Животкевич И.Н., Смирнов А.П. Надежность технических изделий - файл n1.doc

Животкевич И.Н., Смирнов А.П. Надежность технических изделий
скачать (1198.9 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc3994kb.15.05.2011 21:14скачать

n1.doc

1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   23
Глава 2.

Теоретические основы надежности
В некоторый момент эксплуатации любого ТИ может произойти нарушение работоспособности - отказ одной из систем, следствием которого является невыполнение ТИ своих функций. Центральным вопросом всей проблемы надежности является изучение отказов как случайных событий. Отказы могут быть и закономерными, к которым можно отнести отказы из-за неправильных действий пользователей, грубых ошибок, допущенных при проектировании и изготовлении, невыполнение потребителем требований по условиям и режимам эксплуатации.
Отказы ТИ невозможно полностью исключить, но их количество по времени можно прогнозировать на основе расчетов и оценок показателей надежности. Случайные события и случайные процессы изучаются в теории вероятностей, математической статистике, теории массового обслуживания и других научных дисциплинах. Разработанные подходы образуют основу математических методов теории надежности.
В главе кратко изложены основные положения и теоремы теории вероятностей, методы обработки статистической информации, наиболее часто применяемые при решении различных задач надежности. Показано при решении каких задач обеспечения надежности ТИ могут быть использованы те или иные методы. Цель главы ознакомить читателя с теоретической базой, на которой строятся дальнейшие разделы книги. Читателями, знакомыми с теорией вероятности, методами математической статистики, исследованием операций, материалы этой главы могут быть пропущены. Материалы главы составлены на основе специальных работ по указанным выше наукам [19, 20, 23, 34, 89].
2.1. Понятие отказа как случайного события

В соответствии с принятой терминологией [8] под отказом понимается событие, заключающееся в нарушении работоспособного состояния ТИ. По характеру проявления и причинам возникновения отказы, в соответствии с [8], подразделяются на:
ресурсный отказ - отказ, в результате которого ТИ достигает предельного состояния;
зависимый отказ - отказ, обусловленный другими отказами;
независимый отказ - отказ, не обусловленный другими отказами;
внезапный отказ - отказ, характеризующийся скачкообразным изменением значений одного или нескольких параметров ТИ;
постепенный отказ - отказ, возникающий в результате постепенного изменения значений одного или нескольких параметров ТИ;
сбой - самоустраняющийся отказ или однократный отказ, устраняемый незначительным вмешательством оператора;
явный отказ - отказ, обнаруживаемый визуально или штатными методами и средствами контроля и диагностирования при подготовке к применению или в процессе его применения по назначению;
скрытый отказ - отказ, не обнаруживаемый визуально или штатными методами и средствами контроля и диагностирования, но выявляемый при проведении технического обслуживания или специальными методами диагностики;
конструктивный отказ - отказ, возникший по причине, связанной с несовершенством или нарушением установленных правил и (или) норм проектирования и конструирования;
производственный отказ - отказ, возникший по причине, связанной с несовершенством или нарушением установленного процесса изготовления или ремонта, выполняемого на ремонтном предприятии;
эксплуатационный отказ - отказ, возникший по причине, связанной с нарушением установленных правил и (или) условий эксплуатации;
деградационный отказ - отказ, обусловленный естественными процессами старения, изнашивания, коррозии и усталости при соблюдении всех установленных правил и (или) норм проектирования, изготовления и эксплуатации.
Приведенные определения отказов используются при анализе характера отказов, времени и места их возникновения, при распределении отказов по причинам их возникновения.
Объективные причины того, что отказы являются случайными событиями и мы не можем заранее точно определить, в какой момент они произойдут, условно можно разделить на две группы.
К первой группе можно отнести причины отказов, вызванные различием в изготовлении всех экземпляров ТИ данного типа, а именно:
разбросом физических, функциональных и прочностных характеристик применяемых материалов и комплектующих элементов;
случайным сочетанием геометрических параметров подвижных и неподвижных соединений в пределах предусмотренного чертежом поля допусков;
нестабильностью технологических процессов.
Ко второй группе следует отнести причины, обусловленные:
случайным характером сочетаний внешних воздействий и нагрузок;
отклонениями ожидаемых условий эксплуатации от реальных;
отличием реальных внешних условий эксплуатации от испытательных режимов, при которых проверялась надежность ТИ.
2.2. Основные положения теории вероятностей

2.2.1. Случайные величины, функция и плотность распределения
Случайные события количественно оцениваются случайными величинами, например: количество отказов m определенной группы ТИ в течение заданного времени эксплуатации; частота появления отказов однотипных ТИ m/N, где N - общее число ТИ, по которым проводятся наблюдения. Случайные величины могут быть непрерывными и дискретными.
Случайная величина X называется дискретной, если она может принимать конечное или счетное число различных значений .
Непрерывная случайная величина X может принимать любые значения в определенном интервале числовой оси.
Из-за невозможности заранее указать, какое конкретное значение примет случайная величина при данных испытаниях, для ее характеристики введено понятие вероятности.
Вероятность события численно равна отношению числа случаев, благоприятствующих появлению данного события, к общему числу равновозможных случаев при стремлении общего числа событий к бесконечности.
Вероятностью случайного события называется постоянное число, около которого группируется частота этого события, т.е. отношение числа испытаний, в которых появилось данное событие, к общему числу испытаний.
Вероятность невозможного события Ф равна нулю - Р(Ф)=0.
Вероятность достоверного события А равна единице - Р(A)=1.
Вероятность появления случайного события А находится в пределах
Несколько событий образуют полную группу, если при каждом испытании обязательно наступит хотя бы одно из них. События А и B называются несовместными, если невозможно их одновременное наступление.
Для всякого случайного события А действительно соотношение
(7)
где - событие, противоположное событию A.
Например, событие A состоит в выборе годной детали из партии, в которой доля годных деталей составляет 95%, т.е. Р(A)=0,95. Тогда - событие, состоящее в выборе дефектной детали. По формуле (7) определяем Р()=1 - 0,95=0,05, т.е. партия содержит 5% бракованных деталей.
Примером противоположных событий является отказ и нормальная работа ТИ.
Все случайные величины являются такими переменными величинами, которые в зависимости от случайного исхода испытаний могут принимать то или иное (но только одно) возможное значение. Какое именно значение - заранее, до проведения испытания, предсказать невозможно. Однако знание возможных значений случайной величины еще не позволяет полностью описать случайную величину. Весьма важно знать, как часто следует ожидать появления тех или иных возможных значений в результате повторения испытания в одних и тех же условиях. Для этого необходимо знать закон распределения случайной величины, который описывается соответствующей функцией распределения случайной величины.
Функцией распределения случайной величины X называется функция аргумента x, равная вероятности того, что случайная величина Х примет любое значение, меньшее, чем x, и определяется для непрерывных величин выражением
, (8)
где X пробегает все без исключения значения на действительной числовой оси.
Для дискретных случайных величин функция распределения определяется выражением
, (9)
Неравенство в (9) обозначает, что суммирование распространяется на все те возможные значения случайной величины x, которые по своей величине меньше выбранного аргумента x.
Выражение (8) имеет следующий смысл: функция распределения случайной величины X равна вероятности того, что X принимает значения ниже предела x.
Случайную величину X исчерпывающим образом можно охарактеризовать следующими словами:
случайная величина X - это величина, которая при любом испытании случайным образом принимает определенное действительное числовое значение и обладает функцией распределения, определяемой формулой (8) или (9).
Функция распределения имеет следующие основные свойства:
1. Функция распределения F(x) есть неотрицательная функция, заключенная между 0 и 1,

2. Вероятность появления случайной величины в интервале (a, b), полузамкнутом слева (включая a и исключая b), равна разности значений функции распределения в концах интервала, т.е.

3. Функция распределения случайной величины есть неубывающая функция, т.е. если
, то
4. При X= - функция распределения равна 0, а при X = + функция распределения равна единице, т.е.

5. Функция распределения в точках разрыва непрерывна слева, т.е. значение F(x) в точке разрыва определяется при подходе к этой точке слева по оси 0X.
6. Величина скачка функции распределения в точке разрыва равна вероятности появления случайной величины в этой точке, т.е.

Для описания характера распределения случайной величины в небольшой окрестности той или иной точки на числовой оси вводится особая функция, называемая плотностью распределения вероятности f(x), которую находят путем дифференцирования функции распределения непрерывной случайной величины F(x), т.е.
.
Ее смысл состоит в том, что она указывает на то, как часто появляется случайная величина в малой окрестности X при повторении испытаний.
2.2.2. Некоторые теоремы теории вероятностей

Теорема сложения вероятностей
Большинство ТИ можно отнести к сложным системам, состоящим из разного типа простых ТИ. В таких ТИ отказ рассматривается как сложное событие, определяющееся совокупностью появления возможных отказов его отдельных агрегатов, деталей, элементов. Сложное событие A, заключающееся в том, что произойдет либо событие A, либо A, либо A, называется суммой исходных событий и обозначается
(10)
Теорема сложения вероятностей позволяет определить вероятность появления сложного события A и формулируется так: "Вероятность" суммы нескольких несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е.

или
. (11)
Если появление хотя бы одного из n несовместных событий является достоверным событием, то события A образуют полную группу несовместных событий, для которой
(12)
Для совместных событий А и А значение вероятности события A = A+A определяется по формуле
(13)
где - вероятность совместного наступления событий А и А.
Теорема умножения вероятностей
Сложное событие A, заключающееся в одновременном осуществлении нескольких событий, называется произведением исходных событий A и обозначается
.
Вероятность произведения независимых совместных событий равна произведению вероятностей этих событий, т.е.
(14)
Для зависимых событий
(15)
где - условные вероятности зависимых событий, вычисленных при условии, что произошли все предшествующие события.
Теорема полной вероятности
Формула полной вероятности применяется при следующих условиях.
1. Некоторое событие A может наступить или не наступить с одним из ряда несовместных событий H,H,...,H, составляющих полную группу событий. События такого рода называют гипотезами. Вероятности этих гипотез известны: Р(H),Р(H),...,Р(H), и эти события образуют полную группу событий, для которой
. (16)
2. Известны условные вероятности появления события A при осуществлении каждой из гипотез H:

Событие A может осуществиться, если произойдет одно из следующих возможных событий:
- осуществится гипотеза H (с вероятностью Р(H)), тогда вероятность зависимого от этой гипотезы события A будет равна Р(A/H);
- осуществятся гипотезы H,..,H с вероятностями Р(H),...,Р(H), и тогда вероятности события A будут равны Р(A/H),...,Р(A/H).
Полная вероятность события A будет равна
. (17)
Полная вероятность события A равна сумме парных произведений вероятностей каждой из гипотез на отвечающие им условные вероятности появления этого события.
Теорема Байеса
При решении многих практических задач требуется установить, в каком соотношении будут находиться вероятности гипотез, принятых до проведения испытаний, если известно, что в результате испытаний произошло событие A. Пусть до проведения испытаний известны вероятности каждой из гипотез Р(H), Р(H),..., Р(H). В результате испытаний появляется событие A, вероятности которого по каждой из гипотез известны, т.е. известны Р(A/H), Р(A/H),...,Р(A/H). Определим, какие вероятности имеют гипотезы H с учетом полученных результатов испытаний, т.е. Р(H/A).
Используя теорему умножения вероятностей и формулу полной вероятности, получаем формулу теоремы Байеса:
(18)
Вероятность гипотезы после испытаний равна произведению вероятности гипотезы до испытаний на соответствующую ей условную вероятность события, которое произошло при испытаниях, деленному на полную вероятность этого события.
При этом, сумма вероятностей гипотез как до, так и после испытаний, должна быть равна единице
(19)
Пример 1. На предприятии имеется три станка одного типа. Один станок изготавливает 20% продукции, второй - 30%, третий - 50%. При этом 1-ый станок производит 5% брака, второй 4% брака, третий 2%. Необходимо найти вероятность того, что случайно отобранное негодное ТИ выпущено первым станком Р(Н/В).
Имеем: Р(Н)=0,2; Р(Н)=0,3; Р(Н)=0,5.
Обозначим В - событие получения негодного ТИ, тогда Р(В/Н)=0,05; Р(В/Н)=0,04; Р(В/Н)=0,02.
По формуле Байеса получаем

2.2.3. Параметры законов распределения
Для вероятностного описания случайных величин используют числовые характеристики, являющиеся параметрами законов распределения. Основными числовыми характеристиками случайных величин, используемых в теории надежности, являются:
- математическое ожидание или среднее значение [M(X)];
- дисперсия и среднее квадратическое отклонение [D(X)], [X] или S[X];
- коэффициент вариации V(X);
- мода M и медиана M.
Математическое ожидание
Математическим ожиданием или средним значением случайной величины называется постоянное число, около которого с ростом числа испытаний устойчиво колеблется среднее арифметическое значение случайной величины, найденное по опытным данным.
Математическое ожидание непрерывной случайной величины с функцией распределения F(x) определяется как интеграл
. (20)
Математическое ожидание дискретной случайной величины определяется как сумма парных произведений всех возможных значений этой величины на вероятность этих значений
(21)
где .
Дисперсия случайной величины
Дисперсия случайной величины - это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания. Дисперсия характеризует степень рассеивания случайной величины X около ее центра рассеивания - математического ожидания:
. (22)
Для непрерывной случайной величины дисперсия вычисляется как интеграл
. (23)
Для дискретной случайной величины дисперсия вычисляется как сумма
(24)
Дисперсия всегда больше нуля. Дисперсия измеряется квадратом единицы измерения случайной величины. Для большего удобства вместо дисперсии используют только ее положительный квадратный корень. Эта величина называется средним квадратическим отклонением и обозначается буквой S или с индексом случайной величины. Размерность среднего квадратического отклонения совпадает с размерностью случайной величины.
Для случайной величины X
. (25)
Рассеивание в относительных единицах выражается коэффициентом вариации
. (26)
Коэффициент вариации может иметь любые положительные или отрицательные значения.
Мода и медиана случайной величины
Модой дискретной случайной величины называется наиболее вероятное значение. Для непрерывной случайной величины мода есть такое значение случайной величины, которому отвечает наибольшее значение плотности распределения.
Если кривая плотности распределения имеет два или несколько максимумов, то распределение называется двухмодальным или многомодальным.
Медианой случайной величины X называется такое ее возможное значение, относительно которого равновероятно получение большего или меньшего значения случайной величины
.
Это равенство означает, что медиана - это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой плотности распределения, делится пополам.
2.2.4. Законы распределения случайных величин
Законы распределения отказов, являющихся случайными величинами, имеют большое значение для теории и практики работ по обеспечению надежности ТИ. Знание этих законов позволяет рассчитывать и прогнозировать надежность ТИ на этапах их проектирования и испытаний, производства и эксплуатации, а также при оценке правильности установления и продления ресурсов и сроков эксплуатации ТИ.
Наибольшее значение для решения задач по обеспечению надежности ТИ имеют следующие законы распределения случайных величин:
- биномиальное распределение;
- распределение Пуассона;
- экспоненциальное распределение;
- распределение Вейбулла;
- нормальное распределение;
- гамма-распределение;
- распределение хи-квадрат.
Применение того или иного закона распределения обусловлено характеристиками появления и изменения отказов ТИ по времени.
При решении различных задач в области надежности используются табличные данные по соответствующим законам распределения, которые приведены во многих справочниках и специальных изданиях статистических таблиц [12], [17], [18] и др.
Биномиальное распределение
Биномиальное распределение широко применяется в теории надежности для исследования дискретных случайных величин. Это распределение имеет место, когда равновероятно появление отказов в любом из проводимых испытаний случайной выборки ТИ данного типа. Биномиальное распределение применяется только для положительных целых величин.
Распределение случайной величины называется биномиальным, если она может принимать целые положительные значения 0,1,2,...n, с вероятностями
, (27)
где - вероятность того, что случайная величина примет значение;
m=0,1,2,...n
q - параметр распределения, величина которого находится в пределах от 0 до 1 ;
m - ожидаемое число отказов;
- число возможных сочетаний, которое можно образовать из n испытаний, cобирая в каждом из них по m отказов
.
Наиболее часто при использовании биномиального распределения под n понимается число испытаний, под m понимается ожидаемое число отказов, q - вероятность отказа ТИ во время испытаний. Вероятность того, что случайная величина m не превысит заданного значения m’, находится по уравнению
(28)
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по биномиальному закону, находятся по уравнениям
(29)
(30)
Распределение Пуассона
Распределение Пуассона определяет вероятность появления в малых выборках различных значений случайной величины m. Эта вероятность находится по формуле
(31)
где a = q·n; n - число испытываемых ТИ;
q - вероятность появления отказа в одном испытании, а>0.
Вероятность того, что случайная величина m примет значение, меньшее m’, находится по уравнению
(32)
где Р(m) вычисляется по уравнению (31).
Математическое ожидание и дисперсия распределения Пуассона определяются по уравнениям
(33)
(34)
Экспоненциальное распределение
Распределение случайной положительной величины называется экспоненциальным, если его плотность вероятности имеет вид
(35)
где - постоянная величина (параметр распределения).
В качестве основного параметра экспоненциального распределения применяется параметр (t), которым характеризуется интенсивность отказов для неремонтируемых и параметр потока отказов для ремонтируемых ТИ. Случайной переменной величиной является время t. Функция экспоненциального распределения определяется из уравнения
(36)
Вероятность безотказной работы Р(t) для любого закона изменения (t) по времени определяется по формуле
(37)
Уравнение (37) является одним из основных уравнений надежности. В случае, когда , уравнение (37) будет иметь следующий вид:
(38)
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины t, удовлетворяющей уравнению (35), определяются по формулам
(39)
. (40)

Распределение Вейбулла
Это распределение получено эмпирически и находит широкое применение в теории надежности. Для непрерывной случайной величины t плотность распределения по Вейбуллу выражается формулой
(41)
где m -параметр формы, определяемый по статистическим данным;
t - параметр масштаба, также определяемый по результатам обработки статистических данных.
Методика определения этих параметров приведена в главе 10.
ВБР за время t определяется по формуле
(42)
Интенсивность отказов при времени работы t определяется формулой
(43)
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   23


Учебный материал
© bib.convdocs.org
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации