Численные методы решения нелинейных уравнений - файл n1.doc

Численные методы решения нелинейных уравнений
скачать (68.4 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc484kb.24.03.2010 01:41скачать

n1.doc



Министерство образования Российской Федерации

САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени академика С.П.КОРОЛЁВА



Факультет заочного обучения

Специальность «Менеджмент»




ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Курсовая работа
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ


САМАРА, 2005



Содержание
1. Решение квадратного уравнения

1.1. Определение корней квадратного уравнения аналитическим способом

1.2. Построение графика разрешающей функции в окрестности наибольшего

из корней

1.3. Численное определение наибольшего корня с использованием простейшей

итерационной формулы первого вида

1.4. Расчёт базисной и цепной погрешностей итерационного процесса

первого вида

1.5. Графическое представление итерационного процесса первого вида

1.6. Численное определение корня с использованием простейшей

итерационной формулы второго вида

1.7. Расчёт базисной и цепной погрешностей итерационного процесса

второго вида

1.8. Графическое представление итерационного процесса второго вида

1.9. Численное решение по методу Ньютона-Рафсона

1.10. Расчёт базисной и цепной погрешностей итерационного процесса.

1.11. Графическое представление итерационного процесса по методу

Ньютона-Рафсона

1.12. Заключение о сходимости использованных итерационных процессов

решения квадратного уравнения
2. Решение кубического уравнения

2.1. Определение корня уравнения аналитическим способом по формулам

Кардано

2.2. Построение графика разрешающей функции в окрестности

найденного корня

2.3. Численное определение корня уравнения с использованием

итерационной формулы первого вида

2.4. Расчёт базисной и цепной погрешностей итерационного процесса

первого вида

2.5. Графическое представление реализованного итерационного процесса

первого вида

2.6. Численное определение корня с использованием итерационной формулы

второго вида

2.7. Расчёт базисной и цепной погрешностей итерационного процесса

второго вида

2.8. Графическое представление итерационного процесса второго вида

2.9. Численное решение по методу Ньютона-Рафсона

2.10. Расчёт базисной и цепной погрешностей итерационного процесса

по методу Ньютона-Рафсона

2.11. Графическое представление итерационного процесса по методу

Ньютона-Рафсона

2.12. Заключение о сходимости использованных итерационных процессов

решения кубического уравнения.

Получение исходных данных
Для выбора исходных данных в соответствии методическими указаниями используются три последние цифры номера собственной зачётки, которые составляют
№зач = 236
Программное обеспечение генерации исходных данных при данном номере зачётки даёт следующий результат:
1. Коэффициенты квадратного уравнения


а = -1,1407

b = -2,2971

c = 23,4258


2. Коэффициенты кубического уравнения



a = 0,0136

b = 0,0027

c = 0,7574

d = -15,7600

1. РЕШЕНИЕ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ
1.1. Определение корней квадратного уравнения аналитическим способом

Используя формулу аналитического решения


получим следующие значения корней уравнения


x1 = -5,6491

x2 = 3,6353


1.2. Построение графика разрешающей функции в окрестности наибольшего

из корней
Воспользовавшись методическими рекомендациями, составим таблицу расчётных значений разрешающей функции в окрестности наибольшего из корней
Таблица 1 – Расчёт значений разрешающей функции


i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

xi

2,9082

3,0536

3,1990

3,3444

3,4898

3,6353

3,7806

3,926

4,0714

4,2168

4,3622

F(xi)

7,098

5,775

4,4039

2,9846

1,5171

0,000

-1,562

-3,17

-4,835

-6,544

-8,300


При расчёте значений аргумента здесь использованы следующие формулы



График разрешающей функции представлен ниже на рисунке 1.


Рис.1. Разрешающая функция квадратного уравнения

1.3. Численное определение наибольшего корня с использованием простейшей

итерационной формулы первого вида
Воспользовавшись итерационной формулой первого вида


выполним вычисления и приведём полученные результаты в таблице 2.
Таблица 2 – Итерация первого вида


n

x (n)

?баз, %

?цеп, %

0

2,9082

-20,001

-

1

5,998

64,993

51,5138

2

-7,667

-310,904

178,2313

3

-18,992

-622,432

59,63

4

-168,917

-4746,576

88,756


Расчёт ограничим четвёртой итерацией, так как очевидно, что процесс расходящийся.

1.4. Расчёт базисной и цепной погрешностей итерационного процесса

первого вида
Базисные и цепные погрешности текущих итераций приведены в таблице 2, они определяются по формулам


1.5. Графическое представление итерационного процесса первого вида
Графическая иллюстрация реализованного итерационного процесса приведена на рисунке 2.


Аналитическое решение

Численное решение
Рис.2. Итерационный процесс первого вида

1.6. Численное определение корня с использованием простейшей

итерационной формулы второго вида
Воспользовавшись итерационной формулой второго вида


Выполним вычисления и приведём полученные результаты в таблице 3.
Таблица 3 – Итерация второго вида


n

x (n)

?баз, %

?цеп, %

0

2,9082

-20,001

-

1

3,8314

5,3943

24,09

2

3,5806

-1,5047

-7,0044

3

3,6504

0,4153

1,9121

4

3,6311

-0,1155

-0,5315

5

3,6365

0,033

0,1485

6

3,6350

-0,0082

-0,0412

7

3,6354

0,0027

0,0110

8

3,6353

0,000

-0,0027

9

3,6353

0,000

0,000

10

3,6353

0,000

0,000


Из приведенной таблицы 3 видно, что более десяти итераций здесь делать не требуется.

1.7. Расчёт базисной и цепной погрешностей итерационного процесса

второго вида
Базисные и цепные погрешности текущих итераций приведены в таблице 3, анализируя их значения можно сделать вывод о достаточно быстрой сходимости используемого итерационного процесса.

1.8. Графическое представление итерационного процесса второго вида
Графическая иллюстрация реализованного итерационного процесса приведена на рис.3.

Аналитическое решение

Численное решение
Рис.3. Итерационный процесс второго вида

1.9. Численное решение по методу Ньютона-Рафсона
Итерационная формула метода Ньютона-Рафсона имеет следующий вид



Результаты расчёта итерационного процесса приведены в таблице 4.
Таблица 4 – Метод Ньютона-Рафсона


n

x (n)

F (n)

F`(n)

?баз, %

?цеп, %

0

2,9082

7,0977

-8,9318

-20,001

-

1

3,7028

-0,7197

-10,7446

1,8568

21,4594

2

3,6358

-0,0049

-10,5918

0,0137

-1,8427

3

3,6353

0,0000

-10,5907

0,0000

-0,0137

4

3,6353

0,0000

-10,5907

0,0000

0,0000



1.10. Расчёт базисной и цепной погрешностей итерационного процесса

Вычисленные погрешности итераций приведены в таблице 4, откуда видно, что процесс сходится на третьей итерации.

1.11. Графическое представление итерационного процесса по методу Ньютона-Рафсона
График итерационного процесса по методу Ньютона-Рафсона приведен на рисунке 4.

Аналитическое решение

Метод Ньютона-Рафсона
Рис.4. Метод Ньютона – Рафсона

1.12. Заключение о сходимости использованных итерационных процессов решения квадратного уравнения

Первый из рассмотренных итерационных процессов решения заданного квадратного уравнения оказался расходящимся. Метод Ньютона-Рафсона сходится быстрее, чем рассмотренный второй итерационный процесс.
2. РЕШЕНИЕ КУБИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ВИДА




2.1. Определение корня уравнения аналитическим способом


x0 = 8,7023


2.2. Построение графика разрешающей функции в окрестности найденного корня
Воспользовавшись методическими рекомендациями, составим таблицу расчётных значений разрешающей функции в окрестности найденного корня
Таблица 5 – Расчёт значений разрешающей функции


i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

xi

6,9618

7,309

7,658

8,006

8,354

8,7023

9,050

9,398

9,746

10,09

F(xi)

-5,767

-4,767

-3,694

-2,544

-1,315

0,000

1,397

2,887

4,470

6,150


При расчёте значений аргумента здесь использованы следующие формулы



График разрешающей функции представлен ниже на рисунке 5.



Рис.5. Разрешающая функция кубического уравнения

2.3. Численное определение корня уравнения с использованием итерационной формулы первого вида



Результаты расчёта сведены в таблицу 6.
Таблица 6 – Итерация первого вида


n

x (n)

?баз, %

?цеп, %

0

6,9618

-19,998

-

1

14,576

67,496

52,236

2

-34,850

-500,468

141,825

3

776,493

8822,848

104,488


2.4. Расчёт базисной и цепной погрешностей итерационного процесса первого вида

Расчёт текущих погрешностей, результаты которого приведены в таблице 6, показывает, что используется расходящийся процесс.


2.5. Графическое представление реализованного итерационного процесса первого вида


Аналитическое решение

Численное решение
Рис.6. Итерационный процесс первого вида

2.6. Численное определение корня с использованием итерационной формулы второго вида




Расчёт итерационного процесса сведен в таблицу 7.
Таблица 7 – Итерация второго вида


n

x (n)

?баз, %

?цеп, %

0

6,9618

-19,998

-

1

9,1317

4,9343

23,7622

2

8,5894

-1,2973

-6,3136

3

8,7321

0,3424

1,6342

4

8,6951

-0,0827

-0,4255

5

8,7047

0,0275

0,1103

6

8,7022

-0,0011

-0,0287

7

8,7028

0,0057

0,0069

8

8,7027

0,0046

-0,0011

9

8,7027

0,0046

0,0000



2.7. Расчёт базисной и цепной погрешностей итерационного процесса второго вида
Расчёт погрешностей итерационного процесса второго вида сведен в таблицу 7, из которой видно, что этот процесс имеет колебательный характер и сходится довольно медленно.
2.8. Графическое представление итерационного процесса второго вида

Аналитическое решение

Численное решение
Рис.7. Итерационный процесс второго вида


2.9. Численное решение по методу Ньютона-Рафсона



Результаты решения по методу Ньютона-Рафсона приведены ниже в таблице 8.
Таблица 8 – Метод Ньютона-Рафсона


n

x (n)

F (n)

F`(n)

?баз, %

?цеп, %

0

6,9618

-5,7674

2,7724

-20,000

-

1

9,0421

1,3634

4,1420

3,9047

23,0068

2

8,7129

0,0396

3,9017

0,1218

-3,7783

3

8,7027

0,0000

3,8944

0,0046

-0,1172

4

8,7027

0,0000

3,8944

0,0046

0,0000



2.10. Расчёт базисной и цепной погрешностей итерационного процесса по методу Ньютона-Рафсона

Расчёт погрешностей итерационного процесса, приведенный в таблице 8, показывает быструю сходимость метода Ньютона-Рафсона.
2.11. Графическое представление итерационного процесса по методу Ньютона-Рафсона

Аналитическое решение

Метод Ньютона-Рафсона
Рис.8. Метод Ньютона – Рафсона


2.12. Заключение о сходимости использованных итерационных процессов решения кубического уравнения
Очевидно, что метод Ньютона-Рафсона при решении данного кубического уравнения сходится быстрее, чем второй из рассмотренных методов, а первый метод оказался расходящимся.




Учебный материал
© bib.convdocs.org
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации