Контрольная работа - Математические модели финансовых рынков - файл n2.doc

Контрольная работа - Математические модели финансовых рынков
скачать (75.9 kb.)
Доступные файлы (2):
n1.doc89kb.16.12.2010 17:39скачать
n2.doc164kb.16.12.2010 17:40скачать

n2.doc

1. На рынке доступны для инвестирования активы А и B. Исторические доходности активов А, B и рыночного портфеля за последние три года представлены в таблице. Безрисковая доходность, .


Год

Актив A

Актив B

Рыночный портфель М

2002

20

-10

20

2003

-15

15

-10

2004

55

25

35


а) Найдите среднюю доходность и СКО доходностей активов А, B и рыночного портфеля.

б) Рассчитайте бета коэффициенты активов. Предположим, что ожидаемые инвестором доходности активов равны средним историческим доходностям. Следует ли тогда инвестору покупать активы А и B, если CAPM верна?

в) Рассчитайте коэффициенты Шарпа и Трейнора для активов A и B. Какой из активов привлекательнее для инвестирования?

Решение:

  1. Воспользуемся стандартными средствами Microsoft© Excel для вычисления средней доходности и СКО для активов и портфеля.

Год

Актив A

Актив B

Рыночный портфель М

2002

20

-10

20

2003

-15

15

-10

2004

55

25

35




Средняя доходность

20

10

15

СКО

35

18,03

22,91




  1. Формула расчёта коэффициента Бета для актива (или портфеля) относительно рынка:



ra — доходность актива (или портфеля);

rm — доходность рынка;



Стандартными методами Microsoft© Excel вычислим значения ковариаций для активов A и B относительно рыночного портфеля:





Соответственно коэффициенты бета для активов будут равны:

;

.

  1. Коэффициент Шарпа — показатель эффективности инвестиционного портфеля (актива), который вычисляется как отношение средней премии за риск к среднему отклонению портфеля. Вычисляется следующим образом:



R — доходность портфеля (актива);

Rf — доходность от альтернативного вложения (как правило, берётся безрисковая процентная ставка);

? — стандартное отклонение доходности портфеля (актива);

В нашем случае:



Коэффициент Трейнора представляет собой отношение средней доходности, превышающей безрисковую процентную ставку, к систематическому риску ?.



R — доходность портфеля (актива);

Rf — доходность от альтернативного вложения (как правило, берется безрисковая процентная ставка);

? — систематический риск;

Соответственно значения коэффициента Трейнора для рассматриваемых активов А и B будут равны:

;

Коэффициент Шарпа для актива А больше, чем для актива B, а учитывая более высокую доходность актива А, можно сказать, что он более привлекателен, т.к. менее рисковый.
2. Найдите цену европейского колл опциона на акцию без дивиденда с ценой исполнения $100 и истечением через 6 месяцев, если цена акций $102, волатильность ­– 20% годовых, безрисковая процентная ставка - 3%.

Решение:

Цена (европейского) опциона call:

, где

, а

C(S,t) - текущая стоимость опциона call в момент t до истечения срока опциона;

S - текущая цена базисной акции;

N(x) - вероятность того, что отклонение будет меньше в условиях стандартного нормального распределения (таким образом, и ограничивают область значений для функции стандартного нормального распределения);

K - цена исполнения опциона;

r - безрисковая процентная ставка;

T ? t - время до истечения срока опциона (период опциона), приведенная к годовому показателю;

? - волатильность (квадратный корень из дисперсии) базисной акции.

Вычислим требуемые параметры:

0,3168

= 0,1754

Соответственно цена европейского call опциона составляет:

==7,56$
3. Определите безарбитражную цену американского пут опциона на акцию без дивиденда с ценой исполнения $70 и истечением через 8 месяцев. Акции стоят сегодня $65, волатильность цены акции составляет 30% годовых. Безрисковая доходность (с непрерывным наращением процентов) составляет 6%. Используйте биномиальную модель с 2 периодами.

Решение:

Вычислим u, d и p для биномиальной модели:

1,19;

0,84;

0,63

Построим биномиальную модель:













92,04

=uuS

























0

=fuu



















77,35

=uS

























fu




















































S=65













65

5

=udS

=fdu














































54,60

=dS

























fd


































45,86

=ddS

























24,14

=fdd














Определим fu и fd данной модели:



=1,75

=1,75



=11,40

=15,4

Тогда цена опциона:



=6,42

6,42.

Опцион следует держать.
4. На рынке торгуются однолетняя дисконтная облигация с ценой 95,24 руб и двухлетняя купонная облигации с годовым купоном 5 руб и ценой 94,78 руб. Номинал облигаций равен 100 рублей. Найдите

  1. доходность к погашению облигаций;

  2. одно- и двухлетние спот ставки;

  3. безарбитражную цену двухлетней облигации с 10%-ным годовым купоном и номиналом 100 рублей.

Решение:

  1. Определим и для облигаций A и B соответственно:

(т.е.5%)



Искомая величина является положительным решением квадратного уравнения:

,

откуда (т.е. 7,9%).

  1. Вычислим спот-ставки.

Однолетняя спот-ставка для бескупонной облигации А будет соответствовать ее доходность к погашению, т.е. те же 5%.

Двухлетнюю спот-ставку для той же облигации находим из уравнения:

, откуда

Для определения спот-ставок для купонной облигации B составим и решим систему уравнений вида:

, которая в нашем случае примет следующий вид:

, откуда

Поскольку , то .

Аналогично: , откуда


  1. Вычислим безарбитражную стоимость двухлетней облигации с 10%-ным годовым купоном и номиналом 100 рублей следующим образом:

104
5. Определите 95 процентный VaR для портфеля, в состав которого входят: короткая позиция по колл опционам на 100 акций и длинная позиция по 100 акциям той же компании. Дельта опционов равна 0,6. Цена акций – $50, волатильность – 20%.

Решение:



, а значит



Учебный материал
© bib.convdocs.org
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации