Скоробогатова В.И. Методические указания по теории вероятностей и математической статистике - файл n1.doc

Скоробогатова В.И. Методические указания по теории вероятностей и математической статистике
скачать (1657 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc1657kb.03.11.2012 15:06скачать

n1.doc

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ
Черниговский Государственный Технологический Университет



КАФЕДРА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИСТЕМ и СЕТЕЙ
М Е Т О Д И Ч Е С К И Е У К А З А Н И Я
ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ и МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ


Составитель: В. Скоробогатова


Чернигов - 2007

Методические указания составлены для студентов специальности 7.090602 «Электрические системы и сети». Цель их- оказание помощи студентам заочной формы обучения, изучающим теорию вероятностей и математическую статистику. Методические указания содержат следующие разделы: классическое определение вероятности и ее свойства, дискретные и непрерывные случайные величины. В тексте приводятся наиболее часто встречающиеся утверждения и формулы, разобрано большое количество задач.

СОДЕРЖАНИЕ


1.

Некоторые формулы комбинаторики

4

2.

Случайные события. Классическое определение вероятности

4

3.

Относительная частота события. Статистическое определение вероятности

7

4.

Сложение вероятностей

7

5.

Умножение вероятностей независимых событий

9

6.

Зависимые события. Условная вероятность. Формула полной вероятности

11

7.

Формула Байеса

13

8.

Формула Бернулли

14

9.

Формула Пуассона

16

10.

Случайные величины

17

11.

Закон распределения дискретной случайной величины

17

12.

Числовые характеристики дискретной случайной величины

18

13.

Биномиальный закон распределения дискретной случайной величины

20

14.

Закон распределения Пуассона дискретной случайной величины

21

15.

Функция распределения непрерывной случайной величины. Плотность распределения

21

16.

Числовые характеристики непрерывной случайной величины

23

17.

Закон равномерного распределения вероятностей непрерывной случайной величины

25

18.

Числовые характеристики равномерного распределения

26

19.

Нормальный закон распределения непрерывной случайной величины

27

20.

Числовые характеристики нормального распределения

27

21.

Функция Лапласа. Функция распределения случайной величины Х, имеющей нормальное распределение

26

22.

Вероятность попадания случайной величины Х, имеющей нормальное распределение, в заданный интервал

28

23.

Литература

30



Некоторые формулы комбинаторики
Рассмотрим некоторое множество Х, состоящее из n элементов . Будем выбирать из этого множества различные упорядоченные подмножества У из k элементов. Размещением из n элементов множества Х по k элементам назовем любой упорядоченный набор элементов множества Х.

Если выбор элементов множества У из Х происходит с возвращением, т.е. каждый элемент множества Х может быть выбран несколько раз, то число размещений из n по k находится по формуле nk.

Если же выбор делается без возвращения, т.е. каждый элемент множества Х можно выбирать только один раз, то количество размещений из n по k обозначается и определяется равенством .

Например. Пусть даны пять цифр: 1; 2; 3; 4; 5. Определим сколько трехзначных чисел можно составить из этих цифр. Если цифры могут повторяться, то количество трехзначных чисел будет .

Если цифры не повторяются, то .

Частный случай размещения при n=k называется перестановкой из n элементов. Число всех перестановок из n элементов равно .

Пусть теперь из множества Х выбирается неупорядоченное подмножество У, т.е. два подмножества У1 и У2 из k элементов, состоящие из одних и тех же элементов и отличающиеся их порядком будем считать одинаковыми. Сочетаниями из n элементов по k называются подмножества из k элементов, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом. Общее число всех сочетаний из n по k обозначается и равно

.

В дальнейшем будем считать .

Заметим, что справедливо равенство .

Например. В группе из 27 человек нужно выбрать трех делегатов на профсоюзную конференцию. Вычислить количество всевозможных профсоюзных делегаций.

.


Случайные события.

Классическое вероятность
Основным понятием теории вероятностей является понятие случайного события. Случайным событием называется событие, которое при осуществлении некоторых условий может произойти или не произойти. Например, попадание в некоторый объект или промах при стрельбе по этому объекту из данного орудия является случайным событием.

Рассмотрим виды событий.

Событие называется достоверным, если в результате испытания оно обязательно происходит.

Невозможным называется событие, которое в результате испытания произойти не может.

Случайные события называются несовместными в данном испытании, если никакие два из них не могут произойти вместе.

Случайные события образуют полную группу, если при каждом испытании появится одно из них (любое), но не появится одновременно два и более событий, т. е. События попарно несовместимы.

Рассмотрим полную группу равновозможных несовместных случайных событий. Такие события будем называть случаями. Событие такой группы называется благоприятствующим появлению события А, если появление этого события влечет появление А.

Например, в урне находится 8 шаров, на каждом из которых поставлено по одной цифре от 1 до 8. Шары с цифрами 1, 2, 3 красные, остальные – черные. Появление шара с цифрой 1 (2 или 3) есть событие, благоприятствующее появлению красного шара.

Вероятностью р события А называется отношение числа m благоприятствующих случаев к числу всех возможных случаев n, образующих полную группу равновозможных несовместных событий

.

Заметим, что вероятность достоверного события р=1. Вероятность невозможного события р=0. Кроме того из определения вероятности следует, что для любого события А

.

Примеры. 1. В урне 10 пронумерованных шаров с номерами от 1 до 10. Вынули один шар. Какова вероятность того, что номер вынутого шара не превосходит 10?

Пусть событие А – номер вынутого шара не превосходит 10. Число случаев благоприятствующих появлению события А равно числу всех возможных случаев m=n=10. Следовательно, Р(А)=1.

2. В урне 15 шаров: 5 белых и 10 черных. Какова вероятность вынуть из урны синий шар?

Так как синих шаров в урне нет, то m=0, n=15. Следовательно, искомая вероятность р=0.

3. Из колоды в 36 карт вынимается одна карта. Какова вероятность появления карты пиковой масти?

Здесь всего случаев n=36. Событие А – появление карты пиковой масти. Число случаев, благоприятствующих появлению события А, m=9. Следовательно, .

4. Бросаются одновременно две монеты. Какова вероятность выпадения герба на обеих монетах?

Составим схему возможных случаев.




Первая монета

Вторая монета

1 случай

2 случай

3 случай

4 случай

герб

герб

не герб

не герб

герб

не герб

герб

не герб


Всего случаев 4. Благоприятствующих случаев 1. Следовательно, р=1/4.

5. В урне 10 шаров: 6 белых и 4 черных. Вынули два шара. Какова вероятность, что оба шара белые?

Вынуть два шара из десяти можно следующим числом способов: . Число случаев, когда среди этих двух шаров будут оба белые, равно . Искомая вероятность будет .

6. В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. По табельным номерам наудачу отобраны 7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц три женщины.

Общее число возможных исходов равно числу способов, которыми можно отобрать 7 человек из 10, т.е. .

Найдем число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию: трех женщин можно выбрать из четырех способами; при этом остальные четыре человека должны быть мужчинами, их можно отобрать способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно .

Искомая вероятность .

7. Пять книг расставляются на полку. Найти вероятность того, что две определенные книги окажутся рядом.

Число всех способов, которыми можно расставить на полке пять книг, равно числу перестановок из пяти элементов .

Подсчитаем число благоприятствующих случаев. Две определенные книги можно поставить рядом 2!=2 способами. Оставшиеся книги можно расположить на полке способами. Поэтому .

Итак, .


Относительная частота события.

Статистическая вероятность



Недостатком классического определения вероятности является то, что не всегда удается узнать, являются исходы испытания равновозможными или не являются.

Относительной частотой р* случайного события А называется отношение числа m* появления данного события к общему числу n* проведенных одинаковых испытаний, в каждом из которых могло появиться или не появиться данное событие.

.

Оказывается, что при большом числе испытаний n, относительная частота появления события А в различных сериях отличается друг от друга мало и это отличие тем меньше, чем больше испытаний в сериях.

При статистическом определении вероятностью события называют относительную частоту события при большом числе испытаний или число близкое к ней:

.

Сложение вероятностей



Суммой двух событий А и B называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий. Сумма обозначается: С=А+В=АилиВ.

Теорема о сложении вероятностей. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Р(АилиВ)=Р(А)+Р(В).

Заметим, что сформулированная теорема справедлива для любого числа слагаемых:

.

Два события называются противоположными, если они несовместны и образуют полную группу. Если событие обозначим через А, то противоположное ему – через .

Так как при испытании обязательно произойдет или событие А или событие , то согласно теореме о сложении вероятностей получаем .

Если случайные события А1, А2,…, Аn образуют полную группу несовместных событий, то имеет место равенство

.

Случайные события А и B называются совместными, если при данном испытании могут произойти оба эти события. Событие, заключающееся в совмещении событий А и B, будем обозначать АиВ или АВ.

Теорема. Вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле

.

Примеры. 1. В урне 10 белых, 15 черных, 20 синих и 25 красных шаров. Вынули один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар а) синий или черный; б) белый, черный или синий.

Обозначим следующие события:

Б – вынули белый шар, ;

Ч – вынули черный шар, ;

С – вынули синий шар, ;

К – вынули красный шар, .

Тогда искомые вероятности будут:

а) .

б)

или .

2. На стеллаже в библиотеке стоит 15 учебников, причем 5 из них в переплете. Библиотекарь берет три учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете.

Рассмотрим два способа решения задачи.

Первый способ. Пусть события А – хотя бы один учебник в переплете;

В – один из взятых учебников в переплете, два – без переплета;

С – два в переплете, один без переплета;

D – все три учебника в переплете.

Очевидно, А=В+С+D. Найдем вероятности событий В, С, и D.

, , .

Тогда

.

Второй способ. Вновь А – хотя бы один учебник в переплете;

- ни один из взятых учебников не имеет переплета.

Так как события А и противоположные, то

.

Умножение вероятностей независимых событий



Событие А называется независимым от события В, если вероятность появления события А не зависит от того, произошло событие В или нет.

Теорема. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий

Р(АВ)=Р(АР(В).

Заметим, что теорему о вероятности суммы совместных событий можно записать теперь в виде:

.

Примеры. 1. В первом ящике 2 белых и 7 черных шаров, во втором 8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Найти вероятность того, что один из вынутых шаров белый, а другой – черный.

Обозначим события: А – вынули белый шар из первого ящика, ;

- вынули черный шар из первого ящика, ;

В – белый шар из второго ящика, ;

- черный шар из второго ящика, .
Нам нужно, чтобы произошло одно из событий или . По теореме об умножении вероятностей , . Тогда искомая вероятность по теореме сложения будет

.

2. Вероятность попадания в цель у первого стрелка 0,8, у второго – 0,9. Стрелки делают по выстрелу. Найти вероятность: а) двойного попадания; б) хотя бы одного попадания; г) одного попадания.

Пусть А – попадание первого стрелка, Р(А)=0,8;

В – попадание второго стрелка, Р(В)=0,9.

Тогда - промах первого, ;

- промах второго, .

Найдем нужные вероятности.

а) АВ – двойное попадание, Р(АВ)=Р(А)Р(В)=0,72.

б) - двойной промах, .

в) А+В – хотя бы одно попадание,

.

г) - одно попадание,

.

3. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочниках равны 0,6; 0,7 и 0,8 соответственно. Вычислить вероятность того, что формула содержится 1) только в одном справочнике; 2) только в двух справочниках; 3) во всех трех справочниках.

А – формула содержится в первом справочнике;

В – формула содержится во втором справочнике;

С – формула содержится в третьем справочнике.

Воспользуемся теоремами сложения и умножения вероятностей.

1.

=0,6·0,3·0,2+0,4·0,7·0,2+0,4·0,3·0,8=0,188.

2. .

3.З(АВС)=0,6·0,7·0,8=0,336.
4. Из 10 деталей 7 – стандартные. Наудачу берут 6 деталей. Вычислить вероятность того, что среди них: а) не более одной нестандартной; б) не более двух нестандартных.

а) Обозначим события А – среди взятых 6 деталей нестандартных нет;

В – в 6 выбранных деталях одна нестандартная. Тогда А+В – среди 6 деталей не более одной нестандартной. Найдем Р(А+В). Заметим, что

,

.

Откуда

.

б) Пусть теперь событие А – в шести взятых деталях не более двух нестандартных. Тогда - в выбранных деталях более двух нестандартных, т.е. три.

.

.


Зависимые события. Условная вероятность.

Формула полной вероятности
Событие А называется зависимым от события В, если вероятность появления события А зависит от того, произошло или нет событие В.

Вероятность того, что произошло А при условии, что произошло событие В, будем обозначать P(A/B) и называть условной вероятностью события А при условии В.

Например. В урне находятся 3 белых шара и 2 черных. Из урны вынимается один шар, а затем второй. Событие В – появление белого шара при первом вынимании. Событие А – появление белого шара при втором вынимании.

Очевидно, что вероятность события А, если событие В произошло, будет . Вероятность события А при условии, что событие В не произошло, будет .

Справедливы следующие теоремы.

Теорема. Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие произошло, т.е.

.

В частности, отсюда получаем .

Теорема. Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий В1, В2,…Вn, которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события А вычисляется по формуле

.

Эта формула называется формулой полной вероятности.

Примеры. 1. Вероятность изготовления годного изделия данным станком 0,9. Вероятность появления изделия первого сорта среди годных изделий 0,8. Вычислить вероятность изготовления изделия первого сорта данным станком.

Событие В – изготовление годного изделия данным станком; событие А – появление изделия первого сорта. Очевидно, Р(В)=0,9, . Искомая вероятность будет

.

2. К экзамену надо подготовить 25 вопросов. Студент пришел на экзамен, зная 20. Какова вероятность того, что студент ответит на все три вопроса билета?

Пусть события: А – студент знает первый вопрос;

В – студент знает второй вопрос;

С – студент знает третий вопрос.

Тогда нужная вероятность будет


.

3. В урну, содержащую два шара, опущен белый шар, после чего из нее наудачу извлечен один шар. Вычислить вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все предположения о первоначальном составе шаров.

Обозначим события: А – извлечен белый шар;

В1 – первоначально белых шаров в урне не было;

В2 – первоначально в урне был один белый шар;

В3 – первоначально в урне было два белых шара.

Заметим, что , , , . Тогда по формуле полной вероятности



.

4. В пирамиде 5 винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с прицелом, равна 0,95, для винтовки без прицела соответствующая вероятность равна 0,7. Вычислить вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок делает один выстрел из произвольной винтовки.

Пусть А – мишень поражена; В1 – произведен выстрел из винтовки с прицелом; В1 – выстрел из винтовки без прицела. Тогда , и по формуле полной вероятности

.

5. По цели произведено три последовательных выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле р1=0,3, при втором р2=0,6, при третьем р3=0,8. При одном попадании вероятность поражения цели r1=0,4, при двух попаданиях r2=0,7, при трех попаданиях r3=1. Вычислить вероятность поражения цели при трех выстрелах.

Рассмотрим полную группу несовместных событий:

В1 – было одно попадание;

В2 – было два попадания;

В3 – было три попадания;

В4 – не было ни одного попадания.

Определим вероятность каждого события. По теоремам умножения и сложения вероятностей будем иметь

.

.

.

.

Пусть событие А – цель поражена. Выпишем условные вероятности поражения цели при осуществлении каждого из событий В1, В2, В3, и В4.

, , , .

Тогда по формуле полной вероятности



Формула Байеса




Вновь рассмотрим полную группу несовместных событий В1, В2,…Вn вероятности появления которых , ,…,. Событие А может произойти только вместе с каким-либо из событий В1, В2,…Вn, которые будем называть гипотезами. Тогда по формуле полной вероятности


.

Если событие А произошло, то это может изменить вероятности гипотез , ,…,. По теореме умножения вероятностей

,

откуда

.

Аналогично, для остальных гипотез

, i=1,2,…,n.

Полученная формула называется формулой Байеса. Здесь Р(А) определяется формулой полной вероятности.

Примеры. 1. 30% приборов собирает специалист высокой квалификации и 70% специалист средней квалификации. Надежность работы прибора, собранного специалистом высокой квалификации, 0,9, надежность прибора, собранного специалистом средней квалификации, 0,8. Взятый прибор оказался надежным. Вычислить вероятность того, что он собран специалистом высокой квалификации.

Событие А – безотказная работа прибора;

В1 – прибор собран специалистом высокой квалификации;

В2 – прибор собран специалистом средней квалификации.

Вероятности гипотез равны: , .

Условные вероятности события А равны: , .

Полная вероятность события А: .

Вычислим вероятность гипотезы В1 при условии, что событие А произошло

.

2. Батарея из трех орудий произвела залп, причем два снаряда попали в цель. Найти вероятность того, что первое орудие попало, если вероятности попадания в цель каждым из орудий равны р1=0,4, р2=0,3, р3=0,5.

Обозначим события: А – два орудия попали в цель;

В1 – первое орудие попало в цель;

В2 – первое орудие не попало в цель.

Вероятности гипотез: , .

Условные вероятности события А:

.

.

По формуле Байеса



.

Формула Бернулли



Если производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А одна и та же и равна р, то вероятность того, что событие А появится в этих n испытаниях k раз, выражается формулой

, где q=1-k.

В частности, отсюда Рn(0)=qn, Рn(1)=npqn-1, … , Рn(n)=pn.

Примеры. 1. В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Найти вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется 2 белых.

Событие А – достали белый шар. Тогда вероятности , . По формуле Бернулли требуемая вероятность

.

2. Определить вероятность того, что в семье, имеющей 5 деталей, будет не больше трех девочек. Вероятности рождения мальчика и девочки предполагаются одинаковыми.

Вероятность рождения девочки , тогда .

Найдем вероятности того, что в семье нет девочек, родилась одна, две или три девочки:

, ,

, .

Следовательно, искомая вероятность

.

Формула Пуассона



При большом числе испытаний n и малой вероятности р формулой Бернулли пользоваться неудобно, например, 0,951000 вычислить трудно. В этом случае для вычисления вероятности того, что в n испытаниях (n – велико) событие произойдет k раз используют формулу Пуассона

,

где ?=np=const – среднее число появлений события в n испытаниях.

Примеры. 1. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течении времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно три элемента.

N=1000, p=0,002, ?=np=2, k=3.

Искомая вероятность

.

2. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути 0,004. Найти вероятность того, что в пути повреждено меньше трех изделий.

n=500, p=0,004, ?=2.

По теореме сложения вероятностей

.

3. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит более двух разбитых бутылок.

?=np=1000·0,003=3



.

Случайные величины



Случайной называется величина, которая в результате испытания принимает одно и только одно возможное значение, какое именно заранее неизвестно.

Случайные величины делятся на дискретные и непрерывные.

Случайная величина называется дискретной, если в результате испытания она принимает одно из значений х1, х2, … , хn, … с соответствующей вероятностью р1, р2, … , рn, …

Непрерывной называется случайная величина, которая может принимать любое значение из некоторого промежутка.

Например, число студентов на лекции – дискретная случайная величина, продолжительность лекции – непрерывная.

Закон распределения


дискретной случайной величины
Соответствие между возможными значениями хk случайной величины Х и их вероятностями рk называется законом распределения вероятностей дискретной случайной величины Х.

Закон распределения обычно задается таблицей:

Возможные значения случайной величины Х

х1

х2



хn

Вероятности этих

значений Р

р1

р2



рn


То, что случайная величина Х принимает одно из значений х1, х2, … , хn, есть достоверное событие и поэтому должно выполняться равенство (в случае бесконечной последовательности значений ).

Закон распределения может быть задан графически в виде многоугольника распределения вероятностей, т.е. в виде ломаной, соединяющей точки (хk, рk).
Примеры. 1. Переменная величина Х есть число очков, выпадающее на верхней грани игральной кости при ее однократном бросании. Составить закон распределения этой случайной величины.

Так как любое число очков при однократном бросании кости выпадает с вероятностью , то закон распределения случайной величины имеет вид:
Х

1

2

3

4

5

6
Р

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6


2. Вероятность попадания при каждом выстреле р=0,8. Имеется три снаряда. Определить вероятность того, что будет израсходован один снаряд, два снаряда, три снаряда, если стрельба ведется до первого попадания или промаха всеми тремя снарядами. Составить таблицу распределения случайной величины Х – числа израсходованных снарядов.

Пусть Х – число израсходованных снарядов. Обозначим - вероятность того, что будет израсходовано хk снарядов. Тогда

Р(х=1)=0,8, Р(х=2)=(1-р)р=0,16, Р(х=3)=(1-р)2=0,04.

Таблица распределения будет иметь вид

Х

1

2

3
Р

0,8

0,16

0,04


3. Экзаменатор задал студенту 4 дополнительных вопроса. Вероятность того, что студент ответит на любой заданный вопрос 0,9. Составить закон распределения случайной величины Х – числа ответов на заданные вопросы.

Используем формулу Бернулли . Здесь n=4, р=0,9, q=0,1.

,

,

,

,

.
Х

0

1

2

3

4
Р

0,0001

0,0036

0,0486

0,2916

0,6561

Числовые характеристики


дискретной случайной величины
Пусть имеем дискретную случайную величину Х с законом распределения
Х

х1

х2



хn

Р(Х=хk)

р1

р2



рn


Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности

.

Для бесконечной случайной величины: .

Можно показать, что при большом числе испытаний среднее арифметическое наблюдаемых значений близко к ее математическому ожиданию.

Математическое ожидание случайной величины Х называется центром распределения вероятностей случайной величины.

Математическое ожидание обладает следующими свойствами.

1. M[C]=C, где С=const.

2. M[CX]=C·M[X].

3. Для независимых случайных величин Х и У М[XY]= M[X] · M[Y].

4. Для любых случайных величин Х и У М[X+Y]= M[X] + M[Y].
Характеристиками рассеивания возможных значений случайной величины вокруг математического ожидания служат, в частности, дисперсия и среднеквадратичное отклонение.

Дисперсией случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения значений величины от ее математического ожидания:

.

Дисперсию удобно вычислять по формуле

D[X]= M[X2] – (M[X])2.

Дисперсия обладает следующими свойствами.

1. D[C]=0, где С=const.

2. D[CX]=C2·D[X].

3. Для независимых случайных величин Х и У D[X+Y]= D[X] + D[Y].
В частности, из свойств дисперсии следует, что

D[С+Х]= D[X]

D[X - Y]= D[X] + D[Y].

Среднеквадратичным отклонением случайной величины называется корень квадратный из ее дисперсии:

.

Примеры. 1. Случайная величина Х задана следующим законом распределения:
Х

2

3

4
Р

0,3

0,4

0,3



Найдем ее математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение.


M[X]=2·0,3+3·0,4+4·0,3=3;

D[X]=(2 – 3)2·0,3+(3 – 3)2·0,4+(4 – 3)2·0,3=0,6;

.

2. В урне 6 белых и 4 черных шара. Из нее три раза подряд извлекают шар, причем каждый раз вынутый шар возвращают в урну. Пусть Х – число извлеченных белых шаров. Составить закон распределения этой величины, определить ее математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение.

Вероятность вынуть из урны белый шар р=0,6. Чтобы найти закон распределения случайной величины Х, воспользуемся формулой Бернулли, для которой n=3.

.

.

.

.

Итак, закон распределения имеет вид
Х

0

1

2

3
Р

0,064

0,288

0,432

0,216


Определим числовые характеристики случайной величины.

M[X]=0,288+0,864+0,648=1,8

D[X]= M[X2] – (M[X])2=1·0,288+4·0,432+9·0,216 – 3,24=0,72.

.

Биномиальный закон распределения


дискретной случайной величины
Закон распределения дискретной случайной величины Х, которая может принимать n+1 значение 0,1,2,…,n, описываемый формулой Бернулли , называется биномиальным. Запишем биномиальный закон в виде таблицы
Х

0

1

2


n
Р









pn


Определим числовые характеристики биномиального распределения. Пусть Х – число появлений события А в n испытаниях. Если обозначим через Xk – число появлений события А в k-ом испытании, то .

Закон распределения случайной величины Xk имеет вид

Xk

0

1
Р

q
P


Легко видеть, что M[Xk]=p, D[Xk]=pq.

Тогда для случайной величины Х

.

.

.

Закон распределения Пуассона


дискретной случайной величины

Этот закон определяется формулой Пуассона


, где ?=np.

Случайная величина Х – число появлений события А в n испытаниях при большом n и малой вероятности р имеет распределение Пуассона
Х

0

1

2


n
Р













Можно показать, что для распределения Пуассона


M[X]= D[X]=?=np.

Функция распределения


непрерывной случайной величины.

Плотность распределения
Рассмотрим непрерывную случайную величину Х, заданную а некотором интервале (а, b). Закон распределения вероятностей для такой величины должен позволять находить вероятность попадания ее значения в любой интервал (х1, х2).

Функция распределения непрерывной случайной величины Х называют функцию F(x), определяющую для каждого значения вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х, т.е. .

Функция распределения обладает следующими свойствами:

  1. Как любая вероятность .

  2. F(x) – неубывающая функция, т.е. если х1< х2, то F(x1)? F(x2).

  3. .

  4. Р(Х= x1)=0.

  5. Если все возможные значения случайной величины Х находятся на интервале (а, b), то F(x)=0 при х?а и F(x)=1 при .

  6. , .


Плотностью распределения непрерывной случайной величины Х называют производную от функции распределения: .

Плотность распределения непрерывной случайной величины Х обладает свойствами:

  1. f(x)?0.

  2. .

  3. Зная плотность распределения, можно найти функцию распределения случайной величины .

  4. .


Примеры. 1. Случайная величина Х задана функцией распределения



Найти плотность распределения этой случайной величины и вероятность попадания ее в интервал (1; 2,5).

По определению




Требуемая вероятность будет

.

2. Дана плотность распределения непрерывной случайной величины Х:



Найти функцию распределения этой величины.

Воспользуемся формулой .


Если х?1, то f(x)=0, следовательно, .

Если 1<x?2, то

.

Если х>2, то

.

Итак, искомая функция распределения имеет вид



3. Составить функцию распределения F(x) дискретной случайной величины Х с законом распределения:
Х

2

4

7
Р

0,5

0,2

0,3


Если х?2, то F(x)=0, так как значений меньших 2 величина Х не принимает. Поэтому при х?2 F(x)=Р(Х<x)=0.

Если 2<x?4, то F(x)=0,5, так как Х может принимать значение 2 с вероятностью 0,5.

Если 4<x?7, то F(x)= Р(Х<x)= Р(Х=2)+ Р(Х=4)=0,5+0,2=0,7 (по теореме сложения вероятностей несовместных событий).

Если х>7, то F(x)=1, так как событие Х?7 достоверное.

Итак, искомая функция распределения имеет вид



Числовые характеристики


непрерывной случайной величины
Аналогично тому, как это было сделано для дискретной случайной величины, определим числовые характеристики непрерывной случайной величины Х с плотностью распределения f(x).

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х с плотностью распределения f(x) называется выражение

.

Если случайная величина Х может принимать значения только на конечном отрезке [a, b], то .

Дисперсия непрерывной случайной величины Х вычисляется согласно равенству:

,

или

.

Все свойства математического ожидания и дисперсии, указанные для дискретных величин, сохраняются и для непрерывных величин

Среднеквадратичным отклонением случайной величины Х называется число, равное корню квадратному из дисперсии:

.

Значение случайной величины Х, при котором плотность распределения f(x) имеет наибольшее значение называется модой М0[X].

Медианой Ме[X] непрерывной случайной величины Х, называют ее значение, определяемой равенством



или

.

Пример. Случайная величина Х задана плотностью распределения



Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение величины Х.

Воспользуемся отношениями:

.

.

.

.

Закон равномерного распределения вероятностей


непрерывной случайной величины
Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение вероятностей, если ее плотность распределения отображается так:



Найдем значение с. По свойству плотностей распределения получаем

,

следовательно, и



Так как , то промежуток [a, b], на котором имеет место равномерное распределение, обязательно конечен.

Определим вероятность того, что случайная величина Х примет значение, заключенное в интервале (?, ?).

.

Итак, искомая вероятность

,

т.е. вероятность попадания Х в интервал зависит только от длины этого интервала и не зависит от значений величины Х. При равномерном распределении случайной величины Х вероятности попадания Х в промежутки равной длины одинаковы.

Найдем функцию распределения .


Если х<a, то f(x)=0 и, следовательно, .

Если а?x?b, то и, следовательно,

.

Если х>b, то f(x)=0 и, следовательно,

.

Таким образом,



Пример. Интервал движения автобуса равен 20 минутам. Найти вероятность того, что пассажир будет ожидать автобус менее 5 минут.

Пусть случайная величина Х – время прихода пассажира на станцию после отправления очередного автобуса 0<X<20. Х имеет равномерное распределение, так как вероятность прихода, например, в пятую минуту, равна вероятности прихода в восьмую. В задаче требуется найти вероятность того, что случайная величина Х примет значение из интервала (15, 20).

.

Числовые характеристики


равномерного распределения
Для случайной величины Х, имеющей равномерное распределение, плотность распределения отображается формулой



Тогда по определению математического ожидания

.

.

Дисперсия равномерно распределенной случайной величины будет



.

Итак,

, =, .

Нормальный закон распределения


непрерывной случайной величины
Изучение различных явлений показывает, многие случайные величины, например, такие, как погрешности при измерениях, величина износа деталей во многих механизмах и т.д., имеет плотность распределения вероятности, которая отображается формулой

,

где а и ? – параметры распределения. В этом случае говорят, что случайная величина Х подчинена нормальному закону распределения. Кривая нормального распределения изображена на рисунке.

В дальнейшем нам потребуется интеграл Пуассона


.

Используя этот интеграл несложно заметить, что функция распределения f(x) удовлетворяет основному соотношению

.

Действительно, обозначив , можно написать

.

Числовые характеристики


нормального распределения
Определим математическое ожидание случайной величины с нормальным законом распределения

.

.

Выполнив замену переменной , получаем



.

Итак, М[X]=a. Значение параметра а в формуле, определяющей плотность распределения вероятности, равно математическому ожиданию рассматриваемой случайной величины. Точка х=а является центром распределения вероятностей, или центром рассеивания.

Найдем


.

Выполнив ту же замену переменной, будем иметь



.

Проинтегрировав по частям последний интеграл: u=t, , получим

.

Так как по правилу Лопиталя , то

.

Поэтому дисперсия нормального распределения случайной величины будет

.

Итак, M[X]=a, D[X]=?2, ?[X]= ?.


Функция Лапласа.

Функция распределения случайной величины Х,

имеющей нормальное распределение
В дальнейшем будем использовать функцию Лапласа, определяемую равенством

.

Составлены подробные таблицы значений этой функции.

Укажем некоторые свойства функции Ф(х).

  1. Ф(х) определена при всех значениях х.

  2. Ф(0)=0.

3. .

4. .

  1. Ф(х) монотонно возрастает при всех .

  2. Ф(х) – функция нечетная: Ф(-х)= - Ф(х).

Определим функцию распределения случайной величины Х, имеющей нормальное распределение.

.

Обозначив получим



.

Итак, функция распределения случайной величины Х имеет вид

.


Вероятность попадания в заданный интервал случайной величины Х,

имеющей нормальное распределение


Используя функцию распределения случайной величины Х, вычислим вероятность попадания ее значений в интервал (?, ?).



.

Таким образом, .

Пример. Плотность распределения вероятностей случайной величины Х имеет вид . Найти: ?, M[X], D[X], F(x), .

Случайная величина Х имеет нормальное распределение. Поэтому приведем плотность распределения f(x) к виду

.

Выделим в показателе заданной функции полный квадрат

.

Следовательно,

.

Сравним

.

Из последнего равенства получаем

.

, т.е. .

, .

.





.

В последнем равенстве при вычислении и использованы таблицы значений функции Ф(х).

Итак: , , , , .


Литература





  1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М., 1969.

  2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М., 1972.

  3. Румшиский Л.З. Элементы теории вероятностей. М., 1970.

  4. Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики. М., 1982.

  5. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. М., 1982.

  6. Гмурман В.Е. Руководство по решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М., 1975.

  7. Математическая статистика: Учебник / Иванова В.М., Калинина В.Н., Нешумова Л.А. и др. М., 1981.

  8. Фельдман Л.П. Чисельнi методи в iнформатицi. К., 2006.

  9. Мармоза А.I. Практикум з математичноi статистики. К., 2004.

  10. Смирнов Н.В., Дунин-Барковский И.В. Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений. М., 1965.


Учебный материал
© bib.convdocs.org
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации