Потапов Б.Б. Основы тепломассообмена. Часть 2 - файл n1.doc

Потапов Б.Б. Основы тепломассообмена. Часть 2
скачать (850.5 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc851kb.24.11.2012 02:51скачать

n1.doc

Р а з д е л 2. Теплопроводность
2.1. Общие положения теории теплопроводности
Теплопроводность веществ
Как указывалось ранее, основной закон теплопроводности формулируется так: плотность теплового потока пропорциональна градиенту температуры, то есть

(2.1)

В этом уравнении множитель - это коэффициент теплопроводности, характеризующий способность вещества передавать энергию и определяющий её количество, которое проходит в единицу времени через единицу поверхности при падении температуры на один градус на единице длины нормали.

Для различных материалов неодинаковые: каждая из них зависит от структуры, плотности, влажности, давления и температуры. В большинстве случаев эти величины устанавливаются экспериментальным путем. Чтобы оценить, насколько различна способность проводить теплоту, укажем значения для некоторых веществ (табл.2.1). Так для слоя неподвижного воздуха при комнатной температуре =0,02 Вт/(м град), алюминия – 200, золота -300, меди – 386 и для серебра – 410 Вт/(м град). Одним из наименее теплопроводных чистых металлов является титан (15Вт/(м град)). Железо обладает средней теплопроводностью 95 Вт/(м град).
Таблица 2.1. Значения коэффициента теплопроводности материалов

Наименование материала

Значение показателя (Вт/(м град))

Медь

386

Алюминий

200

Углеродистая сталь

50

Огнеупорный кирпич

1-5

Стекло

0,75

Пластмассы

0,2-0,45

Вода

0,6

Моторное масло

0,15

Мазут

0,12

Огнеупорный изоляционный

материал

0,2-0,03

Воздух

0,02


С увеличением температуры значение для чистых металлов падает, а при наличии примесей в сталях влияние её будет различно.

Плохими проводниками являются строительные и теплоизоляционные материалы (=5-0,03 Вт/(м град)), что объясняется их высокой пористостью.

У твердых неметаллических материалов, а также теплоизоляционных материалов при высоких температурах, значение  увеличивается с увеличением температуры.

У жидкостей коэффициент теплопроводности уменьшается с увеличением температуры (кроме воды и глицерина).

Теплопроводность газов значительно увеличивается с ростом температуры. Значения теплопроводности для газов колеблются примерно в диапазоне от 0,006 до 0,1 Вт/(м град). Исключение составляют водород и гелий, теплопроводность которых в 5-10 раз выше, чем у остальных газов.

Анализ зависимости коэффициента теплопроводности от температуры показывает, что для большинства твердых тел, жидкостей и газов при умеренных температурах эта зависимость приближенно может быть оценена линейной формулой

(2.2)

где - коэффициент теплопроводности материала при t = 0 C0 , - экспериментальная константа.
Дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье



Рис. 2. К выводу дифференциального уравнения теплопроводности


Дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье является математическим выражением закона сохранения энергии. Оно выводится из рассмотрения баланса энергии для элементарного объема материала, в котором происходит перенос теплоты теплопроводностью. При составлении баланса энергии учитывается возможное генерирование энергии внутри материала (тепловыделение при физико-химических превращениях, нагрев при пропускании через тело электротока)

Физической основой вывода уравнения теплопроводности служит следующая формулировка баланса энергии: Сумма энергии подводимой к элементарному объему вследствие теплопроводности и генерируемой внутри его равна сумме энергий отводимой из элементарного объема вследствие теплопроводности и аккумулированной внутри ее.

Решаем задачу в прямоугольной системе координат. Предположим, что рассматриваемое тело - изотропное, температурные деформации элементарного объема пренебрежимо мало и температурное поле стационарно. Материал тела характеризуется коэффициентом теплопроводности , теплоемкостью c и плотностью .

Обозначим составляющие теплового потока за время ,

а составляющие покидающие объем - . Согласно определению плотности теплового потока: количество теплоты, подводимое к элементному объему вследствие теплопроводности:



Соответственно количество теплоты, отводимое из элементарного объема:



Тогда изменение теплосодержания объема dV за время d вызванное теплопроводностью составит:

(2.3)

Плотности потоков и, и , и незначительно отличается. Поэтому каждую из них можно вблизи с точкой с координатами x,y,z разложить в ряд Тейлора по степеням dx,dy,dz.

(2.4)

После подстановки (2) в (1) получим:

(2.5)

Генерация энергии в элементарном объеме может быть охарактеризована объемной плотностью теплового потока, которая определяется как количество теплоты, выделяемое (поглощаемое) внутренними источниками в единице объема в единицу времени qv (Вт/м3). Тогда количество теплоты, генерируемое в элементарном объеме за время , составит:

(2.6)

Количество энергии, аккумулированное в элементарном объеме равно:

(2.7)

В зависимости от характера движения среды, в которой протекает процесс, содержание полного дифференциала температуры разное. Для твердого тела

, (2.8)

а для жидкости:

, (2.9)

где - проекция вектора скорости среды на оси прямоугольной системы координат.

Согласно физической постановке уравнение баланса энергии принимает вид:

(2.10)

После подстановки составляющих уравнения баланса, имеем



.

Учитывая принятые в математическом анализе понятия градиента, дивергенции и оператора Лапласа

; ,

получим классическое уравнение Фурье-Кирхгофа в виде:

. (2.11)
Такая форма записи справедлива для любой среды (движущейся и неподвижной) и любой системы координат. Если необходим учет зависимости теплофизических свойств от температуры, то уравнение переноса следует представлять в виде

.
Если значения неизменны, то дифференциальное уравнение теплопроводности имеет вид

;

, (2.12)

где а - коэффициент температуропроводности характеризует скорость изменения температуры тела и является мерой теплоинерционных свойств.

Из анализа уравнения следует, что скорость изменения температуры будет тем больше, чем больше коэффициент температуропроводности.. При прочих равных условиях скорость выравнивания температур будет больше в тех телах, где значение этой величины выше.

Для твердых тел с учетом (2.8) дифференциальное уравнение теплопроводности принимает вид:

;

; (2.13)

Для движущейся среды, после раскрытия содержания полного дифференциала согласно соотношению (2.9), уравнение переноса принимает вид:

, (2.14)

где - составляющие скорости движения точки.

Если генерация энергии в твердом теле отсутствует (), то уравнение (2.13) называется дифференциальным уравнением теплопроводности Фурье и выглядит так

; . (2.15)

В случае одномерных задач дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье записывается в виде:

- для пластины ; (2.16)

- для цилиндра ; (2.17)

- для сферы . (2.18)

В общем случае дифференциальное уравнение имеет бесчисленное множество решений, и чтобы выделить из него то, которое описывает интересующий нас процесс, в уравнении необходимо добавить условия однозначности, которые включают геометрические характеристики объекта (форма и линейные размеры), теплофизические характеристики , а также краевые условия.

Краевыми условиями называют совокупность начального и граничного условия, а отыскание решений с учетом этих условий – краевой задачей математической физики.

Начальные условия задаются только для нестационарных процессов и содержат распределение температуры внутри тела в начальный момент времени. Математически начальные условия записываются в таком виде:

(2.19)

Наиболее простой случай, имеющий практическое значение, соответствует одинаковым значения температур по всему объему тела:

.

Граничные условия отображают условия теплового взаимодействия между окружающей средой и поверхностью тела. Известны четыре рода указанных условий.

Граничные условия I-го рода состоят в задании температуры на поверхности тела как функции координат и времени.

, ,

где - поверхность тела. Примером граничных условий I-го рода является постоянство температуры поверхности



С некоторым приближением граничные условия I-го рода можно отнести к задачам нагрева и охлаждения тел при заданном изменении температуры поверхности, когда эти процессы протекают достаточно медленно, или при весьма интенсивном теплообмене на поверхности, когда температура поверхности близка к температуре среды.

Граничные условия II-го рода состоят в задании плотности теплового потока на поверхность тела как функции координат и времени

, (2.20)

Примером граничных условий II рода является постоянство указанной плотности:

.

С достаточной точностью подобные условия теплообмена реализуются при нагревании тел в высокотемпературных печах, когда теплообмен происходит излучением. Граничные условия II-го рода находят частое применение при выравнивании температур в теплоизолированных системах, а также при решении задач симметричного нагрева и охлаждения.

Граничные условия III-го рода состоят в задании зависимости плотности теплового потока вследствие теплопроводности со стороны тела от температуры поверхности, температуры среды и закона теплообмена. Плотность теплового потока отводимого за счет теплопроводности от поверхности тела определяется законом Фурье. Для описания теплообмена между поверхностью тела и средой используется гипотеза Ньютона – Рихмана. Приход теплоты равен её расходу вследствие закона сохранения энергий. С учетом этого граничное условие III рода запишется в виде:
. (2.21)

Граничные условия IV-го рода (условие сопряжения) соответствует теплообмену соприкасающихся твердых тел. Задаются как равновесие температур (условие неразрывности температурного поля) и тепловых потоков (сохранения энергии на поверхности соприкосновения) в месте контакта:

;

. (2.22)
2.2. Теплопроводность и теплопередача при стационарном

режиме.
Количественные соотношения для теплопередачи выводятся в результате рассмотрения явления теплопроводности при граничных условиях третьего рода. Поэтому количественную оценку теплопроводности и теплопередачи удобно рассмотреть в одном разделе.

При стационарном режиме температурное поле не зависит от времени

и дифференциальное уравнение принимает вид

. (2.23)

Если источник не существует (), то

или . (2.24)

Уравнения такого вида носит названия уравнения Лапласа и является общим уравнением теории потенциальных полей (температурных, электронных, гидродинамических и прочих).
Теплопроводность и теплопередача через плоскую стенку


Граничные условия I-го рода. Рассмотрим пластину толщиной , изотропную, имеющую на одной поверхности температуру tс1 , на другой tс2. Пусть температура на поверхности OY и OZ будут постоянны, а изменение температуры будет наблюдаться только по направлению OX.

По словесному описанию составим её математическую постановку:
; (2.25)

(2.26)



Рис. 2. . К задаче нагрева плиты при граничных условиях I рода
При интегрировании уравнения (2.25) получается решение для любых граничных условий



(2.27)
Из уравнения видно, что распределение температур в пластине линейное и плотность теплового потока в любом её сечении одинакова

. (2.28)

Постоянные интегрирования С1 и С2 определяются подстановкой граничных условий (2.26) в решение (2.27):

; ; ;

. (2.29)

Плотность теплового потока из уравнения (2.28)

. (2.30)

Тепловой поток в однослойной плоской стенке определяется формулой
(2.31)
Для многослойных стенок расчетные выражения имеют вид:

(2.32)

(2.33)


Граничные условия II-го рода. Граничные условия II-го рода состоят в задании плотности теплового потока на поверхность тела. В решении предыдущей задачи показано, что распределение температур в пластине линейное и плотность теплового потока в любом её сечении одинакова. Её значение определено условием настоящей задачи, что делает возможным установить значение одной из постоянных интегрирования из уравнения (2.28):

.
Для определения второй константы условий не остается, то есть она может принимать любое значение. Это означает, что при граничных условиях II-го рода единственного решения задачи стационарной теплопроводности не существует.

Граничные условия III-го рода (теплопередача).

Постановка и решение задачи стационарной теплопроводности для плоской стенки при граничных условиях III рода приведены в главе 1 и имеют вид:
;

.
Влияние переменности на распределение температур в пластине
Ранее указывалось на зависимость коэффициента теплопроводности материала от температуры. Учет этого фактора может существенно уточнить расчеты температурного и теплового состояния элементов конструкций энергетического оборудования. Необходимо ответить на два основных вопроса - как выполнять расчеты тепловых потоков и какой характер изменения температуры по толщине нагреваемого изделия с учетом переменности .

В случае переменности коэффициента теплопроводности от температуры уравнение переноса Фурье следует принимать в виде

.

После интегрирования и приведения к удобному виду получим

; ;

.



Известно, что правая часть уравнения представляет собой среднее в заданном интервале температур значение коэффициента теплопроводности cp. Если изменяется по линейному закону , в результате интегрирования получим

(2.34)

В этом случае расчет плотности теплового потока следует выполнять по формуле

. (2.35)
Установить характер температурного поля можно из анализа изменения градиента температуры

(2.36)

Примем зависимость коэффициента теплопроводности от температуры в виде

.

Проанализируем три варианта поведения этой зависимости:

( не зависит от температуры);

(с увеличением температуры увеличивается);

(с увеличением температуры  уменьшается).

Из уравнения (2.36) следует, что при значении коэффициент  и градиент температуры не меняются. Характер изменения температур – прямая линия. Если значение , то коэффициент  с повышением температуры увеличивается, а градиент температуры снижается (верхняя кривая). Если значение , то коэффициент  с повышением температуры уменьшается, а градиент температуры увеличивается (нижняя кривая).
Теплопроводность и теплопередача в цилиндрической стенке.
; ; . Дифференциальное уравнение теплопроводности имеет вид: ; ; ; ; ; ; ; ; ; Q=qF=const;

Граничные условия I рода.

При : . При : . ; ; ; ; ; ;  Т.е. температура по толщине цилиндрической стенки изменяется по логарифмической кривой. ; ; ;

Линейный тепловой поток ; ; - термическое сопротивление теплопроводности цилиндрической стенки. ; ;

Граничные условия II-го рода. В этом случае, как и для плоской стенки, задача не имеет единственного решения. Доказательство аналогично доказательству для плоской стенки.

Граничные условия III-го рода.

; ; ; ; ;
; ; ; ; .

- сопротивление теплоотдачи на внутренней стенке.

- сопротивление теплоотдачи на внешней стенке.

; - коэффициент теплопередачи. - уравнение теплопередачи для цилиндрических стенок.
Теплопередача через многослойные стенки.
Вывод как для однослойной стенки. В случае многослойной цилиндрической стенки система равенств должна быть заменена системой учитывающей сопротивление теплопроводности всех слоев. предствим новую систему отношения разности температур в левой части, после сложения и решения, получим для n слоев:

;

Критический диаметр цилиндрической стенки.

Рассмотрим влияние изменения диаметра d2 на термическое сопротивление однослойной стенки. Ранее показано, что полное термическое сопротивление цилиндрической стенки равно: (1). Пусть .

Из уравнения(1) следует, что -const; при увеличении d2 будет возрастать, а - будет уменьшаться.

На рис. показано - изменение этих сопротивлений при переменном d2. Рис. указывает на наличие экстремума функции Rl. Для отыскания экстремума приравняем

; .

. Равенство II производной > 0 имеет место min функции. Тогда при термическое сопротивление Rl будет минимальным.

Если , то с увеличением термическое сопротивление падает, что указывает на доминирующее влияние увеличение наружной поверхности.

Если , то Rl будет возрастать, что указывает на доминирующее влияние толщины стенки.

Рассмотрим критический диаметр изоляции, наложенной на трубу:

; ;

Из уравнения следует, что при увеличении dиз, ql будет возрастать, при dиз=dкр достигнет максимума, и при дальнейшем увеличении dиз будет снижаться.

При проектировании изоляции, выбрав какой либо изоляционный материал, следует рассчитать dкр. Если , то применение выбранного материала в качестве тепловой

изоляции не целесообразно. Если , то при увеличении толщины изоляции будет наблюдаться теплопотока. Только при dиз=dиз эф тепловые потери станут такие же как для неизолированного первоначального трубопровода. Следовательно некоторый слой изоляции не будет оправдывать своего назначения, т.е. .
Обобщенный метод решения задач теплопередачи для тел любой формы.
- для пластины. ; - логарифмическое усреднение. ,(С) где - толщина стенки. Легко показать, что для сферической стенки расчет теплового потока может быть проведен по формуле (С), где - геометрическое усреднение.

Таким образом для всех стенок классической формы (пластина, цилиндр, сфера), а также тел произвольной формы может производиться по формуле: , учитывая, что : для пластины . для цилиндра . Для сферы . Для произвольной формы, выбираем наиболее точную из приведенных.

Для многослойных стенок

.
Пути интенсификации теплопередачи.
. Если =const, то увеличивать тепловой поток можно за счет увеличения K или F.

Интенсификация теплопередачи за счет увеличения коэффициента теплопередачи:

. Для металлических стенок , тогда если , . Коэффициент К не может быть больше самого малого . Рассмотрим пример:

и то .

и то

и то

и то

Из примера видно, что при увеличение большего практически не дает увеличения К. Увеличение меньшего (1) в 2,5 раза дает увеличение К во столько же раз.

Для увеличения коэффициента теплопередачи следует увеличивать меньший коэффициент теплопередачи.

За счет увеличения поверхности (оребрение стенок).



Из уравнения теплопередачи следует, что при =const, увеличить тепловой поток можно за счет увеличения поверхности. Практически это осуществляется их оребрением.

Интенсификация теплопередачи за счет оребрения поверхности теплообмена.

Оребрять нужно ту поверхность, где  меньше, оребрять нужно наружную поверхность, поэтому при проектировании теплообменника необходимо, чтобы жидкость, где меньше, омывала наружную поверхность. ребра должны располагаться вдоль потока; при свободном движении жидкости ребра должны быть вертикальными; наличие ребер должно учитываться в коэффициенте теплопередачи Кр. коэффициент теплопередачи оребренной поверхности. Q и Кр зависят от формы ребер, тела и формы стенки. Применяют два типа ребер: 1) прямые 2) круглые.

Оребрение поверхности уменьшает общее термическое сопротивление и увеличивает общий тепловой поток, а температура поверхности приближается к температуре омывающей среды, поэтому наличие ребер может использоваться как средство снижения температуры стенки.

Принимаем tж2 неизменным для всей поверхности и участки ребер, удаленные от основания, будут передавать большее количество теплоты, чем участки удаленные от него. . Отношение теплоты Qp передаваемой поверхностью ребер в окружающую среду к количеству теплоты, которую поверхность могла бы отдать при постоянной температуре, равной температуре у основания называют коэффициентом эффективности ребер. .

Запишем количество теплоты передаваемое жидкостью с температурой tж1 к поверхности F1. . Количество теплоты передаваемое теплопроводностью через стенку толщиной : . Количество теплоты передаваемое от оребренной стенки к жидкости с температурой tж2.

Разрешим систему относительно разности температур и суммируя, а также разделив относительно Q получим:

. . . . . ; .

Учебный материал
© bib.convdocs.org
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации