Кузнецов А., Автономов В. Высшая математика. Теория вероятностей. Решения сборника задач - файл n378.doc

Кузнецов А., Автономов В. Высшая математика. Теория вероятностей. Решения сборника задач
скачать (21859.5 kb.)
Доступные файлы (382):
n1.doc841kb.25.12.2007 18:21скачать
ReadMe_Description.txt1kb.13.09.2012 23:44скачать
n3.db
____.JPG22kb.30.01.2009 15:51скачать
n5.bmp
n6.bmp
n7.db
n8.bmp
n9.bmp
n10.bmp
n11.bmp
n12.db
n13.gif4kb.19.01.2009 16:49скачать
n14.gif7kb.30.01.2009 12:54скачать
n15.gif3kb.30.01.2009 12:54скачать
n16.gif3kb.30.01.2009 12:55скачать
n17.gif3kb.30.01.2009 12:55скачать
n18.gif4kb.30.01.2009 12:55скачать
n19.db
n20.bmp
n21.bmp
n22.bmp
n23.bmp
n24.bmp
n25.db
n26.gif6kb.30.01.2009 12:59скачать
n27.gif10kb.30.01.2009 12:59скачать
n28.gif16kb.30.01.2009 12:59скачать
n29.gif17kb.30.01.2009 12:59скачать
5.12[1].gif11kb.30.01.2009 12:59скачать
n31.db
n32.bmp
n33.bmp
n34.bmp
n35.bmp
5.1[1].bmp
n37.db
n38.bmp
n39.bmp
n40.bmp
n41.bmp
5.22[1].bmp
n43.db
n44.gif9kb.30.01.2009 13:04скачать
n45.bmp
n46.bmp
n47.gif15kb.30.01.2009 13:06скачать
n48.db
n49.jpg39kb.23.01.2009 22:15скачать
n50.jpg17kb.23.01.2009 22:17скачать
n51.jpg25kb.23.01.2009 22:18скачать
n52.jpg57kb.23.01.2009 22:19скачать
n53.jpg24kb.23.01.2009 22:21скачать
n54.jpg28kb.23.01.2009 22:23скачать
n55.jpg32kb.23.01.2009 22:24скачать
n56.jpg33kb.23.01.2009 22:26скачать
n57.db
n58.bmp
n59.bmp
n60.bmp
n61.bmp
n62.bmp
n63.bmp
n64.bmp
n65.bmp
n66.db
n67.bmp
n68.bmp
n69.bmp
n70.bmp
n71.bmp
n72.db
n73.bmp
n74.bmp
n75.bmp
n76.bmp
n77.bmp
n78.bmp
n79.db
n80.jpg24kb.23.01.2009 22:54скачать
n81.jpg25kb.23.01.2009 22:55скачать
n82.bmp
n83.bmp
n84.db
n85.bmp
n86.bmp
n87.bmp
n88.bmp
n89.db
n90.bmp
n91.bmp
n92.bmp
n93.bmp
n94.db
n95.bmp
n96.bmp
n97.db
n98.bmp
n99.bmp
n100.bmp
n101.bmp
n102.db
n103.bmp
n104.db
n105.bmp
n106.bmp
n107.bmp
n108.db
n109.bmp
n110.bmp
n111.bmp
n112.db
n113.bmp
n114.bmp
n115.bmp
n116.db
n117.bmp
n118.bmp
n119.db
n120.bmp
n121.bmp
n122.bmp
n123.bmp
n124.bmp
n125.db
n126.bmp
n127.bmp
n128.bmp
n129.db
n130.gif3kb.30.01.2009 12:16скачать
n131.gif3kb.30.01.2009 12:17скачать
n132.gif3kb.30.01.2009 12:18скачать
n133.gif3kb.30.01.2009 12:18скачать
n134.gif2kb.30.01.2009 12:18скачать
n135.gif5kb.30.01.2009 12:18скачать
n136.gif3kb.30.01.2009 12:18скачать
n137.gif2kb.30.01.2009 12:18скачать
n138.gif2kb.30.01.2009 12:18скачать
n139.db
n140.bmp
n141.bmp
n142.bmp
n143.bmp
n144.db
n145.gif3kb.30.01.2009 12:21скачать
n146.gif5kb.30.01.2009 12:24скачать
n147.gif6kb.30.01.2009 12:24скачать
n148.gif4kb.30.01.2009 12:24скачать
n149.gif5kb.30.01.2009 12:24скачать
n150.gif4kb.30.01.2009 12:24скачать
n151.gif4kb.30.01.2009 12:23скачать
n152.gif2kb.30.01.2009 12:23скачать
n153.gif2kb.30.01.2009 12:23скачать
n154.gif3kb.30.01.2009 12:23скачать
n155.gif3kb.30.01.2009 12:23скачать
n156.gif3kb.30.01.2009 12:23скачать
n157.gif4kb.30.01.2009 12:23скачать
n158.gif4kb.30.01.2009 12:23скачать
n159.db
n160.bmp
n161.bmp
n162.bmp
n163.bmp
n164.bmp
n165.bmp
n166.db
n167.gif5kb.30.01.2009 12:29скачать
n168.gif3kb.30.01.2009 12:31скачать
n169.gif3kb.30.01.2009 12:31скачать
n170.gif6kb.30.01.2009 12:31скачать
n171.gif7kb.30.01.2009 12:31скачать
n172.gif4kb.30.01.2009 12:31скачать
n173.gif4kb.30.01.2009 12:31скачать
n174.db
n175.gif10kb.30.01.2009 12:34скачать
n176.bmp
n177.bmp
n178.gif4kb.30.01.2009 12:34скачать
n179.db
n180.gif13kb.30.01.2009 12:35скачать
n181.gif8kb.30.01.2009 12:37скачать
n182.gif12kb.30.01.2009 12:37скачать
n183.gif6kb.30.01.2009 12:37скачать
n184.gif4kb.30.01.2009 12:37скачать
n185.gif10kb.30.01.2009 12:37скачать
n186.gif8kb.30.01.2009 12:36скачать
n187.gif4kb.30.01.2009 12:36скачать
n188.gif5kb.30.01.2009 12:36скачать
n189.gif12kb.30.01.2009 12:36скачать
n190.gif7kb.30.01.2009 12:36скачать
n191.gif7kb.30.01.2009 12:36скачать
n192.gif3kb.30.01.2009 12:37скачать
n193.gif9kb.30.01.2009 12:37скачать
n194.db
n195.gif6kb.30.01.2009 12:38скачать
n196.gif13kb.30.01.2009 12:42скачать
n197.gif4kb.30.01.2009 12:40скачать
n198.gif6kb.30.01.2009 12:41скачать
n199.gif2kb.30.01.2009 12:41скачать
n200.gif5kb.30.01.2009 12:41скачать
n201.gif4kb.30.01.2009 12:41скачать
n202.gif12kb.30.01.2009 12:41скачать
n203.gif8kb.30.01.2009 12:41скачать
n204.bmp
n205.db
n206.gif13kb.30.01.2009 12:44скачать
n207.gif13kb.30.01.2009 12:44скачать
n208.gif18kb.30.01.2009 12:44скачать
n209.gif15kb.30.01.2009 12:44скачать
n210.gif8kb.30.01.2009 12:44скачать
n211.gif4kb.30.01.2009 12:44скачать
n212.gif5kb.30.01.2009 12:44скачать
n213.gif4kb.30.01.2009 12:45скачать
n214.db
n215.bmp
n216.bmp
n217.bmp
n218.bmp
n219.bmp
n220.bmp
n221.bmp
n222.gif8kb.30.01.2009 12:48скачать
n223.gif9kb.30.01.2009 12:48скачать
n224.db
n225.gif3kb.17.01.2009 20:15скачать
n226.gif4kb.17.01.2009 20:15скачать
n227.gif9kb.17.01.2009 20:16скачать
n228.gif6kb.17.01.2009 20:16скачать
n229.gif5kb.19.01.2009 16:48скачать
n230.gif6kb.19.01.2009 16:48скачать
n231.gif5kb.19.01.2009 18:22скачать
n232.bmp
n233.db
n234.gif7kb.17.01.2009 20:20скачать
n235.gif7kb.19.01.2009 16:48скачать
n236.gif8kb.19.01.2009 16:49скачать
n237.gif7kb.19.01.2009 19:06скачать
n238.db
n239.gif13kb.17.01.2009 20:08скачать
n240.gif16kb.17.01.2009 20:08скачать
3.6[1].gif24kb.30.01.2009 12:53скачать
n242.db
n243.txt1kb.28.06.2012 21:44скачать
n244.doc960kb.25.12.2007 23:08скачать
n245.doc208kb.13.02.2007 21:53скачать
n246.doc287kb.13.03.2007 23:53скачать
n247.doc313kb.04.12.2006 04:38скачать
n248.doc318kb.11.12.2006 23:32скачать
n249.doc157kb.09.12.2006 19:17скачать
n250.doc297kb.15.12.2006 17:10скачать
n251.doc156kb.06.02.2007 00:40скачать
n252.doc208kb.13.02.2007 21:53скачать
n253.doc287kb.13.03.2007 23:53скачать
n254.doc313kb.04.12.2006 04:38скачать
n255.doc318kb.11.12.2006 23:32скачать
n256.doc157kb.09.12.2006 19:17скачать
n257.doc297kb.15.12.2006 17:10скачать
n258.doc156kb.06.02.2007 00:40скачать
n259.doc9243kb.06.12.2006 21:11скачать
n260.docскачать
n261.docскачать
n262.doc652kb.30.11.2006 20:01скачать
n263.docскачать
n264.doc6903kb.30.11.2006 19:59скачать
n265.docскачать
n266.doc1136kb.27.01.2007 17:29скачать
n267.docскачать
n268.docскачать
n269.doc156kb.06.02.2007 00:40скачать
n270.doc265kb.01.09.2008 23:22скачать
n271.doc157kb.09.12.2006 19:17скачать
n272.doc313kb.04.12.2006 04:38скачать
n273.doc297kb.15.12.2006 17:10скачать
n274.doc318kb.11.12.2006 23:32скачать
n275.doc169kb.22.04.2008 19:55скачать
n276.doc181kb.29.03.2008 19:10скачать
n277.doc291kb.22.10.2008 23:57скачать
n278.doc208kb.13.02.2007 21:53скачать
1.1-1.31.ang.doc148kb.26.12.2007 00:15скачать
2.1-2.31.ang.doc116kb.26.12.2007 00:15скачать
3.1-3.31.ang.doc128kb.26.12.2007 00:15скачать
n282.rar
n283.rar
n284.doc114kb.26.12.2007 00:13скачать
n285.doc96kb.26.12.2007 00:14скачать
n286.doc128kb.26.12.2007 00:13скачать
n287.doc119kb.26.12.2007 00:14скачать
n288.doc140kb.26.12.2007 00:14скачать
n289.doc145kb.26.12.2007 00:14скачать
n290.doc111kb.26.12.2007 00:14скачать
n291.doc126kb.26.12.2007 00:14скачать
n292.doc112kb.26.12.2007 00:14скачать
z2-p.doc91kb.26.12.2007 00:11скачать
n294.doc167kb.26.12.2007 00:12скачать
n295.doc154kb.26.12.2007 00:15скачать
n296.doc112kb.26.12.2007 00:12скачать
n297.doc166kb.26.12.2007 00:13скачать
n298.doc135kb.26.12.2007 00:13скачать
n299.doc124kb.26.12.2007 00:13скачать
n300.doc108kb.26.12.2007 00:13скачать
n301.doc132kb.26.12.2007 00:13скачать
n302.doc121kb.26.12.2007 00:13скачать
n303.docскачать
n304.doc1113kb.29.01.2007 16:27скачать
n305.doc652kb.30.11.2006 20:01скачать
n306.doc6903kb.30.11.2006 19:59скачать
n307.docскачать
n308.docскачать
n309.doc1136kb.27.01.2007 17:29скачать
n310.docскачать
n311.doc9243kb.06.12.2006 21:11скачать
n312.docскачать
n313.doc9243kb.06.12.2006 21:11скачать
n314.docскачать
n315.docскачать
n316.doc652kb.30.11.2006 20:01скачать
n317.docскачать
n318.doc6903kb.30.11.2006 19:59скачать
n319.docскачать
n320.doc1136kb.27.01.2007 17:29скачать
n321.docскачать
n322.docскачать
n323.doc156kb.06.02.2007 00:40скачать
n324.doc265kb.01.09.2008 23:22скачать
n325.doc157kb.09.12.2006 19:17скачать
n326.doc313kb.04.12.2006 04:38скачать
n327.doc297kb.15.12.2006 17:10скачать
n328.doc318kb.11.12.2006 23:32скачать
n329.doc169kb.22.04.2008 19:55скачать
n330.doc181kb.29.03.2008 19:10скачать
n331.doc291kb.22.10.2008 23:57скачать
n332.doc208kb.13.02.2007 21:53скачать
333=0=1347568675=1=Vysshaya matematika_Lynejnaja algebra.txt=txt
n334.doc960kb.25.12.2007 23:08скачать
n335.doc208kb.13.02.2007 21:53скачать
n336.doc287kb.13.03.2007 23:53скачать
n337.doc313kb.04.12.2006 04:38скачать
n338.doc318kb.11.12.2006 23:32скачать
n339.doc157kb.09.12.2006 19:17скачать
n340.doc297kb.15.12.2006 17:10скачать
1.1-1.31.ang.doc148kb.26.12.2007 00:15скачать
2.1-2.31.ang.doc116kb.26.12.2007 00:15скачать
3.1-3.31.ang.doc128kb.26.12.2007 00:15скачать
n344.rar
n345.rar
n346.doc114kb.26.12.2007 00:13скачать
n347.doc96kb.26.12.2007 00:14скачать
n348.doc128kb.26.12.2007 00:13скачать
n349.doc119kb.26.12.2007 00:14скачать
n350.doc140kb.26.12.2007 00:14скачать
n351.doc145kb.26.12.2007 00:14скачать
n352.doc111kb.26.12.2007 00:14скачать
n353.doc126kb.26.12.2007 00:14скачать
n354.doc112kb.26.12.2007 00:14скачать
z2-p.doc91kb.26.12.2007 00:11скачать
n356.doc167kb.26.12.2007 00:12скачать
n357.doc154kb.26.12.2007 00:15скачать
n358.doc112kb.26.12.2007 00:12скачать
n359.doc166kb.26.12.2007 00:13скачать
n360.doc135kb.26.12.2007 00:13скачать
n361.doc124kb.26.12.2007 00:13скачать
n362.doc108kb.26.12.2007 00:13скачать
n363.doc132kb.26.12.2007 00:13скачать
n364.doc121kb.26.12.2007 00:13скачать
n365.docскачать
n366.doc1113kb.29.01.2007 16:27скачать
n367.doc652kb.30.11.2006 20:01скачать
n368.doc6903kb.30.11.2006 19:59скачать
n369.docскачать
n370.docскачать
n371.doc1136kb.27.01.2007 17:29скачать
n372.docскачать
n373.doc9243kb.06.12.2006 21:11скачать
n374.docскачать
n375.doc156kb.06.02.2007 00:40скачать
n376.doc108kb.13.09.2012 23:17скачать
n377.doc56kb.13.09.2012 23:15скачать
n378.doc1055kb.14.06.2012 00:35скачать
n379.doc236kb.13.09.2012 23:13скачать
n380.doc434kb.13.09.2012 23:16скачать
n381.doc35kb.28.06.2012 22:05скачать
n382.doc338kb.13.09.2012 23:18скачать

n378.doc

1   2   3   4   5   6   7   8

Свойства плотности вероятности.



  1. Плотность вероятности является неотрицательной функцией.













Следствие: Если пространством элементарных событий является отрезок числовой оси, то пространство элементарных событий формально можно распространить на всю числовую ось, положив вне отрезка значение плотности вероятности равное 0.

Второе эквивалентное определение плотности вероятности.


Если плотность вероятности в точке x существует, то P(xXx+x)=f(x)x+о(x). Вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение в отрезке с точностью до о(x) равна F(x)x.
Пример:

Равномерное распределение.

тут p(x)=f(x).





т.к.



Экспоненциальное распределение.








Непрерывная случайная величина является математической абстракцией и в чистом виде на практике не встречается, хотя бы потому, что теоретически не может существовать измерительное устройство, вычисляющее это величину. Следовательно, всегда исследователь имеет дело со случайными дискретными величинами. На практике отрезок [a, b] разбивают на отрезки одинаковой длинны, длину устремляют к нулю. При этом x принадлежит отрезку. Вероятность того, что отрезок содержит x равна . При ситуация эквивалентна следующему: имеется бесконечное множество лотерейных билетов, один ваш. Ясно, что в конечной серии розыгрышей вы никогда не выиграете. Независимо от этого велико удобство работы с непрерывными величинами. Оно заключается в том, что вероятностные свойства задаются одной из двух функций - плотностью распределения либо плотностью вероятности.


Вероятностные характеристики непрерывных случайных величин.



Пусть имеется случайная величина, являющаяся функцией от непрерывной случайной величины X.

Y=(x)

Математическим ожиданием непрерывной случайной величены является число:

, - плотность вероятности случайной величины.

Обоснование этой формулы.

Аппроксимируем непрерывную случайную величину Y случайной величены Y*, которая является дискретной. Пусть числовая ось - пространство элементарных событий случайной величены X, разобьем всю числовую ось на отрезки достаточно малой длины.


2n отрезков.

Если в результате испытания случайная величена X попала в отрезок с начальной вершиной xi, то случайная величена X* приняла значение (xi) с точностью до бесконечно малой x - длины i-го отрезка. Вероятность того, что Y* примет значение (xi) с точностью до бесконечно малой более высокого порядка, чем x, тем более точно Y* аппроксимирует Y.

Вероятность наступления (xi) для Y* равна



, при эта сумма переходит в .

Тогда .

Самим показать, что все свойства мат. ожидания для дискретной случайной величены сохраняются для непрерывной случайной величены.



Доказать, что



Доказать самим, что свойство 1 и 2 для производящей функции в дискретном случае справедливы и для непрерывного.



Распределение Гаусса - нормальное



Случайная величина имеет нормальное распределение (распределение Гаусса) и называется нормально распределенной, если ее плотность вероятности



Из определения



функция распределения



Найдем выражение для производящей функции нормального распределения



=1 (интеграл Эйлера)



Изобразим примерный вид плотности


n(x,,)

v

z


Рассмотрим центрированную нормальную величину, т.е. MX=0



У центральной нормированной величины все нечетные начальные моменты равны 0



Функция Лапласа



Функцией Лапласа называется функция вида



Свойства:

1) при z>0 функция Лапласа определяет вероятность попадания нормальной случайной величины с параметрами

MX=0

DX=1

в интервале (0, z)

2)



3) - функция нечетная

Иногда в литературе встречаются два вида функций Лапласа



Функция Лапласа табулирована. Функция Лапласа используется для выполнения событий вида



для произвольных нормальных величин.

Найдем вероятность того, что в результате испытания над x произойдет сложное событие: x примет числовое значение, принадлежащее отрезку с концами (a, b).



Пример.

x - случайная величина.

f(x) - плотность вероятности.

Найти плотность вероятности g(n) случайной величины H.



Рассмотрим отрезок (h, h+dh). Событию попадание H в отрезок (h, h+dh) в силу однозначности функции h(x) соответствует попадание x в отрезок (x, x+dx). При этом вероятности наступления такого события одинаковы:



Тогда построим функцию h(x), обратную x(h), x=x(h).

т.к.

Вероятность первого события равна



Вероятность второго события



Следовательно



Неравенство Чебышева



Рассмотрим случайную величину X с конечным мат. ожиданием и дисперсией

Для любого неотрицательного числа t вероятность наступления события



Пусть Z - непрерывная случайная величина с плотностью вероятности f(Z). Пространство событий величины Z (0; ). Тогда имеет место неравенство



Доказать неравенства



Рассмотрим два сложных события



a - произвольное действительное число.

Показать самим, что x - удовлетворяет и одному и другому неравенству.

Тогда справедливо



В данном случае

Равномерность неравенств при >0





или, в частности, при a==MX



при =t справедливо неравенство Чебышева.

Многомерные случайные величины.



Инженерная интерпретация.

Проводится испытание. В результате испытания фиксируется m числовых значений X1, X2, ...,Xm. Исход испытания случайный.

Пример: Испытание - реализация некоторой технологии выпуска продукта. Исход - численное значение m характеристик, оценив которые мы оценим качество продукта.

Т.к. в процессе реализации технологии на технологию действуют случайные факторы, то результат испытания неоднозначен.


Аксиоматика. Формальная вероятностная модель.



Имеется вероятностное пространство: (, , P). Зададим m числовых измеримых скалярных функций 1(), ..., m(). Каждая из этих функций является одномерной по определению. Возьмем m произвольных действительных чисел и рассмотрим событие A.



Очевидно, что событие A является пересечением событий Ai вида:



Т.к. каждое Ai-алгебре, то и A-алгебре. Следовательно, существует вероятность наступления события A и существует числовая скалярная функция m действительных аргументов, которая определена для всех значений своих аргументов и численно равна вероятности наступления события A.

F(x1, x2, ...,xm)=P(A)

Это m-мерная функция распределения m-мерной случайной величены.

Свойства многомерного распределения:

  1. Значение функции при значении хотя бы одного ее аргумента равного -, равно 0, как вероятность невозможного события.

  2. Значение функции, при всех значениях ее аргументов равных +, равно 1, как вероятность достоверного события.

  3. Функция не убывает по любой совокупности ее аргументов.

  4. Функция непрерывна почти всюду (для инженерной практики это означает, что на конечном, либо счетном множестве аргументов она может иметь скачки 1-го рода).

Рассмотрим арифметическое пространство и зададим полуинтервалы вида:



Доказать самим, что P(B) существует, и образ этого множества принадлежит -алгебре по .



Можно доказать, что:



Т.о. многомерная функция распределения позволяет в m-мерном арифметическом пространстве задать счетно-аддитивную меру - функцию на поле, порожденному всеми m-мерными полуинтервалами объема (i, aibi). Тогда построим минимальную -алгебру на этом поле, которая называется борелевским полем (алгеброй) в m-мерном арифметическом пространстве. Любая скалярная функция m-аргументов удовлетворяет всем свойствам, приведенным для m-мерной функции распределения и однозначно задает вероятностное пространство вида:



Таким образом, для инженерного исследования задача свелась к следующему: пространство элементарных событий - это m-мерное арифметическое пространство. По результатам статистических испытаний нужно оценить m-мерную функцию распределения F(x1, x2, ...,xm). Рассмотрим числовую скалярную функцию m действительных аргументов. g(x1, x2, ...,xm). Функция g(x1, x2, ...,xm) называется борелевской, если для любого B в одномерном арифметическом пространстве соответствующая . Тогда справедлива теорема, доказательство которой полностью повторяет доказательство в одномерном случае. Скалярная функция - является измеримой скалярной функцией - случайной величиной.


Двумерные случайные величины.



Рассмотрим испытание, результатом которого является появление двух чисел из некоторого конечного либо счетного множества пар чисел. Это испытание физически может быть одним испытанием (мгновенное измерение прибором величены тока и напряжения в сети), а также может быть композицией двух испытаний, каждое из которых порождает одномерную дискретную величину. Условно двумерная дискретная случайная величина обозначается как XY, либо любые две буквы латинского алфавита, либо для: X:{x1, x2, ...,xs}, Y:{y1, y2, ...,yn}, проводя испытание над двумерной случайной величиной находят одно из чисел из X либо из Y. А вероятностное пространство двумерной случайной величены формально строится так:



Двумерной случайной величиной называется система из двух одномерных случайных величин X, Y, где как X, так и Y являются дискретными случайными величинами. В пространстве элементарных событий дискретной случайной величены XY определим сложное событие A: В результате испытания над двумерной случайной величиной XY, случайная величина X приняла значение xi, случайная величина Y - любое значение.





Вводим сложное событие B: В результате испытания над двумерной случайной величиной XY, случайная величина Y приняла значение y.





Найдем условную вероятность:



Аналогично:



Покажем что сумма условных вероятностей: ;



Условным математическим ожиданием является выражение:

;

Условной дисперсией называется выражение:

;

.

Условное мат. ожидание и дисперсия отличаются от безусловной только тем, что в их определении подставляется условная вероятность вместо безусловной.

Условное мат. ожидание случайной величены, при условии, что другая случайная величена приняла заданное значение определяет число-точку, относительно которой группируются результаты конкретных испытаний над одной случайной величиной, при условии, что в этом испытании (над двумерной случайной величиной XY) вторая случайная величена приняла заданное фиксированное значение.

Условная дисперсия определяет степень концентрации результатов конкретных испытаний над одной случайной величиной относительно условного мат. ожидания.

При решении практических задач условное мат ожидание и условная дисперсия обычно используются в следующем случае: проводят испытание над X и Y, исследователь имеет возможность измерять результаты испытания над одной случайной величиной, измерение другой недоступно. Если условные дисперсии малы, то в качестве неизвестного значения не измеряемой случайной величены, которую она приняла в результате испытания, можно брать мат. ожидание.


Двумерные непрерывные случайные величины.



Двумерная случайная величина называется непрерывной случайной величиной, если пространством ее элементарных событий является плоскость, либо область плоскости, либо область конечной ненулевой плоскости. Очевидно что X и Y являются одномерными непрерывными случайными величинами.


Следствием этого определения является следующее: любое сложное событие размерности 1 (произвольная кривая, принадлежащая пространству элементарных событий) имеет нулевую вероятность т.к. в противном случае вероятность достоверного события никогда бы не равнялась единице. Числовая скалярная функция двух действительных аргументов называется двумерной плотностью вероятности, двумерной случайной величины XY, если для фиксированных значений своих аргументов она выполняет равенство . Приведенное здесь определение является аналогичным определению одномерной плотности вероятности.



Ниже будет выведено условие существования плотности вероятности для фиксированных x, y.



Рассмотрим произвольную область G.

f(xi, yj)xiyj) - вероятность попадания в элементарный объем, примыкающий к точке i, j.

Разобьем область G на множество прямоугольников, покрывающих область G. Тогда на основании 3-й аксиомы теории вероятности имеем: вероятность искомого события равна:

. Точное выражение получим перейдя к пределу: (показать самим).

Числовая скалярная функция двух действительных аргументов называется двумерной функцией распределения, если она при фиксированном числе своих аргументов численно равна вероятности наступления Fx,y(x,y)=P(Xx, Yy), если X, y - непрерывные случайные величины, то значение функции распределения не изменится.

Доказать:







По определению второй смешанной производной.


1   2   3   4   5   6   7   8


Учебный материал
© bib.convdocs.org
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации