Лекции по механическим волнам - файл n1.doc

Лекции по механическим волнам
скачать (477 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc477kb.07.11.2012 01:14скачать

n1.doc


Филиал 3 курс 5 семестр


Лекция 5: Механические волны
План:


  1. Длина волны и волновое число.

  2. Вывод уравнения плоской бегущей волны.

  3. Уравнение плоской бегущей волны в комплексном виде.

  4. Разность фаз колебаний.

  5. Виды волн.

  6. Фазовая и скорость.

  7. Групповая скорость.

  8. Связь фазовой и групповой скорости.

  9. Нахождение групповой скорости методом Эренфеста.

  10. Уравнение сферической волны.

  11. Вывод уравнения стоячей волны.

  12. Координаты узлов и пучностей.

  13. Энергия волн.

________________________________________________________________

  1. Длина волны и волновое число


Длиной волны – называют расстояние между ближайшими точками, колеблющимися в одинаковой фазе.

Формулы длины волны легко получить из аналогии по формуле пути:
(1)
(2)



Если период равен , (3)

то (4)
Если из (2) выразить период и приравнять его к (3), получим:

получим (5)
Или (6)

Физический смысл отношения заключается в том, что оно показывает сколько длин волн умещается в единицах длины. Отношение обозначается и называется волновым числом, т.е.

(7)

Например:



  1. Вывод уравнения плоской бегущей волны


Бегущие волны – волны, которые переносят в пространстве энергию.

Плоские волны – волны, волновые поверхности которых – есть совокупность параллельных плоскостей, перпендикулярных направлению распространения волны.

Лучи в этом случае – параллельные прямые, совпадающие с направлением скорости распространения волны.
Пусть плоская бегущая волна распространяется вдоль оси X, т.е. вдоль одного направления из точки А в точку В как показано на рисунке:

Пусть источник колебаний в начальный момент времени находится в точке О.

Запишем уравнение колебания:
(8)

Рассмотрим распространение волны от точки М до точки В. Из рисунка видно, что время , затраченное на этот путь равно , где - это время, за которое волна распространилась от источника колебаний до точки М.

Перейдем от уравнения колебаний к уравнению плоской бегущей волны:

(9)

(10)

Т.к. за время волна распространилась на расстояние , тогда

(11)

(12)
(13)
Будем считать начальную фазу .

Тогда согласно уравнению (6), получаем: (14)

Если в уравнении (14) , а , то получим четвертый вид уравнения плоской бегущей волны (при ):







- первый вид уравнения плоской бегущей волны






- второй вид уравнения плоской бегущей волны






- третий вид уравнения плоской бегущей волны






- четвертый вид уравнения плоской бегущей волны


- смещение точек среды с координатой x в момент времени t.


  1. Уравнение плоской бегущей волны в комплексном виде.


Уравнение плоской бегущей волны можно представить в комплексном виде, используя формулу Эйлера:
(15)

Если , то

(16)
Т.к. физический смысл имеет только реальная часть, получаем:
, (17)

Получаем уравнение плоской бегущей волны комплексном виде:
(18)








- уравнения плоской бегущей волны в комплексном виде





  1. Разность фаз колебаний


Фаза рассчитывается из определения углового перемещения:

(19)

(20)

(21)


  1. Виды волн


Основное свойство всех волн – перенос частицами среды энергии без переноса вещества.

Различают продольные и поперечные волны.
Волны, в которых частицы среды колеблются вдоль их распространения, называются продольными.

Волны, в которых частицы среды колеблются в плоскостях, перпендикулярных к направлению распространения волны, называются поперечными.



Продольные волны распространяются в жидкостях и газах

В твердой среде возникают как продольные, так и поперечные


  1. Фазовая скорость


Пусть в волновом процессе фаза = const, т.е.
(22)

(23)
После дифференцирования, получим:

(24)

или (25)
Вывод: скорость распространения волны есть скорость перемещения фазы волны, поэтому ее называют фазовой скоростью и обозначают: :
Т.к. , отсюда (26)


Дисперсией называется зависимость фазовой скорости в среде от частоты распространение волн (дисперсия всегда связана с поглощением энергии средой)



7. Групповая скорость


Рассмотрим простейшую группу волн, которая получается при наложении двух плоских волн с одинаковыми амплитудами и близкими частотами и близкими волновыми числами :
(27)

Это волна отличается от гармонической тем, что ее амплитуда есть медленно изменяющаяся функция координаты от времени, т.е. является негармонической.
(28)






- амплитуда группы волн



Групповая скорость – скорость распространения группы волн,
Групповая скорость – скорость максимума огибающей группы волн или скорость движения центра волнового пакета.
Из условия (29)

получим: (30)

(31)







- групповая скорость




  1. Связь групповой и фазовой скорости.



Групповая скорость определяется выражением:

(32)

Определим отдельно выражения для и :
1) - ?

Из выражения выразим угловую скорость: (33)

Продифференцируем это выражение по k: (34)

2) - ?

Выражения продифференцируем по :



или (35)

Подставим выражения (34) и (35) в выражение для групповой скорости (32), получим:
(36)

(37)
(38)







- связь фазовой и групповой скорости



Из (38) следует, что может быть как больше, так и меньше фазовой в зависимости от знака .

Если в среде не наблюдается дисперсия волн, то , тогда фазовая и групповая скорости совпадают .
Понятие групповой скорости очень значимо, т.к. именно она фигурирует при измерении дальности радиолокации, в управлении космическими объектами.

Но , а для ограничений нет.


  1. Нахождение групповой скорости методом Эренфеста


Зависимость групповой скорости от длины волны позволяет определить значение групповой скорости.

Для этого нужно провести касательную к точке с координатами и . Можно найти отрезок, отсекаемый касательной на оси ординат, равный значению групповой скорости.


  1. Уравнение сферической волны





Сферические волны – это волны, для которых волновые поверхности – есть совокупность концентрических колец.

Лучи направлены вдоль радиусов сфер от центра источника волны.

(39)
В случае сферической волны, даже в среде, не поглощающей энергию, амплитуда колебаний не остается постоянной, а убывает с расстоянием по закону . r – расстояние от центра волны до рассматриваемой точки среды.


  1. Вывод уравнения стоячей волны.


Рассмотрим две волны с одинаковыми амплитудами и частотами, которые распространяются навстречу друг другу:
Уравнение первой волны:
(40)

(41)
При наложении двух волн друг на друга:
(42)
(43)
(44)







- уравнение стоячей волны









- амплитуда стоячей волны




  1. Координаты узлов и пучностей.


Пучности – точки, в которых амплитуда стоячей волны максимальна :










- координата пучности



Узлы стоячей волны – точки, в которых амплитуда стоячей волны равна нулю :










- координата узлов





Границы максимальных смещений точек среды в зависимости от их координат изображены на рисунке. Здесь же отмечены коор­динаты х0,, х1, х2 , ... узлов и координаты х'0, х'1, х'2 ... пуч­ностей стоячей волны.


13. Энергия волн.
При распространении волн в среде происходит перенос энергии волной. В это время в среде наблюдаются колебания ее частиц, т.е. частицы среды приобретают (за счет движения) и (за счет деформации) энергии.

Объемная плотность полной энергии волн равна:
(58)


Если на пути распространения волны поставить некоторую площадку ds, то можно говорить о потоке энергии через эту площадку.
Отношение энергии, переносимой сквозь некоторую площадку к промежутку времени, за который произошел перенос, называют потоком энергии:
(59)
Плотность потока энергии волны (интенсивность звука) :
(60)

Вектор плотности потока энергии, :
(62)





- направление вектора плотности потока энергии совпадает с направлением переноса энергии.



Уровень интенсивности звука (уровень звуковой мощности) (дБ)

LP=10 1g(I/I0), (63)

где I0 — условная интенсивность, соответствующая нулевому уров­ню интенсивности (I0=1 пВт/м2).

Уровень громкости звука LN в общем случае является слож­ной функцией уровня интенсивности и частоты звука и определя­ется по кривым уровня громкости (рис. 7.1). На графике по гори­зонтальной оси отложены логарифмы частот звука (сами частоты указаны под соответствующими им логарифмами). На вертикальной оси отложены уровни интенсивности звука в децибелах. Уровни громкости звука отложены по вертикальной оси, соответствующей эталонной частоте v=1000 Гц. Для этой частоты уровень громкости, выраженный в децибелах, равен уровню интенсивности в децибе­лах. Уровень громкости звуков других частот определяется по кривым громкости, приведенным на графике. Каждая кривая соот­ветствует определенному уровню громкости.
Кривые уровней громкости



Частота, Гц



  1. Вывод уравнения стоячей волны


Выберем систе­му координат так, чтобы ось х была направлена вдоль луча бегущей волны и начало О координат совпадало с точкой, находящейся на источнике MN плоской волны (см. рис.)


С учетом этого, уравнение бегущей волны запишется в виде

=Acos(t—kx) (40)
Поскольку в точку с координатой х волна возвратится, прейдя дважды расстояние (l-х), и при отражении от стены, как среды более плотной, изменит фазу на , то уравнение отраженной волны может быть записано в виде
=Acos{tk[x+2(lx)]+ } (41)
После очевидных упрощений получим:
=Acоs[tk (2lх)] (42)
Сложив уравнения (40) для бегущей волны и уравнение (42) для отраженной волны, найдем уравнение стоячей волны:
(43)
=+=Acos(tkx)— Acos[tk(2lx)] (44)
Воспользовавшись формулой разности косинусов:
(45)

Найдем
= -2Asink(lx)sin(tkl) (46)

Так как выражение Asink(lх) не зависит от времени, то, взятое по модулю, оно может рассматриваться как амплитуда стоячей волны:
(47)






- формула для амплитуды стоячей волны


12. Координаты узлов и пучностей.
Зная выражение амплитуды, можем найти координаты узлов и пучностей.
Узлы возникнут в тех точках, где амплитуда стоячей волны рав­на нулю:

|2Asink(lx)|=0 (48)
Это равенство выполняется для точек, координаты xn которых удовлетворяют условию
k (l xn)=n (n=0, 1, 2, ...) (49)
Но k=2/, или, так как (50)

(51)
Подставив это выражение k в (49), получим

(52)
откуда координаты узлов:

(53)






- формула для нахождения координаты узлов



Пучности возникнут в тех точках, где амплитуда стоячей волны максимальна:
(54)

Это равенство выполняется для точек, координаты х'n которых удовлетворяют условию:
k(l х'n)=(2n+1)(/2) (п=0, 1, 2, 3, ...) (55)
Выразив здесь k получим:
4vх'n =4vl—(2n+1) (56)

откуда координаты пучностей


(57)






- формула для нахождения координаты пучностей



Границы максимальных смещений точек среды в зависимости от их координат изображены на рисунке. Здесь же отмечены коор­динаты х0,, х1, х2 , ... узлов и координаты х'0, х'1, х'2 ... пуч­ностей стоячей волны.





Учебный материал
© bib.convdocs.org
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации