Зима Т.Е., Зима Е.А. Лекции по теоретическим основам электротехники. Основы теории электрических цепей. Часть1 - файл n1.doc

Зима Т.Е., Зима Е.А. Лекции по теоретическим основам электротехники. Основы теории электрических цепей. Часть1
скачать (1355.5 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc1356kb.19.11.2012 23:26скачать

n1.doc

  1   2

Т.Е. ЗИМА


ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКИМ ОСНОВАМ


ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ


Учебное пособие




НОВОСИБИРСК


2000

Министерство образования Российской Федерации


НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

_____________________________________________________________________

Т.Е. ЗИМА, Е.А. ЗИМА




ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКИМ ОСНОВАМ


ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ


Часть первая

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАКОНЫ


ТЕОРИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ


НОВОСИБИРСК

2000

Зима Т.Е., Зима Е.А. Лекции по теоретическим основам электротехники. Основы теории электрических цепей: Учеб. пособие, ч.1 Основные понятия и законы теории электрических цепей. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2000. – 42 с.


В учебном пособии рассматриваются основные понятия и законы теории электрических цепей. Приводятся конкретные примеры, поясняющие излагаемый теоретический материал.
Работа подготовлена на кафедре теоретических основ электротехники



Рецензент: Л.И. Малинин, д-р техн. наук, профессор

СОДЕРЖАНИЕ








Стр.



Введение

5










1.

Электрические силы

8

2.

Электрический ток

9

3.

Принцип непрерывности электрического тока

13

4.

Электрическое напряжение

14

5.

Электрический потенциал. Разность электрических потенциалов

15

6.

Электродвижущая сила (э.д.с.)

17

7.

Закон Ома, мощность, энергия

19

8.

Электрическая цепь

21

9.

Пассивные элементы электрических цепей и их параметры

23

9.1.

Сопротивление

24

9.2.

Индуктивность

26

9.3.

Емкость

27

10.

Активные элементы электрических цепей. Источники э.д.с. Источники тока

29

11.

Схема электрической цепи. Топологические элементы схемы

32

12.

Положительные направления токов, напряжений и э.д.с.

34

13.

Понятие линейной электрической цепи с сосредоточенными

параметрами

36

14.

Основные законы электрических цепей с сосредоточенными

параметрами

38

14.1.

Первый закон Кирхгофа

39

14.2.

Второй закон Кирхгофа

40













Список литературы

42


Введение
Предметом курса "Теоретические основы электротехники" (ТОЭ) является изучение как с качественной, так и с количественной, сторон электромагнитных процессов, происходящих в цепях и полях. Этот курс, базирующийся на курсах физики и математики, содержит инженерные методы расчета и анализа, применимые к широкому классу современных электротехнических устройств. Он имеет исключительно важное значение для формирования научного кругозора специалистов по электротехнике и радиотехнике; на нем основываются все специальные электротехнические и радиотехнические дисциплины.

В России формирование самостоятельной дисциплины "Теоретические основы электротехники" относится к началу XX века. В 1904 году профессор В.Ф. Миткевич начал читать курс "Теория электрических и магнитных явлений" в Петербургском политехническом институте. Примерно тогда же началась подготовка инженеров электротехнической специальности в Московском высшем техническом училище, где профессор К.А. Круг приступил в 1905 году к чтению курса "Теория переменных токов", а затем - курса "Основы электротехники".

В курсе ТОЭ применяются два способа описания электрических и магнитных явлений: при помощи понятий теории цепей и теории поля. Выбор того или другого способа диктуется условиями постановки задачи.

Теория цепей исходит из приближенной замены реального электротехнического устройства идеализированной схемой замещения. Эта схема содержит участки цепи, на которых определяются искомые напряжения и токи. Теория цепей позволяет с достаточной для инженерной практики точностью определять непосредственно напряжение между концами рассматриваемого участка цепи, не прибегая к вычислению его между промежуточными точками. Ток также находится непосредственно, без вычисления его плотности в различных точках сечения проводника.

Теория поля изучает изменения электрических и магнитных величин от точки к точке в пространстве и времени. Она исследует напряженности электрических и магнитных полей и с их помощью такие явления, как излучение электромагнитной энергии, распределение объемных зарядов, плотностей токов и т.п.

Разграничение областей применения теории цепей и теории поля является условным. Например, процессы распространения электрических сигналов в линиях электропроводной связи исследуются как методами теории цепей, так и методами теории поля.

Курс ТОЭ является инженерной дисциплиной. Если главной задачей, например, физика является открытие и исследование законов природы, то главной задачей инженера является воплощение этих законов в технических конструкциях, тем самым используя их на практике. Курс ТОЭ способствует осуществлению главной задачи инженера.

Когда М. Фарадей впервые в 1831 году опубликовал свое замечательное открытие о том, что изменение магнитного потока создает электродвижущую силу (э.д.с.), его спросили (как спрашивают, впрочем, всякого, кто открывает какие-то новые явления): "Какая от этого польза?" [9]. Ведь все, что он обнаружил, было очень странным: в проводе возникал крошечный ток, когда он двигал провод возле магнита. Какая же может быть от этого "польза"? М. Фарадей ответил: "Какая может быть польза от новорожденного?" А теперь вспомните о тех громадных практических применениях, к которым привело его открытие. Рассмотрим, например, гидроэлектростанцию...

Огромная река, перегороженная бетонной стеной. Но что это за стена! Изогнутая в виде идеально плавной кривой, тщательно рассчитанная так, чтобы как можно меньше бетона сдерживало напор реки: стена утолщается книзу, образуя чудесную форму, которой любуются художники, но которую способны оценить только инженеры, потому что они понимают, насколько это хорошо. Они знают, что утолщение определяется тем, как растет давление воды на глубине. Вернемся к электричеству.

Все сооружение состоит из двух частей - одна крутится, а другая стоит. Вся эта сложная конструкция сделана из немногих материалов, главным образом из железа и меди, а также из бумаги и шеллака, служащих изоляцией. Это вращающееся чудовище - генератор. Плотина, турбина, железо и медь - все собрано вместе для того, чтобы в медных полосках появилось нечто особенное - э.д.с. Затем медные полоски проходят небольшой путь и закручиваются несколько раз вокруг другого куска железа, образуя трансформатор. На этом их работа заканчивается.

Но вокруг этого же куска железа обвивается еще один медный кабель, который проходит поблизости от этих полос и забирает их э.д.с. Трансформатор превращает энергию, которая имела сравнительно низкое напряжение, необходимое для эффективной работы генератора, в очень высокое напряжение, которое лучше всего подходит для экономичной передачи энергии по длинным кабелям.

И все должно быть исключительно эффективным - не может быть ничего лишнего, никаких потерь. Почему? Через все эти устройства протекает огромная электрическая энергия. Если, например, только один процент этой энергии выделился бы в виде тепла, все устройство расплавилось бы.

От электростанции отходят во всех направлениях несколько дюжин медных стержней - узкие медные дороги, несущие энергию гигантской реки. От них идут все новые и новые разветвления (трансформаторов становится все больше), пока, наконец, река не распределится по всему городу; она крутит двигатели, создает свет, тепло, изготовляет приборы. Чудо рождения горячего огня из холодной воды на громадных расстояниях - и все это благодаря особым образом собранным кусочкам железа и меди. Большие моторы для проката стали и крошечные моторчики для бормашины. Тысячи маленьких колесиков, крутящихся под действием большого колеса на реке. Остановите большое колесо, и все остальные колесики замрут, огни потухнут.

Те же явления, которые помогают использовать грандиозную мощь реки, снова приходят на помощь при создании исключительно тонких приборов: для определения неуловимо слабых токов; для передачи голосов, музыки и изображений; для вычислительных машин; для автоматических машин фантастической точности.

Все это возможно потому, что тщательно продумано устройство из меди и железа - эффективно созданы магнитные поля, рассчитаны правильно пропорции меди, чтобы получить оптимальную эффективность, выдуманы странные формы, которые служат своим целям, так же как форма плотины.

Если археолог будущего когда-нибудь раскопает эту гидроэлектростанцию, он, вероятно, восхитится красотой ее линий. А исследователь - гражданин какой-то великой цивилизации Будущего, посмотрев на генераторы и трансформаторы, скажет: "Заметьте, как красивы формы каждой железной детали. Подумайте, сколько мысли вложено в каждый кусочек меди!"

Здесь проявляется сочетание могущества техники и тщательного расчета. Это и есть инженерное воплощение открытия великого ученого. Современная электротехника берет свое начало с открытия М. Фарадея. Бесполезный новорожденный превратился в чудо-богатыря и изменил облик Земли так, как его гордый отец не мог себе и представить.
1. Электрические силы
Рассмотрим силу, которая, подобно тяготению, меняется обратно пропорционально квадрату расстояния, но только в миллион биллионов биллионов биллионов раз более сильную и которая отличается еще в одном.

Пусть существуют два сорта "вещества", которые можно назвать отрицательным и положительным. Пусть одинаковые сорта отталкиваются, а разные – притягиваются, в отличие от тяготения, при котором происходит только притяжение. Что же тогда случится? Все положительное оттолкнется со страшной силой и разлетится в разные стороны. То же самое случится и с отрицательным. Но совсем другое произойдет, если положительное и отрицательное перемешать в равных количествах. Тогда они с огромной силой притянутся друг к другу, и, в итоге, эти невероятные силы практически полностью сбалансируются, образую плотные "мелкозернистые" смеси положительного и отрицательного. Между грудами таких смесей практически не будут ощущаться ни притяжение, ни отталкивание.

Такая сила существует: это электрическая сила. И все вещество является смесью положительных протонов и отрицательных электронов, притягивающихся и отталкивающихся с неимоверной силой. Однако баланс между ними столь совершенен, что, когда вы стоите возле кого-нибудь, вы не ощущаете никакого действия этой силы. А если бы баланс нарушился даже незначительно, вы бы сразу это почувствовали.

Так, например, если бы в вашем теле или в теле вашего соседа, стоящего от вас на расстоянии вытянутой руки, электронов оказалось бы всего на 1% больше, чем протонов, то сила вашего отталкивания была бы достаточной, чтобы поднять "вес", равный весу Земли!

Таким образом, стоит немножко нарушить баланс отрицательного и положительного, как сразу начинает себя проявлять электрическая сила.

Энергию атомной бомбы обычно называют "ядерной" энергией, хотя на самом деле это "электрическая" энергия, высвобождаемая после того, как электрические силы превзойдут силы притяжения.

В самом деле, как вы знаете, ядро состоит из протонов (положительно заряженных частиц). Оно не разлетается благодаря ядерным силам, действующим между протонами. Ядерные силы значительно превосходят электрические, но их действие простирается недалеко: оно уменьшается гораздо быстрее, чем . Если в ядре имеется слишком много протонов, то оно становится очень большим и уже не может удерживать свою целостность. Пример – уран с его 92 протонами. Стоит его чуть-чуть "толкнуть", послав внутрь медленный нейтрон, как оно разваливается на две положительно заряженные части, разлетающиеся в разные стороны в результате электрического отталкивания. Энергия, которая при этом высвобождается, - это энергия атомной бомбы.

Известно из курса физики, что электрическая сила, действующая между двумя неподвижными точечными зарядами, обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними и направлена по прямой, соединяющей эти заряды:

, (1)

где - сила, действующая на заряды (Н); - заряды (Кл); - абсолютная диэлектрическая проницаемость среды (Ф/м); - относительная диэлектрическая проницаемость среды; Ф/м – электрическая постоянная; - единичный радиус-вектор.

Соотношение (1) называется законом Кулона.

При движении электрических зарядов закон Кулона не выполняется. Электрические силы сложным образом зависят от движения зарядов. Одну из частей силы, действующей между движущимися зарядами, называют магнитной силой. На самом деле это только одно из проявлений электрического действия. Поэтому в физике говорят об "электромагнетизме".

Сила , действующая на заряд , движущийся со скоростью в электромагнитном поле, описывается соотношением:

, (2)

где - электрическое поле (напряженность электрического поля) в точке расположения заряда, - магнитное поле (магнитная индукция).

Существенно, что электрические силы, действующие со стороны всех прочих зарядов Вселенной, складываются и дают как раз эти два вектора. Значения их зависят от того, где находится заряд, и могут меняться со временем. Более подробно о силах, действующих на заряд, см. [5 - 7].

Важной величиной, описывающей электрические взаимодействия в различных средах, является вектор электрической индукции или вектор электрического смещения . Для однородных (с одинаковыми свойствами во всех точках) и изотропных (с одинаковыми свойствами по всем направлениям) сред вектор связан с вектором соотношением:

. (3)
2. Электрический ток
Физические исследования доказывают, что наша Вселенная представляет собой хорошо уравновешенную смесь положительных и отрицательных зарядов (протонов и электронов). Поэтому структура вещества и его свойства определяются сочетанием электрических сил и квантомеханических эффектов.

В зависимости от концентрации свободных зарядов вещества по своим свойствам делят на проводники, диэлектрики (изоляторы) и полупроводники.

Свободными называют заряды, которые под действием сил электрического поля могут свободно перемещаться в веществе, их перемещение не ограничивается внутримолекулярными силами (электроны в твердых телах, ионы в жидкостях). Свободные заряды можно перенести с одного физического тела на другое.

Связанные заряды – это заряды, входящие в состав вещества и удерживаемые в определенных положениях внутримолекулярными силами (каждый электрон привязан к своему атому).

Вещество (среда), концентрация свободных зарядов в котором велика, называется проводником.

Диэлектрики (изоляторы) – вещества (среды), свободные заряды в которых практически отсутствуют.

Полупроводники занимают промежуточное положение между проводниками и диэлектриками.

Приведенная классификация веществ является весьма условной. Однако, большое различие концентраций свободных зарядов обуславливает огромные качественные различия в свойствах веществ и, поэтому, оправдывает их деление на проводники, диэлектрики и полупроводники.

Свойства вещества (среды) зависят не только от количества свободного заряда, но и от движения зарядов внутри вещества.

Явление направленного движения носителей заряда и (или) явление изменения электрического поля во времени, сопровождаемые магнитным полем, называют полным электрическим током [7].

Электрический ток связан с изменением заряда следующими соотношениями.

1. Ток, изменяющийся во времени (переменный ток), характеризуется мгновенным значением тока:

. (4)

Согласно соотношению (4) мгновенное значение тока есть скорость изменения заряда.

2. Постоянный ток, сила и направление которого не меняются со временем, равен:

. (5)

Постоянный ток имеет место только в проводящих средах (в проводниках). Поэтому, в формуле (5) - электрический заряд, проходящий за время t через поперечное сечение проводника.

Единицей измерения тока является ампер (А).

Важной характеристикой тока является его плотность. Плотность тока является дифференциальной величиной, т.е. величиной, определяемой для каждой точки пространства.

Представим себе электрический ток состоящим из движущихся электронов или других зарядов, которые образуют результирующее течение или поток. Поток зарядов можно описать вектором, определяющим количество зарядов, проходящих в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную потоку. Этот вектор называют плотностью тока и обозначают вектором . Он направлен вдоль движения зарядов. Если взять элементарную площадку dS в данном месте материала, то количество заряда, протекающее через площадку dS в единицу времени, или электрический ток (поток зарядов) равен:

, (6)

где - единичный вектор нормали к dS; - вектор, величина которого равна площадке dS, а направление совпадает с вектором ; - угол между векторами и . Смысл формулы поясняется на рис. 1.


рис. 1
Полное количество заряда, проходящее в единицу времени через какую-либо поверхность S, называется потоком вектора сквозь поверхность S или электрическим током i:

. (7)

Как ясно из (7), ток i есть интегральная характеристика движения заряда, а плотность тока – дифференциальная характеристика этого движения.

В случае, когда плотность тока во всех точках поверхности одинакова по значению и составляет с нормалью к поверхности S всюду один и тот же угол, соотношение (7) примет вид:

. (8)

Если, кроме того, направление тока нормально к поверхности (), то ток равен:

. (9)

Выражение (9) имеет место при постоянном во времени токе для линейных проводников (поперечные размеры линейных проводников малы по сравнению с их длиной).

Плотность тока зависит от напряженности электрического поля (зависит от силы, приводящей в движение заряды). Для разных сред, отличающихся, прежде всего, количеством свободного заряда, связь плотности тока с напряженностью поля разная. Для описания движения зарядов в разных средах используют три типа токов: ток проводимости, ток смещения и ток переноса.

Ток проводимости характерен для сред, имеющих много свободных зарядов (проводники). Плотность тока проводимости связана с напряженностью электрического поля соотношением:

. (10)

Величину называют удельной электрической проводимостью вещества. Величину , обратную удельной проводимости, называют удельным электрическим сопротивлением вещества.

Единицей измерения удельного сопротивления является Ом-метр (Омм). Соответственно, единицей измерения удельной проводимости является Сименс на метр ().

Электрический ток проводимости, соответственно, равен:

. (11)

Ток переноса описывает явление переноса электрических зарядов движущимися заряженными частицами или телами в свободном пространстве, т.е. в вакууме, полупроводниках, плазме и т.п. Это среды, где может наблюдаться свободное движение или дрейф заряженных частиц.

Плотность тока переноса равна:

, (12)

где - объемная плотность заряда; - средняя скорость дрейфующих заряженных частиц (средняя скорость направленного, упорядоченного движения зарядов). В частности, если концентрация зарядов равна n, величина одного заряда равна e (имеем n электронов в единице объема), то

, (13)

соответственно,

. (14)

Ток переноса равен:

. (15)

Ток электрического смещения характерен для диэлектриков при переменном электрическом поле.

Плотность тока смещения связана с изменяющимся во времени электрическим полем и определяется как скорость изменения электрического поля:

, (16)

где - вектор электрического смещения.

Ток смещения равен:

. (17)

Сходство токов проводимости, переноса и смещения обнаруживается по их связи с магнитным полем. Магнитное поле, создаваемое токами проводимости и переноса, ничем не отличается от магнитного поля, созданного током смещения. Все три типа токов одинаково связаны с магнитным полем. На этом их сходство заканчивается: токи проводимости и переноса – это движущиеся заряды, а ток смещения – это изменяющееся электрическое поле.

Все типы токов, в принципе, могут существовать в любой среде. Но если имеем проводник, то основной ток – это ток проводимости, остальными можно пренебречь. Если имеем диэлектрик, то основной ток – это ток смещения, так как в диэлектрике очень мало (нет) свободных зарядов. Для описания электрических и магнитных явлений в полупроводниках, плазме, вакууме используют ток переноса. В общем случае говорят о полном электрическом токе. Плотность полного тока, описывающая ток в любых средах, равна:

. (18)

Соответственно, полный электрический ток можно записать следующим образом:

. (19)
3. Принцип непрерывности электрического тока
В курсе физики рассматривается и доказывается, так называемый, принцип непрерывности электрического тока.

Принцип непрерывности электрического тока гласит [7]:

Полный ток сквозь взятую в какой угодно среде замкнутую поверхность равен нулю:

, (20)

где - плотность полного тока (18).

Если выражение (18) подставить в (20), то его можно преобразовать к следующему виду:

(21)

Согласно (21), сумма токов всех типов – проводимости, переноса и смещения – сквозь любую замкнутую поверхность равна нулю.
4. Электрическое напряжение
Если частица с зарядом Q переносится в электрическом поле вдоль некоторого пути, то действующие силы совершают работу или, говорят, электрическое поле затрачивает некоторую энергию на перемещение заряда Q (энергия измеряется работой).

При перемещении частицы по пути dl (рис. 2) силы поля совершают работу:

. (22)

Через обозначен вектор, равный по величине элементу пути dl и направленный по касательной Т к пути в сторону перемещения заряженной частицы. Угол есть угол между векторами и (вектор направлен по касательной к силовым линиям, изображающим некоторое электрическое поле).


Рис. 2
Работа, совершаемая силами поля при перемещении заряда Q вдоль всего пути от точки a к точке b (рис. 2) равна:

. (23)

Работа, совершаемая силами поля при перемещении точечного заряженного тела с положительным зарядом, равным единице (энергия, затраченная полем на перемещение), из одной заданной точки (а) в другую (b) называется электрическим напряжением между этими точками.

Как следует из (23), электрическое напряжение связано с напряженностью электрического поля следующим соотношением:

. (24)

Из (24) очевидно, что электрическое напряжение представляет собой физическую величину, характеризующую электрическое поле вдоль рассматриваемого пути и равную линейному интегралу напряженности электрического поля вдоль этого пути.

Следует обратить внимание, что в лабораторных исследованиях вольтметр (прибор, измеряющий электрическое напряжение) будет измерять величины линейных интегралов типа (24). Очевидно, что если взять замкнутый контур в электрическом поле (замкнутую траекторию движения заряда в поле), то согласно соотношению (24) и в соответствии с рис. 3 получим:

, (25)

где n – число участков (отрезков), на которые разбит замкнутый контур L (замкнутый путь L). Следовательно, линейный интеграл по замкнутому контуру L от напряженности поля равен сумме электрических напряжений выделенных участков контура.


Рис. 3
5. Электрический потенциал. Разность электрических

потенциалов
Наиболее общее определение электрического потенциала:

Электрический потенциал является энергетической характеристикой электрического поля.

Понятие электрического потенциала непосредственно связано с понятием электрического напряжения. Электрический потенциал можно определить как электрическое напряжение между данной точкой ("а") и некоторой фиксированной точкой ("d"). Иными словами, электрический потенциал есть работа, затраченная электрическим полем на перемещение единичного, положительного заряда из данной точки пространства в некоторую фиксированную (рис. 3).

. (26)

. (27)

Потенциал фиксированной точки принимают равным нулю. В реальных практических задачах фиксированную точку () помещают на поверхность земли или в любую точку, от которой проводят измерение потенциалов. В задачах электродинамики выбор точки нулевого потенциала определяется простотой получаемых расчетных формул (т.е. так, чтобы в формуле было как можно меньше дополнительных постоянных слагаемых). Так, при исследовании электростатического поля неподвижного положительного точечного заряда обычно принимают равным нулю потенциал точек, бесконечно удаленных от заряженного тела. Если исследуют поле двух точечных зарядов разных знаков, то точки, потенциал которых равен нулю, располагают в плоскости, находящейся на равном расстоянии от зарядов, и т.д.

Все электрические поля можно разделить на потенциальные и непотенциальные (вихревые).

С математической точки зрения, электрическое поле является потенциальным, если циркуляция напряженности электрического поля по любому контуру в этом поле равна нулю:

. (28)

Физический смысл интеграла (28): в потенциальном электрическом поле работа (энергия, затраченная полем) по перемещению единицы заряда равна нулю, т.е. работа по перемещению единицы заряда не зависит от вида траектории, от вида пути интегрирования.

Выражение (28) математически записывает закон сохранения энергии, приходящейся на единицу заряда, в потенциальном поле:

. (29)

Потенциальными являются электростатические поля (поля неподвижных зарядов) и электрические поля, созданные постоянными токами (заряды двигаются, но скорость их движения одинакова и не меняется с течением времени).

В потенциальных электрических полях электрическое напряжение между некоторыми двумя точками равно разности потенциалов этих точек:

. (30)

Действительно, найдем напряжение в потенциальном электрическом поле (рис. 3). Согласно определению и свойству потенциальности (29):

. (31)

Если электрическое поле является непотенциальным (вихревым), то в таком поле

(32)

и, соответственно,

. (33)

В вихревых электрических полях электрическое напряжение не равно разности потенциалов.

Вихревые поля – это поля, изменяющиеся во времени. К ним относятся электрические поля, связанные с переменным током. Для таких полей напряжение между двумя точками, в общем случае, зависит от пути, вдоль которого оно определяется (рис. 4).


Рис. 4
Электрические поля переменных токов промышленных частот () с хорошей степенью точности для практики приближенно считают потенциальными (чем меньше частота переменного тока, тем лучше приближение, тем точнее формула (30)).
6. Электродвижущая сила (э.д.с.)
Выше отмечалось, что окружающий мир представляет собой хорошо уравновешенную смесь положительных и отрицательных зарядов. Возникновение движения зарядов, а значит и возникновение электрического тока, возможно только в результате действия электрической силы. Электрическая сила возникает, если нарушить баланс зарядов в веществе, т.е. разделить заряды на положительные и отрицательные.

Устройства, в которых происходит принудительное разделение зарядов и, тем самым, создается электрическая сила (электрическое поле), называются источниками энергии.

К источникам энергии относятся: электрические генераторы, аккумуляторы, термоэлементы, гальванические элементы. На разделение зарядов в источниках затрачивается механическая, химическая, тепловая и другие виды энергии. Говорят, заряды разделяют силы неэлектрического происхождения или сторонние силы. Напряженность поля сторонних сил определяется аналогично напряженности электрического поля:

, (34)

где - сторонняя сила; - напряженность поля сторонних сил.

Рассмотрим в виде примера гальванический элемент (рис. 5).

Рис. 5
Важной характеристикой источника энергии является величина, называемая электродвижущей силой источника или э.д.с. [5, 7]

Электродвижущая сила – это количество энергии (работа), затраченное сторонними силами на разделение зарядов, отнесенное к единице заряда. Э.д.с. есть напряжение сторонних сил внутри источника энергии:

. (35)

В (35) путь интегрирования берется внутри источника энергии от отрицательного зажима к положительному. Э.д.с. источника будет положительной, если путь интегрирования проходит от его отрицательного зажима к положительному.

В результате разделения зарядов появляется электростатическое поле , направленное от положительного электрода к отрицательному. Работа электрического поля, затраченная на перемещение точечного заряженного тела с положительным зарядом, равным единице, по контуру, проходящему через источник энергии (источник э.д.с.) равна:

. (36)

Формула (36) математически отражает закон сохранения энергии, приходящейся на единицу заряда: сколько энергии затрачивается на отделение единицы заряда, столько и тратится на перемещение единицы заряда по замкнутому контуру, проходящему через источник.

Можно показать [7], что электродвижущая сила источника равна разности потенциалов или напряжению на его зажимах при разомкнутой внешней цепи (при отсутствии тока в цепи):

. (37)
7. Закон Ома, мощность, энергия
Поставим задачу: дан проводник длиной l, сечением , удельное сопротивление которого равно . По проводнику протекает постоянный ток I. Требуется найти электрическое напряжение на участке проводника между точками "а" и "b" (рис. 6).



Рис. 6
Решение: Согласно формуле (24)

. (38)

В условиях данной задачи напряженность электрического поля , вызывающая упорядоченное движение зарядов по проводнику (электрический ток), направлена параллельно току и, соответственно, параллельно элементу длины проводника (). В этом случае

, (39)

так как .

Подставляя (39) в (38) и учитывая, что напряженность поля имеет одинаковое значение в каждой точке проводника (Е=const, т.к. по условию задачи по проводнику течет постоянный ток I), получим:

. (40)

Используя формулу (10), имеем:

. (41)

Из соотношения (9) в случае постоянного тока получим:

. (42)

Подставляя (42) в (41) и далее возвращаясь к (40), имеем:

, (43)

где R – электрическое сопротивление проводника:

. (44)

Согласно (43), напряжение на концах проводника прямо пропорционально протекающему току, если R=const.

Соотношение (43) есть закон Ома для проводника с электрическим сопротивлением R. Как видно из (43), R – это коэффициент пропорциональности между напряжением на зажимах проводника и током, протекающим по проводнику.

Если по проводнику протекает переменный ток, то имеет место закон Ома для мгновенных значений напряжения и тока:

, (45)

где коэффициент пропорциональности r есть активное сопротивление проводника. Активное сопротивление зависит от частоты переменного тока. В случае постоянного тока . Более подробно отличие активного и электрического сопротивлений будет рассматриваться в разделе 9.1.

Найдем энергию, или работу, затраченную полем на перемещение заряда Q по проводнику "ab":

. (46)

Энергия, затраченная полем в единицу времени, называется мощностью.

В нашей задаче мощность равна:

. (47)

Подставляя в (47) закон Ома (43), получим:

. (48)

Формула (48) математически записывает закон Джоуля - Ленца, известный из курса физики. Из (48) следует, что энергия, затраченная полем в единицу времени на перемещение заряда по проводнику с электрическим сопротивлением R, полностью переходит в тепловую энергию.

Для энергетической характеристики переменного тока вводят понятие мгновенной мощности.

В случае переменного тока элементарная работа (энергия), затраченная электрическим полем на перемещение элементарного заряда dQ, равна:

, (49)

и далее, используя формулу (4), получим:

. (50)

Мгновенная мощность определяется как скорость изменения энергии:

. (51)

Для проводника с активным сопротивлением r имеем:

. (52)

Отметим совпадение по форме записи формул (47) и (51), которое подчеркивает, что мощность переменного тока, также как и мощность постоянного тока, равна произведению напряжения и тока, соответствующих условиям задачи.

Энергию, затраченную полем за некоторый промежуток времени, можно определить по формуле:

, (53)

где t1 и t2, соответственно, начальный и конечный моменты времени ().
8. Электрическая цепь
Любое электромагнитное явление, происходящее в любом электротехническом устройстве, определяется не только физическими процессами, происходящими в этом устройстве, но и процессами в диэлектрике, окружающем его [7]. Электрическое поле внутри проводников с током связано только с конечным удельным сопротивлением материала этих проводников и, соответственно, определяет потери энергии в проводниках. Энергия, передаваемая вдоль проводников, целиком относится к электромагнитному полю в среде, окружающей проводники. Электрические емкость и индуктивность любых элементов электротехнического устройства определяются их электрическими и магнитными полями при заданных зарядах и токах. Таким образом, рассматривая явление во всей его полноте, необходимо изучать электромагнитное поле исследуемого устройства.

Математическое описание электромагнитных полей, хотя и дает полную картину явлений, оказывается сложным. Поэтому, когда удается с хорошей, для практики, степенью точности описать процессы в электротехнических устройствах такими интегральными понятиями, как электродвижущая сила e, электрическое напряжение u и электрический ток i (см. (7), (24) и (35)), то говорят об электрических цепях. Такая возможность возникает вследствие того, что обычно в технике стремятся создать определенные, достаточно узкие пути для электрического тока, располагая вдоль этих путей проводники из материалов с высокой электрической проводимостью, окруженные хорошо изолирующей средой. Примерами являются линии электропередачи, электрические сети, обмотки электрических машин и т.д. Вдоль этих путей помещают другие хорошо проводящие, ограниченные по размерам устройства, например, электронные лампы, полупроводниковые приборы, электролитические ванны и т.п.

Совокупность устройств, предназначенных для прохождения в них электрического тока, электромагнитные процессы в которой могут быть описаны с помощью таких интегральных понятий, как ток, напряжение и электродвижущая сила, называется электрической цепью.

Устройствами, образующими электрическую цепь, являются источники энергии, приемники энергии и система передачи (рис. 7).

В дальнейшем будут рассматриваться электроэнергетические цепи.


Рис. 7
Источниками электромагнитной энергии являются генерирующие устройства, в которых энергия того или иного вида (тепловая, химическая, механическая и др.) преобразуется в электромагнитную энергию (в разделе 6 приведено определение источников энергии через другие физические величины).

Приемниками в электрической цепи являются устройства, в которых осуществляется преобразование электромагнитной энергии в энергию другого вида: механическую, химическую, тепловую и т.д.

Система передачи служит для передачи электромагнитной энергии от источника к приемнику. Примерами устройств, входящих в систему передачи: линии электропередачи, линии связи, трансформаторы и т.п.

Для описания и теоретического исследования свойств электрических цепей вводят понятия "двухполюсников" и "четырехполюсников".

Часть электрической цепи произвольной конфигурации, рассматриваемая относительно любых двух зажимов, или полюсов, называется двухполюсником.

Источники и приемники энергии имеют два зажима (полюса) и являются двухполюсниками. Двумя зажимами (полюсами) двухполюсники присоединяются к системе передачи энергии.


Рис. 8
Различают пассивные и активные двухполюсники. Пассивными называют двухполюсники, не содержащие источников энергии. Активными называют двухполюсники, содержащие один или несколько источников энергии. Различные типы двухполюсников изображены на рис. 8.

Свойства системы передачи описывают с помощью понятия "четырехполюсник".

Часть электрической цепи произвольной конфигурации, рассматриваемая относительно любых двух пар выводов, или двух пар полюсов, называется четырехполюсником. Определения пассивных и активных четырехполюсников аналогичны определениям пассивных и активных двухполюсников. Различные типы четырехполюсников изображены на рис. 9.


Рис. 9
На рис. 9 зажимы 1-1' – входные зажимы; зажимы 2-2' – выходные зажимы.

Расчеты электрических цепей и исследование процессов, происходящих в них, основаны на различных допущениях и некоторой идеализации реальных объектов электрических цепей. Для моделирования электромагнитных процессов используют понятие "элементов электрических цепей".

Под элементами в теории цепей подразумевают идеализированные модели реальных электротехнических устройств, которым теоретически приписываются определенные электрические и магнитные свойства так, что они в совокупности приближенно отражают явления, происходящие в реальных устройствах.

Различают активные и пассивные элементы электрической цепи.

Активные элементы – это модели реальных источников электромагнитной энергии. К активным элементам относятся источники э.д.с. и источники тока.

К пассивным элементам относятся сопротивления, индуктивности и емкости.
9. Пассивные элементы электрических цепей и их параметры
Пассивные элементы электрических цепей являются идеализированными моделями таких реальных устройств, как резисторы, индуктивные катушки и конденсаторы.

Величины, характеризующие элементы электрической цепи, называются параметрами электрической цепи.

Названия параметров совпадают с названиями элементов цепи: сопротивление, индуктивность, емкость.

9.1. Сопротивление
Сопротивлением называется идеализированный элемент электрических цепей, главное свойство которого заключается в необратимом преобразовании электромагнитной энергии в тепловую.

Основным законом, характеризующим свойства сопротивления, является закон Ома (см. (45)). Величину сопротивления r можно определить через ток и напряжение:

, (54)

Проводимость элемента цепи равна:

, (55)

Единицей измерения сопротивления является Ом (Ом). Соответственно, единицей измерения проводимости является Сименс (См = 1/Ом).

В случае постоянного тока сопротивление и проводимость обозначаются R и G и равны, соответственно, электрическим сопротивлению и проводимости элемента.

Мгновенные мощность и электрическая энергия, характеризующие сопротивление, рассчитываются по формулам:

,

. (56)

Электрическая энергия при протекании постоянного тока определяется соотношением:

. (57)

Формула (57) математически отражает главное свойство сопротивления – необратимое преобразование электромагнитной энергии в тепловую энергию. Формула (57) – это математическая запись закона Джоуля – Ленца, известного из курса физики.

Физическим элементом (устройством), свойства которого приближаются к свойствам сопротивления, является резистор.

Условные графические изображения сопротивлений и, соответственно, резисторов те же, что и пассивных двухполюсников.

Сопротивление резистора является его параметром только при протекании постоянного тока или при определенной частоте питания переменного тока. Зависимостью сопротивления от частоты питания можно пренебречь только при относительно небольших изменениях частоты. Один и тот же резистор обладает различными сопротивлениями на постоянном и переменном токах. Сопротивление резистора на переменном токе больше, чем на постоянном токе. С увеличением частоты сопротивление резистора возрастает.

Изображение сопротивления на электрических схемах приведено на рис.10.



Рис. 10
Символом "r" обозначают сопротивление при протекании переменного тока и называют его активными сопротивлением. Символом "R" обозначают сопротивление на постоянном токе и называют его электрическим сопротивлением.

Сопротивление проводника можно рассчитать по формуле:

, (58)

где S – сечение проводника, охватываемое током.

При расчете электрического сопротивления R полагают , так как постоянный ток течет через все сечение проводника. Плотность тока, при этом, во всех точках сечения проводника одинакова.

Плотность переменного тока у поверхности проводника больше, чем в его центральной части. При относительно высоких частотах переменный ток течет не через все сечение, а лишь через очень узкое кольцо, примыкающее к поверхности проводника (рис. 11)


Рис.11
Явление неравномерного распределения плотности тока по сечению проводника называется поверхностным эффектом. Из-за поверхностного эффекта сопротивление проводника (резистора) при переменном токе больше, чем при постоянном, что следует из (58). На промышленных частотах () эта разница невелика, а на больших частотах она может оказаться весьма значительной.

При протекании постоянного тока резистор на схеме отображается электрическим сопротивлением R, а на переменном токе – активным сопротивлением r (рис. 10).

На промышленных частотах полагают , подчеркивая тем самым, независимость сопротивления от частоты протекающего тока. Соответственно, равны и проводимости: .

9.2. Индуктивность
Индуктивностью называется идеализированный элемент электрической цепи, главное свойство которого заключается в накоплении энергии в форме энергии магнитного поля.

Основным законом, характеризующим свойства индуктивности, является связь потокосцепления  и тока i, протекающего через индуктивность:

, (59)

где L – коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом самоиндукции, или индуктивностью; потокосцепление  - суммарный магнитный поток индуктивности, имеющей число витков w:

, (60)

здесь Ф – магнитный поток, характеризующий магнитное поле индуктивности.

Единицей измерения индуктивности в системе СИ является Генри (Гн). Следует помнить, что .

При изменении магнитного поля в индуктивности появляется (индуцируется) э.д.с. самоиндукции , которая, согласно закону Фарадея, равна скорости изменения потокосцепления:

. (61)

В случае линейной индуктивности, т.е. при , получим:

, (62)

напряжение самоиндукции , соответственно, равно:

. (63)

Ток в индуктивности можно определить через напряжение :

. (64)

Мгновенная мощность индуктивности равна:

. (65)

Энергия магнитного поля, накопленная в индуктивности к данному моменту времени t, рассчитывается следующим образом:

. (66)

Как ясно из (66), энергия магнитного поля индуктивности прямо пропорциональна квадрату тока i, протекающего через индуктивность.

Изображение индуктивности на электрических схемах представлено на рис. 12.


Рис. 12
Физическим элементом (устройством), свойства которого приближаются к индуктивности, является индуктивная катушка.

Изображение реальной индуктивной катушки на электрических схемах (схемы замещения катушки индуктивности) зависят от частоты f протекающего через нее тока и приведены на рис. 13.



Рис. 13
9.3. Емкость
Емкостью называется идеализированный элемент электрической цепи, главное свойство которого заключается в накоплении энергии в форме энергии электрического поля.

Основным законом, характеризующим свойства емкости, является связь заряда Q и напряжения , возникающего на емкости:

, (67)

где коэффициент пропорциональности С – емкость.

Согласно (67), емкость элемента можно определить следующим образом:

. (68)

Единицей измерения емкости в системе СИ является Фарада (Ф). Следует помнить, что .

Мгновенное значение тока, протекающего через емкость, равно:

. (69)

В случае линейной емкости, т.е. при , имеем:

, (70)

. (71)

Мгновенная мощность емкости равна:

. (72)

Энергия электрического поля, накопленная в емкости к данному моменту времени t, рассчитывается следующим образом:

. (73)

Из (73) следует, что энергия электрического поля емкости прямо пропорциональна квадрату напряжения на емкости.

Изображение емкости на электрических схемах приведено на рис. 14.


Рис. 14
Физическим элементом (устройством), свойства которого приближаются к емкости, является конденсатор.

Изображения реального конденсатора на электрических схемах (схемы замещения конденсатора) зависят от частоты f проходящего через него тока и приведены на рис. 15.


Рис. 15
Все основные формулы, описывающие свойства пассивных элементов цепи, сведены в таблицу 1.

Элементы электрической цепи Таблица 1

Элемент цепи

Ток [А]

Напряжение [В]

Мгновенная

мощность [Вт]

Энергия [Дж]


































10. Активные элементы электрических цепей. Источники э.д.с.

Источники тока
Существующие реальные источники энергии при расчете электрических цепей заменяются двумя типами моделей: источниками тока и источниками э.д.с. Источники э.д.с. и источники тока являются активными элементами электрических цепей.

Важным параметром модели источника энергии является его внутреннее сопротивление. Внутреннее сопротивление отражает физические процессы, происходящие внутри источника энергии при разделении зарядов. Оно характеризует электрические свойства источника энергии, зависит от структуры источника и от того, какой вид энергии преобразуется в электромагнитную энергию.

Источники э.д.с. характеризуются относительно малым внутренним сопротивлением.

Идеальным источником э.д.с. называется источник, внутреннее сопротивление которого равно нулю.

Изображения источника э.д.с. на электрических схемах для переменного и постоянного токов приведены, соответственно, на рис. 16 и рис. 17.


Рис. 16



Рис. 17
На рис. 17 - внутреннее сопротивление источника, - сопротивление нагрузки.

Реальный источник э.д.с. называется также источником напряжения.

Реальным источником э.д.с. моделируется источник энергии, обладающий малым, относительно элементов цепи, внутренним сопротивлением.

Стрелка в изображениях источника э.д.с. показывает положительное направление э.д.с. Направление стрелки совпадает с направлением принудительного движения положительного заряда в источнике, т.е. с направлением действия сторонних сил внутри источника.

Примером идеального источника э.д.с., реально существующего, является гальванический элемент, внутреннее сопротивление которого .

Источники тока характеризуются относительно большим внутренним сопротивлением.

Идеальным источником тока называется источник энергии, внутреннее сопротивление которого равно бесконечности.

Изображения источника тока на электрических схемах для переменного и постоянного токов приведены, соответственно, на рис. 18 и рис. 19.


Рис. 18
Ток () источника тока называется задающим.

Стрелка в изображении источника тока указывает положительное направление тока для тех моментов времени, когда функция положительна.

Реальным источником тока моделируется источник энергии, обладающий большим, относительно элементов цепи, внутренним сопротивлением.



Рис. 19
Примером идеального источника тока, реально существующего, является радиоактивный источник. Внутреннее сопротивление такого источника можно считать бесконечно большим относительно всех элементов, включенных в электрическую цепь.

Источник тока можно создать искусственно, последовательно подключив к источнику э.д.с. (аккумулятору) очень большое сопротивление.

Используя понятие активного двухполюсника, можно дать и другие определения источников э.д.с. и тока.

Свойства источников отражаются в их основной характеристике.

Основной характеристикой элемента называется графическое представление его основного закона.

Для источников энергии основным законом является закон Ома.

Графическое представление закона Ома называется вольт – амперной характеристикой (ВАХ) элемента. ВАХ элемента может быть представлена в аналитической форме.

Идеальным источником э.д.с. называется активный двухполюсник, напряжение на зажимах которого не зависит от тока, проходящего через источник.

ВАХ идеального источника э.д.с. приведена на рис. 20.



Рис. 20
Идеальный источник э.д.с. является источником бесконечной мощности:

. (74)

Идеальным источником тока называется активный двухполюсник, ток которого не зависит от приложенного напряжения (не зависит от сопротивления нагрузки).

ВАХ идеального источника тока изображена на рис. 21.

Идеальный источник тока является источником бесконечной мощности:

. (75)


Рис. 21
Пример. Имеем реальный источник энергии, обладающий некоторым внутренним сопротивлением . Какой моделью (источником э.д.с. или источником тока) его следует заменить при расчетах режимов в электрической цепи?

Решение: Выбор модели зависит от соотношения величин внутреннего сопротивления источника энергии и сопротивления нагрузки, подключаемой к нему.

1.

Источник энергии при расчетах цепи заменяют идеальным источником тока.

2.

Источник энергии заменяют идеальным источником э.д.с.

3.

Моделью источника энергии может служить как реальный источник э.д.с., так и реальный источник тока. Эквивалентный переход от реального источника э.д.с. к реальному источнику тока будет рассматриваться в следующей части.
11. Схема электрической цепи. Топологические элементы схемы
Схемой электрической цепи называют графическое изображение электрической цепи, показывающее последовательность соединения двухполюсников, составляющих эту цепь.

Наряду с такими элементами цепи, как сопротивление, индуктивность и емкость, различают топологические элементы цепи и, соответственно, топологические элементы схемы. Основными топологическим элементами являются ветви, узлы и контуры (рис. 22).



Рис. 22

Ветвью называется участок цепи, вдоль которого ток имеет одно и то же значение.

Узлом цепи называют место соединения трех и более ветвей. Узел на схеме выделяется жирной точкой.

Контуром электрической цепи называют замкнутый путь, образованный одной или несколькими ветвями.

Различают независимые и зависимые контуры.

Контуры называются независимыми между собой, если каждый из них имеет хотя бы одну новую ветвь, не входящую в другие контуры.

Схема, приведенная на рис. 22, имеет четыре независимых контура (отмечены цифрами I, II, III, IV), четыре узла (отмечены цифрами 1, 2, 3, 4) и шесть ветвей.

В цепях различают последовательное, параллельное и смешанное соединения пассивных двухполюсников.

При расчетах цепей различные соединения двухполюсников заменяют эквивалентными схемами замещения и, соответственно, эквивалентными сопротивлениями. Эквивалентная замена (эквивалентный переход от одного способа соединения к другому, от одной схемы к другой) требует выполнения условия: токи и напряжения в частях схемы, не затронутых преобразованием, должны оставаться неизменными. Оставшаяся часть схемы, не затронутая преобразованием, не должна даже "подозревать" о происшедшей замене.

Расчетные формулы соответствующих эквивалентных преобразований вытекают из законов Кирхгофа.

Последовательным соединением двухполюсников называется соединение, при котором через все двухполюсники протекает один и тот же ток (рис. 23).



Рис. 23
Эквивалентное сопротивление последовательно соединенных двухполюсников рассчитывается по формуле:

. (76)

Параллельным соединением двухполюсников (ветвей) называется соединение, при котором все двухполюсники (ветви) присоединяются к одной паре узлов и на всех этих двухполюсниках имеется одно и то же напряжение (рис. 24).

Эквивалентное сопротивление параллельного соединения двухполюсников рассчитывается по следующим формулам:

, (77)
, (78)
. (79)

Если к паре узлов подсоединены только два сопротивления, формула для расчета эквивалентного сопротивления имеет вид:

. (80)


Рис. 24
Смешанным соединением называется сочетание последовательного и параллельного соединений пассивных двухполюсников. Смешанное соединение изображено на рис. 25.


Рис. 25
Эквивалентное сопротивление смешанного соединения двухполюсников, приведенного на рис. 25, рассчитывается по следующей формуле:

.
12. Положительные направления токов, напряжений и э.д.с.
При расчетах цепей различают два типа задач: задачи анализа и задачи синтеза.

Задачи анализа – это задачи расчета токов в ветвях при заданных параметрах всех элементов и источников энергии (источников тока и источников э.д.с.), входящих в схему.

Задачи синтеза – это задачи расчета параметров схемы по заданным значениям токов и напряжений на участках схемы.

В дальнейшем остановимся на рассмотрении задач анализа.

При расчете токов вводят, так называемые, "положительные" направления токов. Выбор "положительных" направлений токов произволен. Расчет покажет, правильно ли были выбраны "положительные" направления: если значение тока получилось отрицательным, это означает, что выбранное "положительное" направление не совпадает с истинным направлением тока в исследуемой ветви. Истинный ток, следовательно, течет в направлении, обратном выбранному в качестве "положительного".

Исторически за направление тока выбрано движение положительного заряда. Поэтому считается, что ток течет от точки с большим потенциалом к точке с меньшим потенциалом (рис. 26).



Рис. 26
Положительное направление напряжения на пассивных двухполюсниках выбирается совпадающим с положительным направлением тока. Напряжение направлено от точки с большим потенциалом к точке с меньшим потенциалом.

На изображении источника э.д.с. стрелка указывает на точку с большим потенциалом, а ее направление совпадает с направлением э.д.с. (рис. 27).


Рис. 27
Направление напряжения на источнике э.д.с. выбирается противоположным направлению э.д.с. В реальных условиях э.д.с. и напряжение также направлены противоположно, т.е. выбранные "положительные" направления э.д.с. и напряжения совпадают с истинными. Поэтому при расчетах цепей напряжение и э.д.с. источника связаны чоотношением:

.

В случае пассивного двухполюсника в качестве "положительных" принимают одинаковые направления напряжения и э.д.с., что не соответствует их истинным направлениям. Поэтому на пассивных двухполюсниках



(см. рис. 12, (63)).
13. Понятие линейной электрической цепи с сосредоточенными

параметрами. Принцип наложения
Понятие линейности цепи связано с понятием линейности элемента цепи.

Линейным называется такой элемент цепи, основная характеристика которого линейна.

В разделе 10 уже отмечалось, что основной характеристикой элемента является графическое изображение его основного закона.

Основным законом элемента является связь между величинами, характеризующими данный элемент.

Рассмотрим пассивные элементы электрической цепи с точки зрения их линейности.

Основные законы пассивных элементов представлены формулами (45), (59) и (67). Если параметры, характеризующие элементы цепи, являются постоянными величинами ( , , ), то указанные соотношения являются уравнениями прямых, качественно изображенных на рис. 28.



Рис. 28
На рис. 28 представлены основные характеристики пассивных элементов: сопротивления, индуктивности и емкости. Здесь - масштабные коэффициенты для соответствующих параметров цепи. Так как основные характеристики представляют собой прямые линии, данные элементы являются линейными. Поскольку дифференцирование и интегрирование являются линейными операциями, напряжения на линейных индуктивности и емкости, и , линейно зависят от тока i при любом законе изменения тока во времени (, ). Относительно сопротивления, линейная зависимость напряжения от тока является очевидной ().

Линейность основных характеристик приводит к линейности вольт - амперных характеристик (ВАХ) рассматриваемых элементов (см. раздел 10).

Примеры ВАХ пассивных элементов электрической цепи для переменного (синусоидального) тока приведены на рис. 29.



Рис. 29
Величины , , являются амплитудными значениями напряжений на индуктивности и емкости и тока, протекающего через эти элементы, соответственно; - круговая частота синусоидального тока.

Цепи, состоящие только из линейных элементов, называются линейными цепями. Электромагнитные явления в линейных цепях описываются линейными алгебраическими уравнениями (постоянный ток) или линейными интегро-дифференциальными уравнениями (переменный ток).

Линейными называются цепи, в которых выполняется принцип наложения.

Принцип наложения (суперпозиции) является важным свойством линейных цепей, вытекающим из уравнений, описывающих протекающие в этих цепях процессы.

Принцип наложения (суперпозиции) звучит следующим образом: реакция цепи (токи, напряжения на участках цепи) на сумму воздействий (источники э.д.с. и токов) равна сумме реакций на каждое воздействие в отдельности.

При этом предполагается, что цепь свободна от начальных запасов энергии.

Принцип наложения лежит в основе важнейших методов расчета линейных цепей: метода наложения, операторного метода, спектрального метода, метода интеграла Дюамеля и др.

Математическую запись принципа наложения и его практического применение рассмотрим в дальнейшем изложении.

В линейных цепях все связи (формулы) между характерными величинами линейны. Линейность ВАХ для каждого элемента приводит к линейной зависимости токов в любых ветвях и напряжений на любых участках электрической цепи:

(81)

Соотношения типа (81) вытекают из линейных уравнений, описывающих цепь, и принципа наложения, выполняющегося только в линейных цепях.

В дальнейшем будем рассматривать линейные электрические цепи.

Теория электрических цепей делится на теорию цепей с сосредоточенными параметрами и теорию цепей с распределенными параметрами.

Электрические цепи, которые с хорошей степенью точности можно описать моделями, представляющими совокупность некоторых самостоятельно существующих элементов r, L, C, сосредоточенных в различных точках цепи, называют цепями с сосредоточенными параметрами. На рис. 30 приведена схема элементарной электрической цепи с сосредоточенными параметрами.



Рис. 30
Теоретически предполагается, что на участке "ab" сосредоточено все сопротивление цепи (электромагнитная энергия переходит в тепловую энергию только на участке "ab"). На участке "bd" сосредоточена вся емкость цепи (энергия электромагнитного поля существует в виде энергии электрического поля). На участке "dm" сосредоточена вся индуктивность цепи (энергия электромагнитного поля существует в виде энергии магнитного поля).

Большой класс практически важных задач с хорошей инженерной точностью может быть решен при использовании представления цепи в виде цепи с сосредоточенными параметрами.

Дальнейшее изложение посвящено исследованию и методам расчета линейных цепей с сосредоточенными параметрами.
14. Основные законы электрических цепей с сосредоточенными

параметрами
Свойства любой электрической цепи могут быть определены и исследованы при анализе уравнений, составленных на основе физических законов, описывающих электромагнитные явления, происходящие в этой цепи.

Одно из самых интересных открытий в физике – законы сохранения. Применяя, например, закон сохранения энергии в механике, можно обнаружить связь между состояниями механической системы в два разных момента времени, не вникая в подробности того, что происходит между этими моментами [9]. В ядерной физике применение законов сохранения энергии привело к открытию элементарных частиц.

В электромагнетизме фундаментальными законами природы являются законы сохранения энергии и заряда. Математическим отражением этих законов в теории цепей являются законы Кирхгофа и уравнение энергетического баланса (уравнение баланса мощностей). Фундаментальность законов Кирхгофа и уравнений, составленных на их основе, обусловлена фундаментальностью тех законов природы, которые они математически отражают. Фактически, теория цепей является математическим и физическим исследованием уравнений, составленных на основе законов Кирхгофа для различных режимов работы электрических цепей.
14.1. Первый закон Кирхгофа
Первый закон Кирхгофа применяется к узлам электрической цепи. Этот закон математически вытекает из принципа непрерывности полного электрического тока (20), (21). Он является частным случаем закона (21).



Рис. 31
К узлам цепи подходят проводники (рис. 31). Следовательно, сквозь поверхность S проходят только токи проводимости:

(82)

Согласно (21), имеем:

. (83)

В формуле (83) положительными направлениями токов считаются направления, совпадающие с положительным направлением нормали к поверхности S. Поскольку (83) представляет собой алгебраическую сумму токов, равную нулю, выбор положительных направлений токов при расчетах произволен.

Первый закон Кирхгофа (83) формулируется следующим образом:

Алгебраическая сумма токов в ветвях, связанных общим узлом электрической цепи, равна нулю.

Или: сумма токов, вытекающих из узла электрической цепи, равна сумме токов, втекающих в этот узел.

Первый закон Кирхгофа является математической записью закона сохранения заряда в цепи в единицу времени (см. (4), (5)), т.е. какое количество заряда подходит к узлу цепи, такое же количество заряда и отходит от этого узла в единицу времени. Заряд в цепи не возникает и не уничтожается, он сохраняется неизменным.
14.2. Второй закон Кирхгофа
Второй закон Кирхгофа применяется к контурам электрической цепи.

Второй закон Кирхгофа математически отражает закон сохранения энергии, приходящейся на единицу заряда в выбранном контуре цепи. Он вытекает из формулы (36).

Возьмем контур, содержащий n пассивных элементов цепи и n источников э.д.с. Применяя (36) к такому контуру, получим:

, (84)

. (85)

Подставляя (84) и (85) в (36), имеем:

. (86)

Формула (86) представляет собой математическую запись второго закона Кирхгофа:

Алгебраическая сумма напряжений в контуре равна алгебраической сумме э.д.с., действующих в этом контуре.

Положительные направления напряжений и э.д.с. совпадают с выбранным обходом контура. Если направления напряжений на элементах контура и направления э.д.с., действующих в контуре, не совпадают с выбранным обходом контура, то они входят в формулу (86) с отрицательным знаком.

Применим (36) к простейшей цепи с сосредоточенными параметрами, состоящей из одного контура (рис. 32).



Рис. 32
,

. (87)

Используя связь напряжений и токов на пассивных элементах цепи (см. таблицу 1), получим:

. (88)

Выражение (88) есть математическая запись второго закона Кирхгофа для схемы цепи, приведенной на рис. 32. В общем случае, если число сопротивлений, индуктивностей и емкостей контура, а также число э.д.с., действующих в контуре, равно n, то математическая запись второго закона Кирхгофа примет вид:

. (89)

Пример. Для цепи, схема которой приведена на рис. 33, составить уравнения для узла "b" по первому закону Кирхгофа и для контура "abca" по второму закону Кирхгофа.



Рис. 33
Запишем уравнение для узла "b" по первому закону Кирхгофа:

.

Составим уравнение по второму закону Кирхгофа для контура "abca":

.

Как ясно из (89), в общем случае, с математической точки зрения, цепи переменного тока описываются интегро-дифференциальными уравнениями.


  1   2


Учебный материал
© bib.convdocs.org
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации