Лекции по электростатике института нефти и газа - файл n1.doc
Лекции по электростатике института нефти и газаскачать (1370 kb.)
Доступные файлы (1):
| n1.doc | 1370kb. | 19.11.2012 15:43 | скачать |
- Смотрите также:
- Сафиева Р.З., Зиновьева Л.В., Янченко Е.Е., Борисова О.А. Методические указания по дисциплине Химия нефти и газа (Документ)
- Силаш А.П. Добыча и транспорт нефти и газа. Часть 2 (Документ)
- Билеты+ответы+шпоры по подсчетам запасов нефти и газа (Вопрос)
- Алексеев В.И. Петрография пород-коллекторов нефти и газа (Документ)
- Голицын М.В., Голицын А.М., Пронина Н.М. Альтернативные энергоносители (Документ)
- Голицын М.В., Голицын А.М., Пронина Н.М. Альтернативные энергоносители (Документ)
- Амелин И.Д., Андриасов Р.С., Гиматудинов Ш.К. Эксплуатация и технология разработки нефтяных и газовых месторождений (Документ)
- Киркинская В.Н., Смехов Е.М. Карбонатные породы - коллекторы нефти и газа (Документ)
- Лекция 7 - Себестоимость производства и реализации продукции (работ, услуг) (Лекция)
- Презентация - Теоретические основы эксплуатации магистральных газопроводов (Реферат)
- Лекции с задачами по механике, термодинамике и электростатике (Документ)
- Холодильные машины (Документ)
n1.doc
ВОЛОДИНА Л. А., доцент кафедры физики РГУ им.Губкина «Электромагнетизм и волны» (конспект, прод. 5)
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
Электрический заряд – это свойство некоторых частиц, характеризующее их способность к особому типу взаимодействия, называемому электромагнитным взаимодействием. 1 Что нам известно об электрических зарядах?
1) Различают заряды двух типов – положительные и отрицательные.
2) Разноименные заряды притягиваются, одноименные – отталкиваются.
3) Наименьший отрицательный заряд – это заряд электрона (е = 1,61019Кл), положительный - протона (+е). Заряды любых тел всегда дискретны и кратны заряду электрона. Так как число заряженных частиц в телах огромно, а размеры частиц очень малы, в большинстве случаев можно говорить о непрерывном распределении зарядов в телах. 2
4) Закон сохранения электрического заряда: «В замкнутой (электрически изолированной) системе суммарный заряд остается постоянным».
5)Электрический заряд является инвариантом, иначе говоря, величина заряда остается одной и той же, независимо от того, движется он в какой либо системе отсчета или покоится.
Электростатическое поле в вакууме. 3
Закон Кулона 4 : сила электростатического взаимодействия между двумя заряженными сферами (шарами) прямо пропорциональна величинам их зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между их центрами. В общем случае кулоновская сила – это двойной векторный интеграл, который можно взять только в некоторых простейших случаях.
 () | Кулоновская (электростатическая) сила. В таком виде закон Кулона применим только для двух точечных зарядов, сфер (шаров), r – расстояние между центрами сфер (шаров). |
 | в  екторная форма, знак силы () зависит от выбора направления радиус-вектора |
 |  называется «коэффициент в СИ в законе Кулона», о 8,851012 (Кл2/Н.м2) – электрическая постоянная |
В качестве примера вычисления кулоновского взаимодействия заряженных тел рассмотрим силу, с которой действует тонкий стержень длиной L, заряженный с линейной плотностью заряда (Кл/м) , на точечный заряд qо, находящийся на расстоянии а от конца стержня. (см. рис.). (Полем на концах стержня пренебрегаем)
 | выделим в стержне элементарный заряд dq, |  | |
 | сила взаимодействия между зарядом qо и элементарным зарядом dq стержня | ||
 | сила взаимодействия между стержнем и точечным зарядом | ||
Заряды, сообщаемые телам, распределяются неравномерно. В металлах заряды распределяются всегда по поверхности; в тех местах, где кривизна поверхности большая, там больше скапливается зарядов (см. дальше). Для характеристики распределения зарядов используются:
 (Кл/м) | линейная плотность заряда - эта заряд, приходящийся на единицу длины заряженного тела. |
 (Кл/м2) | поверхностная плотность заряда – это заряд, приходящийся на единицу площади поверхности заряженного тела |
 (Кл/м3) | объемная плотность заряда – это заряд, приходящийся на единицу объема заряженного тела |
Электростатика изучает электрические поля, создаваемые заряженными телами, в которых распределение зарядов не меняется с течением времени. В электростатике используется модель – точечный заряд – это заряженное тело, размерами которого можно пренебречь по сравнению с другими размерами в данной задаче. Кроме того, вводится понятие – пробный заряд – это заряд, вносимый в поле другого заряженного тела, и при этом не влияющий на это поле. Это можно перефразировать (не очень научно) так: один заряд создает поле, а другой в этом поле находится и не влияет на поле. Именно такой подход используется при решении большинства задач. 5
Вокруг заряженных тел существует электрическое поле, которое характеризуют напряженностью Е и потенциалом (см. ниже).
 (Н/Кл=В/м) | напряженность (вектор) – силовая характеристика электрического поля, по смыслу – это сила, действующая на единичный положительный пробный заряд в данной точке поля. |  |
 | Используя закон Кулона, можно найти напряженность поля точечного заряда; q заряд, создающий поле, qo пробный заряд, вносимый в это поле. |
Работа по переносу заряда в электростатическом поле.
 | Сила, действующая на заряд в электрическом поле. Это выражение может быть использовано всегда, тогда как формула () применима только для точечных зарядов, сфер и шаров. |
Пусть точечный заряд q переносится в поле, создаваемом другим точечным зарядом qо. Найдем работу, необходимую для переноса q из положения с радиус-вектором r1 в положение с радиус-вектором r2. (см. рис.).
 | полная работа по переносу заряда q в электрическом поле, - угол между вектором Е и вектором перемещения dl | ||
  | Сведем подынтегральное выражение к одной переменной r, используя выражение для напряженности поля заряда qо и связь между перемещением dl и приращением радиус-вектора dr. Интегрируя, найдем выражение для работы. |  | |
 | Из этой формулы следует очень важный вывод: работа в электростатическом поле не зависит от формы пути, а определяется только начальным и конечным положением переносимого заряда. |
 | Работа в электростатическом поле по замкнутому пути равна нулю |
Из механики известно, что силовое поле, работа в котором определяется только начальным и конечным положениями тела, называется консервативным. Следовательно, электростатическое поле является консервативным или чаще говорят, потенциальным Линейный интеграл по замкнутому контуру L называется циркуляцией. Отсюда следует:
 | Циркуляция вектора напряженности электростатического поля равна нулю. 6 Это является условием потенциальности поля. |
Работа консервативных (потенциальных) сил равна убыли потенциальной энергии тела. Следовательно, можно ввести еще одну характеристику электростатического поля – потенциал .
 (В = Дж/Кл) | потенциал (скаляр) – энергетическая характеристика электростатического 7 поля по смыслу это: 1) потенциальная энергия, которой обладает единичный положительный заряд, помещенный в данную точку поля или 2) работа, которую надо совершить, чтобы перенести единичный положительный заряд из данной точки 1 в бесконечность (). |
 | разность потенциалов – это работа, которую надо совершить, чтобы переместить единичный положительный заряд из точки 1 в точку 2 |
Найдем связь между напряженностью и потенциалом.
 | работа в потенциальном (консервативном) поле равна убыли потенциальной энергии | ||
 dx , перемещение | выразим элементарную работу через напряженность и разность потенциалов; сократим на q, обозначим проекцию вектора Е на направление х как Ех, получим: |  | |
 () | связь между Е и в дифференциальной форме для одномерного случая, когда потенциал зависит только от координаты х (х) | ||
   | В трехмерном случае, когда потенциал является функцией (х,y,z), запишем формулы для каждой проекции и, объединяя их в одно выражение, найдем (учитывая, что Е вектор): | |
 («набла») другое обозначение градиента  (модуль вектора Е) | Напряженность электростатического поля равна градиенту потенциала, взятому с обратным знаком. | |
Градиент – это вектор, показывающий направление наибольшего роста скалярной функции (в нашем случае - потенциала).8 В одномерном случае градиент напряженности d / dx приобретает простой физический смысл: он показывает, на сколько изменяется потенциал на единице длины.
«» в правой части формул означает, что вектор напряженности Е всегда направлен в сторону убывания потенциала.
Из приведенных выражений, зная (х,y,z), можно, дифференцируя, найти напряженность поля. Производя обратную операцию – интегрирование, можно при известной напряженности найти потенциал. Рассмотрим случай зависимости
Е и только от одной переменной х. Из формулы () находим:
 () | Связь разности потенциалов с напряженностью в интегральной форме для одномерного случая, когда Е(х) |
Графическое изображение электростатического поля.
Электростатическое поле удобно изображать графически с помощью силовых линий и эквипотенциальных поверхностей.
С
иловая линия – это линия, в каждой точке которой касательная совпадает с направлением вектора напряженности (см. рис.). Силовым линиям придают направление стрелкой. Свойства силовых линий: 1) Силовые линии непрерывны. Они имеют начало и конец – начинаются на положительных и заканчиваются на отрицательных зарядах.
2) Силовые линии не могут пересекаться друг с другом, т.к. напряженность – это сила, а две силы в данной точке от одного заряда не могут быть.
3) Силовые линии проводят так, чтобы их количество через единичную перпендикулярную площадку было пропорционально величине напряженности.
4) Силовые линии «выходят» и «входят» всегда перпендикулярно поверхности тела.
5) Силовую линию не следует путать с траекторией движущегося заряда. Касательная к траектории совпадает с направлением скорости, а касательная к силовой линии – с силой и, следовательно, с ускорением.
Эквипотенциальной поверхностью называют поверхность, в каждой точке которой потенциал имеет одинаковое значение = const.
Силовые линии всегда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям. Докажем это. Пусть вдоль эквипотенциальной поверхности перемещается точечный заряд q. Элементарная работа, совершаемая при этом равна dA=qEcosdl = qd = 0, т.к. d = 0. Поскольку q ,E и dl 0, следовательно
cos = 0 и = 90о .
 | На рисунке изображено электростатическое поле двух одинаковых точечных зарядов. Линии со стрелками – это силовые линии, замкнутые кривые – эквипотенциальные поверхности. В центре осевой линии, соединяющей заряды напряженность равна 0. На очень большом расстоянии от зарядов эквипотенциальные поверхности становятся сферическими. . |
 | На этом рисунке показано однородное поле – это поле, в каждой точке которого вектор напряженности остается постоянным по величине и направлению Эквипотенциальные поверхности – это плоскости, перпендикулярные силовым линиям. Вектор напряженности всегда направлен в сторону убывания потенциала. |
Принцип суперпозиции.
На основе опытных данных был получен принципа суперпозиции (наложения) полей: «Если электрическое поле создается несколькими зарядами, то напряженность и потенциал результирующего поля складываются независимо, т.е. не влияя друг на друга». При дискретном распределении зарядов напряженность результирующего поля равна векторной сумме, а потенциал алгебраической (с учетом знака) сумме полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности. При непрерывном распределении заряда в теле векторные суммы заменяется на интегралы, где dE и d– напряженность и потенциал поля элементарного (точечного) заряда, выделенного в теле. Математически принцип суперпозиции можно записать так.
 |  | при дискретном распределении зарядов | принцип суперпозиции |   |
 |  | при непрерывном распределении зарядов |
В качестве примера получения выражения для напряженности поля с помощью принципа суперпозиции найдем напряженность поля тонкого стержня конечной длины, равномерно заряженного с линейной плотностью заряда
Выберем бесконечно малый элемент dl стержня с зарядом dq. Поскольку напряженности от различных элементов направлены по-разному, введем оси проекций х и у. Итегрируя, найдем результирующие напряженности Ех и Еу.
  | dE- напряженность от элемента стержня dl с зарядом dq = dl, dEх и dEy – проекции dE на направления х и у. |  | ||
 | Чтобы проинтегрировать, сведем к одной переменной | |||
 | длина дуги АС при малых углах, она же из треугольника (А, С, dl) | |||
 | ||||
 |  | модуль напряженности | ||
 | Для бесконечно длинной нити 1 0, 2 180о, следовательно, Еу = 0 и Е = Ех (cos180o = 1), r – расстояние от точки, в которой определяется напряженность, до нити. |
Этот пример показывает, что вычисление напряженности полей представляет собой достаточно сложную задачу даже в нашем случае, когда мы не учитывали поле вблизи концов стержня.
Основной задачей электростатики является вычисление полей заряженных тел. Найти напряженность поля заряженного тела можно с помощью:
принципа суперпозиции - это сложная математическая задача, решаемая только в некоторых простых случаях или
теоремы Гаусса, которая упрощает расчеты, но только в случае бесконечной плоскости, бесконечной нити (цилиндра) или сфер и шаров (см. ниже).
Теорема Гаусса.
Сначала введем понятие «поток вектора» - это скалярная величина
 (Нм2/Кл = Вм) | элементарный поток вектора напряженности Е, n – нормаль к площадке, dS – элементарная площадка – это такая малая площадка, в пределах которой Е = const; Еn – проекция вектора Е на направление нормали n |  | |
 | поток вектора напряженности через конечную площадку S | ||
 | через замкнутую поверхность S | ||
 | при дискретном распределении зарядов | Теорема Гаусса: «Поток вектора напряженности через любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, охватываемых этой поверхностью, деленной на о» (о – электрическая постоянная) |
 | при непрерывном распределении зарядов |
Применение теоремы Гаусса.
Чтобы найти напряженность с помощью теорем Гаусса, нужно взять интеграл. А как его взять, если мы Е еще только пытаемся найти? Кроме того, под интегралом «мешает» cos. Надо суметь выбрать такую замкнутую поверхность (ее удобно называть гауссовой), в каждой точке которой было бы Е = const, и cos = const. Тогда в левой части теоремы Е и cos можно будет вынести из-под знака интеграла. Поэтому практически теорему Гаусса можно применить только в следующих случаях: сфера, шар, длинная нить, длинный цилиндр, бесконечная плоскость.
1) Сфера, заряженная с поверхностной плотностью заряда (Кл/м2)
Рассмотрим области : 1) вне сферы (
) и внутри ее (
). Выберем поверхности: 1) S1 и 2) S2 – обе поверхности – сферы, концентрические с заряженной сферой. Сначала найдем потоки вектора Е через выбранные поверхности, а затем воспользуемся теоремой.  () | Потоки вектора Е через S1 ( ) и S2. ()En, = 0, cos = 1. |  |
  () | по теореме Гаусса; 2 = 0, т.к. S2 не охватывает никаких зарядов. Приравнивая потоки из () и (), найдем E(r). | |
 | ||
  q = 2R2 – полный заряд сферы | Вне сферы поле такое же, как поле точечного заряда. На границе сферы происходит скачок напряженности. |
2)Тонкая длинная нить, заряженная с линейной плотностью заряда (Кл/м)
В этом случае «гауссова» поверхность – соосный с нитью цилиндр длиной l.
Сначала найдем поток, потом воспользуемся теоремой Гаусса.
 | Разобьем поверхность цилиндра на боковую и две торцевых. Для боковой cos = 1, для торцевых cos = 0. |  |
 | по теореме Гаусса; охватываемый заряд – это отрезок нити длиной l. Приравнивая и сокращая, получим E(r). | |
 | ||
 |
3) Тонкостенный длинный цилиндр, заряженный:
с линейной плотностью заряда или
с поверхностной плотностью заряда .
Этот пример аналогичен предыдущему. Выбираем гауссову поверхность в виде соосного цилиндра, разбиваем поверхность на боковую и две торциальные. В первом случае при заданной линейной плотности получим такую же формулу, как идля длинной нити. Во втором случае охватываемый заряд равен (2Rl) и формула для E несколько иная, хотя зависимость от r – та же.
  |  |  |