Животкевич И.Н., Смирнов А.П. Надежность технических изделий - файл n1.doc

Животкевич И.Н., Смирнов А.П. Надежность технических изделий
скачать (1198.9 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc3994kb.15.05.2011 21:14скачать

n1.doc

1   ...   15   16   17   18   19   20   21   22   23

10.2. Оценка точечных значений показателей безотказности
Оценки точечных значений показателей безотказности определяются для соответствующего вида распределения. При решении задач надежности вид распределения либо определяется по полученной статистической информации методами, приведенными в главе 2, либо априорно принимается допущение, что для данного типа изделия применим такой вид распределения. Такое допущение обычно принимается на основе предыдущих работ по оценке показателей надежности изделий-аналогов. В дальнейшем будут рассмотрены методы оценки точечных значений показателей безотказности, наиболее часто применяемые на практике.
Нормальное распределение
Оценка вероятности безотказной работы объекта на участке времени от t = 0 до t = определяется по уравнению
(384)
где t - время работы, - время, для которого определяется значение вероятности безотказной работы;
b - оценка математического ожидания наработки до отказа;
s - оценка среднего квадратического отклонения;
- значение функции нормального распределения, определяемое по [17],[18].
Значение b определяется по формуле
(385)
где - значение наработки до отказа в i-ом испытании;
n - количество испытаний в рассматриваемой выборке.
Оценка среднего квадратического отклонения определяется по формуле
(386)
где - поправочный коэффициент, определяемый по табл. 50 или по [20];
S - значение оценки среднего квадратического отклонения, определяемое по формуле для выборочной дисперсии
(387)
Значения поправочного коэффициента Kn.

Таблица 50

n

2

4

6

8

10

16

20



1,253

1,085

1,051

1,036

1,028

1,017

1,013


Пример 10. Необходимо определить оценку вероятности безотказной работы объекта за время работы 0 < t < 16 часов. По результатам 6 испытаний были получены следующие значения наработки до отказа:
19 час., 22 час., 21 час., 25 час., 16 час., 22 час.
Значение математического ожидания "b" равно b = 20,83 часа. Значение S = 0,2·(3,35+1,369+0,029+17,39+23,33+1,369)=9,37, значение S = 3,06. Оценка среднего квадратического отклонения, определяемая по (386), составит s = 2,91. Оценка вероятности безотказной работы объекта за время работы t = 16 часов составит P = F (1,659)=0,95.
Экспоненциальное распределение
Оценка вероятности безотказной работы объекта до времени to определяется по формуле
(388)
где U - параметр распределения.
Значение параметра где Т - средняя наработка на отказ.
Для расчетов по формуле (388) используется значение средней наработки на отказ, полученное по экспериментальным данным. Значение средней наработки на отказ Т по экспериментальным данным определяется по формуле
(389)
где n - число испытаний;
- наработка при i-ом испытании;
- количество отказов при проведении i-го испытания.
Среднее квадратическое отклонение оценки Т определяется по формуле
(390)
Пример 11. Необходимо оценить вероятность безотказной работы объекта за время работы t = 20 час. Проведено 6 испытаний объекта со следующими результатами: t = 100 час., m = 4, t2 = 120 час., m = 3, t = 150 час., m = 2, t = 50 час., m = 1, t = 200 час., m = 2, t = 120 час., m = 1.
По формуле (389) получим Т=56,9 часа, значение оценки параметра составит Значение оценки вероятности безотказной работы, определенное по (388) составит P = 0,704.
Биномиальное распределение
Оценка вероятности безотказной работы по результатам испытаний определяется по формуле
(391)
где m - количество зачетных отказов изделия в серии испытаний;
n - общее количество зачетных испытаний в рассматриваемой серии.
Среднее квадратическое отклонение для оценки (391) определяется по формуле
(392)
Пример 12. Требуется определить оценку вероятности безотказной работы объекта по результатам испытаний. Общее количество испытаний n = 20, количество зачетных отказов m = 1. По зависимостям (391) и (392) получаем P = 0,95; s = 0,0487.
В работе [83] получено следующее соотношение для оценки вероятности отказа q невосстанавливаемых изделий по результатам испытаний:
(393)
и дисперсии:
. (394)
Вероятность безотказной работы определяется по формуле
Зависимости (393) и (394) могут использоваться для оценок и в случае отсутствия отказов при испытаниях, при m = 0.
Распределение Пуассона
Распределение Пуассона применяется при оценке показателей безотказности по результатам выборки изделий. ВБР отдельного изделия определяется по формуле
(395)
где a - среднее число отказов, приходящееся на одно изделие по результатам испытаний.
Значение параметра "a" определяется по формуле
(396)
где n - количество испытываемых изделий одноразового действия или количество испытаний;
- количество отказов, зафиксированных при проведении i-го испытания.
Пример 13. При проведении испытаний 10 изделий зафиксировано 2 отказа. Требуется определить вероятность безотказной работы изделия. Значение параметра a равно Значение ВБР равно
Для оценки среднего значения параметра a по результатам испытаний восстанавливаемых изделий в работе [83] получены следующие соотношения. Среднее значение параметра потока отказов изделия равно
(397)
где t - суммарная наработка изделий в процессе испытаний.
Дисперсия оценки параметра потока отказов равна
(398)
Значение параметра определяется по следующей формуле
(399)
где t - расчетное значение наработки изделия для оценки вероятности безотказной работы изделия.
Пример 14. В процессе испытаний восстанавливаемого изделия в течение наработки t = 100 часов зафиксировано m = 2 отказа. Требуется определить вероятность безотказной работы изделия за время t=1час. По формулам (397), (399) и (395) получим:
Распределение Вейбулла
ВБР за время t определяется по уравнению
(400)
где a и b - параметры распределения Вейбулла, определяемые при обработке статистических материалов. При значении b = 1 это распределение вырождается в экспоненциальное распределение.
Средняя наработка до отказа определяется по формуле
(401)
где - гамма-функция, значение которой определяется, например, по [18] .
Параметры a и b распределения Вейбулла определяются при графическом решении системы двух уравнений, полученных дифференцированием функции правдоподобия:
(402)
(403)
где m - суммарное число отказов,
- число отказов на i-ом интервале времени испытаний;
z - число интервалов, на которое разбит временной ряд испытаний;
t - максимальное значение исследуемого диапазона по наработке или максимальная длительность испытаний;
t - середина i-го интервала по наработке;
N - количество изделий в рассматриваемой выборке.


Рис. 74. Графическое определение параметров "а" и "b"
Система уравнений (402) и (403) решается графически. Задается ряд значений параметра b и для этих значений вычисляются соответствующие значения функций По полученным значениям строятся графики функций , точка пересечения обоих графиков даст искомое значение параметров a, b.
Пример 15. По результатам испытаний N = 20 изделий в течение максимальной наработки t = 500 часов получен следующий ряд отказов и наработок по интервалам:


z

1

2

3

4

5



2

5

3

1

2



50

150

250

350

450



100

750

750

350

900


Требуется определить вероятность безотказной работы изделия за время работы t = 20 час., и среднюю наработку на отказ.
Графики функций и для условий примера приведены на рис. 74. Для условий примера значение параметров равно a = 4,3, b = 0,25. Вероятность безотказной работы изделия за время t = 20 час. составит

Средняя наработка до отказа равна

При известных значениях параметров a и b при выполнении расчетов вероятности безотказной работы средней наработки до отказа используются таблицы [18].
Оценка точечных значений показателей безотказности при числе отказов m = 0.
На практике по ряду изделий, вероятность безотказной работы которых близка к единице, приходиться сталкиваться с такой ситуацией, что число отказов по результатам испытаний равно нулю. В этом случае для изделий, показатели безотказности которых подчинены биномиальному распределению или распределению Пуассона, оценка вероятности безотказной работы по зависимостям (391),(395) равна P = 1. Наблюдение в n испытаниях нулевого количества отказов m = 0 и получение оценки P = 1 свидетельствует о том, что истинная надежность P изделия близка к единице настолько, что результаты n испытаний не позволяют установить различие между истинной надежностью P и полученной оценкой P = 1.
Однако при выполнении ряда работ необходимо знать приближенную оценку точечного значения показателей безотказности, получаемую по результатам испытаний выборки изделий при числе отказов, равным нулю. В этом случае возможны следующие варианты решения, которые часто применяются на практике.
1 ВАРИАНТ. Принимается допущение о том, что по результатам испытаний точечные значения оценки вероятности безотказной работы или средней наработки на отказ соответствуют точечным оценкам этих показателей, полученным по результатам расчетов, а действительное значение находится внутри доверительного интервала, определяемого методами, изложенными в следующем параграфе.
2 ВАРИАНТ. Некоторые авторы предлагают для оценки вероятности безотказной работы изделий, подчиняющихся биномиальному закону распределения, следующие зависимости:
(404)
(405)
(406)
где n - количество безотказных испытаний;
K - коэффициент, учитываемый при определении дисперсии оценки P.
Зависимость (404) рекомендуется применять для оценки точечного значения показателя безотказности высоконадежных изделий и их составных частей, у которых ожидаемое значение вероятности безотказной работы P > 0,999.
Дисперсию для точечных оценок, определяемых по формулам (404), (405), (406), рекомендуется определять по следующей формуле:
(407)
где K - значение коэффициента для соответствующей зависимости, используемой для приближенной оценки вероятности безотказной работы.
Выбор расчетных зависимостей определяется исследователем для решения каждой конкретной задачи.
Следует отметить, что зависимости (404) - (406) представляют собой функции изменения вероятности безотказной работы в зависимости от числа проведенных испытаний. На самом деле значения показателей надежности зависят от конструкции изделия, внешних воздействий, принятой системы технического обслуживания и других факторов, но не от количества проведенных безотказных испытаний, по результатам которых не проводятся какие-либо доработки конструкции, а следовательно, не происходит повышение надежности изделия. Эти зависимости могут применяться только в качестве одного из допущений и использоваться для приближенной оценки достаточности проведенного количества безотказных испытаний с целью принятия решения о достигнутом уровне точечной оценки вероятности безотказной работы изделия.
Пример 16. Проведено 10 безотказных испытаний устройства с пиропатроном, расчетная оценка вероятности безотказной работы которого составляет P > 0,999. Определим ожидаемую оценку показателя и дисперсию по результатам испытаний с использованием формулы (404). Получим


D = 9,3·10 .
Пример 17. Проведено 10 безотказных испытаний торпеды. Расчетная оценка вероятности безотказной работы P > 0,95. Точечную оценку по результатам испытаний определим по формуле (405) получим


10.3. Интервальная оценка показателей безотказности
По результатам испытаний определенных выборок изделий часто определяют нижнюю и верхнюю доверительные границы для генеральной характеристики: вероятности безотказной работы или средней наработки на отказ. Эти границы определяют собой доверительный интервал, который с некоторой доверительной вероятностью a накрывает действительное значение показателя безотказности. Если X - действительное значение показателя безотказности, то справедливо соотношение
(408)
где - нижняя и верхняя доверительные границы.
Величина a в (408) называется двухсторонней доверительной вероятностью.
Величина (ширина) доверительного интервала характеризует точность оценки действительного значения генеральной характеристики или действительного значения показателя безотказности, а доверительная вероятность характеризует достоверность оценки.
Интервальные оценки определяются для параметров соответствующих законов распределения.
Нормальное распределение
Если по результатам испытаний выборки объема n определены оценка математического ожидания вероятности безотказной работы или средней наработки на отказ и оценки их среднего квадратического отклонения, то приближенные границы доверительного интервала определяются по формулам
(409)
где X - точечная оценка показателя безотказности;
s - оценка среднего квадратического отклонения;
k - коэффициент, определяемый по таблицам [18].
Входными параметрами для определения коэффициента k являются заданная доверительная вероятность a, объем выборки n и вероятность p, определяющая долю членов генеральной совокупности, которые находятся в интервале . Значение вероятности p устанавливается до проведения расчетов.
Значения X и s определяются по формулам (384) - (387).
Пример 18. Для условий примера 10 найти нижнюю и верхнюю доверительные границы наработки до отказа и изделия с доверительной вероятностью а = 0,9 при вероятности р = 0,99. Значение коэффициента k = 4,242, значение s = 2,91, математическое ожидание наработки до отказа равно b = 20,83. По формулам (409) определяем нижнюю и верхнюю доверительные границы:

По результатам расчетов можно утверждать, что с доверительной вероятностью а = 0,9, вероятность нахождения наработки до отказа b в интервале будет не менее 0,99.
Экспоненциальное распределение
Нижняя и верхняя доверительные границы для показателя средняя наработка на отказ, оценка которого определена по формуле (389), находятся по следующим зависимостям
(410)
где r , r - коэффициенты, определяемые по таблицам [18] или расчетом по следующим соотношениям
(411)
где m - количество отказов, зафиксированное при испытаниях,
a - доверительная вероятность,
- квантили распределения хи-квадрат отвечающие вероятностям p = 1 - a и p = a соответственно при числе степеней свободы k = 2·m и k = 2·m + 2
Количество отказов m и доверительная вероятность a являются входными данными в таблицы [18] для определения значений коэффициентов r и r .
При отсутствии отказов в процессе испытаний за опытное значение средней наработки на отказ принимается установленное в нормативных документах значение показателя или полученное по результатам расчета. Для определения доверительных границ вычисляется условное количество отказов m1 по формуле
(412)
где t суммарная наработка изделия или группы изделий в процессе испытаний.
Формула (412) применяется при условии . Если , то при определяется только нижняя доверительная граница по формуле
(413)
где r0 - коэффициент, определяемый по таблицам [18] для принятой доверительной вероятности a.
При использовании зависимости (412) доверительные границы для To определяются по (410), (411) с заменой значения m на m1. Доверительные границы для показателя вероятность безотказной работы определяются по формулам
(414)
(415)
Пример 19. Необходимо определить доверительные границы для средней наработки на отказ и вероятности безотказной работы изделия за время t = 20 час. с доверительной вероятностью a = 0,9. Результаты испытаний изделия соответствуют условиям примера 11: количество отказов По результатам расчетов получим:


Биномиальное распределение
Доверительные границы для вероятности безотказной работы с доверительной вероятностью a определяются по следующим формулам:
при числе отказов m > 0 и числе испытаний n:
(416)
(417)
при числе отказов
(418)
где R, R, R - коэффициенты, определяемые по таблицам [41], в зависимости от установленного значения доверительной вероятности a и числа отказов m, а также оценки вероятности отказа q=m/n.
Значения коэффициента R можно определить по формуле
(419)
Значения доверительных границ Pн и Pв могут быть определены по уравнениям Клоппера и Пирсона [20]
(420)
(421)
Использование формул (420), (421) для определения доверительных границ неудобно. Если нет таблиц, то доверительные границы можно определить по приближенной формуле [20]
(422)
Значение Z в (422) определяется по табл. 2 для соответствующей доверительной вероятности a. Знак минус в (422) относится к нижней доверительной границе P , а знак плюс - к верхней доверительной границе P .
При выполнении расчетов нижнюю и верхнюю границы доверительного интервала удобно определять с помощью таблиц [17]. Значения этих доверительных границ находятся по следующим зависимостям:
(423)
где f ,f - табличное значение функций доверительных границ для вероятности в случае биномиального распределения;
n - число испытаний;
m - число отказов;
a , a - односторонние доверительные вероятности, при которых находятся доверительные границы.
Двухсторонняя доверительная вероятность a и односторонние доверительные вероятности a и a связаны следующим соотношением:
Пример 20. Для условий примера 12 необходимо найти доверительные границы для вероятности безотказной работы изделия с доверительной вероятностью a = 0,95. По результатам расчетов получим

Действительное значение вероятности безотказной работы изделия с доверительной вероятностью а = 0,95 находится в интервале 0,8 < P < 0,997.
Распределение Пуассона
Доверительные границы для вероятности безотказной работы с доверительной вероятностью a определяются по следующим формулам:
при числе отказов m > 0,
(424)
(425)
при числе отказов m = 0:
(426)
Значения коэффициентов r , r определяются по табл. [21] или по формулам (411) в зависимости от доверительной вероятности а и числа отказов m, значения коэффициента r определяются по табл. 51.
Значения коэффициента r

Таблица 51



Доверительная вероятность а

0,999

0,99

0,975

0,95

0,9

0,8

Коэффициент r

6,91

4,61

3,69

3

2,3

1,61


Пример 21. Определить доверительные границы для ВБР изделия с доверительной вероятностью а = 0,9. Результаты испытаний изделия приведены в примере 13. Получим
= 1 - 2/3,79·10 = 0,947,

= 1 - 2/0,38·10 = 0,47.

Распределение Вейбулла
По результатам обработки статистических материалов получены значения параметров a и b распределения Вейбулла. Значение ВБР определяется по уравнению
(427)
Отсюда случайная величина имеет экспоненциальное распределение с параметром
По результатам n испытаний получены следующие наработки до отказа по которым при известном значении параметра "b" определяются значения
По этим данным определяется среднее значение параметра
(428)
Доверительные границы для параметра U определяются по формулам
(429)
(430)
где r, r - коэффициенты определяемые по (411) или таблицам [18].
Из уравнения U = 1/a находим
(431)
Отсюда, с учетом уравнения (401), находим доверительные границы для средней наработки до отказа
(432)
Доверительные границы для вероятности безотказной работы определяются по формулам
(433)
Пример 22. Проведено 20 испытаний изделия. Значения наработок до отказа составили t = t = 50, t = ... t = 150, t = t = 250, t = 350, t = t = 450, t = ...t = 500; число отказов m = 13. Значение параметра b = 0,25, значение y = 4,1 Найти доверительные границы для вероятности безотказной работы за время t = 20 час. и доверительные границы для средней наработки до отказа с доверительной вероятностью a = 0,9.
Получим



Определение нижней доверительной границы для оценки вероятности безотказной работы изделия по результатам испытаний составных частей
По результатам испытаний составных частей изделия определены оценки вероятности безотказной работы каждой составной части P и нижние доверительные границы для этих оценок P с доверительной вероятностью a. В изделии все составные части соединены последовательно. Точечная оценка вероятности безотказной работы изделия P при этом определяется по формуле

где N - количество составных частей.
В этом случае нижнюю доверительную границу P с доверительной вероятностью a для вероятности безотказной работы изделия можно определить по приближенной формуле [10]
(434)
Значения P, P определяются методами, рассмотренными выше, для соответствующих законов распределения. Значения P для всех составных частей должны быть определены при одинаковом значении доверительной вероятности a. Зависимость (434) позволяет определить нижнюю доверительную границу при различных количествах испытаний по каждой составной части.
Пример 23. Изделие состоит из N = 3 составных частей, соединенных последовательно. По результатам их испытаний получены следующие значения оценок вероятности безотказной работы: P = 0,98; P = 0,95; P = 0,95; P = 0,85; P = 0,95; P = 0,9. Значения P , P, P получены для доверительной вероятности а = 0,9. Требуется найти оценку P изделия и нижнюю доверительную границу P . По результатам расчетов получим
P = 0,98·0,95·0,95 = 0,884.
P = 0,884·[1 - {(1-0,95/0,98) + (1-0,85/0,95) + (1-0,9/0,95)}]=0,776.

10.4. Учет дополнительной информации при оценках показателей безотказности
Дополнительная информация при проведении расчетных работ по оценкам показателей безотказности используется с целью повышения точности и достоверности оценок. Особенно часто учет этой информации производится на стадии разработки, что связано с ограничениями на необходимые объемы испытаний.
К дополнительной информации можно отнести: информацию о проведенных испытаниях изделия на предыдущих этапах; информацию о том, что к началу зачетного этапа испытаний действительное значение показателя безотказности находится в определенном доверительном интервале, информацию о полученном значении точечной оценки показателя на предыдущем этапе работ. В работе [10] подробно рассмотрены методы, позволяющие повысить точность оценок для показателя "вероятность безотказной работы" в схеме биномиальных испытаний.
Учет информации о значениях доверительных границ для оценки Р
В разделе 10.3 рассмотрены методы оценки доверительных границ для вероятности безотказной работы P по результатам испытаний при условии, что до начала зачетных испытаний действительное значение показателя находится в интервале .
Если к началу испытаний имеется информация о том, что действительное значение P находится в интервале при доверительной вероятности a, то уточненные значения доверительных границ P и P по результатам n испытаний при m отказах можно определить по следующим формулам [10]:
(435)
(436)
где - односторонние доверительные вероятности,
- известные до начала n испытаний значения доверительных границ для вероятности P;
- значения доверительных границ для функции биномиального распределения, определяемые по таблицам [17].
Дополнительная информация характеризует, что в процессе работ, выполненных до начала серии из n испытаний посредством конструкторских решений, доработок изделия по результатам предыдущих испытаний или принятия других мер, можно утверждать, что значения вероятности безотказной работы изделия ниже значения исключены.
Учет дополнительной информации позволяет сжать доверительный интервал и повысить точность оценки.
Пример 24. Проведено 27 испытаний изделия, в которых было зафиксировано 2 отказа. При этом известно, что до начала испытаний действительное значение вероятности безотказной работы P находилось в интервале с доверительной вероятностью . Требуется определить доверительные границы для P с доверительной вероятностью без учета дополнительной информации P и P , и с учетом дополнительной информации P и P.
По таблицам [17] без учета дополнительной информации находим

С учетом дополнительной информации имеем
Учет дополнительной информации при отличающихся условиях проведения испытаний
Пусть в процессе первой серии испытаний проведено n опытов, из них m закончились отказами. Первая серия испытаний проводилась в условиях е. Условия е с вероятностью R воспроизводят условия испытаний е, в которых проводятся последующие n испытаний. Например, е - условия проведения стендовых испытаний изделия, е - условия проведения испытаний изделия в реальных натурных условиях эксплуатации. Предположим, что во второй серии испытаний произошло m отказа изделия.
В [10] получены следующие зависимости для определения значений доверительных границ для вероятности безотказной работы, с учетом информации о результатах предшествующих испытаний.
Вероятность воспроизведения условий испытаний R определяется по формуле
, (437)
где C - биномиальные коэффициенты, определяемые по следующим зависимостям:


Значение нижней доверительной границы для P на втором этапе испытаний с учетом результатов 1-го этапа испытаний определяется по таблицам [17] для функции доверительных границ в случае биномиального распределения где - односторонняя доверительная вероятность, с которой находится искомая нижняя граница P .
Значение определяется по формуле
(438)
где значение функции бино-миального распределения, определяемое по таблицам [17], либо расчетом;
- значение нижней доверительной границы для соответствующих параметров, определяемое по таблицам [17];
- установленное значение односторонней доверительной вероятности.
Верхняя доверительная граница P для P на 2-ом этапе испытаний с учетом результатов 1-го этапа испытаний определяется по таблицам [17] для функции , где a - односторонняя доверительная вероятность, определяемая по формуле
(439)
где a - установленное значение односторонней доверительной вероятности.
Значения и определяются по таблицам [17].
Пример 25. Проведено n = 12 испытаний изделия в лабораторных условиях, и был зафиксирован 1 отказ. Затем проведено n = 25 испытаний c m = 2 отказами в натурных условиях. Требуется найти границы доверительного интервала P , P для вероятности безотказной работы P при одном испытании в натурных условиях, для заданных односторонних доверительных вероятностей a = a = 0,95.
Определим вероятность воспроизведения условий испытаний по формуле (437)
По таблицам [17] определяем

Определяем по формулам (438) и (439) уточненные значения односторонних доверительных вероятностей а и а
a = 0,95 - 0,712·[0 - (1-0,95)] = 0,9856;

a = 0,95 - 0,712·[0 - (1-0,95)] = 0,9856.
По таблицам [17] находим значения доверительных границ с учетом информации о результатах испытаний на 1-ом этапе
Без учета результатов 1-го этапа испытаний доверительные границы с доверительными вероятностями a = a = 0,95 в условиях примера имели бы значения
P = 0,77; P = 0,985.
Учет дополнительной информации позволил повысить достоверность оценки, т.е. доверительные границы с учетом результатов 1-го этапа испытаний соответствуют двухсторонней доверительной вероятности Без учета дополнительной информации двухсторонняя доверительная вероятность составила бы значение
В некоторых случаях одновременно с изменением доверительной вероятности происходит и сужение доверительного интервала, что повышает как точность оценки, так и достоверность оценки. В условиях примера 25 повысилась достоверность оценки с некоторым ухудшением точности.
Учет дополнительной информации в виде известных значений оценки Р и дисперсии D
На основании теоремы гипотез получены следующие зависимости [84], позволяющие уточнять оценки показателей безотказности на основе информации о известных значениях оценки P и дисперсии D, полученных по результатам расчета или испытаний:
, (440)
, (441)
где - оценка вероятности отказа изделия, полученная на предыдущем (i - 1) -ом этапе расчетом или по результатам испытаний;
- оценка вероятности отказа на i-ом этапе;
- дисперсии оценок соответственно;
n, m - число зачетных испытаний и число отказов на i-ом этапе испытаний.
Формулы (440), (441) справедливы для оценки безотказности изделий, конструкция которых на (i - 1) - ом и i - ом этапе одинакова, т.е. по результатам работ на предыдущем этапе не внесено существенных изменений в конструкцию, а также условия эксплуатации или испытаний на i - ом и i - 1-ом этапе не имеют существенных отличий.
Пример 26. По результатам расчета получены следующие значения оценок характеристик безотказности: =0,02; =0,0002. Проведено 10 испытаний изделия, при этом произошел один отказ. Требуется определить объединенную оценку показателей безотказности.
По результатам расчета получим

= (0,0004 + 0,0002)/(0,02 + 0,002) = 0,0273, или =1 - =0,977,

= 0,0273·0,0002/(0,02 + 0,0004·1) = 0,000273.

10.5. Модели роста безотказности в процессе испытаний опытных образцов изделий
В предыдущих разделах были рассмотрены методы оценки показателей безотказности в предположении, что в процессе испытаний рассматриваемой совокупности из n изделий надежность этих изделий, в том числе и безотказность, оставалась неизменной. Однако при разработке изделий, в том числе и при проведении испытаний опытных образцов, имеет место и другой процесс. А именно, за счет доработок и изменений, вносимых в конструкцию и технологию производства каждого опытного изделия, изменяется его качество, в том числе и безотказность. Следовательно, представление о характеристике безотказности как о неизменном параметре является приближенным. Постоянное значение безотказности отражает качество изделия лишь в определенный момент или на узком временном интервале его создания.
Для оценки изменения уровня вероятности безотказной работы изделия по результатам испытаний опытных образцов применяются модели роста безотказности.
Моделью роста безотказности называют аналитическую зависимость уровня вероятности безотказной работы изделия, достигнутого при экспериментальной отработке, в зависимости от суммарного объема проведенных испытаний (количества испытаний или продолжительности испытаний).
Модели роста безотказности используют для:
текущей оценки эффективности и оперативного управления программой испытаний путем сопоставления ожидаемого и фактического уровня безотказности и корректирования программы испытаний;
прогнозирования уровня безотказности на любой будущий момент процесса испытаний на основе фактической модели роста, построенной по результатам выполненного объема испытаний;
планирования процесса испытаний изделия при определении по ожидаемым моделям объема испытаний, необходимого для достижения установленного в программе уровня безотказности.
Испытания изделий предназначены для обнаружения различных типов дефектов и отказов и принятия мер по их устранению. Процесс обнаружения дефектов и отказов обладает случайными характеристиками. В [85] получено следующее уравнение для математической модели процесса испытаний.
Определим величину как вероятность обнаружения и устранения отказа на интервале при условии, что на этом интервале проводится испытание j-го типа, и что отказ не был обнаружен до момента . Определим величину как вероятность того, что отказ не был еще обнаружен по прошествии единиц времени процесса испытания.
Используя эти определения, можно записать уравнение для вероятности того, что отказ не будет обнаружен и устранен за время
(442)
Из уравнения (442) получается следующее дифференциальное уравнение для
(443)
Решение уравнения (435) для имеет вид
(444)
где - вероятность необнаружения отказа к началу испытания.
При выводе формулы (444) учтено, что R(t = 0) = 1, т.е. что вероятность обнаружения отказа в момент начала испытания равна 0. При условии, что a(t) = const получим
(445)
Обнаружение отказа и отказ изделия - события несовместные, образующие полную группу событий, т.е. сумма их вероятностей равна единице
, (446)
(447)
где - вероятность обнаружения отказа;
- вероятность отказа;
- вероятность безотказной работы.
Подставляя (445) и (447) в (446), получим
(448)
Уравнение (448) представляет двухпараметрическую модель роста безотказности в процессе испытаний, с параметрами P - уровень вероятности безотказной работы к началу испытаний, и a - среднее значение интенсивности обнаружения и устранения отказов для всей программы испытаний. В дальнейшем для параметра a вместо термина "интенсивность обнаружения отказов" будем применять термин "параметр роста безотказности".
При выводе зависимости (448) в качестве переменной величины использовалось время испытаний t, однако аналогичная зависимость может быть получена и для последовательности дискретных испытаний изделий путем замены в (448) параметра t на "n" - порядковый номер испытания или порядковое число n-го испытания
(449)
В [86] для проведения расчетных работ рекомендуется использовать, кроме приведенных экспоненциальных двухпараметрических моделей роста безотказности вида (448) или (449), следующие виды аналитических выражений:
разностная двухпараметрическая модель
(450)
логистическая двухпараметрическая модель
; (451)
разностная трехпараметрическая модель
(452)
экспоненциальная трехпараметрическая модель
(453)
логистическая трехпараметрическая модель
(454)
- предельное значение вероятности безотказной работы изделия для конструкции конкретного типа. В зависимостях (450), (451) значение = 1.
Методы и программы расчета параметров для моделей роста безотказности приведены в [22,86,87] и др. Для определения параметров моделей применяются либо метод максимального правдоподобия, либо метод наименьших квадратов. При определении параметров моделей методом максимального правдоподобия составляется уравнение функции правдоподобия
(455)
где i- порядковый номер испытания;
P - ожидаемое значение вероятности безотказной работы после i-ого испытания;
R = 1 - если i-ое испытание было безотказным;
R = 0 - если при i-ом испытании зафиксирован отказ изделия.
Составляется система уравнений для оценки параметров a, , A для модели каждого вида
(456)
По полученным значениям параметров определяют значения для каждого рассматриваемого вида функции правдоподобия и выбирают ту модель, для которой
Одним из методов для оценки значений параметров моделей роста безотказности служит метод подбора кривой, аппроксимирующей результаты испытаний с наибольшей точностью. Для решения этой задачи результаты испытаний оформляются в виде диаграммы в координатах K, n, K - накопленное число успешных испытаний, n - общее число испытаний. Диаграмма одного из возможных вариантов результатов испытаний приведена на рис. 75, для числа испытаний, n = 23 с возникновением отказов в опытах 2,4,7,13,18. В качестве кривой, аппроксимирующей данные результаты испытаний, используется функция следующего вида:
(457)
где a,b,c - параметры функции определяемые методом наименьших квадратов.
Функция (457) соответствует трехпараметрической экспоненциальной модели роста безотказности. Если по результатам аппроксимации определены значения параметров функции (457), то вид функции, описывающей изменение безотказности в процессе испытаний , определяется дифференцированием функции (457)
,



Рис. 75. Результаты испытаний изделия
Наиболее часто на практике используется экспоненциальная двухпараметрическая модель роста безотказности (449). Оценки параметров a и этой модели находятся путем решения следующей системы уравнений [86]:
, (458)
(459)
где R - результат i-го испытания.
Дисперсия оценки P(i) для двухпараметрической экспоненциальной модели роста безотказности определяется по формуле [86]
(460)
где

Доверительные границы для оценки P, полученной по моделям роста безотказности при числе испытаний n > 30, можно определить по формулам
(461)
(462)
где K - квантиль распределения Стьюдента при (n - 1) степенях свободы и доверительной вероятности g =1 -b, b - уровень значимости.
При допущении, что параметр роста безотказности a постоянен при проведении определенной u-ой серии испытаний, оценки параметра a и начального уровня вероятности безотказной работы P модели (449) можно получить путем минимизации суммы квадратов отклонений Q полученной величины оценки P от величины Здесь t - проведенное количество или длительность испытаний.
Обозначив (1 - P) через G, получим
(463)
где - проведенное количество или длительность испытаний в u-ой серии.
Значения искомых параметров a и G определяются путем решения следующей системы уравнений:
(464)
Для упрощения расчетов заменим в уравнении (463) функцию многочленом Тейлора [24] или Поскольку значение величины находится в интервале то погрешность в расчетах при такой замене составит не более 15%, что допустимо для проведения расчетов. С учетом изложенного, система уравнений (464) после преобразований будет иметь следующий вид:
. (465)
Введем следующие обозначения:
(466)
После преобразований и подстановки обозначений (466) система уравнений (465) примет следующий вид:
(467)
Из второго уравнения системы (467) определяем значение параметра a
(468)
Подставляя выражение (468) в первое уравнение системы (467) и произведя преобразования, получим следующее уравнение для определения параметра G:
(469)
где
Уравнение (469) получено при условии, что величина G всегда больше нуля и не равна нулю. Величина G определяет разность (1 - P) и находится в интервале Величина определяется количеством или длительностью проведенных испытаний и всегда . Решение уравнения (469) с требуемой точностью может быть найдено методом Ньютона [24]. При решении задачи значения величин на каждой -ой серии испытаний определяются методами, рассмотренными в предыдущих разделах.
При условии, что начальный уровень вероятности безотказной работы перед началом испытаний был равен нулю P = 0, уравнение (468) для оценки параметра роста безотказности будет иметь вид
(470)
Часто при решении различных задач требуется определить значения параметра роста безотказности a по полученным ранее значениям для изделий аналогов. С учетом [25,26] параметр роста безотказности для перспективного изделия можно определить, используя методы прогнозирования
(471)
где a - параметр для перспективного изделия;
a - параметр изделия - аналога;
K - безразмерный коэффициент.
Коэффициент K в соответствии с [26], определяется по формуле
(472)
где j = 1,2+,z - количество учитываемых показателей сопоставляемых изделий при прогнозировании;
f(X) - некоторая функция, описывающая преобразование соответ-ствующего показателя X, в зависимости от влияния его на параметр a и безотказность изделия;
B - коэффициент весомости влияния соответствующего показателя X на параметр a, индекс n определяет значение показателя X для перспективного изделия, индекс c определяет значение показателя X изделия аналога.
Коэффициенты весомости B должны удовлетворять следующим условиям:
(473)
и определяются экспертным методом [25].
Соотношение (472) может быть использовано для определения коэффициента K как для изделий в целом, так и для их составных частей.
При наличии значений параметров роста безотказности по составным частям его величина для изделия может быть определена по соотношению
(474)
где - количество составных частей изделия;
- интенсивность отказов и параметр роста безотказности v-ой составной части соответственно.
Основными показателями X, влияющими на параметр роста безотказности изделий, являются: интенсивность отказов; время работы изделия; значения рабочих температур; параметры механических нагрузок и другие характеристики. В качестве функций f(X) в (472) используется простейший вариант
(475)
10.6. Оценка безотказности изделий по результатам стендовых испытаний различных видов
На этапе разработки изделия подвергаются различным видам испытаний, как с воздействием отдельных видов внешних факторов, так и без воздействия внешних факторов. Многообразие различных видов испытаний, связанных с воздействием на изделие внешних факторов, является характерным для стендовых (лабораторных) испытаний изделия и его составных частей, выполняемых по программам предварительных или периодических испытаний. Наиболее часто проводятся испытания по оценке стойкости изделия к воздействию повышенной и пониженной температур, повышенной влажности, к воздействию вибраций и ударов и других факторов.
При выполнении какого-либо одного вида испытаний изделие или его составная часть подвергается воздействию одного, двух и реже трех внешних воздействующих факторов. В процессе проведения j-го вида испытаний (например, на холодостойкость) производится проверка стойкости изделия только к данному виду воздействия. При появлении отказов в процессе испытания принимаются меры по их устранению, с целью исключения влияния данного фактора. Таким образом, в случае проведения достаточно большого количества испытаний одного вида (т.е. с воздействием одного внешнего фактора) можно подтвердить достаточно высокий уровень безотказности изделия Однако, в связи с тем, что влияние других факторов на безотказность проверяется при выполнении других видов испытаний, при проведении какого-либо одного вида испытаний уровень безотказности изделия может быть доведен до какого-то определенного предела, меньшего, чем суммарный уровень безотказности при действии всего комплекса внешних воздействий. В главе 1 показано, что внешние факторы оказывают различное воздействие на частоту появления отказов (табл. 52).
На основании изложенных материалов, оценку ВБР изделия P по результатам комплекса стендовых испытаний, включающих в себя разнообразные по физическому содержанию виды испытаний, можно определить по следующей зависимости:
(476)
при условии (477)
где i - количество видов испытаний изделия;
B - коэффициент веса i-го вида испытаний, в обеспечение требуемого значения ВБР;
P - уровень (оценка) вероятности безотказной работы изделия, полученный при проведении i-го вида испытаний.
Рекомендуемые значения коэффициентов В

Таблица 52



Группа испытаний

B

Испытания по проверке стойкости к воздействию температуры

0,15

Испытания по проверке стойкости к влажности

0,07

Испытания по проверке стойкости к воздействию механических нагрузок (вибрации, удары и т.д.)

0,25

Испытания по проверке стойкости к воздействию климатических осадков (дождь, иней, роса)

0,07

Испытания на воздействие электромагнитных полей

0,05

Испытания на воздействие пыли, песка

0,03

Испытания по отработке функционирования в нормальных условиях

0,38


Для каждого типа изделия и его составных частей, исходя из их конструктивного исполнения, значения коэффициентов B и количество видов испытаний i могут иметь различные значения. В табл. 52 приведены рекомендуемые значения коэффициентов B, полученные на основании результатов испытаний одного из типов системы автоматического управления летательным аппаратом. В случае разделения приведенных в табл. 52 групп испытаний на конкретные виды испытаний, значение коэффициента для конкретного вида испытаний определяется по формуле


где k - число видов испытаний, на которые разбивается указанная в табл. 52 группа испытаний.
Например, группа испытаний по проверке стойкости к воздействию температуры может быть разделена на следующие виды испытаний: испытание на воздействие повышенной температуры, испытание на воздействие пониженной температуры, испытание на воздействие циклического изменения температуры. В этом случае значение коэффициентов =0,05 для каждого вида испытания.
По результатам проведенных испытаний какого-либо типа изделия коэффициенты B могут быть определены по формуле
,
где i - количество видов испытаний,
m - количество отказов, возникших при проведении i-го испытания.
Значения вероятности безотказной работы в (476) определяются по результатам каждого i-го вида испытаний изделия методами, рассмотренными в предыдущих параграфах. Дисперсию D для оценки P, определенной по (476) можно получить по формуле
(478)
где - дисперсия оценки
Нижнюю доверительную границу для оценки P можно определить по модифицированной формуле (434) следующего вида:
(480)
где P - оценка, полученная по (476),
- оценка вероятности безотказной работы и нижняя доверительная граница при доверительной вероятности a, полученные по результатам i-ого вида испытаний.
Пример 27. Проведено 3 вида испытаний изделия. Весовые коэф-фициенты для видов испытаний равны: B = 0,3; B = 0,6; B = 0,1. По результатам испытаний получены следующие значения оценок: P = 0,98; P = 0,95; P = 0,9, и нижних доверительных границ: P = 0,8; P = 0,75; P = 0,6 при доверительной вероятности a=0,8. Требуется определить оценку P и нижнюю доверительную границу P. По (476) и (480) получим
P = 0,3·0,98+0,6·0,95+0,1·0,9 = 0,954;

P = 0,954·[1 - (0,011+0,0266+0,011)] = 0,745.


1   ...   15   16   17   18   19   20   21   22   23


Учебный материал
© bib.convdocs.org
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации