Бурьян Ю.А. и др. Теория автоматического управления: линейные системы - файл n1.doc

Бурьян Ю.А. и др. Теория автоматического управления: линейные системы
скачать (1824 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc1824kb.13.10.2012 19:54скачать

n1.doc

  1   2   3   4
Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Омский государственный технический университет


ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ:

линейные системы

Учебное пособие


Омск 2005

УДК 62-52

ББК 32.965

Б91


Рецензенты:

Б.Н. Епифанцев, д-р техн.наук, проф., СибАДи;

В.Д. Белицкий, канд.техн.наук, доцент, ОмГИС.


Бурьян Ю.А., Силков м.В., Сорокин В.Н., Ситников Д.В.

Б91 Теория автоматического управления: линейные системы. Учебное пособие. Омск: Изд-во ОмГТУ, 2005. 76 с.

В учебном пособии по курсу «Теория автоматического управления» даны основные понятия теории автоматического управления линейных систем, приведена классификация систем автоматического управления (САУ), показаны подходы к составлению математических моделей, изложены данные об основных типовых звеньях и их характеристиках. Показаны методы анализа и синтеза САУ.

Учебное пособие предназначено для студентов очной и заочной форм обучения всех специальностей.

© Ю. А. Бурьян, Силков М.В., Сорокин В.Н., Ситников Д.В.,

2005

© Омский государственный

технический университет, 2005


ОГЛАВЛЕНИЕ


1. Структурные схемы систем автоматического управления…………………..

4

1.1. Способы упрощения структурных схем, передаточные функции разомкнутой и замкнутой систем………………………………………………………...

13

2. Основные характеристики систем автоматического управления…………...

16

2.1. Типовые воздействия…………………………………………………………

16

2.2. Временные характеристики………………………………………………….

18

2.3. Частотные харктеристики…………………………………………………...

20

2.4. Типовые динамические звенья………………………………………………

24

2.5. Построение логарифмических частотных характеристик…………………

40

3. Устойчивость линейных систем автоматического управления……………..

43

3.1. Понятие устойчивости………………………………………………………..

43

3.2. Критерий устойчивости Гурвица……………………………………………

46

3.3. Критерий устойчивости Михайлова………………………………………...

47

3.4. Критерий устойчивости Найквиста…………………………………………

49

3.5. Оценка устойчивости САУ и ЛЧХ…………………………………………..

50

3.6. Запасы устойчивости…………………………………………………………

52

3.7. Пример анализа устойчивости САУ………………………………………...

53

3.8. Критерий Гурвица…………………………………………………………….

54

3.9. Критерий Михайлова…………………………………………………………

54

3.10. Критерий Найквиста………………………………………………………...

55

3.11. Оценка устойчивости по ЛЧХ……………………………………………...

56

3.12. Запасы устойчивости………………………………………………………..

56

4. Качество систем автоматического управления……………………………….

58

4.1. Оценка качества САУ по переходной функции h(t)………………………..

59

4.2. Точность САУ в установившихся режимах. Коэффициенты ошибок…….

60

4.3. Оценка качества по амплитудно-частотной характеристике замкнутой системы…………………………………………………………………………….

64

4.4. Оценка качества замкнутой САУ по логарифмической амплитудно-частотной характеристике (ЛАЧХ) разомкнутой системы……………………..

65

Библиографический список………………………………………………………

75




  1. Структурные схемы систем автоматического

управления
Одной из первых задач, встающих перед разработчиком системы автоматического регулирования, является составление функциональной схемы системы с последующим преобразованием её в структурную схему и определение передаточных функций звеньев. Это является основой для последующего анализа или синтеза рассматриваемой системы.

Функциональная схема показывает, какие устройства используются в системе автоматического регулирования, как они соединены и взаимодействуют друг с другом. При переходе к структурной схеме каждое из устройств (датчик, усилитель, привод, объект регулирования и т. д.) рассматривается как звено системы. При этом звено имеет вход и выход, а значит, определяется для него входной и выходной сигнал. Например, для электропривода (двигатель постоянного тока) в качестве входного сигнала может быть напряжение (u), прикладываемое к управляемой обмотке, а в качестве выходного – угловая скорость () или угол поворота () вала ротора двигателя.

В этом случае основной характеристикой звена является уравнение или система уравнений (алгебраических или дифференциальных), связывающих между собой входную и выходную переменную (входной и выходной сигнал) и описывающих динамику данного звена. Чтобы из этих уравнений затем можно было получить передаточную функцию звена, число переменных в них должно быть равно n+1, где n – число уравнений.

В число переменных обязательно входят входная и выходная, а также могут быть промежуточные переменные, которые для получения передаточной функции должны быть исключены путем выражения переменной из одного уравнения и подстановки этого выражения в другие уравнения, где она присутствует.

Передаточная функция звена W(p) есть символьная запись основных уравнений динамики звена, о которых шла речь выше. Рассмотрим, как получить её, например, для двигателя постоянного тока, управляемого изменением напряжения обмотки ротора. Напряжение обмотки статора, создающей магнитный поток возбуждения, будем считать постоянным. В этом случае динамику привода можно описать следующими двумя уравнениями, первое из которых является уравнением динамики вращения ротора и определяет баланс моментов сил, приложенных к нему, а второе – уравнением Кирхгофа, определяющим баланс напряжений в контуре обмотки управления:



Здесь u,  – управляющее напряжение, подводимое к контуру обмотки ротора и угловая скорость его (входная и выходная переменные); i – ток в управляемой обмотке (промежуточная переменная); J, L, R, K0 – соответственно момент инерции вращающихся частей, приведенных к валу ротора; индуктивность и активное сопротивление обмотки, коэффициент, зависящий от конструкции двигателя (постоянные коэффициенты уравнения); MH(t) – переменный момент нагрузки на валу (еще одна входная переменная для сигнала помехи, которая позволяет получить передаточную функцию двигателя не только по управляющему воздействию (u), но и по помехе (MH).

На первой стадии необходимо проверить, достаточно ли этих уравнений для получения передаточной функции. Для передаточной функции по управляющему воздействию число переменных три (u, i, ), а уравнений два, т. е. соблюдается необходимое условие, о котором говорилось выше. То же и для передаточной функции для другого входного сигнала помехи, т. е. число переменных три (MH, i, ), а уравнений два. При этом оба входных сигнала рассматриваются как независимые.

На следующей стадии необходимо преобразовать дифференциальные уравнения в алгебраические с использованием преобразования Лапласа. Тогда каждой переменной ставится в соответствие её изображение по Лапласу, т. е. от переменных по времени переходим к этим же переменным от р, где р – особая комплексная переменная Лапласа. Например, i(t) соответствует i(p), тогда по правилам преобразования Лапласа
соответствует p i(p)

соответствует p2 i(p)

соответствует .
В литературе по теории автоматического управления можно найти таблицы преобразования Лапласа и ряда других функций. Но в большинстве случаев систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений динамики звеньев (уравнения (1.1), (1.2)) достаточно вышерассмотренных правил преобразования Лапласа.

В этом случае уравнения (1.1) и (1.2) примут вид
(1.3)
Переменную р иногда называют оператором дифференцирования, т. к. она формально заменяет эту операцию.


Из полученных алгебраических уравнений исключаем промежуточную переменную i, выразив её из первого уравнения и подставив во второе:


(1.4)
Передаточная функция W(p) – это отношение преобразований Лапласа выходной переменной к входной. Тогда из (1.4) для передаточной функции по управляющему воздействию (u) получим (второй входной сигнал помехи при этом считается равным нулю)
(1.5)
В теории автоматического управления принято, что в полиноме числителя и знаменателя W(p) свободный член, не содержащий множитель р, должен быть равен единице. Для этого разделим числитель и знаменатель выражения (1.5) на К0 и получим
(1.6)
где – коэффициент передачи звена (по управляющему сигналу);

– постоянные времени звена.

Коэффициент передачи показывает отношение выходного к входному сигналу в установившемся режиме работы системы, т. е. когда закончился переходной процесс и после подачи на вход постоянного сигнала на выходе – тоже постоянный сигнал. Так как в этом случае все производные равны нулю, а значит и р=0, то из (1.6) получим Wu,(p) = K. Размерность коэффициента передачи равна отношению размерностей сигналов выхода и входа.

Постоянные времени звена характеризуют вид и длительность переходного процесса звена, т. е. характер изменения выходного сигнала в динамике. Размерность Тi всегда секунда.

Аналогично, приняв в (1.4) u = 0, получим передаточную функцию звена по помехе:
(1.7)
где – коэффициент передачи звена по сигналу помехи;

– еще одна постоянная времени звена.

Таким образом переходим от функциональной к структурной схеме устройства, где двигателю соответствуют два звена со своими передаточными функциями (рис.1.1).



Рис. 1.1. Функциональная и структурная схема звена

(управляемого двигателя постоянного тока)
На рис. 1.1 в правой части условно изображен сумматор. Если один из входов обозначен знаком «-» (знак «+» тогда у второго входа не ставится), то это условное обозначение так называемого сравнивающего устройства. Оно путем вычитания сравнивает значения двух сигналов и на выходе формирует сигнал ошибки (такое устройство всегда есть в системах регулирования с обратной связью).

Если Т2 Т1, то можно принять Т2 = 0, и передаточные функции звена (1.6) и (1.7) упрощаются. Если Т1 и Т2 существенно меньше постоянных времени других звеньев системы, то принимают Т2 = Т1 = Т3 = 0, и передаточные функции двигателя теперь соответствуют так называемому безынерционному пропорциональному звену. Таким образом, одно и то же устройство в различных схемах может быть представлено разными по сложности передаточными функциями. Чем более точными являются исходные уравнения динамики звена, тем точнее отображает динамические свойства и его передаточная функция.

Рассмотренный выше алгоритм необходимо применить к каждому устройству рассматриваемой системы автоматического регулирования и получить его передаточную функцию. Для многих типовых устройств в литературе можно найти соответствующие уравнения динамики, и даже готовые передаточные функции. При этом учитывается требуемая точность, соотношения значений постоянных времени разных звеньев, чтобы выбрать передаточные функции, сложность которых соответствовала бы решаемым задачам.

Рассмотрим далее пример преобразования функциональной схемы в структурную для следящей системы, осуществляющей изменение координаты объекта регулирования в соответствии с задающим устройством. Объектом регулирования (рис.1.2) является, например, сварочная или сверлильная головка, поступательное перемещение которой осуществляется передачей винта-гайки ПВГ. Винт приводится во вращение управляемым двигателем ЭД через редуктор Р. Устройством сравнения текущей (х) и заданной (х0) координат являются два потенциометра П, работающих по мостовой схеме. Движок одного из них связан с ОР, а другого – с задающим устройством, например, рукояткой управления РУ. При рассогласовании координат (положений движков) на выходе устройства сравнения появляется напряжение (u1), пропорциональное . Это напряжение увеличивается усилителем У и подается на ЭД. Таким образом, получаем следящую систему с обратной связью, позволяющую положение ОР приводить в соответствие с положением РУ.

Система работает следующим образом. При перемещении РУ возникает сигнал ошибки ?x и пропорциональное ему напряжение u1, которое после усиления с помощью У подается на ЭД. Последний через Р и ПВГ перемещает ОР так, чтобы сигнал ошибки стал равным нулю, когда х = х0.

Уравнения отдельных элементов схемы в отклонениях от их установившихся значений имеют следующий вид: сравнивающее устройство xoш = xo-x, u1 = K1xoш,

усилитель электродвигатель (см. выражение 1.4)



редуктор с передачей винта-гайки х = К4.

Рис. 1.2. Функциональная схема следящей системы автоматического регулирования координаты ОР
Далее преобразуем уравнения в передаточные функции звеньев и построим структурную схему системы (рис. 1.3):



Рис. 1.3. Структурная схема следящей системы автоматического регулирования ОР
Рассмотрим еще один пример преобразования функциональной в структурную схему для системы стабилизации угловой скорости турбогенератора, в которой в отличие от предыдущего примера имеется местная обратная связь.


ПК

Рис. 1.4. Функциональная схема системы стабилизации угловой скорости турбогенератора
В систему (рис. 1.4) входят следующие элементы: Т – турбина (объект управления); МП – механическая передача; ЦБМ – центробежный маятник (выполняет функции определения текущей угловой скорости , сравнения её с заданным значением и определения ошибки регулирования, которой пропорциональна величина перемещения Z муфты ЦБМ); ГУ – гидроусилитель, управляющий подачей жидкости в гидропривод ГП. Последний связан со штоком паровпускного клапана ПК, который регулирует расход пара, поступающего в турбину, вращающую генератор Г.

Некоторой установившейся нагрузке генератора соответствует определенная угловая скорость турбины, положение грузов и муфты ЦМБ, штока ГП, а также величина открытия ПК. Если нагрузка уменьшится, угловая скорость Т возрастет, грузы и муфта ЦМБ переместятся вверх (Z). Переместится и золотник ГУ (S1), поршень ГП пока останется неподвижным (S2 = 0), т. к. закрыты окна ГУ. Когда окна ГУ приоткроются, начнется движение ГП вниз и ПК прикроется, уменьшив подачу пара в Т, вследствие чего угловая скорость турбины уменьшится, возвратившись к требуемому её значению. Одновременно из-за наличия жесткой обратной связи между ГП и ГУ (рычаг, связывающий ГП, ГУ и ЦБМ) золотник ГУ переместится вниз (S2), прикроет окна ГУ, и движение поршня ГП прекратится. Система вновь придет в некоторое установившееся состояние с новым положением штока ПК и соответствующим ему расходом пара.

Таким образом, рассматриваемая система является замкнутой следящей системой, осуществляющей регулирование по отклонению. Главная обратная связь системы представлена механической передачей МП, кроме того, в системе есть местная жесткая отрицательная обратная связь, охватывающая ГП.

Уравнения отдельных элементов в отклонениях от их установившихся значений имеют следующий вид:

для ЦМБ

для ГУ и ГП с учетом местной обратной связи

где

для давления (Р) пара, подаваемого в Т, с учетом работы ПК

для самой турбины как объекта регулирования с учетом помехи – момента нагрузки Мн

Далее легко преобразовать эти уравнения в передаточные функции звеньев и построить структурную схему системы (рис. 1.5).

Рис. 1.5. Структурная схема системы стабилизации угловой скорости турбогенератора



Таким образом, используя выше описанный алгоритм действий, проиллюстрированный примерами, можно из функциональной получить структурную схему системы автоматического регулирования. Последняя служит основой для выбора параметров системы (коэффициентов передачи и постоянных времени отдельных звеньев) с целью обеспечения её устойчивости и требуемых характеристик качества, что будет рассмотрено в следующих разделах.


    1. Способы упрощения структурных схем, передаточные функции

разомкнутой и замкнутой систем
Любую структурную схему системы регулирования можно значительно упростить, используя набор известных правил и формул. Полный их перечень можно найти в учебной и справочной литературе по системам управления. Ниже будут рассмотрены только три наиболее часто встречающихся способа.

1. Цепочку последовательно соединенных звеньев можно заменить одним звеном с передаточной функцией, равной произведению передаточных функций отдельных звеньев.

2. Несколько параллельно соединенных звеньев можно заменить одним звеном с передаточной функцией, равной сумме передаточных функций отдельных звеньев.

3. Звено или несколько звеньев, охваченных местной обратной связью, можно заменить одним звеном, передаточная функция которого находится по формуле

где Wп(р), Wo(р) – передаточные функции звеньев прямой цепи и обратной связи, а знак «+» ставится для отрицательной местной обратной связи, в то время как знак «-» ставится для положительной местной обратной связи.

Используя эти правила, можно упростить ранее полученные на рис. 1.3, 1.5 структурные схемы до одного звена, охваченного единичной (Wo(р) = 1) отрицательной обратной связью.


Рис. 1.6
Здесь Ф(р) – передаточная функция разомкнутой системы (при разомкнутой главной обратной связи), а Фf,y(р) – передаточная функция разомкнутой системы по помехе (сигнал помехи обозначен f, задающее воздействие – q, выходная регулируемая переменная – y). Ф(р), Фf,y(р) получаются независимо друг от друга как передаточные функции между соответствующей точкой входа и выхода.

Для схемы на рис. 1.5 получим

Для схемы на рис. 1.3 аналогично получим

Для получения передаточных функций для замкнутой системы легко применить формулы

Здесь Wq,y(р), Wq,x(р), Wf,y(р) – передаточные функции по управляющему воздействию для ошибки и по помехе для замкнутой системы (ошибка – x = yq-q, без учета сигнала помехи f).

Тогда для определения выходной переменной или ошибки с учетом сигнала помехи можно получить следующие зависимости (см. рис. 1.6):

Последние зависимости и передаточные функции могут быть легко преобразованы в соответствующие дифференциальные уравнения, связывающие входную и выходную переменные (так же, как и для одного звена), либо использованы в методах анализа и синтеза систем. Для этого обычно представляют передаточные функции в виде дроби с полиномами от р, R(p), Q(p) и т. д., тогда последние выражения можно переписать так:

где, например, для рис. 1.3 получим

здесь К – общий коэффициент передачи разомкнутой системы по управляющему воздействию, а Кf – по помехе.

В результате получаем

Например, для схемы на рис. 1.3

где выражения для коэффициентов полиномов (аi, bi) легко определяются из последнего равенства.

Полученные выше передаточные функции находят широкое применение при анализе устойчивости, точности и качества регулирования и в конечном итоге позволяют целенаправленно выбирать параметры звеньев систем (Кi, Ti), а через них и физические параметры (массы, жесткости, электрические сопротивления и индуктивности, размеры и т. д.).
2. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
2.1.Типовые воздействия
При анализе динамических процессов в системах автоматического регулирования и управления в качестве сигналов управления или возмущения используют типовые сигналы. Наиболее простые и часто используемые из них – единичная ступенчатая функция, единичный импульс и гармонический сигнал. Функции времени, описывающие изменения выходных величин, которые вызваны каким-либо входным воздействием, называют откликом или реакцией элемента (системы).

Единичная ступенчатая функция U(t)=1(t). Эта функция представлена на рис.2.1.

Уравнение, описывающее функцию:


т. е. U=0 при t < 0 и U = 1 при t  0. Единица имеет ту же размерность, что и физическая величина на входе звена. Реакция САУ на ступенчатое воздействие называется переходной функцией h(t).

Рис. 2.1
Функция h(t) характеризует переход системы из одного установившегося режима в другой. При построении h(t) принимают, как правило, U=1. Пусть передаточная функция САУ имеет в общем случае следующий вид:
(2.1)
Отыскание h(t) представляет собой процесс решения неоднородного дифференциального уравнения, вследствие чего
(2.2)
где

ci - произвольные постоянные интегрирования;

I - корни характеристического уравнения.

Одним из способов построения переходного процесса является использование преобразования Лапласа.

Если учесть, что изображением ступенчатой функции будет

то решение неоднородного дифференциального уравнения равноценно определению оригинала по изображению .

Ступенчатая функция представляет собой распространенный вид входного воздействия в автоматических системах. К такому виду сводятся мгновенное изменение нагрузки электрического генератора, мгновенное нарастание нагрузки на валу двигателя, мгновенный поворот входного валика следящей системы и т. д.

Единичная импульсная функция (дельта-функция) представляет собой особый вид функции, равной нулю всюду, кроме точки t=0, где она стремится к бесконечности так (рис. 2.2), что интеграл от нее на любом интервале, включающем точку t = 0, равен единице:



(2.3)
. (2.4)

Рис. 2.2
Размерность единичной импульсной функции [с-1].

Согласно теории обобщенных функций, дельта – функция является также производной от единичной ступенчатой функции . Отметим также, что изображение .

Импульсная функция представляет собой распространенный вид входного воздействия в автоматических системах. К такому виду можно свести, например, кратковременный удар нагрузки на валу двигателя, кратковременный ток короткого замыкания генератора, отключаемый плавкими предохранителями и т. п. В действительности реальные импульсные воздействия на автоматическую систему всегда будут конечными по величине и продолжительности. Однако в случае, если их продолжительность весьма мала по сравнению со временем переходного процесса звена или САУ, то с большой степенью точности реальный импульс может быть заменен дельта – функцией.

Гармоническое воздействие (рис. 2.3).

У
равнение функции:
,
где А – амплитуда гармонического воздействия;  - круговая частота, равная , здесь Т – период колебаний.

Эти типовые воздействия используются для оценки динамических свойств САУ по их временным и частотным характеристикам.
2.2. Временные характеристики
Временные характеристики являются важными характеристиками САУ. Это переходные и импульсные переходные функции и их графики. В реальных условиях входные сигналы могут иметь произвольный характер.

Временные характеристики показывают закон изменения во времени регулируемой (выходной) величины САУ (элемента) при изменении внешнего воздействия по определенному закону и при нулевых начальных условиях. Временные характеристики отражают динамические свойства САУ (элементов), которые могут быть определены по переходной функции (характеристике) и по импульсной переходной характеристике (функции веса).

Переходная характеристика (функция) h(t) представляет собой переходный процесс на выходе звена, возникающий при подаче на его вход скачкообразного воздействия при величине скачка, равной единице, или реакцию системы (элемента) на входной сигнал в виде единичной ступенчатой функции (рис. 2.4).

Переходная характеристика может быть определена экспериментально или аналитически. При аналитическом определении переходной характеристики нужно найти решение дифференциального уравнения САУ (элемента) при входном сигнале U(t) =1(t) и нулевых начальных условиях. Переходная характеристика обычно представляется в виде графика. Конкретные очертания характеристики h(t) зависят от динамических свойств САУ (элемента) и могут быть весьма разнообразными.

Ф

ункция веса, или импульсная переходная характеристика , представляет собой реакцию САУ (элемента) на единичную импульсную функцию, поданную на ее вход. Название весовой функции принято потому, что эта функция определяет весомость участия отдельных элементарных импульсов, на которые можно разложить входное воздействие , в формировании отклика . На рис. 2.5 показаны возможные виды импульсных переходных характеристик. Вид их зависит от динамических свойств САУ (элемента).

Нетрудно установить связь между переходной функцией и функцией веса. Рассмотрим входное воздействие звена в виде конечного по высоте и ширине импульса с площадью , прикладываемого при t = 0 (рис. 2.6).

Такой импульс может быть заменен двумя ступенчатыми функциями: и , прикладываемыми ко входу звена со сдвигом во времени . Тогда выходная величина звена будет равна
. (2.5)
Б
удем теперь увеличивать высоту импульса N, одновременно уменьшая его ширину , так, чтобы все время площадь импульса равнялась единице: . Умножив и поделив правую часть равенства (2.5) на  и перейдя к пределу, получим функцию веса
. (2.6)
Таким образом, импульсная переходная характеристика может быть получена дифференцированием по времени переходной характеристики:

. (2.7)
При исследовании динамических свойств САУ (элементов) чаще используют переходную характеристику, т. к. ее удобно использовать при оценке качества переходного процесса в САУ.
2.3. Частотные характеристики
Как и временные характеристики, частотные широко используются при исследовании динамических свойств САУ и их элементов. Частотные характеристики САУ определяют зависимость между входной и выходной величинами в установившемся режиме при гармоническом воздействии.

Частотные характеристики лежат в основе частотных методов исследования САУ, которые получили широкое распространение благодаря их наглядности и сравнительной простоте. Они позволяют не только исследовать свойства системы в установившемся режиме, но и судить об устойчивости системы, оценивать качество процесса управления.

Если на вход линейной разомкнутой системы или звена подать гармоническое возмущение (рис. 2.7), то по истечении некоторого времени после подачи такого возмущения, когда затухнут все движения, определяемые переходным процессом, на выходе звена или системы установится также гармоническое изменение выходной величины с той же частотой, которую имеет входная величина, но с иными амплитудой и фазой. Амплитуда и фаза на выходе при прочих равных условиях будут зависеть от частоты возмущающего воздействия. По этим характеристикам можно судить о динамических свойствах не только звеньев, но и сложных замкнутых САУ.



Для линейных систем справедлив принцип суперпозиции: реакция системы на несколько одновременно действующих входных воздействий равна сумме реакций на каждое воздействие в отдельности. Это позволяет ограничиться изучением систем только с одним входом.

Рассмотрим несколько понятий, связанных с частотными характеристиками.

Рис. 2.7
Периодическое гармоническое возмущение в векторной форме может быть записано:

,

где .

Последнее выражение представляет собой единичный вектор, у которого — вещественная часть, — мнимая часть, Х – амплитуда, — фазовое состояние процесса. По истечении переходного процесса на выходе разомкнутой системы установятся вынужденные периодические колебания, определяемые выражением .

По определению комплексный коэффициент усиления получают из передаточной функции при подстановке в нее вместо :
; (2.8)
здесь зависит от частоты, так же как от частоты зависит и величина .

Так как и – векторы, то их можно изобразить на комплексной плоскости. Вектор будет изображен в виде отрезка, длина которого равна амплитуде (рис. 2.8):



, , (2.9)
где – действительная часть; – мнимая часть.
Рис. 2.8

Таким образом, комплексный коэффициент усиления есть векторная величина, модуль которой

, а фаза (2.10)
отсчитывается от действительной оси.

При непрерывном изменении частоты происходит изменение модуля и фазы вектора. Конец вектора описывает на комплексной плоскости некоторую кривую, называемую годографом. Годограф – геометрическое место точек конца вектора комплексного коэффициента усиления на комплексной плоскости при изменении частоты от 0 до .

Значения частот откладываются непосредственно на годографе, который, таким образом, является амплитудно-фазочастотной характеристикой. Для определения модуля и фазы комплексного коэффициента усиления на заданной частоте следует соответствующую точку годографа соединить прямей с началом координат. Длина полученного отрезка соответствует в определенном масштабе модулю, а фаза определяется углом, образованным этой прямой и положительной полуосью действительных величин (рис. 2.9).

При расчетах систем пользуются логарифмической амплитудночастотной (ЛАЧХ) и логарифмической фазочастотной (ЛФЧХ) характеристиками. В этом случае по горизонтальной оси откладывают частоту в логарифмическом масштабе, что позволяет отложить на заданном отрезке значительный диапазон частот.
Рис. 2.9

Эта наиболее удобная форма представления частотных характеристик для решения задач анализа и синтеза систем.

Рассмотрим амплитудно-фазовую характеристику:

. (2.11)
Прологарифмируем ее:

.

На практике используют десятичные логарифмы ,

т. к.

. (2.12)

Рассмотрим координатную систему для такого представления (рис. 2.10). По оси абсцисс откладываем величину . Введем две единицы измерения: декаду, октаву. Декада — длина отрезка по оси абсцисс, соответствующая десятикратному изменению частоты. Число декад ,

где — крайняя высокая частота рассматриваемого диапазона;

— крайняя нижняя частота.

Например, частотный диапазон от до содержит четыре декады, т. к. . Первая декада – от 1 до 10 с-1, вторая – от 10 до 100 с-1; третья – от 100 до 1 000 с-1 и т. д.


Рис. 2.10
Октава – длина отрезка по оси абсцисс, соответствующая двукратному изменению частоты. В одной декаде содержится 3,32 октавы. Декадный интервал применяют чаще.

Фазу обычно откладывают по оси ординат в угловых градусах или в радианах. Ординатой амплитудно-частотной характеристики является не величина , а пропорциональная ей величина в децибелах, (шкала равномерная).

Точка пересечения с осью абсцисс соответствует .

Использование логарифмического масштаба при построении ЛАЧХ обусловлено не столько значительными изменениями модуля комплексного коэффициента усиления, сколько возможностью осуществления графических методов расчета. При расчетах САУ часто приходится иметь дело с произведением коэффициентов усиления. А так как логарифм произведения равен сумме логарифмов, то при графических расчетах для получения произведения нескольких значений весьма удобно осуществить сложение их логарифмов. Удобство логарифмического масштаба по оси ординат в том, что на одном графике можно представить значения, отличающиеся на несколько порядков.

Главным достоинством логарифмических амплитудных частотных харак­теристик является возможность построения их во многих случаях практи­чески без вычислительной работы. Это особенно проявляется в тех случаях, когда частотная передаточная функция может быть представлена в виде произведения сомножителей. Тогда результирующая ЛАЧХ может быть найдена суммированием ординат ЛАЧХ, соответствующих отдельным сомно­жителям. Часто не требуется даже такого суммирования и результирующая ЛАЧХ может быть приближенно построена в виде так называемой асимпто­тической ЛАЧХ, представляющей собой совокупность отрезков прямых линий с наклонами, кратными величине 20 дБ/дек.
2.4. Типовые динамические звенья
САУ может состоять из устройств, работающих на самых различных принципах. Нередки сочетания, когда в системе наряду с механическими устройствами (например, редуктором) имеются электромеханические, (электродвигатели, реле, электромагниты и др.), гидравлические, электронные и другие устройства. Независимо от физических принципов их работы все многообразие устройств, используемых в САУ, с точки зрения теории автоматического управления, может быть сведено к сравнительно небольшому числу так называемых типовых динамических звеньев.

Принадлежность к тому или иному типу динамического звена определяется дифференциальным уравнением движения звена, связывающего входную и выходную величины устройства, изменяющиеся во времени по определенным законам. Иными словами, если какие-то различные устройства относятся к одному типу звена, то при действии на входе этих устройств некоторых величин , меняющихся по закону , на выходе будут действовать величины , меняющиеся только по закону .

Для звеньев другого типа при том же изменении входной величины по закону выходная величина должна меняться по другому, отличному от первого случая закону . Следует заметить, что некоторые устройства представляют собой комплекс типовых звеньев, соединенных тем или иным способом (например, электродвигатель в ряде случаев представляется двумя типовыми звеньями); некоторые технологические системы удобно представлять как комбинацию типовых звеньев, число которых может быть различно.

1. Звено, реализующее коэффициент передачи (рис. 2.11, 2.12):
(2.13)
Примеры технической реализации



Рис. 2.11. Редуктор: x1, x2 – углы поворота

Рис. 2.12. Измеритель давления

где Z1, Z2 – число зубьев колес редуктора.

Естественно, что частотные характеристики будут иметь вид (рис. 2.13)



Рис. 2.13

2. Идеальное интегрирующее звено:
(2.14)
Примеры технической реализации
Идеальный электродвигатель (рис. 2.14), для которого
(2.15)



Рис. 2.14


Рис. 2.15. Интегрирующий привод:

1 – электродвигатель; 2 – тахогенератор; 3 – редуктор; 4 – усилитель; 5 – измерительный потенциометр


Переходная и весовая характеристика

Уравнение звена при имеет вид
(2.16)
Переходная функция – прямая линия. Выходная величина непрерывно нарастает по линейному закону при постоянном значении входной величины.

Весовая характеристика имеет вид
(2.17)


Частотные характеристики
(2.18)

откуда

Годограф W(j) совпадает с отрицательной мнимой полуосью (рис. 2.16, а). Амплитудная характеристика представляет собой гиперболу (рис. 2.16, б). Амплитуда выходных колебаний звена при постоянной входной амплитуде убывает обратно пропорционально частоте. Фазовая характеристика – постоянная (рис. 2.16, в). Это значит, что при всех частотах выходные колебания отстают по фазе от входных на 90.
(2.19)
Как видно, в логарифмическом масштабе частот L() - прямая с отрицательным наклоном 20 дБ на декаду, проходящая через точку 20lgk, при =1 (рис. 2.17).



Рис. 2.16. Годограф: а) – W(j) , б) – амплитудная; в) – фазовая

характеристики интегрирующего звена


Рис. 2.17. Логарифмическая амплитудная (1) и фазовая (2) характеристика интегрирующего звена


3. Инерционное звено 1-го порядка (апериодическое звено).
Передаточная функция звена
(2.20)
где К - коэффициент усиления (передачи);

Т - постоянная времени.
Примеры технической реализации (рис. 2.18, 2.19, 2.20)
(2.21)
если RC=T, то



Рис. 2.18


Рис. 2.19: Р1 – давление в магистрали; Р2 – давление в резервуаре
При мгновенном открытии клапана 1 давление Р2 будет изменяться в соответствии с передаточной функции апериодического звена.



Рис. 2.20
Идеальное интегрирующее звено, охваченное отрицательной обратной связью:
(2.22)
или, приводя к стандартному виду:
(2.23)

где
Переходная характеристика выражается формулой:
(2.24)
График переходной характеристики представлен на рис. 2.21.

Переходную характеристику звена можно получить также из решения неоднородного уравнения:
(2.25)

Рис. 2.21. Переходные характеристики инерционного звена 1-го порядка при различных постоянных времени Т (Т1Т2Т3)
Для инерционного звена 1-го порядка весовая характеристика имеет вид

(2.26)

а частотные характеристики будут:

(2.27)
На рис. 2.22 показано построение амплитудных W() и фазовых () характеристик для различных значений постоянной времени Т, а на рис. 2.23 – амплитудно-фазовая характеристика.

Как следует из выражения и графиков амплитудной характеристики, усиление звена по амплитуде непрерывно падает с ростом частоты. При малых частотах (0) инерционное звено воспроизводит входной сигнал почти так же, как усилительное с коэффициентом усиления k. При  звено вообще не пропускает сигнала. Подавление высокочастотных сигналов происходит тем интенсивнее, чем больше постоянная Т. Фазовая характеристика звена отрицательна это значит, что выходные колебания отстают по фазе от входных. Отставание растет с ростом частоты и постоянной Т. Фаза при . При фаза .

Логарифмические частотные характеристики запишем в виде
(2.28)
Определим приближенные значения L() при малых частотах и и больших частотах, когда и

1) при

2) при

Рис. 2.22. Амплитудные (а) и фазовые (б) частотные характеристики инерционного звена 1-го порядка при различных постоянных времени Т(Т3Т2Т1)


Рис. 2.23. Годограф амплитудно-фазовой характеристики инерционного звена
На рис. 2.24 построена ломаная, состоящая из двух асимптот, которые всегда пересекаются при частоте



Рис. 2.24. Логарифмическая амплитудная характеристика инерционного звена 1-го порядка


Рис. 2.25. Логарифмическая фазовая характеристика инерционного звена
4. Инерционное звено 2-го порядка (колебательное звено).

Передаточная функция в стандартной форме имеет вид
(2.29)
где К – коэффициент передачи;

Т – постоянная времени;

 – относительный коэффициент демпфирования.

Необходимо отметить, что в записи передаточной функции используются и следующие формы, которые легко преобразуются друг в друга:
(2.30)
(2.31)
где 0 – частота собственных незатухающих колебаний.

Пример технической реализации приведен на рис. 2.26.



Рис. 2.26. Электрический колебательный контур
Цепь присоединена к генератору «Г» с малым внутренним сопротивлением и ЭДС Е=Е(t).

Дифференциальное уравнение контура, как известно, имеет вид
(2.32)
что соответствует передаточной функции колебательного звена.

Соединение двух идеальных интегрирующих звеньев с помощью обратных связей (рис. 2.27) также приводит к образованию колебательного звена.



Рис. 2.27


Переходная функция получается как решение уравнения
(2.33)
при нулевых начальных условиях.

В зависимости от значений  получаются следующие выражения переходной функции:

1) 1, оба полюса – вещественные отрицательные числа,
(2.34)
где

2) 1 , оба полюса комплексные, сопряженные, в этом случае звено называется колебательным и
(2.35)
где

3) =1 – критический случай, оба полюса сливаются в один кратный
(2.36)
Переходные функции для различных значений  показаны на рис. 2.27.

Выражение для амплитудно-фазовой характеристики имеет вид
(2.37)
Напомним, что – частота собственных колебаний звена;  – частота вынужденных колебаний.



Рис. 2.27. Переходные функции колебательного звена при различных значениях

коэффициента затухания
Частотные характеристики имеют следующий вид
(2.38)

Амплитудная частотная характеристика показана на рис. 2.28, а. Фазовая частотная характеристика показана на рис. 2.28, б.

Выражения для ЛАЧХ и ЛФЧХ будут иметь вид
(2.39)



Рис. 2.28. Амплитудная (а) и фазовая (б) частотные характеристики колебательного звена при различных коэффициентах затухания 
График W(j) на комплексной плоскости показан на рис. 2.29.



Рис. 2.29. Годограф W(j) колебательного звена при различных коэффициентах

затухания 

Амплитудные и фазовые логарифмические характеристики приведены на рис. 2.30, 2.31. При малых частотах L() имеет асимптоту, параллельную оси абсцисс. При больших частотах асимптотой будет прямая с наклоном 40 дБ на декаду. Обе асимптоты пересекаются при .



Рис. 2.30. Амплитудные логарифмические характеристики колебательного звена


Рис. 2.31. Фазовые логарифмические характеристики колебательного звена

Форсирующие и дифференцирующие звенья
Три элементарных звена: колебательное, инерционное и интегрирующее –обладают одним общим свойством – запаздыванием. Преобразование сигнала этими звеньями сопровождается запаздыванием. На это указывают, в частности, частотные характеристики этих звеньев: фазовая характеристика – отрицательная, а амплитудная – уменьшается с ростом частоты. Для компенсации запаздывания, связанного с упомянутыми тремя звеньями, в системах автоматического регулирования предусматриваются форсирующие и дифференцирующие звенья. Эти звенья обладают свойствами, противоположными запаздывающим звеньям. Фазовые характеристики этих звеньев положительны, амплитудные – растут с ростом частоты.

Передаточные функции форсирующих звеньев – обратные величины передаточных функций инерционного и колебательного звеньев. Передаточная функция дифференцирующего звена получается как обратная величина передаточной функции интегрирующего звена.

Форсирующее звено первого порядка
(2.40)
Форсирующее звено второго порядка
(2.41)
Дифференцирующее звено
(2.42)
Переходные функции форсирующих звеньев в общем случае включают ступенчатую функцию,  – функцию и ее производную. Частотные характеристики обратны по свойствам частотным характеристикам запаздывающих звеньев.

Логарифмические характеристики (фазовые и амплитудные) форсирующих и дифференцирующих звеньев являются зеркальным отображением логарифмических характеристик запаздывающих звеньев.
2.5. Построение логарифмических частотных характеристик
Для удобства построения частотных характеристик передаточную функцию целесообразно привести к виду, при котором числитель и знаменатель представляют собой произведения элементарных звеньев

(2.43)

При построении приближенной ЛАЧХ одноконтурной схемы, состоящей из устойчивых звеньев , необходимо суммировать ординаты ЛАЧХ типовых звеньев, т.е.

(2.44)
Аналогично строится и фазочастотная характеристика
(2.45)
ЛАЧХ разомкнутой системы, как правило, строят без построения ЛАЧХ отдельных звеньев. При этом целесообразно придерживаться следующей последовательности.

1. Передаточную функцию разомкнутой системы представить в виде произведения передаточных функций типовых звеньев.

2. Выписать в убывающем порядке постоянные времени всех звеньев, входящих в данную систему, и определить соответствующие им сопрягающие частоты:





3. Оцифровать ось частот логарифмического бланка так, чтобы сопрягающие частоты были примерно в средней части бланка.

4. При частоте отметить точку с ординатой , где К – коэффициент передачи разомкнутой системы. Через эту точку в диапазоне частот провести низкочастотную асимптоту ЛАЧХ с наклоном – дБ/дек, где – число интегрирующих звеньев одноконтурной системы.

5. Продолжить построение ЛАЧХ, изменяя наклон после каждой сопрягающей частоты в зависимости от того, какому звену эта сопрягающая частота соответствует. Наклон изменяется на –20 дБ/дек для инерционного звена, на +20 дБ/дек – для форсирующего звена первого порядка; на +40 дБ/дек – для форсирующего звена второго порядка, на –40 дБ/дек – для колебательного.

После построения асимптотической ЛАЧХ можно произвести ее уточнение, т. е. внести поправки, которые имеют существенное значение вблизи точек сопряжения, соответствующих колебательным и форсирующим звеньям второго порядка при или . Величины поправок для этих звеньев можно определить с помощью таблиц.

Пример построения ЛАЧХ (рис. 2.32)

,
где


Рис. 2.32
Контрольные вопросы и задания
1. С какой целью используются типовые входные воздействия?

2. Какие типовые воздействия используются для оценки динамики перехода САУ из одного установившегося положения в другие?

3. Какое типовое воздействие используется для оценки установившегося режима САУ?

4. Дайте определение переходной функции и импульсной переходной функции.

5. Что такое АЧХ и как эта характеристика строится экспериментально?

6. Дайте определение ФЧХ.

7. С какой целью и как строятся логарифмические частотные характеристики?

8. Что представляет собой асимптотическая ЛАЧХ?

9. Что представляет собой амплитудно-фазовая характеристика САУ?

10.Приведите технические примеры звена с постоянным коэффициентом передачи.

11.Запишите передаточную функцию и приведите технические примеры идеального интегрирующего звена.

12.Какой вид имеет асимптотическая ЛАЧХ идеального интегрирующего звена?

13.Запишите передаточную функцию и приведите технические примеры инерционного звена 1-го порядка.

14.Постройте асимптотическую ЛАЧХ инерционного звена 1-го порядка.

15.Постройте асимптотическую ЛАЧХ инерционного звена 2-го порядка.

16.Постройте асимптотическую ЛАЧХ САУ с передаточными функциями:

  1   2   3   4


Учебный материал
© bib.convdocs.org
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации