условия, что при t=0 -> =0 -> =0.



Ответ :


Учебный материал
© bib.convdocs.org
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации