Бороденко В.А. Лабораторный практикум LinCAD_XLS - файл LABTLSAR_XL.doc

Бороденко В.А. Лабораторный практикум LinCAD_XLS
скачать (231.7 kb.)
Доступные файлы (2):
LABTLSAR_XL.doc514kb.07.08.2011 12:28скачать
n2.xls514kb.08.08.2011 19:25скачать

LABTLSAR_XL.doc

Министерство образования и науки

Республики Казахстан




Павлодарский государственный университет


им. С. Торайгырова
Кафедра

Автоматизация и управление

ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ


Лабораторный практикум

Павлодар


УДК 681.5(07)

ББК 32.965я7

Б83


Рекомендовано ученым советом института энергетики

и автоматизации ПГУ им. С. Торайгырова


Рецензенты:

Хацевский В.Ф. – доктор техн. наук, профессор,

зав. кафедрой Автоматизации и управления ПГУ


Бороденко В.А.

Теория линейных систем автоматического регулирования. Лабораторный практикум. – Павлодар, Изд-во Кереку, 2011. – 32 с.
В методических указаниях к лабораторному практикуму приво­дятся рекомендации по выполнению лабораторных работ, исходная схема моделируемой системы и варианты заданий, изложены после­довательность выполнения работ и порядок оформления отчета. Мо­делирование линейных систем базируется на параллельном изучении теоретического курса линейных систем автоматического регулирова­ния.

В качестве среды для компьютерного моделирования линейных систем используется библиотека программ LinCAD.

© Бороденко В.А., 2011

© ПГУ им. С. Торайгырова, 2011
Содержание






Задание

4

1

Исследование временных характеристик фильтра

5

2

Исследование частотных характеристик фильтра

8

3

Исследование устойчивости по критерию Михайлова

11

4

Выбор параметров регулятора методом D-разбиения

15

5

Коррекция системы методом корневого годографа

18

6

Оценка запасов устойчивости системы регулирования

22

7

Исследование прямых оценок качества регулирования

25




Литература

29




Приложение А

30



Задание


Структурная схема системы автоматического регулирования (САР) напряжения генератора постоянного тока (рисунок 1).




Рисунок 1

Генератор (блок 5) описывается дифференциальным уравнением


. (1)

Исходные данные (таблица 1).



Таблица 1

Пара­метр

Вариант (выбирается согласно номеру по порядку в списке группы)

1, 11

2, 12

3, 13

4, 14

5, 15

6, 16

7, 17

8, 18

9, 19

10, 20

k1

1,0

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1.7

1,8

1,90

k2

12,0

11,0

10,0

9,0

8,0

7,0

6,0

5,0

4,0

3,00

k3

равен порядку первой буквы фамилии в алфавите

T1

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

8,0

9,0

10,00

T2

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,00

T3

0,5

0,8

1,1

1,4

1,7

1,5

1,2

1,0

0,8

0,60



0,9

0,8

0,8

0,6

0,6

0,4

0,4

0,2

0,2

0,15


Примечание – точность расчетов не менее трех знаков после запятой. Все вычисления и графические построения выполняются в соответствии с теоретическими положениями, изложенными в [1-2] и конспекте лекций. Для исследования на ЭВМ используется книга LinCAD.xls с макросами. Последовательно выполняя работы, необходимо спроектировать устойчивую САР с заданными показателями качества.

Оформление отчетов к лабораторным работам должно удовлетворять требованиям стандарта качества ПГУ. Отчет к каждой работе выполняется в редакторе MS Word и защищается отдельно.

1 Исследование временных характеристик фильтра



1.1 Цель работы

Целью работы является исследование реакции на типовое воздействие во временной области звеньев (фильтров) с разной передаточной функцией.
1.2 Общие сведения

Регулярные сигналы, используемые для исследования САР, называются типовыми воздействиями. Они позволяют сравнивать свойства различных систем при равных начальных условиях и входных сигналах одинаковой формы. К типовым обычно относятся ступенчатое (скачок) A∙1(t) или функция Хевисайда, импульсное A∙?(t) или функция Дирака, гармоническое A∙sin?t и степенное A∙tn воздействия (функции). При А = 1 воздействие называется единичным.

Любую функцию времени с допустимой погрешностью можно разложить на совокупность типовых воздействий с соответствующими коэффициентами веса. Тогда, по принципу суперпозиции, реакция на это воздействие определится как сумма реакций линейной системы на отдельные воздействия, принцип вычисления которых известен.

Переходной функцией h(t) называется реакция системы на еди­ничный скачок 1(t) при нулевых начальных условиях. Реакция на скачок произвольной величины называется кривой разгона.

Импульсной (весовой) функцией g(t) называется реакция систе­мы на единичный импульс ?(t) при нулевых начальных условиях.

Основным инженерным методом решения дифференциальных уравнений, т. е. исследования поведения САР во времени, является преобразование Лапласа, которое операции дифференцирования и интегрирования заменяет более простыми алгебраическими операциями умножения и деления на комплексную переменную s. Операторная передаточная функция (ПФ) является основной формой описания систем в операторной области по методу один вход – один выход.

Передаточной функцией W(s) называется отношение изображений по Лапласу выходной величины Y(s) к входной X(s) при нулевых начальных условиях.

По дифференциальному уравнению системы
,
составим ПФ W(s), заменяя d/dt на s в соответствующей степени
.
Обычно m ? n, где n – порядок системы.

В соответствии с теоремами о начальном и конечном значениях функции времени (оригинала) начальное и конечное (установившееся) значения переходной характеристики равны отношению коэффициентов при s в степени n числителя и знаменателя передаточной функции в первом случае, и отношению свободных членов ПФ (коэффициенту усиления в установившемся режиме k(?) или kуст) во втором.
Начальное значение:

Конечное значение: .
1.3 Указания к работе

Предварительно необходимо для фильтра, входящего в состав регулятора (рисунок 1) и состоящего из звеньев 1-4, вычислить передаточные функции по выходам a, b, c, d относительно входа e сначала в общем виде, а затем с учетом численных значений своего варианта (таблица 1), используя правила структурных преобразований (приложение А).

Для получения экспериментальных переходных характеристик используется лист Лаб_1 "Временные характеристики фильтра" из книги LinCAD.xls. Поочередно вводят на ЭВМ передаточные функции фильтров Wae(s), Wbe(s), Wce(s), Wde(s) для выходов a, b, c и d, записывая значения коэффициентов выбранной передаточной функции в ячейки E4-G4 (числитель) и E5-G5 (знаменатель) последовательно, начиная со старшего коэффициента, включая нулевые значения. На вход фильтра программа подает сигнал в виде единичного скачка 1(t).

Длительность периода исследования tконца в ячейке J5 подбирают экспериментально так, чтобы в конце графика переходный процесс заканчивался (кривая шла горизонтально), но в то же время все параметры начальной части характеристики легко определялись. Начать подбор можно с 20-40 секунд, затем уменьшать или увеличивать значение до оптимального. Полученную диаграмму копируют в отчет, создаваемый в текстовом редакторе MS Word.
1.4 Методический пример

Структурная схема фильтра (рисунок 1.1).

Рисунок 1.1
Передаточная функция фильтра по выходу a относительно входа e

.
Переходная характеристика haе(t) должна иметь начальное значение b0/a0 = 3,2/2 = 1,6 и конечное значение bm/an = 1,6/1 = 1,6, что наблюдается на графике (рисунок 1.2).

Рисунок 1.2
1.5 Содержание отчета

Отчет по лабораторной работе должен содержать название, цель работы, структурную схему фильтра с обозначениями входа и выходов, затем для каждого типа фильтра – передаточную функцию в общем виде и после подстановки численных значений, рядом полученную переходную характеристику h(t) в виде диаграммы Excel.

К защите знать назначение и преимущества преобразования Лапласа, правила вычисления передаточной функции по структурной схеме, все типовые воздействия и временные характеристики. Уяснить взаимосвязь вида передаточной функции и соответствующей переходной характеристики фильтра с учетом свойств преобразования Лапласа, т. е. правил вычисления начального и конечного значений оригинала, уметь по виду передаточной функции представить вид переходной характеристики и наоборот.

2 Исследование частотных характеристик фильтра



2.1 Цель работы

Целью работы является изучение типовых частотных характеристик САР, исследование реакции на гармоническое воздействие в частотной области звеньев (фильтров) с разной передаточной функцией.
2.2 Общие сведения

Основной формой описания систем в частотной области является частотная передаточная функция или комплексный коэффициент передачи

.
Зависимости отношения амплитуд A() и разности фаз () выходного и входного гармонического сигналов системы от частоты  в установившемся режиме называются соответственно амплитудной (АЧХ) и фазовой (ФЧХ) частотными характеристиками. АЧХ начинается при значении bm/an = kуст и заканчивается в нуле (для m) или при b0/a0 (для m= n). P(?) = ReW(j?) или вещественная частотная характеристика (ВЧХ) соответствует проекции вектора W(j?) на действительную ось, Q(?) = ImW(j?) или мнимая частотная характеристика (МЧХ) соответствует проекции вектора W(j?) на мнимую ось.

Обобщающей является амплитудно-фазовая частотная характе­ристика (АФЧХ или просто АФХ) – это кривая (годограф), которую чертит на комплексной плоскости конец вектора при изменении частоты ? от 0 до +?.

Реакцию системы на гармоническое воздействие любой частоты ? в показательной форме получают путем умножения на А(?) при этой частоте амплитуды входного сигнала и добавления ?(?) к его фазе (с учетом единиц измерения угла – радиан или градусов).

Частотные характеристики системы можно изменять желаемым образом с помощью специальных корректирующих звеньев (фильтров). Фильтром называется четырехполюсник, предназначенный для выделения из состава сложного входного сигнала частотных составляющих, расположенных в полосе пропускания, и подавления частотных составляющих, расположенных в полосе задерживания.

В зависимости от взаимного расположения полос пропускания и задерживания различают:


а б в г
а) фильтр низких частот (ФНЧ) с полосой пропускания от нуля до частоты п;

б) фильтр верхних частот (ФВЧ) с полосой пропускания от частоты п до бесконечности;

в) полосовой фильтр (ПФ) с полосой пропускания, заключенной между частотами 1 и 2;

г) заграждающий (режекторный) фильтр (РФ) с полосой задерживания, заключенной между частотами 1 и 2.

Рабочий диапазон частот фильтра определяется обычно на уровне 0,707 начального значения А0 при частоте, близкой к нулю.
2.3 Указания к работе

Используя лист Лаб_2 "Частотные характеристики фильтра" из книги LinCAD.xls и рассчитанные в предыдущей работе передаточные функции фильтра по выходам a, b, c, d относительно входа e, получить на ЭВМ АЧХ для каждой передаточной функции. Коэффициенты передаточной функции вводят в ячейки I5-K5 (числитель) и I6-K6 (знаменатель) Начальное и конечное значения частот указывают в ячейках I9-J9. Их подбирают экспериментально, так, чтобы значительное изменение АЧХ приходилось примерно на середину графика, а в левой и правой части графика АЧХ была горизонтальной (можно начать подбор с частот 0,01 и 100, масштаб логарифмический).

Найти для каждого типа фильтра полосы пропускания и задерживания, построив на диаграмме воображаемую линию на уровне 0,707 начального (наибольшего) значения. Определить, какому типу фильтра соответствует каждая передаточная функция и график. Значения частот для конкретной точки получают наведением курсора на заданную точку кривой.
2.4 Методический пример

Структурная схема фильтра (рисунок 2.1).

Рисунок 2.1
Передаточная функция фильтра по выходу a относительно входа e

.
Полученные амплитудная и фазовая частотные характеристики соответствуют заграждающему фильтру (РФ) с полосой задерживания от частоты ?1 = 0,275 рад/с, до частоты ?2 = 1,738 рад/с (рисунок 2.2). Начальное значение АЧХ равно bm/an = 1,6/1 = 1,6, конечное b0/a0 = 3,2/2 = 1,6.

0,275

1,738

Рисунок 2.2
2.5 Содержание отчета

Отчет по лабораторной работе должен содержать название, цель работы, структурную схему фильтра с обозначениями входа и выходов, затем для каждого типа фильтра – передаточную функцию после подстановки численных значений и полученную амплитудно-частот­ную характеристику с измеренными значениями крайних частот полосы пропускания или задерживания, тип фильтра.

К защите знать все виды частотных характеристик, их смысл, методы вычисления и построения, формулировки, типы фильтров и вид их характеристик. Уяснить связь вида передаточной функции и соответствующей амплитудной частотной характеристики, т. е. уметь по виду передаточной функции построить АЧХ фильтра в соответствующем масштабе. Уметь определить с помощью АЧХ выходной сигнал по входному для заданной частоты и типа фильтра. Объяснить названия полос пропускания и задерживания.

3 Исследование устойчивости по критерию Михайлова



3.1 Цель работы

Целью работы является изучение методов оценки устойчивости САР, исследование устойчивости системы с помощью частотного критерия Михайлова.
3.2 Общие сведения

Устойчивость – это свойство системы возвращаться в исходное состояние равновесия после снятия воздействия, выведшего систему из этого состояния.

Признаки (условия) устойчивости линейной системы:

а) физический – система устойчива, если свободная составляющая yсв(t) переходного процесса с увеличением времени стремится к нулю, неустойчива – если она стремится к бесконечности, и нейтральна, если она стремится к некоторой постоянной величине;

б) математический – для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательную действительную часть (все полюса системы были левыми). Система находится на апериодической границе устойчивости, если при остальных левых полюсах имеет один нулевой, и на колебательной (периодической) границе устойчивости, если при остальных левых полюсах имеет пару чисто мнимых полюсов. Характеристическое уравнение образуется из знаменателя передаточной функции системы путем его приравнивания нулю D(s) = 0.

При невозможности вычислить значения корней используют косвенные признаки их положения относительно мнимой оси – критерии устойчивости. Алгебраические критерии (Гурвица, Рауса) оценивают устойчивость системы по значениям коэффициентов характеристического уравнения, частотные критерии (Михайлова, Найквиста) – по виду частотных характеристик системы.

Критерий Михайлова основан на исследовании характеристической функции D(j?) = U(?) + jV(?), полученной из характеристического многочлена подстановкой s = j?.

Основная формулировка (форма 1): система n-го порядка устойчива, если кривая Михайлова, начинаясь при =0 на действительной положительной полуоси, проходит при изменении частоты от нуля до плюс бесконечности последовательно против часовой стрелки n квадрантов комплексной плоскости.

Дополнительная формулировка (следствие или форма 2): система n-го порядка устойчива, если четная U() и нечетная V() функции при изменении частоты от нуля до плюс бесконечности обращаются в нуль поочередно n раз, начиная с нечетной функции, т.е. их корни перемежаются.
3.3 Указания к работе

Предварительно следует найти главную передаточную функцию системы (рисунок 1) Wyr(s) по выходу y относительно входа r с учетом параметров блоков 5 и 6 – сначала в общем виде, затем с численными значениями данных по своему варианту (считать k ос = 1).

Используя лист Лаб_3 "Критерий Михайлова" из книги LinCAD.xls, получить кривую Михайлова на комплексной плоскости (первая форма) и графики четной U(?) и нечетной V(?) функций (вторая форма) критерия Михайлова. Коэффициенты характеристического полинома (знаменателя ПФ) записывают в ячейки C5-C9 последовательно, начиная со старшего коэффициента, включая и нулевые.

Граничное значение частоты указывают в ячейке A10. Кривая Михайлова представляет собой раскручивающуюся спираль, уходящую в бесконечность. Поэтому диапазон частот следует подобрать экспериментально, от нуля до значения частоты, при котором кривая последний раз пересекает какую-либо ось, для более точного определения координат пересечения действительной и мнимой осей и желаемого вида кривой Михайлова.
3.4 Методический пример

Передаточная функция блока 5 из его дифференциального уравнения равна

.
Передаточная функция замкнутой системы (рисунок 3.1)

Рисунок 3.1
равна
.


Характеристическое уравнение САР
D(s) = s4 + 2s3 + 3s2 + 4s + 5 = 0.
Годограф характеристической функции D(j?) (рисунок 3.2)

Рисунок 3.2
Система неустойчива, поскольку кривая Михайлова, начинаясь на положительной действительной оси, не проходит последовательно против часовой стрелки n квадрантов комплексной плоскости, где n=4 – порядок системы.

Графики четной U(?) и нечетной V(?) функций (рисунок 3.3).

Рисунок 3.3
Система неустойчива, поскольку графики четной U(?) и нечетной V(?) функций, начинаясь с V(?) = 0, не пересекают при возрастании частоты ось частот поочередно.
3.5 Содержание отчета

Отчет по лабораторной работе должен содержать название, цель работы, структурную схему и главную передаточную функцию замкнутой системы в общем виде и после подстановки численных значений, характеристическое уравнение системы, полученные на ЭВМ диаграммы кривой Михайлова и графиков четной и нечетной функций с заключением об устойчивости системы для каждого вида графиков.

К защите знать физический и математический признаки устойчивости систем, названия основных критериев устойчивости, формулировку критерия Михайлова и его следствия, методику построения кривой Михайлова вручную.
4 Выбор параметров регулятора методом D-разбиения
4.1 Цель работы

Целью работы является изучение методов проектирования систем с достижением заданных параметров устойчивости, в частности, метода D-разбиения по одному параметру.
4.2 Общие сведения

Метод используется при синтезе систем для определения допус­тимых по условиям устойчивости пределов изменения некоторых па­раметров системы – обычно коэффициента усиления k или постоян­ной времени T регулятора.

Процесс построения в пространстве параметров системы об­ластей с разным числом правых корней характеристического урав­нения называется D-разбиением.

Областью устойчивости D(0) называют область в пространстве изменяемых параметров, каждой точке которой соответствуют только левые корни характеристического уравнения. Остальные D-области отличаются числом правых корней характеристического уравнения и обозначаются соответственно D(1) – область с одним правым полю­сом, D(2) – с двумя и т. д.

Граница любой D-области является отображением мнимой оси плоскости корней, она соответствует совокупности значений парамет­ров, при которых хотя бы один корень характеристического уравне­ния системы находится на мнимой оси.

Если система в пространстве всех своих параметров не имеет области устойчивости, она является структурно неустойчивой. На практике используют D-разбиение по одному параметру (результатом является отрезок на условной плоскости) и по двум параметрам (ре­зультатом является плоскость).

В случае D-разбиения по одному параметру все построения производят, изменяя значения одного параметра при постоянстве остальных. Чтобы получить плоскость, вещественный параметр искусственно делают двумерным, заменяя s = j с образованием мнимой оси, однако окончательным результатом является отрезок на действительной оси.

Подставив s = j в характеристическое уравнение системы, раз­решают его относительно изменяемого параметра, находят четную (действительную) U() и нечетную (мнимую) V() функции. Изменяя частоту  от 0 до плюс бесконечности, строят кривую D-разбиения и ее зеркальное отображение относительно действительной оси. Двига­ясь по кривой от точки  = - до точки  = + , наносят штриховку слева от кривой. (Напомним, что кривая D-разбиения является ото­бражением мнимой оси, а при движении по этой оси от -j к +j об­ласть устойчивости на плоскости корней располагается слева).

Направление штриховки указывает на область с наибольшим числом левых корней. При каждом переходе через кривую навстречу штриховке один корень характеристического уравнения становится правым, в обратном направлении – левым. Выбранную область-пре­тендент D(0) проверяют на устойчивость с помощью любого крите­рия, подставив значение параметра из этой области в характеристиче­ское уравнение. Поскольку изменяемый параметр является действи­тельной величиной, его допустимые значения лежат на отрезке дейст­вительной оси, заключенном внутри области устойчивости D(0).

Критическим называется значение параметра системы или коэффициента характеристического уравнения, при котором система находится на границе устойчивости.

Для проверки области-претендента на устойчивость системы четвертого порядка используется критерий Рауса, согласно которому должны выполняться два условия: необходимое – все коэффициенты характеристического уравнения положительны, и достаточное – все элементы первого столбца таблицы должны быть положительными.
4.3 Указания к работе

В работе производится выбор значения коэффициента усиления k1 регулятора, вошедшего в коэффициент характеристического уравнения an, по условию устойчивости системы при номинальных значениях остальных коэффициентов.

Предварительно следует выразить аналитически зависимость коэффициента характеристического уравнения an от коэффициента k1.

Используя лист Лаб_4 "D-разбиение по одному параметру" из книги LinCAD.xls и характеристическое уравнение системы из предыдущей работы, получить на плоскости параметров область устойчивости при изменении в заданном диапазоне коэффициента an. Коэффициенты характеристического полинома (знаменателя ПФ) записывают в ячейки C7-C11 последовательно, начиная со старшего коэффициента, включая нулевые. Конечное значение частоты указывают в ячейке A11, его подбирают, исходя из вида графика.

На действительной оси определяют критические значения an, кр , соответствующие границам области устойчивости D(0), а в самой области устойчивости – желаемое значение an, приблизительно равноудаленное от границ области.

Подставляя выбранное из области устойчивости значение коэффициента an в таблицу Рауса, проверяем устойчивость системы после подстановки этого значения в характеристическое уравнение. Если устойчивость системы обеспечивается, по выбранной величине an необходимо найти значение k1, которое должно использоваться во всех последующих работах взамен первоначально заданного.

При нулевом значении k1 следует выбрать другую величину an.

4.4 Методический пример

Характеристическое уравнение системы
D(s) = a0 s4 + a1s3 + a2 s2 + a3 s + a4= s4 + 2s3 + 3s2 + 4s + 5 = 0
Области устойчивости на комплексной плоскости при изменении частоты от 0 до 1,7 рад/с (рисунок 4.1).

D(0)

D(1)

D(1)

D(1)

D(1)

D(2)

Рисунок 4.1
Критические значения равны a4, кр1 = 0 в сторону уменьшения и a4, кр2 = 2 в сторону увеличения значения коэффициента, оптимальное значение по устойчивости выбираем из области D(0) равным a4 = 1,1 (значение a4 = 1,0 не выбираем, т. к. при этом коэффициент k1 будет равен нулю).

Для проверки области-претендента на устойчивость по критерию Гурвица подставляем выбранное значение в характеристическое уравнение D(s) = s4 + 2s3 + 3s2 + 4s + 1,1 = 0, получаем таблицу Рауса (таблица 4.1).

Таблица 4.1

1,000

3,000

1,100

2,000

4,000

0,000

1,000

1,100

0,000

1,800

0,000

0,000

1,100

0,000

0,000


Система при a4 = 1,1 устойчива, т. к. все элементы первого столбца таблицы Рауса больше нуля.

Принимая значение a4 = 1,1, находим необходимое значение коэффициента k1 = (a4 – 1)/(k2k3) = (1,1 – 1)/(0,1∙10) = 0,1.

Рассчитанная с новым значением k1 передаточная функция САР
.
4.3 Содержание отчета

Отчет по лабораторной работе должен содержать цель работы, характеристическое уравнение системы D(s) = 0, полученный на ЭВМ график D-разбиения, критические значения an, кр, выбранное значение an, проверку устойчивости системы при этом значении по критерию Рауса, зависимость an от коэффициента k1, рассчитанное значение k1 и вид передаточной функции системы после подстановки k1.

К защите знать основные определения метода D-разбиения по одному параметру, порядок построения кривых, штриховки, выбора параметра, формулировки и порядок применения критериев Гурвица и Рауса, определение для критического параметра.

5 Коррекция системы методом корневого годографа



5.1 Цель работы

Целью работы является изучение методов проектирования систем по корням характеристического уравнения при заданных показателях качества регулирования.
5.2 Общие сведения

Полюсами называются корни полинома знаменателя, а нулями – корни полинома числителя ПФ. Корневые оценки учитывают влияние на вид переходного процесса положения полюсов и нулей системы на комплексной плоско­сти. Качество регулирования оценивают лишь для устойчивых систем.

Корни, ближайшие к мнимой оси, назы­вают доминирующими, если влиянием осталь­ных корней можно пренебречь (остальные кор­ни находятся в 5-10 раз дальше от мнимой оси).

Расстояние от мнимой оси до ближайшего к ней корня характеристического уравнения (пары комплексных сопряженных корней) называется степенью устойчивости ?min или ?, оно характеризует быстродействие системы. Максимальное по модулю отношение мнимой части корня к действительной из имеющихся полюсов называется степенью колебательности системы.

К основным показателям качества регулирования относятся время регулирования (длительность процесса) и перерегулирование (размах качаний при переходном процессе).

Для оценки времени регулирования tрег находят сначала степень устойчивости системы ?min или ?, откуда при ошибке ∆ = 5 % или 0,05
.
Для оценки перерегулирования  определяют степень колеба­тельности ? системы, а затем значение перерегулирования . При нескольких парах комплексных корней максимальное значение ? у того корня, который первым встречается лучу, проведенному из начала координат по положительной мнимой полуоси и поворачиваемому против часовой стрелки. При единственной паре комплексных корней необходимость выбора отпадает.

Совокупность траекторий, описываемых на комплексной плос­кости корнями характеристического уравнения замкнутой системы при изменении одного из ее параметров от 0 до ?, называется корне­вым годографом.

Поскольку обычно делают оценку для замкнутой системы, то в ее характеристическое уравнение попадают и нули, и полюса разомк­нутой системы. Если , то . Ча­ще всего изменяют коэффициент усиления регулятора k, вычисляют для каждого значения корни и наносят их на комплексную плоскость.

При построении корневого годографа обычно используют или учитывают его свойства:

- число ветвей корневого годографа равно степени характеристиче­ского уравнения;

- ветви комплексных частей корневого годографа симметричны отно­сительно действительной оси;

- точки расхождения ветвей на действительной оси соответствуют кратным действительным корням характеристического уравнения;

- при k, стремящемся к нулю, траектории корней начинаются в полю­сах передаточной функции разомкнутой системы;

- при k, стремящемся к бесконечности, m траекторий корней заканчи­ваются в нулях передаточной функции разомкнутой системы, а ос­тальные n-m ветвей асимптотически уходят в бесконечность. Здесь m – это порядок полинома числителя, а n – порядок полинома знамена­теля передаточной функции системы.
5.3 Указания к работе

В работе производится выбор значения коэффициента обратной связи kос в звене 6, ранее принимаемого равным единице, по условию получения минимального времени регулирования.

Поскольку этот коэффициент попадает в свободный член характеристического уравнения an, предварительно следует выразить аналитически зависимость этого коэффициента от коэффициента kос, учитывая новое значение k1, полученное в предыдущей работе.

Используя лист Лаб_5 "Корневой годограф" из книги LinCAD.xls и характеристическое уравнение системы из предыдущей работы, получим корневой годограф системы при изменении коэффициента an в задаваемом диапазоне (от нуля до значения, при котором корни перемещаются вправо от мнимой оси). Коэффициенты характеристического полинома (знаменателя ПФ) записывают в ячейки C6-C10 последовательно, начиная со старшего коэффициента, включая нулевые значения. Конечное значение а4 указывают в ячейке А10.

Просматривая колонку tрег, найти наименьшее возможное время регулирования. При этом и будет обеспечиваться наибольшее значение степени устойчивости, т. е. значение коэффициента an, при котором все корни максимально удалены от мнимой оси.

Перенести корневой годограф в отчет, обозначив стрелками на ветвях направления движения корней при увеличении an.

Для выбранного значения an провести на графике линию степени устойчивости и луч выбора корней для оценки степени колебательности, записать соответствующие ему величины времени регулирования tрег и перерегулирования , вычислить значение коэффициента обратной связи kос.
5.4 Методический пример

Характеристическое уравнение системы
D(s) = s4+2s3+3s2+4s+(k1k2k3koc+1) = s4 + 2s3 + 3s2 + 4s + 1,1 = 0.
Принимаем диапазон изменения коэффициента a4, включающего коэффициент обратной связи, в пределах граничных значений 0-2, найденных в предыдущей работе.

Корневой годограф (рисунок 5.1).

? мин

Рисунок 5.1
Таблица значений корней знаменателя ПФ (таблица 5.1)
Таблица 5.1




Значение коэффициента а4

а4, min = 0,000

а4, max = 2,000

а4, опт = 0,523

полюса

системы

0,000

-1,000

-0,145

-0,174 + j1,547

-1,000

-0,140 + j1,506

-0,174 - j1,547

0,000 + j1,414

-0,140 - j1,506

-1,650

0,000 - j1,414

-1,574


Показатели качества для выбранного значения а4 = 0,523: время регулирования tрег = 21,36 с, перерегулирование ? = 0,746 или 74,6 %.

Вычисленное значение коэффициента обратной связи

kос = (a4 – 1)/(k1k2k3) = (0,523 – 1)/(0,1∙0,1∙10) = -0,477/0.1 = -4,77.

Передаточная функция после коррекции

Статическая ошибка ?(?) = 1 - 0,1/0,523 = 0,809 или 80,9 %.

5.5 Содержание отчета

Отчет по лабораторной работе должен содержать название, цель работы, характеристическое уравнение системы, корневой годограф с нанесенными линиями степени устойчивости и колебательности, таблицу полюсов не менее, чем для трех значений an, включая наименьшее, наибольшее и окончательно выбранное (оптимальное), значения времени регулирования и перерегулирования для него, вид зависимости коэффициента характеристического уравнения an от коэффициента kос, полученное значение kос, величину статической ошибки.

К защите нужно знать все определения по корневому годографу и корневым оценкам качества регулирования, свойства корневого годографа, уметь самостоятельно определить доминирующие корни, время регулирования и перерегулирование по расположению корней на комплексной плоскости.

6 Оценка запасов устойчивости системы регулирования




6.1 Цель работы


Целью работы является изучение методов определения количественных оценок запасов устойчивости системы с помощью частотного критерия устойчивости Найквиста в логарифмической форме.

6.2 Общие сведения


Логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ) или диа­граммы Боде позволяют упростить построения за счет замены реаль­ной характеристики асимптотической; упростить расчеты за счет за­мены умножения коэффициентов последовательных звеньев геомет­рическим сложением графиков; растянуть низкочастотный диапазон исследования системы и сжать высокочастотный.

Зависимость L(?)=20lgA(?) от lg(?) называется логарифмиче­ской амплитудной частотной характеристикой (ЛАЧХ) или ЛАХ.

Зависимость ?(?) от lg(?) называется логарифмической фаз­ной частотной характеристикой (ЛФЧХ) или просто ЛФХ.

Используемые единицы измерения: для ЛАЧХ L(?) – децибелы или дБ, для ЛФЧХ ?(?) – градусы, для частоты ?, откладываемой по оси абсцисс – декады (дек). Декадой называется отрезок частот, равный изменению частоты в 10 раз.

Асимптотической называется ЛАЧХ в виде отрезков, проведенных со стандартным наклоном ±20 дБ/дек. Точки перелома отрезков – частоты сопряжения, соответствуют корням числителя и знаменателя ПФ. Уклон ЛАЧХ в конце равен -20Ч(n - m) дБ/дек.

Замкнутая система устойчива, если в момент пересечения ЛФЧХ разомкнутой системы линии -180 ее ЛАЧХ отрицательна.

Запас устойчивости замкнутой системы по амплитуде Aм, дБ, определяется в момент пересечения ЛФЧХ разомкнутой системы линии -180 градусов как абсолютное значение разницы между осью L(?)=20lgA(?)=0 и значением ЛАЧХ, если оно при этом отрицательно. Запас устойчивости по фазе ?м, град, определяется как абсолютное значение разницы между значением -180 и значением ЛФЧХ на частоте среза. Частота среза соответствует точке пересечения ЛАЧХ с осью частот, т.е. значению L(?)=20lgA(?)=0.

Рекомендуемые значения запасов устойчивости: при определении по АФЧХ Ам ? 0,5, ?м ? 30-60 градусов, при определении по ЛЧХ Ам ? 6-12 дБ, запас по фазе остается тем же.

6.3 Указания к работе


Предварительно вычисляют передаточную функцию Wраз(s) ра­зомкнутой системы по контуру главной обратной связи при исклю­ченном сумматоре и выбранных k1 и kос (работы 4 и 5). Если значение выбранного коэффициента обратной связи оказалось отрицательным, запас по модулю определяют в начальной части ЛАЧХ при значениях фазы 180 (-180) градусов.

Для построения логарифмических характеристик используется лист Лаб_6 "Запасы устойчивости" из книги LinCAD.xls. Коэффициенты ПФ разомкнутой системы записывают в ячейки I5-M5 (числитель) и I6-M6 (знаменатель) последовательно, начиная со старшего коэффициента, включая нулевые значения. Начальное и конечное значения частоты указывают в ячейках J9-K9.

Программа строит графики логарифмической амплитудной (ЛАЧХ) и фазной (ЛФЧХ) частотных характеристик, которые рассматриваются совместно. Начальное и конечное значения частот подбирают экспериментально, так, чтобы все изменения направления ЛАЧХ умещались на графике (можно начать подбор с частот 0,01 и 100 рад/с).

6.4 Методический пример

Структурная схема разомкнутой системы (рисунок 6.1)




Рисунок 6.1

Передаточная функция разомкнутой системы



.
Логарифмические частотные характеристики (рисунок 6.2 и 6.3).

AM


Рисунок 6.2



Рисунок 6.3

Из графика запас устойчивости по амплитуде на частоте ?-? = 0,16 рад/с равен Ам = 0,508 или 5,882 дБ, запас устойчивости по фазе равен максимальному значению ?м = 180 град, поскольку ЛАЧХ отрицательна во всем диапазоне частот, частота среза отсутствует. Значения запасов удовлетворяют стандартным требованиям к САР.




6.5 Содержание отчета


Отчет к лабораторной работе должен содержать название, цель работы, структурную схему и передаточную функцию разомкнутой системы, графики ЛАЧХ и ЛФЧХ, найденные значения запасов устойчивости по амплитуде и фазе с учетом единиц измерения – на графике и отдельно, с указанием частот, которым соответствуют эти запасы.

К защите необходимо знать формулировки критерия Найквиста в обычном и логарифмическом виде, особенности его применения, методику построения асимптотической ЛАЧХ и расчета необходимых для этого параметров, единицы измерения ЛЧХ, нормы запасов устойчивости при их оценке по АФЧХ и ЛЧХ.

7 Исследование прямых оценок качества регулирования



7.1 Цель работы

Целью работы является изучение методов проектирования систем с использованием прямых показателей качества регулирования в переходном и установившемся режимах.
7.2 Общие сведения

Показатели качества, определяемые непосредственно по пере­ходным характеристикам, называют прямыми оценками качества, а сам метод их вычисления называется прямым. Менее точные методы оценки качества называются косвенными, к ним относятся корневые, частотные и интегральные методы.


а) – выходная величина y(t) б) – ошибка регулирования ?(t)

или h(t) или отклонение ?(t)
Время регулирования tрег равно времени от начала переходного процесса до момента, после которого характеристика не отклоняется от установившегося значения более, чем на величину допустимой ошибки ∆. Зону ∆=0,05·h(?) или ∆=0,05·?(0) откладывают выше и ниже параллельно линии установившегося значения. При ненулевых начальном или установившемся значениях в качестве допустимой зоны принимают 5 % от разницы соответственно |h(?)–h(0)| или |?(?)–?(0)|. Поскольку иногда принимают ∆=2 %, необходимо указывать, для какого критерия (0,05 или 0,02) найдено tрег.

Перерегулированием ? называется величина максимального относительного заброса переходной характеристики от начального значения за линию установившегося значения (в относительных единицах или процентах)
или .
Перерегулирование характеризует склонность системы к коле­баниям, рекомендуются значения не более 15…30 %, стандарт 20 %.

Время нарастания tн характеризует скорость реакции в началь­ный период, определяется как:

- время от начала процесса до момента пересечения кривой с линией установившегося значения – этот метод не подходит для оценки монотонных процессов, когда характеристика приближается к установившемуся значению асимптотически в течение бесконечного интервала времени;

- промежуток времени между моментами достижения заданных уровней (например, 10 и 90 %) установившегося значения – более универсальный метод.

Очевидно, что при указании времени нарастания также следует указывать, каким способом оно получено.

Время достижения первого максимума tmax (подразумевается, что первый максимум кривой является и наибольшим из всех).

Коэффициент колебательности N – число забросов переходной характеристики через линию установившегося значения за время ре­гулирования.

Установившаяся ошибка характеризует точность системы в статическом режиме, после окончания переходного процесса. Если установившаяся ошибка ?(?) = 0, система называется астатической, для случая ?(?) ? 0 система называется статической. Статическая система всегда имеет ошибку регулирования, которую можно уменьшить, увеличивая общий коэффициент усиления системы.
7.3 Указания к работе

Предварительно устраняем статическую ошибку системы по выходу y(t) относительно задания r(t), используя задатчик или префильтр на входе системы (до главного сумматора). Передаточная фун­кция задатчика выбирается в этом случае по соотношению kr = an/bm.

Для работы используется лист Лаб_7 "Прямые показатели качества" из книги LinCAD.xls, в котором по введенным коэффициентам числителя и знаменателя передаточной функции строится отклик системы на единичный скачок от нуля до заданного момента времени методом Рунге-Кутты четвертого порядка.

Коэффициенты числителя итоговой передаточной функции записывают в ячейки B4-F4, знаменателя – в ячейки B5-F5 по соответствующим степеням s. Время моделирования вводят в ячейку I5. Длительность периода исследования подбирают экспериментально так, чтобы к концу периода переходный процесс заканчивался, но в то же время все параметры характеристики легко определялись.

После нанесения на график вспомогательных построений и необходимых вычислений должны быть определены (с учетом масштаба) значения перерегулирования, времени регулирования, коэффициента колебательности, времен нарастания и максимума, сделана оценка статизма системы по выходу y(t) относительно скачка входа r(t).
7.4 Методический пример
Структурная схема системы с задатчиком (рисунок 7.1).

Рисунок 7.1
Коэффициент усиления задатчика kr = an/bm = 0,523/0,1 = 5,23.

Передаточная функция системы по выходу y(t) относительно входа r(t) с учетом задатчика
.
Переходная характеристика hyr(t) (рисунок 7.2).

t рег

t н

Рисунок 7.2
Время регулирования при ошибке ?=5 % или ? = 0,05Ч1,0 = 0,05 равно tрег = 21,4 с. Поскольку процесс монотонный и перебросы через линию установившегося значения отсутствуют, время нарастания определяется по диапазону 10-90 % и равно tн = 16,2 - 1,8 = 14,6 с, коэффициент колебательности N = 0, время максимума tмакс не определяется, перерегулирование равно ? = 0. Система является астатической по входу r(t) и воздействию 1(t), поскольку для этих условий установившаяся ошибка ?r(?) = 1,0 - 1,0 = 0.
6.5 Содержание отчета

Отчет по лабораторной работе должен содержать название, цель работы, передаточную функцию системы по выходу y(t) относительно входа r(t) с учетом задатчика, переходную характеристику hyr(t) с необходимыми графическими построениями и найденными из каждого графика значениями прямых оценок качества, заключение о точности системы в установившемся режиме относительно данного входа и данного вида воздействия.

К защите знать существующие методы определения показателей качества регулирования, знать определения и методику графического измерения прямых оценок качества по переходной характеристике, принципы деления систем по величине установившейся ошибки.

Литература



1 Бороденко В.А. Практический курс теории линейных систем автоматического регулирования. – Павлодар : Кереку, 2007. – 260 с.

2 Бороденко В.А. Теория линейных систем автоматического регулирования : учебно-методическое пособие. – Павлодар : Кереку, 2010. – 129 с.

Приложение А

(справочное)



Структурные преобразования
Для анализа или синтеза систему представляют структурной схемой, состоящей из звеньев, ветвей, узлов и сумматоров. Звено или блок обычно изображается прямоугольником, имеющим вход и выход с указанием функции преобразования внутри. Узлы (места разветвления сигнала) обозначаются на графической схеме точкой с диаметром 1,5 - 2 мм. Ветвь (связь) представляется линией со стрелкой в конце, отображающей направление движения сигнала. Сумматоры (элементы сравнения) представляют собой места схождения сигналов.



Они обозначаются либо пустым кружком среднего размера (крупнее уз­ла), либо крупным кружком, перечерк­нутым крест накрест прямыми линиями.

Сумматор, как правило, имеет не более трех входов, не более одного выхода и коэффициент передачи k = 1. Все входы сумматора независимы друг от друга. Если на входе сумматора производится из­менение знака сигнала (инвертирование), т. е. по этому входу коэф­фициент сумматора равен минус единице, вход называется инверти­рующим, а сумматор – элементом сравнения. Такой вход сумматора обозначается минусом для изображения в виде пустого кружка, и за­тушеванным сектором для обозначения в виде крупного кружка.

Обычно при известных функциях передачи отдельных звеньев требуется найти эквивалентную передаточную функцию (ПФ) объединения звеньев (объекта, регулятора), либо всей системы в целом. Для этого используют правила структурных преобразований:

1) Последовательное соединение звеньев.

Эквивалентная передаточная функция последовательно соеди­ненных звеньев равна произведению передаточных функций этих звеньев.

2) Параллельное соединение звеньев.

Эквивалентная передаточная функция параллельно соединенных звеньев равна сумме передаточных функций этих звеньев (с учетом знака входа сумматора на пути сигнала).

3) Соединение с обратной связью (встречно-параллельное).

Эквивалентная передаточная функция соединения с обратной связью равна дроби, в числителе которой записана ПФ звена на пря­мом пути от входа к выходу, а в знаменателе – единица минус произведение ПФ звеньев по замкнутому контуру обратной связи (ЗКОС).

4) Перенос воздействий в системах с перекрестными связями (правило структурных преобразований, применяющееся, если система включает соединения смешанного типа – не чисто последовательные, и не чисто параллельные).

Чтобы результирующая система не изменилась, в цепь перено­симого воздействия вводят фиктивное звено с ПФ, равной переда­точной функции потерянных, либо обратной передаточной функции приобретаемых при переносе звеньев.

Смысл правила состоит в том, что любые изменения по сравне­нию с исходной схемой, появляющиеся в системе после ее преобразо­вания, не должны влиять на результирующую передаточную функ­цию.

5) Правило Мейсона.

Правило рассматривает систему как ориентированный граф и позволяет описать ее всю сразу, без преобразований по отдельным фрагментам.

Передаточная функция системы образует дробь, числитель которой равен сумме произведений ПФ прямых путей на совокупные определители ЗКОС, не касающихся этих путей, а знаменатель – единица минус сумма произведений определителей несоприкасающихся ЗКОС и передаточных функций общих ЗКОС.

Определитель ЗКОС равен разности единицы и произведения ПФ звеньев по контуру, например, ?12=1-(-W1W2)=1+W1W2.

При составлении полинома числителя передаточной функции Wzx показанной системы вычисляем ПФ прямого пути от входа х к выходу z (равна коэффициенту передачи сумматора 1) и проверяем, что все замкнутые контуры обратной связи касаются этого прямого пути. Данное условие не выполняется, поэтому нужно умножить ПФ прямого пути на определитель несоприкасающегося с ним ЗКОС ?23=1-W2W3. При составлении полинома знаменателя передаточной функции убеждаемся, что все замкнутые контуры обратной связи касаются друг друга (имеют общий участок), тогда единица на все контуры одна. Следовательно, записываем в знаменателе единицу и далее плюс-минус произведения ПФ звеньев по каждому ЗКОС. Окончательно


Формат 29,7 х 42 Ѕ. Бумага книжно-журнальная.

Объем 1,5 уч.-изд. л. Тираж 50 экз. Цена договорная.

Заказ №
Научно-издательский центр

Павлодарского государственного университета

им. С. Торайгырова

637000, г. Павлодар, ул. Ломова, 64

E-mail: publish@psu.kz



Учебный материал
© bib.convdocs.org
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации