Животкевич И.Н., Смирнов А.П. Надежность технических изделий - файл n1.doc

Животкевич И.Н., Смирнов А.П. Надежность технических изделий
скачать (1198.9 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc3994kb.15.05.2011 21:14скачать

n1.doc

1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   23

Нормальное распределение
Нормальное распределение занимает особое место и играет очень важную роль в теории вероятностей и в теории надежности. Главная его особенность состоит в том, что нормальное распределение является предельным распределением, к которому приближаются другие законы распределения.
Плотность нормального распределения определяется формулой
(44)
где - среднее квадратическое отклонение случайной величины x;
M - математическое ожидание случайной величины x.
Функция нормального распределения имеет следующий вид:
(45)
Интеграл в (45) вычисляется с помощью табулированной функции вида [17],[18]:
(46)
где для случая, когда величина y имеет нормальное распределение, а M(y)=0, = 1.
Гамма-распределение
Случайная положительная величина подчиняется гамма - распределению, если плотность вероятности имеет вид
(47)
где и m - положительные постоянные, причем m - целое число.
Произведя замену переменных получим
(48)
Функция f(x) имеет важное преимущество перед функцией f(t) - она зависит только от одного параметра m .
Распределение хи-квадрат
Распределение хи-квадрат используется для определения доверительных границ при оценке вероятностных характеристик и для проверки соответствия экспериментальных и теоретических законов распределения при анализе экспериментальных данных.
Для распределения хи-квадрат введен особый параметр К, называемый числом степеней свободы. Применительно к решению задач по надежности ТИ число степеней свободы К является функцией числа составных частей или узлов ТИ, интервалов времени, числа испытаний.
Плотность распределения хи-квадрат f(x) определяется выражением
(49)
где - гамма-функция.
2.3. Методы обработки информации о надежности изделий

2.3.1. Общие положения
Реальные количественные значения показателей надежности ТИ наиболее объективно могут быть определены только по результатам экспериментальной проверки, позволяющей всесторонне и правильно оценить влияние всех внешних условий и действительных нагрузок на их значения. Оценка показателей надежности с использованием экспериментальных материалов производится на стадиях разработки, производства и эксплуатации. При проведении расчетных работ по оценке показателей надежности с использованием экспериментальных данных используется собранная и обработанная информация, а в качестве рабочего аппарата используются методы математической статистики. Некоторые положения математической статистики, применяемые в теории надежности, будут изложены в последующих разделах. Фундаментальное изложение методов математической статистики приведено в [19] и других работах. Практическое применение методов для инженерных расчетов изложено в работе [20].
В качестве информации о надежности ТИ используются сведения о:
- всех отказах и неисправностях ТИ и их составных частей;
- времени, месте и условиях обнаружения отказов и неисправностей;
- суммарной наработке, продолжительности и условиях хранения, транспортирования ТИ;
- анализе причин возникновения отказов и неисправностей, принятых мерах по их устранению;
- затратах времени на поиск и устранение отказов.
Для организации сбора необходимой информации создаются соответствующие системы сбора, обработки и прохождения информации о надежности ТИ. В качестве носителей информации используются карточки учета отказов и неисправностей соответствующей формы, журналы учета необходимой информации, формуляры и другие виды документов.
До проведения расчетов информация о надежности проходит соответствующую обработку. Производится классификация отказов по причинам их возникновения. Отказы подразделяются на:
- конструктивные отказы;
- производственные отказы;
- эксплуатационные отказы;
- отказы с не установленной причиной.
Такое распределение оформляется графически в виде гистограмм или круговых диаграмм; оно показывает, на какие виды деятельности следует обратить особое внимание при обеспечении надежности.
Следующим этапом работ является определение зачетности отказов для проведения соответствующих оценок. Зачетными считаются отказы, которые учитываются при оценке показателей надежности. Как правило, по большинству отказов принимаются те или иные мероприятия по устранению причин их возникновения и проводятся соответствующие доработки конструкции ТИ или вносятся необходимые изменения в технологический процесс изготовления.
Конструктивные и производственные отказы не учитываются при оценке показателей надежности, если по ним проведены доработки или приняты необходимые мероприятия по исключению причин возникновения этих отказов и показана эффективность принятых мер. Не учитываются при оценке показателей надежности также зависимые отказы, так как должен быть учтен отказ первичной системы. Не учитываются и эксплуатационные отказы, которые не характеризуют надежность собственно ТИ, а могут использоваться только для оценки системы "обслуживающий персонал - ТИ".
При оценках показателей надежности по экспериментальным данным зачетными учитываемыми отказами являются отказы, которые носят случайный характер. К учитываемым отказам относят конструктивные и производственные отказы, по которым не приняты меры, исключающие причины их возникновения, а также отказы с не установленной причиной. Соответствующим образом производится и обработка информации о наработке, продолжительности хранения, транспортирования ТИ.
2.3.2. Генеральная совокупность. Выборка. Выборочные функции
Во многих случаях для получения достоверного ответа на тот или иной вопрос, в том числе и для ответа на вопрос, какие фактические значения имеют показатели надежности ТИ, нужно было бы провести неограниченное число экспериментов, что невозможно по экономическим и временным причинам.
Так, при контроле качества многих видов продукции невозможно осуществить сплошной контроль каждой единицы продукции, особенно там, где это связано с разрушением ТИ и невозможностью дальнейшего использования образцов, предназначенных для контроля. Именно здесь и приходят на помощь методы математической статистики, посредством которых можно по известным свойствам некоторого подмножества ТИ, взятого из совокупности, судить о неизвестных свойствах остальных объектов, принадлежащих данной совокупности.
Совокупность однотипных ТИ, которые исследуются с точки зрения некоторого признака, называется генеральной совокупностью.
Количество входящих в нее единиц ТИ обозначается символом N. Подмножество, отобранное соответствующим образом из такой генеральной совокупности, называется выборкой. Выборка определяется случайным образом. Элементы выборки обозначаются буквами x, x, ..., x, где n - объем выборки. Эти n величин представляют собой реализацию исследуемого признака, т.е. случайной величины X генеральной совокупности.
Задача математической статистики состоит в том, чтобы по свойствам выборки сделать заключение о численных пропорциях в генеральной совокупности. Для любой случайной величины X существует функция распределения F(X). Генеральная совокупность, рассматриваемая с точки зрения некоторого признака X, характеризуется вероятностным законом F(X) случайной величины X. Вероятностный закон генеральной совокупности на практике почти всегда неизвестен. Единственным источником информации о нем служит взятая из этой совокупности выборка объема n, элементы которой x,x,...,x являются реализациями X. По этой выборке рассчитываются эмпирическое распределение и статистики числовых характеристик, такие как среднее значение, дисперсия, коэффициент корреляции и т.д. Эмпирическое распределение выборки рассматривается в качестве оценки теоретической функции распределения F(X) генеральной совокупности.
Каждая из рассчитанных по наблюдениям x,x,...,x данной выборки числовая характеристика, например среднее арифметическое x, есть реализация случайной величины, которая от выборки к выборке может принимать различные значения. Такая случайная величина называется выборочной функцией. Так как выборочная функция является случайной величиной, то она имеет закон распределения, зависящий от закона распределения случайной величины X в генеральной совокупности.
Например, если из некоторой генеральной совокупности отобрать ряд выборок объема n, то каждая выборка даст свое значение среднего арифметического . В итоге можно получить ряд средних арифметических для которого можно установить эмпирическое распределение и его числовые характеристики.
Различают две группы математико-статистических методов: статистическая проверка гипотез и статистические оценки параметров распределения. Статистическая проверка гипотез предполагает выдвижение определенных допущений (гипотез) относительно неизвестных параметров F(X). Правильность этих гипотез проверяется затем по числовым значениям, полученным из выборки, и, в зависимости от результатов проверки, гипотезы принимаются или отвергаются. Статистическая оценка параметров распределения предусматривает получение оценок неизвестных параметров вероятностного закона генеральной совокупности по параметрам выборки для отдельных значений или интервалов.
2.3.3. Статистики числовых характеристик одного измеримого признака
В качестве характеристик измеримого признака используются числовые характеристики, которые служат для описания и сравнения распределений. Основу статистического исследования составляет множество данных, полученных по результатам измерения одного или нескольких признаков. Ряд измерений объема n состоит из n значений признака.
При обработке этой информации полученный ряд измерений разбивается на интервалы, количество которых k должно быть не менее 6. Ширина интервалов d по возможности должна быть постоянной. После определения ширины и количества интервалов определяются абсолютные частоты попадания случайной величины (измеримого признака) в каждый из k интервалов h, при этом
(50)
По значениям h и распределенным по интервалам значениям случайной величины x строятся или гистограмма (для непрерывных величин), или полигон частот (для дискретных величин) в координатах h, x. Гистограмма или полигон частот дают первое указание на вид распределения частот.
Важнейшей характеристикой является среднее значение, описывающее одним числом результаты некоторого ряда измерений. При решении задач надежности наиболее часто используется среднее арифметическое ряда измерений. Например, среднее число отказов, приходящееся на N ТИ, средний срок службы.
Среднее арифметическое ряда измерений определяется по формуле
, (51)
или по формуле
(52)
n - число измерений, k - число интервалов, h - абсолютная частота m-ого интервала, u-середина соответствующего интервала. Формула (52) предполагает равномерное распределение величин в пределах интервала, так что среднее значение интервала совпадает с его серединой. На практике это не всегда обеспечивается. Поэтому вместо (52) расчеты среднего арифметического проводятся по следующей формуле [20]:
(53)
где x - вспомогательное среднее значение, расположенное вблизи ожидаемого среднего значения и устанавливаемое в начале расчетов по результатам рассмотрения исходных данных; d - ширина интервала; n - количество измерений; Р - параметр, определяемый по формуле
(54)
Для описания эмпирических распределений недостаточно введения единственного числа, характеризующего ряд измерений через их среднее значение, необходимо знать меру рассеивания. В качестве меры рассеивания используется среднее квадратическое отклонение S или его квадрат дисперсия D. Эмпирическая дисперсия D ряда измерений объема n со значениями x,x,...,x определяется по формуле
(55)
Соответственно для среднего квадратического отклонения S имеем формулу
(56)
Квадратный корень всегда берется с положительным знаком. При использовании при расчетах абсолютных частот и интервалов оценка дисперсии определяется по формуле
(57)
при этом среднее арифметическое определяется по формуле (52) или (53). В случае введения при расчетах вспомогательного среднего x вместо формулы (57) для оценки дисперсии применяется следующая формула:
(58)
где
Р - определяется по формуле (54), остальные обозначения соответствуют обозначениям приведенным выше. Коэффициент вариации V ряда измерений со средним арифметическим и средним квадратическим отклонением S определяется по выражению
(59)
2.3.4. Статистическая проверка гипотез
Статистическая проверка гипотез применяется для того, чтобы использовать полученную по выборке информацию для суждения о законе распределения генеральной совокупности. При этом должно быть определенное представление о неизвестном вероятностном законе распределения F(X) и его параметрах, которые формулируются в виде статистической гипотезы.
С помощью статистических методов или критериев для проверки гипотезы устанавливается, соответствуют ли взятые из выборки данные выдвинутой гипотезе или нет, т.е. можно ли принять или отвергнуть гипотезу.
Статистические методы проверки гипотез наиболее широко применяются на стадии производства и эксплуатации ТИ при проверке соответствия или несоответствия полученных значений показателей надежности установленным требованиям.
Проверка гипотезы о среднем значении - нормально распределенной генеральной совокупности
Предположим, что функция F(X) генеральной совокупности есть нормальное распределение с параметрами m и s . В качестве параметра mo в теории надежности часто применяется вероятность безотказной работы Р или другие показатели надежности. По результатам испытаний выборки получены значения математического ожидания Р и среднего квадратического отклонения S. Вероятность события, состоящего в том, что абсолютная величина отклонения полученного значения Р от гипотетического значения генеральной совокупности Р равна или больше величины d, определяется по формуле [20]
(60)
где Ф(X) - функция распределения нормированного нормального распределения, при известных S и n и заданном значении d определяемая по таблицам [41].
Значение вероятности Р(|Р - Р|>=d) устанавливается до проверки гипотезы и называется вероятностью ошибки a или статистической достоверностью =1 - a .
В математической статистике абсолютно достоверные утверждения невозможны, поскольку приходится иметь дело со случайными величинами и их функциями распределения, а следовательно и с вероятностями.
Суждение о принятии или отклонении выдвинутой гипотезы может быть высказано всегда лишь с некоторой вероятностью, с определенной степенью достоверности.
На практике проверка гипотезы по (60) осуществляется следующим образом. Обозначим
(61)

тогда зависимость (60) будет иметь следующий вид:
. (62)
Для заданного значения a определяется величина критического отклонения гипотезы Z. Значения критического отклонения Z определяются по таблицам функции распределения F(x) нормированного нормального распределения [41],[42] для заданной вероятности ошибки a из условия F(Z) = 1 - a/2 . Значения Z для некоторых значений a приведены в табл. 2.
Значения параметра Z в зависимости от a

Таблица 2


a

0,001

0,0027

0,01

0,05

0,1

0,2

Z

3,291

3,00

2,576

1,65

1,65

1,28


Область отклонения гипотезы определяется неравенством
, (63)
или
(64)
По зависимости (61) с подстановкой вместо Z параметра Z можно определить минимально необходимый объем выборки n для того, чтобы определить значимость установленного расхождения d между значениями Р и Р с определенной статистической достоверностью a. Необходимый объем выборки определяется по формуле
. (65)
Проверка гипотезы о среднем значении "m" нормально распределенной генеральной совокупности при неизвестной дисперсии "s"
Введем выборочную функцию
(66)
где
Выборочная функция t имеет для гипотезы Ho: Р = Рo распределение Стьюдента [21] с m = n - 1 степенями свободы. Критическая область непринятия гипотезы Ho определяется неравенством |t|>= , где значение получают из соотношения
(67)
Значения для заданного значения a и при числе степеней свободы m = n - 1 приведены в [18].
Пример 2. Проведено 10 испытаний ТИ, в одном из испытаний зафиксирован отказ. Требуемое значение вероятности безотказной работы Рo = 0,92. Требуется проверить гипотезу Ho: Р = Рo, при установленной доверительной вероятности a = 0,1.
Полученное значение Р = 9/10 = 0,9; значение S = 0,316.
Определим полученное значение параметра t = (0,9 - 0,92) / 0,316 = 0,2. По таблицам [41] для числа степеней свободы m = 9, при a = 0,1
находим = 1,83 , тогда

Гипотеза Ho: Р=Рo не отвергается. Результаты испытаний не опровергают выдвинутое предположение о том, что действительное значение вероятности безотказной работы ТИ Р = Рo.
Проверка гипотезы о вероятности р альтернативных генеральных совокупностей
Этот метод часто используют при решении задач по проверке соответствия полученной оценки вероятности безотказной работы и других показателей надежности заданным требованиям. Пусть имеем генеральную совокупность, для которой могут наступить только события A и , при этом Р(A) = р, Р() =1 - р.
Выдвигается гипотеза Ho: Р=Рo, где Рo - заданная вероятность безотказной работы. Проверка гипотезы осуществляется по результатам испытаний выборки объемом n по выборочной функции Y = X/n, где X/n - относительная частота безотказной работы, X - количество успешных опытов (положительных результатов) при проведении n испытаний ТИ. При достаточно больших n величина Y имеет приближенно нормальное распределение с математическим ожиданием Рo и дисперсией D=Рo·(1-Рo)/n. Получим значение трансформированной случайной величины
(68)
Выбрав значение доверительной вероятности = (1 - a) по таблице 2, находим значение Za. При выполнении условия |Z|>= Za (63) гипотеза отвергается.
Пример 3. Результаты испытаний соответствуют условиям примера 2. Принимаем значение доверительной вероятности =1 - a=0,95, по табл. 2. получим Za = 1,96, по расчету получим Z = - 0,233. Имеем |Z|= 0.233 < Za = 1.96. Выдвинутая гипотеза имеет место, т.е. результаты испытаний выборки объема n показали, что действительное значение Р c доверительной вероятностью =0.95 соответствует значению Рo=0,92.
По условию (68) можно найти минимально необходимый объем выборки n, который при заданной статистической достоверности a обеспечивает расхождение между относительной частотой Р=X/n и установленной вероятностью безотказной работы Рo, равное максимум d = Р - Рo. После преобразований получим
(69)
Пример 4. Установленная вероятность безотказной работы ТИ Рo=0,92. Расхождение d между относительной частотой и Рo должно быть не более d=Р - Рo<=0,2. Статистическая достоверность a = 0,05. Получаем n >= 1,96·0,92·0,08/(0,2)=0,2827/0,04=7,06.
Для проверки гипотезы Ho: Р=Рo необходимо, при заданных условиях, провести не менее 7 испытаний.
Проверка гипотез о вероятностях р и р из альтернативных генеральных совокупностей
Для сравнения параметров Р и Р появления события A в двух альтернативных совокупностях из них берут соответственно выборки объемом n и n и на основании выборочных результатов проверяют гипотезу Ho: Р, т.е. допущение о том, что обе генеральные совокупности имеют одинаковую вероятность появления события A. Для проверки гипотезы пользуются выборочной функцией вида
(70)
- относительные частоты наступления события A в первой и второй выборках. Принимается статистическая достоверность a и по табл. 2 определяется значение Z. Если полученное значение |Z|>= Z, то гипотеза Ho отвергается, если |Z|< Z, то гипотеза принимается.
Принятие гипотезы означает, что вероятности Р и Р альтернативных совокупностей не имеют существенного различия.
Проверка гипотезы о соответствии эмпирического и теоретического распределений
Для проверки гипотезы о соответствии эмпирического и теоретического распределений применяется ряд критериев. Наибольшее применение при решении задач надежности имеет критерий согласия Пирсона (хи-квадрат).
Применение этого критерия рассмотрим на следующем примере. В процессе эксплуатации или испытаний проводились наблюдения за работоспособностью N однотипных ТИ в течение общего времени t.
За это время отказало суммарно m ТИ. Времена наработки отдельных ТИ до отказа имеют следующие значения t,t,...,t. Требуется определить закон распределения отказов.
Работы по обработке статистической информации для определения закона распределения отказов выполняются в следующей последовательности.
1) Полученные данные по наработке отказавших ТИ располагаются в ряд t,t,...,t в порядке их возрастания.
2) Общее время испытаний или эксплуатации разбивается на z интервалов ti. Количество интервалов z должно быть не менее 5. Большее количество интервалов определяется в зависимости от величины m по приближенным формулам z = или z <=5·lgm, при m>10. Для условий примера в каждом интервале ti должно быть не менее двух значений t.
3) На основании выполненной разбивки исходных данных по интервалам составляется таблица по форме таблицы 3. В эту же таблицу заносятся результаты расчетного определения статистического значения плотности f(t), интенсивности отказов (t), вероятности отсутствия отказа Р(t). Расчетные формулы для определения основных параметров приведены в табл. 3.
4) Строятся графики-гистограммы f(t), (t), Р(t) и на основании анализа их протекания выдвигается гипотеза о соответствии полученного статистического распределения одному из известных теоретических распределений.
5) На основе статистических данных определяются выборочные параметры для теоретического закона распределения. Например, оценки математического ожидания и дисперсии для нормального закона, оценки параметров m и to для распределения Вейбулла, оценка параметра a для распределения Пуассона и т.д.
6) Определяются теоретические характеристики вероятности отказа q(t) для всех z интервалов по выборочным значениям параметров теоретического распределения и заносятся в таблицу 3.
Типовая расчетная таблица

Таблица 3



Основные

Интервалы i=1,+..,z

параметры

1

2

+.

i

+

Z







+



+









+



+









+



+









+



+





Р

Р

+

Р

+

Р







+



+




7) Производится расчет величины критерия (хи-квадрат) по формуле
.
При расчете критерия исходные данные и результаты промежуточных расчетов отдельных составных частей оформляются по форме табл. 4.
8) Определяется критическое значение критерия по таблицам [42] для заданного уровня значимости а и числа степеней свободы K, определяемых по уравнению
K = Z - S - 1,
где Z - число интервалов, S - число связей, зависящих от количества параметров теоретического закона распределения (для нормального закона и закона Вейбулла S=2, для экспоненциального и закона Пуассона S=1).
Результаты расчета критерия

Таблица 4


Номер

интервала










1









+

+

+

+

+

i









+

+

+

+

+

z
























9) Производится оценка соответствия теоретического и эмпирического или статистического законов распределения по условию
. (71)
где - полученное расчетное значение критерия.
Если условие (71) не выполняется, то гипотеза о соответствии эмпирического распределения теоретическому отвергается и необходимо подбирать другой, более подходящий закон. Если условие (71) выполняется, то при уровне значимости а подтверждается выдвинутая гипотеза о соответствии статистического и теоретического распределений.
Оценка однородности экспериментальных данных
При обработке статистических материалов часто необходимо определить, существенно ли их различие, т.е. для решения многих задач надежности проверить гипотезу о неизменности показателей надежности в течение какого-то периода времени. Рассмотрим это на примере для показателя наработка на отказ.
Пусть испытаниям (наблюдениям) подвергалось N ТИ одного типа. В процессе испытаний получены следующие результаты, представленные в табл. 5.
Результаты испытаний

Таблица 5


Время испытаний t

t

+

t

+



Число испытаний n

n

+

n

+

N

Число отказов m

m

+

m

+




Для проверки гипотезы о том, что наработка на отказ неизменна, т.е. T=T=...=T, вычисляется критерий согласия хи-квадрат по формуле
,
где .
Затем по заданной доверительной вероятности при числе степеней свободы K = N - 1 по [41] определяется критическое значение критерия и проводится сравнение его с расчетной величиной критерия .
Если , то статистические материалы можно считать однородными и можно утверждать, что гипотеза о равенстве наработки на отказ справедлива. Если , то выдвинутая гипотеза отвергается.
2.3.5. Статистические оценки
Статистические методы оценок обеспечивают возможность принятия обоснованных решений о неизвестных параметрах функций распределения генеральной совокупности на основании статистических параметров выборки. Для расчета оценок неизвестных параметров можно идти двумя путями. Можно воспользоваться одной рассчитанной по выборке оценкой. Такой подход позволяет получать точечные оценки. Если желательно получить информацию о точности и надежности некоторых оценок, применяют метод доверительных оценок, позволяющих заключать истинный параметр распределения генеральной совокупности в некоторый интервал, построенный по результатам выборки.
Точечная оценка
Пусть - рассчитанная по выборке оценка или оценивающая функция для неизвестного параметра Q функции распределения F(X) генеральной совокупности, которая не зависит явным образом от этого параметра. Принято обозначать оценки черточкой у символа соответствующего параметра, например m = означает, что среднее арифметическое есть оценка математического ожидания m(X) генеральной совокупности.
есть выборочная функция, которая принимает в выборках разные значения и имеет определенный закон распределения, зависящий от закона распределения случайной величины X в генеральной совокупности.
От закона распределения как раз и зависит, можно ли считать приемлемой оценкой для Q. Выбор оценивающей функции для неизвестного параметра Q генеральной совокупности из множества возможных оценок базируется на трех критериях, предложенных Р.А. Фишером.
1. Оценка должна быть состоятельной, т.е. с возрастанием объема выборки n должна сходиться по вероятности к истинному неизвестному параметру Q. Во многих случаях имеется несколько состоятельных оценок для Q. Тогда выбирают ту из них, которая обладает меньшей дисперсией D(Q). Такая оценка называется эффективной. Если для двух состоятельных оценок и параметра Q справедливо соотношение , то следует отдать предпочтение оценке .
2. Оценка должна быть несмещенной, т.е. математическое ожидание Q должно быть равно оцениваемому параметру Q: m()=Q.
3. Оценка должна быть достоверной, обеспечивая полноту использования всей содержащейся информации о неизвестном параметре Q, чтобы никакая другая оценка не могла дать о Q дополнительных сведений.
Доказано, что среднее арифметическое выборки объема n представляет собой состоятельную, несмещенную, эффективную и достаточную оценку математического ожидания нормально распределенной генеральной совокупности [20]. Дисперсия выборки объема n, определяемая формулой
(72)
может быть использована в качестве точечной оценки неизвестной дисперсии нормально распределенной генеральной совокупности, причем она является состоятельной и несмещенной.
Для построения оценок, удовлетворяющих приведенным выше трем критериям, Р.А. Фишер разработал удобный практический метод - метод максимального правдоподобия [20].
Метод максимального правдоподобия
Метод максимального правдоподобия позволяет находить состоятельные, эффективные и достаточные оценки при условии их существования. Применение метода рассмотрим на следующем примере.
Рассмотрим генеральную совокупность, в которой признак X удовлетворяет распределению Пуассона
(73)
Параметр неизвестен, и его оценка должна быть произведена по результатам выборки. Дискретная случайная величина X может принимать в выборке только целочисленные значения 0,1,...,r с соответствующими абсолютными частотами h,h,...,h. Для получения оценки параметра определяется функция максимального правдоподобия случайной величины X по соотношению
(74)
или, подставляя (73) в (74), получим
(75)
где L является функцией от неизвестного параметра.
Необходимо найти такую оценку для, при которой функция L принимает максимальное значение. Это означает, что нужно из всех возможных оценок неизвестного параметра выбрать ту, для которой в фактически наблюдаемой выборке функция L имеет наибольшую вероятность. Максимум функции правдоподобия можно определить из условия
. (76)
Уравнение (76) называется уравнением максимального правдоподобия. Если в функции правдоподобия L имеется несколько неизвестных, то образуется система уравнений
(77)
По результатам решения системы уравнений (77) определяются значения неизвестных параметров . Для упрощения расчетов в рассматриваемом примере заменим функцию L на функцию lnL. lnL - натуральный логарифм функции L. Тогда получим из (75):
. (78)
Частная производная этого выражения по дает следующее уравнение максимального правдоподобия
(79)
Решение этого уравнения относительно дает оценку неизвестного параметра
(80)
где
n - число измерений в выборке.
Оценка максимального правдоподобия параметра в распределении Пуассона представляет собой среднее арифметическое , рассчитанное по выборке объема n.
Доверительные оценки
Точечные оценки не дают информации о точности конкретной оценки. Для устранения этого недостатка применяется доверительная, или интервальная оценка, позволяющая по данным выборки указать интервал, в котором с высокой вероятностью следует искать истинное, но неизвестное значение параметра распределения генеральной совокупности. Такие интервалы называются доверительными интервалами.
Рассмотрим процедуру определения доверительного интервала для оценки математического ожидания m нормально распределенной генеральной совокупности. При построении доверительных интервалов для параметра m будем исходить из тех же предпосылок, что и при определении статистических критериев проверки гипотез (раздел 2.3.4), так как эти методы тесно связаны между собой.
Для проверки гипотезы Ho: m=mo, область ее непринятия задается неравенством
. (81)
Значения Za приведены в таблице 2. Область, в которой гипотеза не может быть отвергнута, определяется неравенством
(82)
Решение неравенства (82) относительно mo дает интервал для m следующего вида:
(83)
Этим интервалом ограничено множество значений m, при которых гипотеза Ho не отвергается. Пределы интервала (83) называются доверительными границами:
(84)
Определенный этими границами случайный интервал (m, m) называется доверительным интервалом для неизвестного параметра m. Утверждение, что истинное значение параметра m закона распределения генеральной совокупности лежит в случайном интервале (m, m), справедливо лишь с определенной доверительной вероятностью, т.е.
(85)
Значение называется доверительной вероятностью или доверительным уровнем. Принята следующая терминология: истинное значение параметра m распределения генеральной совокупности находится в интервале m < m < m с доверительной вероятностью .
Методы определения доверительных границ для параметров законов распределения случайных величин достаточно разработаны. Для решения различных задач, в том числе и для решения задач в области надежности, составлены соответствующие таблицы и номограммы, которые приведены во многих изданиях, например [17], [18], [22] и др.
2.4. Моделирование по схеме марковских случайных процессов

В ряде случаев для определения характеристик надежности ТИ применяется математический аппарат, разработанный в теории вероятностей для марковских случайных процессов [23].
Случайный процесс называется марковским, если для каждого момента времени t вероятность любого состояния системы в будущем (t>to) зависит только от ее состояния в настоящее время (t=to) и не зависит от того, когда и каким образом система пришла в это состояние (т.е. как развивался процесс в прошлом).
Пусть система S имеет n возможных состояний S,S,...,S. Обозначим через Р вероятности перехода системы S за один шаг из состояния S в состояние S. При этом можно составить следующую матрицу переходных вероятностей:
(86)
Некоторые из переходных вероятностей Р могут быть равны нулю.
Это означает, что за один шаг переход системы из i-го состояния в j-е невозможен. Сумма членов, стоящих в каждой строке матрицы, должна быть равна единице. Для однородной марковской цепи вероятности перехода от шага к шагу не меняются.


Рис.3. График состояний системы S
Удобнее матрицу переходных состояний (86) заменить размеченным графом состояний. На рис.3 приведен размеченный граф для 4-х состояний некоторой системы. На размеченном графе состояний проставляются только те переходные вероятности, которые не равны нулю и меняют состояние системы. Вероятности Р,...,Р на графе состояний не проставляются, так как каждая из них дополняет до единицы сумму переходных вероятностей, соответствующих всем стрелкам, исходящим из этого состояния. Например, для графа, приведенного на рис. 3: Р=1 - Р; Р = 1 - Р; Р = 1 - Р; Р=1-Р.
Вероятности каждого i-го состояния, в котором окажется система после k-ого шага, определяется по рекуррентной формуле
i=1,2,...,n, (87)
где - вероятность состояния системы после (k - 1)-го шага.
Для решения задач надежности используется модель случайного процесса с дискретными состояниями и непрерывным временем (непрерывные марковские цепи). При решении этих задач вместо переходных вероятностей Р матрицы (86) применяется плотность вероятности перехода , которую можно представить в виде отношения
,
где - вероятность того, что система, находившаяся в момент t в состоянии S, за время t перейдет из него в состояние S.
Если все плотности вероятностей Р не зависят от t, то марковский процесс называется однородным. Если эти плотности являются функциями от времени, процесс называется неоднородным. Вероятности состояний системы могут быть найдены решением системы дифференциальных уравнений, которые называются уравнениями Колмогорова. Составление уравнений Колмогорова производится по следующему правилу. Прежде всего составляется размеченный граф состояний (рис. 4). В левой части каждого уравнения стоит производная вероятности состояния, а правая часть содержит столько членов, сколько стрелок связано с этим состоянием. Если стрелка направлена из состояния, соответствующий член имеет знак "минус", если стрелка направлена в состояние, то данный член уравнения имеет знак "плюс". Каждый член правой части уравнений равен произведению плотности вероятности перехода, соответствующей данной стрелке, на вероятность того состояния, из которого исходит стрелка. Начальные условия берутся в зависимости от того, каково было начальное состояние системы S.
Составление уравнений Колмогорова рассмотрим на следующем примере. Размеченный граф состояний некоторой системы приведен на рис. 4.


Рис. 4. Размеченный граф состояний системы
Исходя из графа состояний, уравнения Колмогорова будут записаны в следующем виде:
(88)
Начальные условия: при t=0, При этом .
Уравнения для вероятностей состояний (88) представляют собой линейные дифференциальные уравнения, которые только в редких случаях могут быть проинтегрированы, обычно их приходится решать численными методами [24].
Если число состояний системы S конечно и из каждого состояния можно перейти (за то или иное число шагов) в каждое другое состояние, то существуют предельные вероятности состояний, которые не зависят от начального состояния. При t и =const (интенсивности потоков событий постоянны) в системе S устанавливается некоторый предельный стационарный режим: система случайным образом меняет свои состояния, но вероятность каждого из них не зависит от времени, каждое из состояний осуществляется с некоторой постоянной вероятностью. При этом предельные вероятности состояний Р в сумме должны давать единицу
(89)
где n - количество состояний.
Для вычисления предельных вероятностей состояний составляется система уравнений Колмогорова. Левые части уравнений равняются нулю (в предельном режиме все вероятности состояний постоянны и их производные равны нулю). В этом случае система дифференциальных уравнений превратится в систему линейных алгебраических уравнений, которая решается при нормировочном условии (89).
Для рассмотренной выше системы (рис.4) уравнения Колмогорова для предельных вероятностей имеют следующий вид:
(90)
Моделирование по схеме марковских случайных процессов применяется при расчетах комплексных показателей надежности, а также при проведении расчетов безотказности с различными видами резервирования.

1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   23


Учебный материал
© bib.convdocs.org
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации