Потапов Б.Б. Основы тепломассообмена.Часть 6 - файл n1.doc

Потапов Б.Б. Основы тепломассообмена.Часть 6
скачать (5343.5 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc5344kb.24.11.2012 03:00скачать

n1.doc

2.3 Нестационарная теплопроводность

Охлаждение (нагревание) тел конечных размеров.



О х л а ж д е н и е п а р а л л е п и п е д а. Рассмотрим охлаждение параллелепипеда в среде с постоянной температурой и постоянным коэффициентом теплоотдачи ? на всех его гранях. В начальный момент времени (?=0) все точки параллелепипеда имеют одинаковую температуру t0. Параллелепипед с размерами является однородным и изотропным. Требуется найти распределение температуры для любого момента времени.




Рис. Схема для определения температуры

в избранных точках параллелепипеда
Поместим начало координат в центр параллелепипеда. При этом дифференциальное уравнение запишется следующим образом:



Начальные условия:



Граничные условия:







Условия симметричности нагрева:



Параллелепипеды, цилиндры конечных размеров и прямоугольные стержни можно рассматривать как тела, образованные пересечением неограниченных тел. Так

- параллелепипед – тело, образованное пересечением трех неограниченных пластин толщиной

- цилиндр конечных размеров – тело, образованное пересечением неограниченного цилиндра диаметром 2r и пластиной толщиной 2R;

- стержень бесконечной длины – тело, образованное пересечением двух неограниченных пластин с толщиной .

Можно доказать, что решение таких задач представляется произведением безразмерных температур для тел неограниченных размеров, в результате пересечения которых образовалось рассматриваемое тело.

Как было сказано ранее, параллелепипед образован в результате пересечения трех взаимно перпендикулярных бесконечных пластин конечной толщины. Следовательно, для него и решение можно представить как произведение безразмерных температур для трех безграничных пластин


где



Общее решение в развернутом виде запишется следующим образом:



Приведенное решение удовлетворяет как дифференциальному уравнению, так и граничным условиям, описывающим процесс теплопроводности в параллелепипеде.

Таким образом, решение задачи для параллелепипеда свелось к решению задачи для безграничной пластины конечной толщины. Последнее уравнение можно записать так:

,

или



В последнем уравнении вычисляются по решениям для граничных условий III рода, выведенных ранее, или определяются по графикам построенным по этим решениям.

Охлаждение длинного прямоугольного стержня.





Рис. Схема расположения расчетных точек в прямоугольном стержне
Однородный стержень охлаждается в среде с постоянной температурой tc и при постоянном коэффициенте теплопроводности на его поверхностях. В начальный момент времени все точки стержня имеют одинаковую температуру.

Поперечное сечение стержня представляет собой прямоугольник размерами . Такое тело можно рассматривать как результат пересечения двух пластин толщиной , условия однозначности для которых такие же, как и для образовавшегося стержня. Безразмерное температурное поле для поставленной задачи определяется произведением



где






Порядок расчета температур в избранных точках следующий. Температура в точке 1 устанавливается произведением решений для осей пластин толщиной 2Rx и 2Ry
.

Каждое из них определяется по графикам для оси пластины по значениям

.

После этого пересчетом определяется размерная температура на оси стержня.



Точка 2 находится на поверхности стержня и равно отстоит от граней. Эта точка лежит на оси пластины толщиной 2Ry и на поверхности пластины толщиной 2Rx . Поэтому температура в точке 2 определяется произведением соответствующих решений :



Значение определяется по графику для поверхности пластины по значениям , а значение определяется по графику для середины пластины по значениям . По значению пересчетом определяется размерная температура в точке 2



Температура в точке 6 определяется произведением

.

Далее расчет выполняется по приведенному выше алгоритму.
Охлаждение цилиндра конечной длины.

Рис . Схема расположения расчетных точек в цилиндре конечной длины



Однородный цилиндр диаметром 2r0 и длиной 2Rz охлаждается в среде с постоянной температурой tc. Коэффициент теплоотдачи ? на основаниях цилиндра и его боковой поверхности одинаков. В начальный момент времени все точки цилиндра имеют одинаковую температуру t0.,. Найти распределение температуры в цилиндре в любой момент времени.

Конечный цилиндр можно рассмотреть как результат пересечения безграничных цилиндра диаметром 2r0 и пластины толщиной 2Rz. Следовательно и безразмерную температуру для такого тела можно записать как



или



В уравнении множители правой части находятся по формулам или графикам, причем в качестве определяющих линейных размеров берется половина высоты цилиндра Rz и радиус цилиндра r0.

Порядок расчета температур в избранных точках следующий. Температура в точке 1 устанавливается произведением решений для оси цилиндра радиусом r0 и оси пластины толщиной 2Rx





Значение функции определяется по графику для оси цилиндра радиусом r0 по значениям , а значение функции определяется по графику для оси пластины толщиной 2Rz по значениям . . Температура в точках 2,3,4 определяется следующими произведениями:







По значениям безразмерных температур пересчетом определяется размерные температуры в избранных точках.

Численные методы решения задач теплопроводности.



Аналитическая теория теплопроводности позволяет решать задачи несимметричного нагрева тел классической формы (пластина, цилиндр, шар) при любом начальном распределении температур, что, бесспорно, является ее достоинством. Как правило, решение дифференциальных уравнений теплопроводности имеет весьма сложный вид, особенно для начальных стадий нагрева, что затрудняет их использование в практических расчетах. Кроме того, дифференциальные уравнения теплопроводности и их решения получены при постоянных теплофизических свойствах – ?, Cp, ?. В практике эти свойства в зависимости от температуры могут меняться в несколько раз. Кроме этого может существенно изменяться ? при граничных условиях III рода. Строгий учет переменности ? и C приводит к усложнению и без того сложных дифференциальных уравнений, которые становятся нелинейными. Решения нелинейных уравнений пока не могут быть получены.

Особенно сложный вид имеют уравнения теплопроводности для теплообмена в слое, для задач плавления и кристаллизации, периодическом нагреве и охлаждении. Попутно следует указать, что особые трудности возникают при решении уравнений теплопроводности для тел сложной формы (многослойные тела, тела сложной геометрической формы).

Все перечисленные сложные задачи могут быть решены с достаточной точностью численными методами решения дифференциальных уравнений. Процесс решения задач с помощью этих методов доступен каждому исследователю.

Однако численные методы имеют один существенный недостаток: полученные результаты трудно анализировать и обобщать. Это потому, что численное решение получается в виде многомерных таблиц числовых данных для каждого конкретного случая.

Наиболее распространенными численными методами являются метод конечных разностей (МКР) и метод конечных элементов (МКЭ). Первый из них наиболее удобен для анализа процесса теплопроводности в телах сравнительно простой формы, второй – для тел сложной формы.

Математическая сущность метода конечных разностей заключается в том, что интегрирование дифференциального уравнения теплопроводности заменяется решением системы алгебраических уравнений для избранных точек области. Для этой цели истинные производные в дифференциальных уравнениях теплопроводности в данной точке



заменяются приближенными

.

Приближенные значения производных определяются через конечные разности независимых переменных ?x, ?? и через значения температур в избранных точках тела. В соответствии с этим вся толщина пластины разбивается на n элементарных слоев толщиной ?x, а общая продолжительность процесса на m элементарных участков длительностью .

В МКР решение ищется лишь для избранных точек через определенные промежутки времени, то есть решение задачи будет дискретно как в пространстве, так и во времени.

Чтобы определить температуру в избранной точке тела в момент времени ?к=k·??, требуется определение температур во всех точках тела в предыдущие моменты времени 0, ??, 2??,…,(k-1)??. Поэтому процесс решения задачи методом МКР требует большего количества промежуточных расчетов, которые, несмотря на их простоту, делают метод громоздким. Применение ЭВМ свело к минимуму этот недостаток.

Область численного решения уравнения теплопроводности в декартовой системе координат представлена на рис. 2. .





Рис. Область численного решения уравнения теплопроводности


На рисунке представлено два семейства параллельных прямых x=i?x (i=0, 1, 2,…, n), ?=k?? (k=0, 1, 2,…, m), которые образуют прямоугольную сетку.

Точки пересечения этих прямых называются узлами сетки по координате и времени. Каждый узел обозначается двумя индексами i и k, а температуры обозначаются ti,k.

При решении задачи определяются температуры в узлах сетки. Два узла сетки называются соседними, если они удалены на ?x. Узлы, расположенные на границе области решения задачи, называются граничными узлами.

Значение температуры в граничных узлах сетки ti,o на отрезке ОА определяется из начальных условий задачи.

Температуры в граничных узлах на отрезке ОС – t0,k и АВ – tn,k определяются с учетом граничных условий. При граничных условиях I рода температуры на отрезках ОС и АВ известны.

Температуры во внутренних узлах сетки определяются следующим образом. Аппроксимация первой производной по времени в МКР производится следующим образом



Аппроксимация истинного значения производной конечными приращениями связана с появлением погрешности вычисления ?. Величина ? зависит от величин ?x, ?? и при стремлении их к нулю убывает. Оценка этой в МКР представляет специальный вопрос, который достаточно полно отражен в литературе.

Аппроксимация первой производной по координате в МКР производится следующим образом:





Аппроксимация второй производной по координате в МКР производится следующим образом:


В этом случае аппроксимация дифференциального уравнения теплопроводности для избранных точек представлена соотношением:

(1)

Уравнение (1) справедливо для внутренних узлов сетки.

Разностное уравнение (1) содержит значения температур в четырех соседних узлах, как изображено на рисунке 2. . Если известны температуры

ti-1,k, ti,k, ti+1,k, то из уравнения (1) можно определить неизвестную температуру ti,k+1:




Рис. 2. . Обозначение узлов сетки
Обозначив , которое представляет собой число подобия Фурье Fо, отнесенное к слою толщиной и промежутку времени , получим:
(2)
Расчетная схема, отвечающая уравнению 4, носит название четырех точечной явной схемы.

Последовательность расчета следующая. Зная начальное распределение температур (?=0; k=0) по уравнению 2, определяем температуры в момент времени (k=1) во внутренних узлах первого горизонтального ряда сетки. Температура в горизонтальных узлах ряда сетки известна при граничных условиях I рода, а при граничных условиях II и III рода определяются специальным образом. Далее процесс расчета повторяется. Таким образом, решая задачу, шаг за шагом определяем распределение температур в нужный момент времени. Если в рассмотренной четырех точечной схеме положить



то из уравнения 2 получим формулу Шмидта.

( 2. .)

Благодаря простоте вычислений формула Шмидта получила широкое распространение при ручном счете.

Пример.

Рассчитать МКР процесс нагрева плиты толщиной S=0.3м, коэффициент температуропроводности материала плиты равен 0.0225 м2/час, если температура одной поверхности скачкообразно поднимается до значения 10000С, а другой до температуры 5000С. Начальная температура плиты 0 0С.

Для вычислений воспользуемся формулой Шмидта и поэтому необходимо обеспечить равенство

.

Разобьем плиту на пять слоев (), тогда

;

Температуры в узловых точках плиты рассчитываем по формуле (2. ) и их значения заносим в таблицу.





0

1

2

3

4

5

?=0

0

0

0

0

0

0

?=0,08

1000

0

0

0

0

500

?=0,16

1000

500

0

0

250

500

?=0,24

1000

500

250

125

250

500

?=0,32

1000

625

312,5

250

312,5

500

?=0,4

1000

656

437,5

312,5

375

500

?=0,48

1000

717,5

484

406

406

500



Решение дифференциального уравнений теплопроводности МКР для граничных условий II I рода.


Для решения задач нагрева при граничных условиях II и Ш рода удобно определять температуры на осях элементарных слоев. Сетка, отвечающая



Рис. 2. . Схема расположения узловых точек

такому разбиению, носит название неравномерной. Тепловая емкость поверхностных слоев толщиной сконцентрирована в точках с координатами и . По этой причине тепловой поток, вступивший на поверхность тела, не изменяется на пути , то есть температурный градиент в поверхностном слое равен истинному температурному градиенту на поверхности тела . Тогда температура поверхности определяется из уравнений


Температуры t2,k,…,tn-2,k определяются по следующему уравнению:

.
Температуры t1,k и tn,k определяются из уравнения теплового баланса для поверхностного слоя толщиной ?x.


Решая это уравнение относительно t1,k, получим





По известным температурам t0,k-1, t1,k-1 в момент времени сначала определяют температуру на осях элементарных слоев в момент времени , а затем по известным температурам t1,k, t2,k по формуле:



определяют температуру поверхности.

Для устойчивости решения и низкой погрешности следует выбирать значение по величине меньшим 0,5 (?<0.5).


Пример.

Рассчитать процесс симметричного нагрева пластины толщиной S=0.3м при постоянной плотности теплового потока на её поверхности, равной 45000 ккал/м2 ч , если коэффициенты температуропроводности и теплопроводности соответственно равны 0,025 м2/с и 30 ккал/м ч град. Начальная температура тела

Примем разбивку пластины на 10 слоев и назначим значение параметра равным 0,16. Тогда имеем



Температура первого слоя в конце первого промежутка времени:



Температура на поверхности в конце первого промежутка времени:



Температура второго слоя:







Пов-ть

t0

t1

t2

t3

t4

t5

t6

t7

t8

t9

Пов-ть

t10

?=0

20

20

20

20

20

20

20

20

20

20

20

?=0.0666

50

27.5

20

20

20

20

20

20

20

27.5

50

?=0.133













и

так

далее
















































Решение дифференциального уравнений теплопроводности МКР для граничных условий III рода.


Принято, что тепловая емкость поверхностных слоев толщиной сконцентрирована в точках с координатами и . По этой причине тепловой поток, вступивший на поверхность тела, не изменяется на пути . Тогда справедливо соотношение
.







Рис. 2. . Схема расположения узловых точек
О
бозначим,
тогда








Если , тогда


По этой формуле определяется температура в узлах вблизи поверхности. Температура в остальных внутренних точках определяется по ранее выведенным формулам.



Температура на поверхности пластин может быть определена с помощью уравнения:



Приближенные методы решения задач теплопроводности

.


Наряду с аналитическими и численными методами имеются многочисленные приближенные методы решения задач теплопроводности, основанные на приближенном, схематическом представлении процесса, учитывающие только главные его особенности. Среди них назовем метод тепловой диаграммы, пограничного слоя, регулярного мгновенного режима, исключения переменных. Рассмотрим некоторые из них.

Метод тепловой диаграммы. В основу метода тепловой диаграммы положено уравнение теплового баланса для всего нагреваемого тела.




При этом подсчитывают изменение энтальпии за весь процесс нагрева, а также среднюю величину теплового потока на поверхность тела. Продолжительность нагрева определяется из уравнения теплового баланса



Перепад температур по сечению тела ?t и его среднюю температуру определяют исходя из параболического распределения температур по сечению нагреваемого тела:

.



Последовательность расчета по методу диаграммы следующая. Приняв температуры поверхности тела в начале и конце интервала , рассчитывают тепловые потоки в начале и конце интервала по формуле:



Вычисляют значение среднего за период нагрева теплового потока


Определяют разности температур в начале и конце интервала



где k2 – коэффициент усреднения теплового потока (k2=2).

Температура на оси пластины и её среднемассовая температура определяются из выражений

,

.

Здесь k3 – коэффициент усреднения температур по сечению тела (k3=3 - для пластин, k3=2 - для цилиндра и k3=1,67 – для шара).

По таблицам находят энтальпии отвечающую tср.н и tср.к и приращение энтальпии за время нагрева.

Метод мгновенного регулярного режима. Сущность метода мгновенного регулярного режима состоит в следующем. Процесс нагрева делится на два качественно различных периода - инерционный и регулярный. В инерционный период происходит непрерывное изменение толщины нагреваемого тела в соответствии с вовлечением тела в процесс нагрева. В регулярном периоде в процессе нагреве участвует все тело, при этом толщина нагреваемого слоя постоянна и равна толщине тела. Принято допущение, что в регулярном периоде скорость нагрева во всех точках тела одинакова и равна средней величине скорости нагрева всего тела. Скорость изменения температуры тела может быть связана с приходом тела на его поверхность, в случае, если величина qпов задана. Такое упрощение задачи эквивалентно допущению о наличии в нагреваемом слое мгновенно регулярного режима, при котором скорость изменения температур в различных точках слоя одинакова. Инерционный период представляется как совокупность регулярных состояний, отличающихся одно от другого различной температурой слоя.


Представим решение задачи нагрева пластины методом мгновенного регулярного режима при условии постоянства теплового потока на его поверхность (qпов=const).

Решение задачи выведем отдельно для инерционного и регулярного периодов нагрева.


Рис. 2. . Схема симметрично нагреваемой пластины
Инерционный период нагрева. Дифференциальное уравнение теплопроводности и краевые условия запишем в виде



где R – половина толщины тела, S – толщина нагреваемого слоя

(рис.2. ). Принимаем, что скорость нагрева в различных точках прогретого слоя толщиной S одинакова и равна средней скорости нагрева всего слоя. Эту скорость определим из уравнения теплового баланса для прогретого слоя:



Здесь m – масса нагретого слоя, с – теплоемкость материала пластины, F – площадь её поверхности.

С учетом принятого допущения (), решение дифференциального уравнения имеет вид


Согласно краевым условиям при градиент температуры равен нулю Тогда постоянная интегрирования равна


Подставив значение постоянной интегрирования С1 в уравнение для градиента температуры, получим



Результат интегрирования этого уравнения имеет вид


Постоянная интегрирования С2 определяется следующим краевым условием:



Тогда её значение принимает вид

.
Подставив значение С2 в выражение для температурного поля, получим





После подстановки выражения для расчета скорости нагрева слоя, получим:



Таким образом, распределение температур по толщине тела в инерционном периоде описывается уравнениями


Зависимость между толщиной нагреваемого слоя S и временем от начала нагрева ? в инерционном периоде имеет вид:

,

где - коэффициент инерции

Регулярный период нагрева. В регулярном периоде нагрева при qп=const и неизменной толщине нагреваемого слоя имеет место равномерный подъем температур по всему сечению с постоянной скоростью.




Температурное поле пластины в регулярном периоде нагрева описывается выражением


Температурное поле пластины в момент окончания инерционного периода нагрева определяется подстановкой в уравнение температурного поля для инерционного периода нагрева



Окончательно, температурное поле пластины описывается уравнением




.

Учебный материал
© bib.convdocs.org
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации