Кошелева В.П. Теория вероятностей и математическая статистика. Пособие для учащихся - файл n1.doc

Кошелева В.П. Теория вероятностей и математическая статистика. Пособие для учащихся
скачать (1459.5 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc1460kb.21.10.2012 15:39скачать

n1.doc

  1   2   3   4   5   6   7

    Министерство сельского хозяйства и продовольствия Республики Беларусь

    УО «Бобруйский государственный аграрно-экономический колледж»

    В.П. Кошелева
    «Теория вероятностей и

    математическая статистика»

    (пособие для учащихся)
    Теория вероятности - это математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях.
    Наблюдаемые нами события (явления) можно подразделить на следующие три вида: достоверные, невозможные и случайные.

    Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий S. Например, если в сосуде содержится вода при нормальном атмосферном давлении и температуре 20о, то событие ввода в сосуде находится в жидком состоянии? есть достоверное. В этом примере заданные атмосферное давление и температура воды составляют совокупность условий S.

    Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий S. Например, событие вода в сосуде находится в твердом состоянии заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий S из предыдущего примера(20о, нормальное атмосферное давление).

    Случайным называют событие, которое при осуществлении совокупности условий S может либо произойти, либо не произойти. Например, если брошена монет она может упасть вверх гербом или вверх надписью. Поэтому событие при бросании монеты выпал герб - случайное. Каждое случайное событие, в частности выпадение герба, есть следствие действия многих случайных причин (сила с которой брошена монета, форма монеты, вес и т.д.). Не возможно учесть влияние этих причин на результат, по сколку их число очень велико, по этому теория вероятностей не ставит перед собой задачу предсказать. Произойдет единичное событие или нет.

    По-иному обстоят дело, если рассматривать случайные события, которые могут многократно наблюдаться при осуществлении одних и тех же условий S, то есть если речь идет о массовых однородных случайных событиях. Оказывается, что достаточно большое число однородных случайных событий независимо от их конкретной природы подчиняется определенным закономерностям. Установлением этих закономерностей и занимается теория вероятностей.

    Следовательно, предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий.

    Знание закономерностей, которым подчиняются массовые случайные события, позволяет предвидеть, как эти события будут протекать.

    Методы теории вероятностей широко применяются в различных отраслях естествознания и техники: в теории надежности, теории массового обслуживания, в теоретической физике, геодезии, астрономии, теории автоматического управления и во многих других теоретических и прикладных науках. Теория вероятностей служит также для обоснования математической и прикладной статистики, которая в свою очередь используется при планировании и организации производства, при анализе технологических процессов, предупредительном и приемочном контроле качества продукции и для многих других целей.

    В последние годы методы теории вероятностей все шире и шире проникают в различные области науки и техники, способствуя их прогрессу.

    Тема 1

    Элементы комбинаторики



    1. Предмет комбинаторики.

    2. Правила комбинаторики (сложения и произведения).

    3. Понятие факториала.

    4. Перестановки.

    5. Размещения.

    6. Сочетания.



      1.1. Предмет комбинаторики

      Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. В зависимости от правил составления можно выделить три типа комбинаций: перестановки, размещения, сочетания.

      Слово «комбинаторика» происходит от латинского combino — соединяю. Действительно, при получении любой комбинации мы составляем ее из отдельных элементов, последовательно соединяя их друг с другом. Чаще всего эти элементы выбираются из некоторого конечного множества.

      1.2. Правила комбинаторики

      Подсчитать общее число возможных комбинаций помогает одно из важнейших правил комбинаторики — правило умножения: если первый элемент в комбинации можно выбрать m способами, после чего второй элемент — n способами, то общее число комбинаций из двух элементов будет m · n .

      Пример 1.1. Подсчитаем количество двузначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3. На первое место цифру можно выбрать тремя способами, после чего на второе место — тоже тремя способами. Значит, всего таких чисел по правилу умножения будет 3 · 3 = 9. Можно проверить ответ, выписав друг за другом все эти числа в порядке возрастания:

      11, 12, 13;

      21, 22, 23;

      31, 32, 33.

      В приведенном примере выбор второй цифры никак не связан с выбором первой. Но это далеко не всегда так.

      Пример 1.2. Подсчитаем количество двузначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3 так, чтобы все цифры были различны. На первое место цифру можно выбрать тремя способами, после чего на второе место — только двумя способами (ту цифру, которая на первом месте, использовать уже нельзя). Значит, всего таких чисел по правилу умножения будет 3 · 2 = 6. Вот эти числа:

      12, 13;

      21, 23;

      31, 32.

      Теперь в каждой из трех групп только по два элемента.

      В данных примерах две принципиально различные схемы выбора элементов:

      а) без возращения (повторений) элементов (это значит, что отбираются либо сразу все элементов, либо последовательно по одному элементу, причем каждый отобранный элемент исключается из исходного множества);

      б) с возвращением (повторением) элементов (выбор осуществляется поэлементно с обязательным возвращением отобранного элемента на каждом шаге и тщательном перемешиванием исходного множества перед следующим выбором).

      Но бывают задачи, в которых после выбора одного из m объектов в качестве первого элемента комбинации нельзя однозначно сказать, сколькими способами можно выбрать второй элемент — это зависит от того, какой именно объект был выбран первым. Рассмотрим такую ситуацию на примере.

      Пример 1.3. Подсчитаем количество двузначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3 так, чтобы первая цифра была меньше второй. На первое место цифру можно выбрать тремя способами, а вот на второе место после этого:

      – двумя способами, если первой цифрой была выбрана 1;

      – одним способом, если 2;

      – нулем способов, если 3.

      Приходится применять комбинаторное правило сложения: разбить все комбинации на непересекающиеся классы, подсчитать количество комбинаций в каждом классе (например, по правилу умножения), а затем сложить эти количества.

В предыдущем примере количество комбинаций равно: 2 + 1 = 3.


1.3.Понятие факториала

п-факториал - произведение всех натуральных чисел от 1 до п включительно.

.

  1   2   3   4   5   6   7


Учебный материал
© bib.convdocs.org
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации