Власков В.А. Специальные разделы в физике - файл n1.rtf

Власков В.А. Специальные разделы в физике
скачать (223 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.rtf3226kb.12.04.2004 20:06скачать

n1.rtf

  1   2   3
МУРМАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ВЛАСКОВ В.А.
СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ ФИЗИКИ
Учебное пособие для направления 552500”Радиотехника”




Мурманск

1999

В пособии рассматриваются вопросы физики твердого тела в качестве дополнительных разделов физики для студентов специальностей “Радиотехника” и “Техническая эксплуатация транспортного радиооборудования”. Пособие составлено на основе материалов ранее изложенных в учебниках и пособиях по физике твердого тела и курса лекций читаемых автором.

Дополнительно для более полного изучения вопросов рассматриваемых в пособии рекомендуются следующая литература:

1. Савельев И.В., Курс общей физики, том 3, часть 3, М., Наука, 1987.

2. Власов А.Б. , Физические основы электронной техники, часть 1, Физика полупроводников, Мурманск, 1994.

3. Холден А., Что такое ФТТ (основы современной физики твердого тела), М., МИР, 1971.

4. Орир Дж., Физика, том 2, М., МИР, 1981, 622 стр.

Содержание.

Введение................................................................................................................ 3
1. Основы зонной теории твердых тел............................................................... 3
2. Квантовая статистика..................................................................................... 6
3. Квантовая теория теплоемкости.................................................................... 11

4. Проводимость металлов и полупроводников................................................17
5. Контактные и термоэлектрические явления...................................................21
6. Диффузия и дрейф носителей заряда в полупроводниках............................27
ВВЕДЕНИЕ.

В последние десятилетия внутри самой физики на первое место выдвинулась физика твердого тела (ФТТ) - наука о строении и свойствах твердых тел и происходящих в них явлениях. ФТТ составляет основную часть фундамента современной техники. Все конструкционные материалы - это материалы твердые: тысячи марок стали, разнообразные металлические сплавы, полимеры. Великое множество твердых материалов используется непосредственно - металлические проводники, полупроводниковые, лазерные и оптические кристаллы, изоляторы, магнитные сплавы, режущий инструмент и т.д. и т.п. Не существует ни одной области техники, где так или иначе не использовались бы твердые материалы с самыми разнообразными механическими, электрическими, оптическими, тепловыми, антикоррозионными и др. свойствами. Физика полупроводников оказала очень существенное влияние на современную технику и цивилизацию. Без квантовой теории твердого тела появление таких конкретных вещей, как полупроводниковые диоды, транзисторы, светодиоды, твердотельные лазеры, фотоэлементы, солнечные батареи, интегральные схемы и т. д. было бы не возможно.Потребность техники в новых материалах очень велика и их создание невозможно без знания ФТТ. По количеству научных публикаций и числу физиков, занимающихся ФТТ, эта область составляет примерно половину современной физики.

Задача этого курса - описать основы строения твердых тел с точки зрения квантовой механики и, опираясь на основные физические законы, объяснить протекающие в них процессы. Любое твердое тело - совокупность огромного числа атомов (ядер и электронов), свойства и взаимодействие которых между собой и с внешними полями обуславливает все бесконечное разнообразие свойств и поведения твердых тел. Задача теории твердых тел - описание и объяснение свойств и поведения твердых тел исходя из элементарных свойств и законов взаимодействия составляющих его частиц, то есть на атомном уровне. В этом сущность микроскопического подхода.

Законы, управляющие атомами и электронами, - это законы квантовой механики, а в силу чудовищной многочисленности частиц в твердом теле также и статистические законы. В силу этих причин все расчетные методы ФТТ являются приближенными, хотя эта “деталь” не меняет картины в целом.

Раздел физики, изучающий свойства твердых тел и жидкостей и происходящие в них явления, называется физикой конденсированных тел или физикой твердого тела и в настоящее время(повторим еще раз) представляет собой одну из основных областей физических исследований.
1. ОСНОВЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ.
Классическую электронная теория проводимости говорит о том, что в металлах существуют свободные электроны. Что такое свободный электрон с точки зрения квантовой теории?

Естественно , что электрон в металле согласно законам квантовой механики должен описываться волновой функцией и занимать определенный энергетический уровень. Допустим, что электрон перешел на более высокий энергетический уровень. Можно ожидать, что его волновая функция станет более размытой. Но при этом электрон окажется ближе к соседним атомам. Поскольку остовы этих атомов обладают положительным зарядом и притягивают электрон, то они будут еще больше размывать электронную волновую функцию. В результате такого эффекта волновая функция окажется равномерно размытой по всему кристаллу( с некоторыми сгущениями вблизи каждого притягивающего атомного остова). Кристаллы с таким типом связи называют металлами. Металлическая связь возникает, когда атомы сближаются на расстояния, меньшее размеров облака внешних электронов. В конечном итоге волновая функция каждого из внешних электронов равномерно распределяется по всему кристаллу.

Для построения простой квантовомеханической теории поведения электронов в металлах Зоммерфельд предположил, что электроны перемещаются в металле совершенно свободно, но покинуть его не могут. Первое предположение является конечно сильным упрощением. Как бы свободны не были электроны в реальном металле, они всегда “чувствуют” на себе воздействие оставленных ими ионов. Условие, что электроны не покидают металл по существу означает, что движение каждого электрона ограничено в пространстве и требуется совершить некоторую работу, чтобы вырвать электрон из металла (так называемая “работа выхода”).

Чтобы лучше описать поведение электронов в твердых телах, мы должны учесть наличие атомов - бывших владельцев электронов. Электроны в металле покидают свои атомы и продолжают движение не в пустом ящике, а в ящике заполненном решеткой положительных ионов. Поскольку каждый ион притягивает каждый электрон, вероятность найти какой -либо электрон вблизи иона несколько больше, чем вдали от него. Если ионы в кристаллической решетке располагаются равномерно, потенциальная энергия электрона должна меняться периодически из-за взаимодействия ионов и электрона. Фактически потенциальная энергия электрона имеет вид расположенных равномерно потенциальных ям. Рассмотрим к чему это может привести.



В качестве первого примера рассмотрим две одномерные прямоугольные ямы глубиной Uo и шириной хо. Они соответствуют эффекту, который дают два последовательно расположенных атомных остова. Покажем, что первоначальный энергетический уровень основного состояния, существовавший в каждой из ям, превратится в “зону” с двумя значениями энергии. В случае же “n” последовательно расположенных прямоугольных ям основному состоянию будет соответствовать зона, содержащая “n” энергетических уровней.

Энергии уровней в отдельной прямоугольной яме можно записать в виде ( для простоты возьмем выражение для бесконечной ямы - это конечно приближение серьезное, но качественно результат не изменится , в то же время на рис. 1 показаны результаты для потенциальной ямы конечной глубины U):

En = n22h2/L22m , (1)

где L - ширина ямы, h = 1.0510-34 - постоянная Планка.

Если теперь (см.рис.1а) соединить две ямы в одну, но с удвоенной шириной (L=2xo), то мы получим:

En = n22h2/4L22m

Е1 2h2/4L22m и E2 2h2/L22m

На рис.1б яма “двойной ширины поделена на две соседствующие одинаковые ямы. Заметим, что энергии, отвечающие волновым функциям 1 и 2, сблизились друг с другом. На рис. 1в обе ямы раздвинуты настолько, что практически

Е1 E2 2h2/L22m

Таким образом мы показали, что при сближении двух ям уровни энергии раздвигаются. Состояние с наинизшей энергией в случае отдельной ямы превращается в два состояния с различными энергиями в случае двух ям, причем чем меньше расстояние между ямами, тем сильнее раздвинуты соответствующие уровни.



Если повторить это рассмотрение для случая четырех ям, то очевидно, при сближении ям будет образована зона из четырех энергетических уровней и т.д. Этот результат нетрудно обобщить на случай “n” ям , расположенных друг за другом, при этом в окрестности исходного уровня должна образоваться зона из “n” энергетических уровней. Увеличение числа “n” не приводит к изменению ширины зоны при условии, что расстояние между ямами остается тем же самым. В твердом теле типичные значения “n” оказываются порядка 1023, так что образованную уровнями зону можно считать сплошной.

Величина расщепления для разных уровней разная. Сильнее возмущаются уровни, заполненные в атоме внешними электронами. Уровни, заполненные внутренними электронами, возмущаются мало. На рис.2 показано расщепление уровней, как функция расстояния r между атомами. Из схемы видно, что возникающее в кристалле расщепление уровней, занятых внутренними электронами, очень мало. Заметно расщепляются лишь уровни, занимаемые валентными электронами. Такому же расщеплению подвергаются и более высокие уровни, не занятые электронами в основном состоянии атома.

В зависимости от конкретных свойств атомов равновесное расстояние между соседними атомами в кристалле может быть либо типа r1, либо типа r2. При расстоянии типа r1 между разрешенными зонами, возникшими из соседних уровней атома, имеется запрещенная зона, энергетическая зона, не содержащая энергетических уровней.

При расстоянии типа r2 происходит перекрывание соседних зон. Число уровней в такой слившейся зоне равно сумме количеств уровней, на которые расщепляются оба уровня атома. Иногда такую объединенную зону называют гибридной зоной.



Рассмотрим образование энергетических зон в кристалле на в кристалле на примере кристалла натрия ( Na: 1s22s22p63s1 ) В изолированных атомах Na (рис. 3а) при r>>a (а - расстояние между атомами в кристалле) атомы имеют одинаковые наборы дискретных энергетических уровней. При сближении атомов происходит перекрытие всех электронных оболочек, но в наибольшей степени - оболочек 3s. Энергетически это сближение проявляется в уменьшении высоты и ширины барьера, и в результате величина энергии электронов уровня 3s становится выше энергетического барьера, при этом все 3s электроны имеют возможность переходить от одного атома к другому , а волновая функция таких электронов оказывается “размазанной” по всему кристаллу. Именно такие электроны и называются свободными. При этом (как уже говорилось выше) сам энергетический уровень расщепляется, образуется энергетическая зона и, в соответствии с принципом Паули, каждый электрон занимает свой уровень.



Свойства твердых тел различаются вследствие особенностей энергетических зон в данном кристалле и различного количества электронов в зонах. Разрешенную зону, возникшую из того уровня, на котором находятся валентные электроны в основном состоянии атома, называют валентной зоной. При абсолютном нуле валентные электроны попарно заполняют нижние уровни валентной зоны (принцип Паули). Более высокие разрешенные зоны будут от электронов свободны. В зависимости от степени заполнения валентной зоны электронами и ширины запрещенной зоны возможны три случая, изображенные на рис.4. Если электроны заполняют валентную зону не полностью или имеет место перекрывание зон (левая часть рисунка), достаточно сообщить электронам совсем небольшую энергию, чтобы перевести их на более высокие уровни, где электроны могут ускоряться электрическим полем и приобретать дополнительную скорость в направлении, противоположном направлению поля. Таким образом , кристалл с подобной схемой энергетических уровней будет представлять собой металл. В случае металла валентная зона будет одновременно и зоной проводимости.

Как было сказано ранее, при сближении n атомов каждое атомное состояние будет превращаться в зону, содержащую n соответствующих энергетических уровней. Чем ближе атомы расположены друг к другу, тем шире зона. Для металлической связи характерно столь близкое расположение потенциальных ям, что зона, в которой находится внешний электрон перекрывается с другими зонами. В металле в этом случае имеется неограниченное число свободных состояний, которое может занять электрон.

В некоторых ковалентных кристаллах, например в кремнии и германии, расстояние между атомами таково, что зоны содержащие валентные электроны (валентные зоны) не перекрываются, а валентная зона полностью заполнена. Оказывается, что у кремния заполненная валентная зона и следующая за ней более высокая пустая зона разделены запрещенной зоной шириной 1.09 эВ. В случае германия ширина соответствующей запрещенной зоны составляет 0.72 эВ. Для того, чтобы через кремний и германий мог протекать электрический ток в пустой зоне (зоне проводимости) должно иметься некоторое количество электронов. При комнатной температуре количество электронов, попавших в зону проводимости за счет теплового движения невелико. Проводимость у германия и кремния значительно ниже, чем у обычного металла. Поэтому эти кристаллы называют полупроводниками. Если же ширина запрещенной зоны кристалла слишком велика , так что теплового движения недостаточно для ее преодоления, то такой кристалл называется диэлектриком (см рис.4). При абсолютном нуле чистые кристаллы диэлектриков и даже полупроводников обладали бы бесконечно большим сопротивлением.
2. КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА.
Статистические методы расчета применяются в задачах с большим числом частиц. Несмотря на успехи классической статистической физики, все же в ряде вопросов следствия из классической статистики оказались несовпадающими с опытными данными. Одно из наиболее резких несоответствий между опытом и расчетом относится к теории теплоемкости, где оставалась необъясненной до конца температурная зависимость теплоемкости твердых тел. Вторая неудача статистической теории относится к электропроводности металлов. Эти неудачи потребовали пересмотра статистических расчетов в свете квантовых представлений. Такой пересмотр привел к созданию статистики, согласованной с теорией квантов - так называемой квантовой статистики, в которой сохранились достижения классической статистики и которая оказалась свободной от указанных выше противоречий.

Квантовая статистика - это раздел статистической физики, исследующий системы, которые состоят из огромного числа частиц, подчиняющимся законам квантовой механики. Из классической статистической физики мы знаем как распределены скорости молекул газа при данной температуре ( распределение Максвелла) или как должны распределяться частицы в потенциальном поле при данной температуре ( распределение Больцмана).

Однако в отличие от положений классической статистической физики, в которой частицы различимы ( частицу можно отличить от всех подобных ей частиц , например по траектории движения). Это естественно должно изменить характер статистики. При этом оказывается, что коллективы частиц с целым и полуцелым спинами подчиняются разным статистикам.

Частицы с полуцелым спином подчиняются принципу Паули, по которому на данном энергетическом уровне могут находится не больше двух частиц, различающихся направлением спинов. Распределение по энергиям таких частиц называется распределением Ферми-Дирака.

Для частиц с целым спином или нулевым ( а к таким частицам относятся ядра с четными массовыми и зарядовыми номерами, -частицы, некоторые молекулы) статистическое распределение по энергии имеет иной вид и называется распределением Бозе - Эйнштейна

Различие между статистиками Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна и их отношение к классической статистике можно уяснить на следующем частном примере размещения трех одинаковых частиц по трем состояниям ( см.таблицу).



1-е состояние

3

0

0

2

2

1

0

1

0

1

2-е состояние

0

3

0

1

0

2

2

0

1

1

3-е состояние

0

0

3

0

1

0

1

2

2

1




Больцман

1

1

1

3

3

3

3

3

3

6

Бозе-Эйнштейн

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

Ферми- Дирак

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1


С точки зрения классической статистики, допускающей индивидуальное распознавание частиц, каждое из шести распределений, начиная с четвертого и кончая девятым, может быть реализовано тремя способами. Десятое распределение может осуществляться шестью способами. По Больцману каждому из этих индивидуальных распределений приписывается одинаковый статистический вес, т.е. вероятность нахождения системы в данном состоянии пропорционально числу состояний с данной энергией ( эргодическая гипотеза). Поэтому вероятности отдельных распределений с классической точки зрения не одинаковы. Например вероятность четвертого распределения в три раза больше первого и в два раза меньше последнего. ( вероятность первого 1/27, вероятность последнего 6/27, а вероятность всех остальных 3/27)

С точки зрения квантовой теории одинаковые частицы, как бы неразличимы, например , о четвертом распределении опыт может дать только следующее: две из трех частиц находятся на первом уровне, одна на втором. В квантовой статистике расчету подвергаются не сами частицы, а их возможные состояния. По Бозе-Эйнштейну всем числовым распределениям приписывается один и тот же статистический вес ( в рассмотренном примере 1/10). Если же частица имеет полуцелый спин и подчиняется принципу Паули, то из всех десяти распределений возможно только одно - последнее. Вероятность последнего равна единице - это единственное возможное распределение трех частиц с полуцелым спином по трем состояниям.

Для понимания различия между классической и квантовой статистиками разберем основные положения статистических рассмотрений. Обратимся сначала к статистике Больцмана, закон распределения по энергиям частиц газа, находящегося в стационарном состоянии. Из состояний с энергиями от Е до Е+dE выделим группу близких состояний с импульсами в пределах интервала dp около какого либо импульса р. Если обозначить число возможных состояний в этой группе через dZ, а число частиц, находящихся в состояниях этой группы - dN, то отношение dN/dZ называют плотностью заполнения этих состояний частицами. В однородном и изотропном газе плотность заполнения, очевидно, будет зависеть только от энергии Е, соответствующей этим состояниям, но не от направления импульса р, т.е.

dN/dZ = f(E)

Функция f(E) и называется функцией распределения частиц по энергиям. Механизмом устанавливающим некоторое распределение, могут быть парные взаимодействия (“соударения”) частиц газа друг с другом. В результате каждого соударения у пары взаимодействующих частиц происходит мгновенное изменение импульсов от начальных значений р1 у первой и р2 у второй частицы, имевшихся до соударения, до некоторых р1’ и p2’ после него. При этом, вообще говоря, соответственно изменятся и энергии частиц от некоторых значений, равных Е1 и Е2, до значений E1’ и E2’ . Закон сохранения энергии требует, чтобы выполнялось соотношение:

E1 + E2 = E1’ + E2’ (2)

Число соударений при этом будет, во-первых, пропорционально числам частиц dN1 и dN2, находящихся в начальных состояниях, во-вторых, пропорционально также числам конечных состояний dZ1’ и dZ2’, в которые могут переходить соударяющиеся частицы. Последнее является следствием “эргодической гипотезы”, согласно которой все состояния с данной энергией равновероятны.

Для “классических” частиц вероятность находится в любом из состояний не зависит от наличия или отсутствия других частиц в этих состояниях. Поэтому число состояний, в которые возможны переходы, для классических частиц просто равно полным числам конечных состояний. Отсюда число соударений будет равно:

= А1,22,1 dN1 dN2 dZ1’ dZ2

где коэффициент А1,22,1 зависит от типа соударения.

Очевидно, что если возможны прямые соударения, то возможны и обратные соударения. Для многих типов парных соударений показано, что коэффициенты прямых и обратных соударений одинаковы, т.е. А1,22,1 = А2,11,2 .

По принципам теоретической физики, определяющим условия в состоянии статистического равновесия, число каких либо процессов в стационарном состоянии системы должно равняться числу обратных процессов. Поэтому = ‘и отсюда легко получить

dN1 dN2 dZ1’ dZ2’= dN1 dN2 dZ1 dZ2

или

(dN1/dZ1)(dN2/dZ2) = (dN’1/dZ’1)(dN’2/dZ’2) (3)

и соответственно

f(E1)f(E2) = f(E1’)f(E2’)

где пары значений энергии Е1, Е2 и E1’, E2’ - любые, удовлетворяющие закону сохранения энергии (2). Поэтому можно записать, что

f(E1) f(E2)= Const, если E1 + E2 = Const.

Отсюда

ln f(E1) + ln f(E2) = Const, если E1 + E2 = Const.

Если продифференцировать оба равенства, то мы найдем

[1/ f(E1)][d f(E1)/dE1] dE1 +[1/ f(E2)][d f(E2)/dE2] dE2 =0 если dE1 + dE2 = 0

Умножая второе уравнение на произвольную константу и складывая с первым уравнением, получим

{[1/ f(E1)][d f(E1)/dE1] +} dE1 +{[1/ f(E2)][d f(E2)/dE2] + } dE2 =0

Если постоянная подобрана так, что выражение в первых скобках{} равно нулю, то и выражение во второй скобке {} тоже равно нулю при том же значении .

Таким образом мы имеем, что f(E) для любых Е удовлетворяет соотношению

[1/ f(E)][d f(E)/dE] = -,

откуда

dN/dZ = f(E) = C e-E (4)



Легко заметить, что при = (1/kT) мы получаем и распределение Максвелла по скоростям (E=mv2/2) и распределение Больцмана в поле сил тяжести . В общем случае это распределение называют распределением Максвелла - Больцмана. На рис.5а приведены схематичные графики функций распределения Максвелла для двух разных температур.

Если мы рассматриваем не классические частицы, а квантовые (условия таковы, что частицы проявляют квантовые свойства), то при расчете числа соударений для частиц Ферми следует считать, что оно пропорционально числам частиц dN1 и dN2 в начальных состояниях и числам не всех, а лишь не занятых конечных состояний частиц

dZ1’* = dZ1’ - dN1’ и dZ2’* = dZ2’ - dN2

так как принцип Паули запрещает переход частиц в dN1’ и в dN2’ уже занятых состояний из полного числа их равного dZ1’ и dZ2’. В соответствие с этим равенство (3) будет иметь вид

(dN1/dZ1*)(dN2/dZ2*) = (dN’1/dZ’1*)(dN’2/dZ’2*)

Закон сохранения энергии естественно будет выполняться и для фермионов. Аналогичные рассуждения , которые привели нас к формуле (4) дадут

dN/dZ* = dN/(dZ-dN) = C e-E

откуда легко получить

fф(E) = (dN/dZ) = 1/ (C1 eE + 1)

где С1 величина не зависящая от Е и определяется из условия нормировки.

Величина может быть определена следующим образом. Если для всех возможных значений энергии Е число частиц dN много меньше числа состояний dZ, т.е. если (dN/dZ) <<1, то dZ-dN dZ и все формулы должны перейти в формулы Максвелла, поэтому и параметр = (1/kT) и окончательно мы можем записать

fф(E) = 1/ (C1 eE/kT + 1)

Этот закон распределения по энергиям и называется распределением Ферми-Дирака. Это один из основных законов квантовой статистики. Обычно величину С1 представляют в виде е - Еf/kT и в этом случае

fф(E) = 1/ (e(Ef) /kT + 1) (5)

Величину Еf называют химическим потенциалом системы частиц или энергией Ферми. Если Еf>0, то эта величина имеет простой физический смысл. Из (5) видно, что при Е=Еf плотность заполнения состояния dN/dZ = fф(E)= 1/2. Следовательно, Еf есть та энергия, для которой плотность заполнения состояний равна половине. При Е>Еf, очевидно, dN/dZ<1/2, а при Ef плотность заполнения dN/dZ>1/2 (см.рис.5б). При Т=0 Ef - это максимальная энергия заполненного уровня.

Распределение Бозе-Эйнштейна ( для системы частиц с целым или нулевым спином) можно получить аналогичным образом в предположении, что число тождественных бозонов в данном состоянии может быть любым. Оно запишется следующим образом :

fБ(E) = 1/ (e(Eo) /kT - 1)

Из приведенных формул легко увидеть, что при условии e(Eo) /kT>>1, распределение Ферми-Дирака и распределение Бозе -Эйнштейна, переходят в классическое распределение Максвелла-Больцмана : f(E) =A e-E /kT , где A = eЕo /kT .

Концентрация носителей заряда и положение уровня Ферми в металле.

Чтобы найти число частиц, находящихся в состояниях с энергиями от Е до Е+dЕ, необходимо знать число состояний dZ, соответствующее интервалу энергий dE. Найдем число состояний для интервала энергий dE для электронов в металле (Ферми - частицы).

В некотором приближении металл объемом V можно рассматривать как потенциальный ящик того же объема, содержащий N свободных электронов. Расчеты упростятся если считать, что кусок металла имеет форму прямоугольного параллелепипеда со сторонами Lx, Ly, Lz. Состояние электрона будет определяться его энергией Е=р2/2m или тремя компонентами импульса р(рхуz). В свою очередь согласно формуле (1) для трехмерного ящика можно написать

Е = (2h2/L22m) (nx2 +ny2 +nz2)

При этом электрон в таком ящике будет характеризоваться тремя квантовыми числами (nx ,ny, nz). Если по осям прямоугольной системы координат откладывать значения (nx ,ny, nz) то каждому электрону в этой координатной системе (пространство квантовых чисел) будет соответствовать одна точка. Так как (nx ,ny, nz) целые и положительные, то точки, соответствующие всем возможным состояниям электрона, образуют в той части пространства, где nx ,ny, nz>0, кубическую решетку с постоянной равной единице. Для состояний с некоторой энергией Е, в случае кубического куска металла (Lx= Ly= Lz) эти точки лежат на одной сферической поверхности в первом октанте этого простраства, радиус которой R = (nx2 +ny2 +nz2) связан с энергией

R =(L/h ) (2mE)

Число точек, лежащих в пределах (1/8) шарового слоя от R до R+dR ( напомним, что каждой точке соответствует отдельный энергетический уровень) будут соответствовать количеству состояний с энергиями от Е до Е+dE. Поскольку осями системы координат являются фактически квантовые числа меняющиеся на единицу , то объем, приходящийся на одну точку ( или одно состояние) равен тоже единице. Поэтому число точек (состояний) находящихся в пределах рассматриваемого слоя численно равно (1/8) объема этого шарового слоя. Если учесть двоякую возможность ориентации спина в каждом состоянии ( т.е. удвоить количество возможных состояний), то мы получим:

dZ = (1/4) dV = R2dR = (L/h )3 ( 2m)3/2 -2 (1/2)E1/2 dE (6)

Напомним, что dN/dZ = fф (Е), поэтому для числа частиц находящихся на уровнях энергий в диапазоне от Е до Е+dE с учетом (5) и (6) можно записать:

dN = (L/h )3 (1/2) ( 2m)3/2 -2 E1/2 dE / (e(E-Еf) /kT + 1) (7)

Если разделить обе части равенства (7) на объем металлического куска мы получим распределение Ферми по энергиям для концентрации свободных электронов в металлах n(E)

dn(E) = (1/h )3 (1/2) ( 2m)3/2 -2 E1/2 dE / (e(E-Еf) /kT + 1) (8)

и при Т=0 (Е< Ef )

dn(E) = (1/h )3 (1/2) ( 2m)3/2 -2 E1/2 dE (9)

Напомним, что в этих формулах dn(E) - концентрация электронов, энергия которых заключена в интервале от Е до E+dE; m и Е - масса и энергия электрона; Еf - энергия Ферми.

При Т=0 легко вычислить энергию Ферми взяв интеграл от dn(E) из (9) в пределах от нуля до Ef

Ef = (h2/2m)(32n)2/3 (10)

где n(E) - концентрация электронов в металле. Как видно из формулы (10) энергия Ферми не зависит ни от формы ни от объема данного образца металла. Она зависит лишь от того, насколько плотно “упакованы” свободные электроны в металле.

Вырожденный электронный газ в металлах.

Электроны проводимости в металле можно рассматривать как идеальный газ, подчиняющийся статистике Ферми -Дирака. Из распределения Ферми- Дирака следует, что при Т= 0 К функция распределения fф(Е) =1, если Еf>Е и fф(Е) =0, если Еff функция fф(Е) =1. При Е = Еf она скачкообразно меняется до нуля. Это означает, что при Т= 0 К все нижние квантовые состояния, вплоть до состояния Е=Еf заполнены электронами, а все состояния с энергией большей Еf свободны. Следовательно Е0 есть не что иное, как максимальная кинетическая энергия, которую могут иметь электроны при Т= 0 К.

Работу выхода электронов из металла надо отсчитывать не от дна “потенциальной ямы”,как это делалось в классической физике, а от уровня Ферми, т.е. от верхнего из занятых электронами энергетических уровней.

Для металлов при не слишком высоких температурах выполняется неравенство kT<< Еf . При температурах T > Еf/k, поведение системы частиц описывается уже классическими законами. Сама температура То= Еf/k называется температурой вырождения, ниже которой отчетливо проявляются квантовые свойства идеального газа, обусловленные тождественностью частиц. Соответствующие расчеты показывают, что для электронов в металле То ~ 104К, т.е. для всех температур , при которых металл может существовать в твердом состоянии, электронный газ в металле вырожден.

При температурах отличных от нуля, функция распределения Ферми-Дирака плавно изменяется от 1 до 0 в узкой области ( ~kT) в окрестности Еf. Это объясняется тем, что при T>0 небольшое число электронов с энергией близкой к Ef, возбуждается вследствие теплового движения и их энергия становится больше Ef . В тепловом движении участвует лишь небольшое число электронов, например при комнатной температуре Т~ 300К это примерно 10-5 от общего числа электронов.



Концентрация носителей заряда и положение уровня Ферми в полупроводнике.

Используем статистику Ферми-Дирака для описания электронного газа в полупроводнике. Зонная диаграмма собственного полупроводника приведена на рис.4. Для того, чтобы получить для собственного полупроводника формулы аналогичные формулам (6) - (9) надо учесть, что плотность состояний в зоне проводимости Z(E) ( а именно она нас интересует) фактически определяется выражением (6) с учетом того, что уровнем для начала отсчета энергий должен быть выбран уровень Епр, соответствующий дну зоны проводимости. (см.рис.6). В этом случае

dZ(E)=(L/h )3( 2m)3/2 -2(1/2)(E-Епр)1/2dE (11)

и аналогично выражению (8) имеем

dn(E) = (1/h )3 (1/2)( 2m)3/2 -2 (E-Епр)1/2 dE /(e(Ef) /kT + 1) (12)

Зная распределение электронов по энергиям в зоне проводимости полупроводника найдем концентрацию электронов проводимости проинтегрировав dn(E) из (12 ) в пределах от Епр до :

n = (1/h )3 (1/2)( 2m)3/2 -2 (E-Епр)1/2 dE /(e(E-Еf) /kT + 1)

Ниже мы найдем Ef для полупроводников, а здесь лишь отметим, что E-Еf/kT >>1) для энергий зоны проводимости и поэтому, пренебрегая единицей в знаменателе подинтегральной функции и сделав замену переменных x = (E- Eпр)/kT получим ( x меняется от 0 до )

n = (1/h )3 (1/2)( 2mkT)3/2 -2 e(Ef-Епр)/kT x1/2 e-x dx (13)

Интеграл в формуле (13) равен /2 и поэтому имеем:

n(T) = Nc e(Ef-Епр)/kT (14)

где Nc=(1/h )3(1/4)( 2mkT/)3/2 - так называемая эффективная плотность состояний электрона.

Аналогичное выражение можно получить для концентрации дырок в валентной зоне (см.подробнее в главе 4) В этом случае при расчете числа состояний ( аналог (11)) необходимо учесть, что эти состояния находятся в валентной зоне и взять начало отсчета энергии соответствующим образом. Расчет дает:

р(T) = Nv e-(Ef-Ев)/kT (15)

В собственном полупроводнике (без примесей) появление электрона в зоне проводимости приводит к появлению дырки в валентной зоне, причем n=p. Из (14) и (15) легко получить значение энергии Ферми для собственного полупроводника:

Ef =(Eпр + Ев)/2 + (kT/2) ln(Nv/Nc) (16) или

Ef =(Eпр + Ев)/2 + (3kT/4) ln(mp/mn) (17)

где mp и mn - эффективные массы электронов и дырок.

Поскольку в первом приближении эффективные массы электронов и дырок одинаковы, следовательно, в собственном полупроводнике уровень Ферми лежит посередине запрещенной зоны ( см. рис.6). Если принять, что ширина запрещенной зоны для полупроводников 1эВ, то приближение E-Еf/kT >>1, которое мы использовали, справедливо при нормальных температурах ( 1эВ 11000 К). На рис.6 показаны функции f(E), Z(E) и N(E) для температуры Т=0 К и Т0 К.
  1   2   3


Учебный материал
© bib.convdocs.org
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации