Степанов А.П. Расчет и исследование линейных электрических цепей - файл n4.doc

Степанов А.П. Расчет и исследование линейных электрических цепей
скачать (2078.5 kb.)
Доступные файлы (4):
n1.doc8661kb.27.11.2003 17:10скачать
n2.doc27kb.16.02.2005 12:48скачать
n3.docскачать
n4.doc12847kb.27.11.2003 19:04скачать

n4.doc

  1   2   3   4   5   6   7   8
Пример 4.

Можно ли построить векторные диаграммы для несинусоидальных напряжений и токов?

Решение.

Указанные диаграммы можно построить только для каждой гармоники в отдельности.

Складывать (вычитать) между собой векторы на комплексной плоскости, полученные для разных частот (гармоник), нельзя, т.к. каждый из векторов вращается вокруг начала координат со своей угловой скоростью, рис. 7.14 .



Рис 7.14

8. Трехфазные электрические цепи



Трехфазную систему напряжений (э.д.с) получают с помощью синхронных генераторов, затем ее передают по трехпроводной линии.

Для передачи и дальнейшего потребления электрической энергии используются трехфазные силовые трансформаторы.

Принцип действия трехфазного генератора напряжения (или тока) основан на следующем. В статоре (неподвижная часть) генератора располагают три одинаковых обмотки ( катушки ), оси которых сдвинуты в пространстве относительно друг друга на 120o , при вращении ротора (представляет собой постоянный магнит при пропускании по катушке ротора постоянного тока) с угловой скоростью в обмотках статора ( А, В и С ) наводятся э.д.с. с фазовым сдвигом в 120o :


,

,

,

(8.1)







здесь Em - амплитудное значение э.д.с. во всех трех обмотках А, В и С ( или фазах А, В и С ), т.к. катушки одинаковы и зазор между статором и ротором один и тот же;

Если к обмоткам (фазам) генератора подключить равные по величине сопротивления, то по ним потекут токи, образующие симметричную трехфазную систему:


,




,

(8.2)

,





где Im - амплитудное значение тока;

? - фазовый сдвиг между э.д.с. (напряжением) и током соответствующей обмотки (фазы).

В комплексной форме записи трехфазные системы э.д.с., напряжения и тока можно записать, согласно (8.1) и (8.2) :



,


,




,

,

(8.3)

,

,




, , .

(8.4)


здесь Uф = Eф = , Iф = - действующие значения фазного на-

пряжения ( э.д.с.) и фазного тока.

На рис. 8.1 показана геометрическая реализация формул (8.3) и (8.4) при активно-индуктивной нагруженности фаз.

Для симметричных трехфазных систем для любого момента времени справедливы соотношения (показаны на примере для э.д.с.):


,





.

(8.5)




Рис. 8.1

8.1. Схемы соединения и соотношения в симметричных трехфазных системах напряжений и токов



Обмотки (фазы) трехфазных генераторов, трансформаторов и потребителей (например, двигателей) могут соединяться по двум основным схемам. Это - соединение обмоток в звезду (рис. 8.2) и в треугольник (рис. 8.3).



Рис. 8.2


Рис. 8.3
К началам обмоток (фаз) А, В и С подключаются линейные провода, по которым текут линейные токи A , B и C (направление токов от генератора к нагрузке).

Для звезды (рис.8.2) линейный ток совпадает с соответствующим фазным током ( Iл = Iф ). Для треугольника фазные токи не равны линейным (рис. 8.3), соотношение между ними в симметричной системе имеет вид Iл = Iф. Напряжение между линейными проводами (или между фазами) называется линейным.

Для треугольника линейные напряжения равны фазным напряжениям (Uл=Uф), рис.8.3. Для звезды соотношение между линейными и фазными напряжениями в симметричной системе будет Uл = Uф.

Для звезды (рис. 8.2) общая точка O соединения концов обмоток (X, Y и Z) называется нейтральной. Провод, подсоединенный к этой точке, называется нейтральным, и принято ток в нем N направлять от нагрузки к генератору (или трансформатору), от которого питается нагрузка. Схемы соединения обмоток (сопротивлений ) нагрузки аналогичны рассмотренным.

8.2. Расчет трехфазной электрической цепи “звезда - звезда”



Рассмотрим общую методику, которая позволяет рассчитать любой частный режим работы рассматриваемой электрической цепи Y-Y.

Схема приведена на рис. 8.4. Заданы : A= A = Eф e j0 , B = B = Еф e -j120, C = C = Eф e j120 , сопротивления линейных проводов Zл, сопротивления фаз нагрузки ZA1, ZB1, ZC1, сопротивление нейтрального провода ZN.


Рис. 8.4
Требуется найти: фазные (линейные) токи; фазные и линейные напряжения на нагрузке и генераторе; напряжение смещения нейтрали; падения напряжения в линейных проводах; построить топографическую диаграмму. Все необходимые обозначения приведены на рассматриваемой схеме.

Решение.

Согласно метода двух узлов (см. раздел 3.6.4), найдем напряжение смещения нейтрали

, (8.7)

где проводимости фаз и нейтрального провода находятся по формулам:

, , , ,

здесь сопротивления фаз:

ZA = ZA1 + Zл ,

ZB = ZB1+ Zл ,

ZC = ZC1 + Zл .

Используя обобщенный закон Ома (см. рис.1.4), найдем токи:

,




,

(8.8)

,










или

,

(8.9)



(8.10)













Найдем:

падения напряжения на фазах нагрузки

, , ;

(8.11)

падения напряжения в линейных проводах

, , ;

(8.12)

линейные напряжения на генераторе

AB = A - B , BC = B - C , CA = C - A ;

(8.13)

линейные напряжения на нагрузке

A1B1 = A1 - B1 ,




B1C1 = B1 - C1 ,

(8.14)

C1A1 = C1 - A1 .




Для построения топографической диаграммы (см. рис. 6.7) найдем потенциалы точек относительно нейтральной точки генератора, потенциал которой примем равным нулю. Тогда имеем:

= 0,

= + = ,

= + = ,

= + = ,

= - ,

= - ,

= - ,

= - .

На комплексную плоскость (в выбранном масштабе) нанесем потенциалы точек и найдем требуемые падения напряжения в виде векторов между соответствующими точками топографической диаграммы, рис.8.5. Правильность найденных (построенных) векторов напряжений легко проверить по значениям (8.7), (8.11) - (8.14). Из топографической диаграммы рисунка 8.5 следует, что при неравномерной (несимметричной) нагрузке фаз ( ZA1 ZB1 ZC1 ), при симметричной системе фазных и линейных напряжений генератора имеем на нагрузке несимметричную систему фазных и линейных напряжений (т.н. перекос фаз). Отметим, что система фазных токов также будет несимметричной. Рассмотрим несколько частных случаев для неравномерной нагрузки фаз.

а) Если сопротивлением линейных проводов можно пренебречь

(Zл = 0 и AA1 = BB1 = CC1 = 0), то на топографической диаграмме (рис.8.5) точки A и A1, B и B1, C и C1 будут совпадать, т.е. соответствующие линейные напряжения на нагрузке и на генераторе будут равны (образуют симметричную систему). Фазные напряжения на нагрузке будут несимметричны, так же, как и токи.

б) Если сопротивлением нейтрального провода можно пренебречь (ZN=0), то из приведенных выше формул можно исключить N = 0, и ток в нейтральном проводе найти по формуле (8.10) . На топографической диаграмме (рис. 8.5) точки 0 и 01 будут совпадать. Если сопротивления линейных проводов не равны нулю, то системы фазных и линейных напряжений на нагрузке будут несимметричны. Если сопротивлениями линейных проводов можно пренебречь ( Zл= 0 ), то системы фазных и линейных напряжений на нагрузке будут симметричны, рис. 8.6.

Рис. 8.5




Рис. 8.6
В последнем режиме работают большинство электрических цепей ("звезда - звезда" с нейтральным проводом). В данном режиме обеспечивается независимая работа фаз, т.е. изменение нагрузки в одной из фаз не вызывает изменения токов в двух других фазах (см. формулы ( 8.8 ) при N = 0).

в) Если отсутствует нейтральный провод (YN = 0 ), то IN = 0. Топографическая диаграмма имеет вид рис. 8.5.

При равномерной нагрузке фаз ( ZA1 = ZB1 = ZC1 или ZA = ZB = ZC) напряжение смещения нейтрали равно нулю N = 0, ток по нейтральному проводу не течет IN = 0, системы фазных и линейных напряжений на нагрузке, а также система токов образуют симметричные системы, независимо от того, есть нейтральный провод или его нет.

Действительно, в формуле (8.7) при YA=YB=YC=YФ, с учетом (8.4), числитель будет равен нулю. Тогда N = 0, независимо от значения YN и формулы (8.8), сводятся к виду

, , .

Пример.

На рис. 8.7 показана электрическая цепь, в которой необходимо определить показания амперметров, используя при этом векторные диаграммы токов и топографические диаграммы напряжений при различных положениях ключей S1, S2 и S3. При этом Uл = 220 В, r = 10 Ом.

Рис. 8.7

Решение.

На всех диаграммах векторы напряжений с индексами A, B и C относятся к генератору, а с индексами A1, B1 и C1 к нагрузке.

а) Равномерная нагрузка фаз "звезда - звезда" с нейтральным (S3 - замкнут) и без нейтрального (S3 - разомкнут) провода. Ключи S1 и S2 замкнуты. Диаграммы показаны на рис. 8.8.

Рис. 8.8
Токи в первых трех амперметрах будут равны

.

Направление токов определим по векторной диаграмме. Токи на резисторах совпадают по направлению с соответствующими падeниями напряжения. Тогда , и ток в нейтральном проводе (когда S3 замкнут) равен нулю N= 0. Показания четвертого амперметра равно нулю.

б) Обрыв линейного провода фазы A с нейтральным проводом

( S1 - разомкнут, S2 и S3 - замкнуты).Диаграммы показаны на рис. 8.9.

Показание первого амперметра равно нулю IA = 0, второго и третьего

.
Показание четвертого амперметра найдем из сложения векторов

,

откуда .

Рис. 8.9
в) Обрыв линейного провода фазы A без нейтрального провода (S1 и S3 - разомкнуты, S2 - замкнут).

Показания первого и четвертого амперметров равны нулю

IA = IN= 0.
Показания второго и третьего амперметров равны

,

т. к. нагрузки фаз B и C будут подключены последовательно к линейному напряжению UBC.

Диаграммы показаны на рис. 8.10.

г) Обрыв линейных проводов фаз A и B с нейтральным проводом ( S1 и S3 - разомкнуты, S3 - замкнут ).

Диаграммы приведены на рис. 8.11.


Рис. 8.10



Рис. 8.11
У первого и второго амперметров нулевые показания

IA = IB = 0.

Третий и четвертый амперметры покажут ток

.

Отметим, что из рассмотренных диаграмм можно легко определить напряжения на нагрузке.

8.3. Расчет трехфазной электрической цепи

"треугольник – треугольник"



Расчет электрической цепи ?–? сводится к преобразованию исходной электрической схемы к схеме Y-Y без нейтрального провода. Разберем общий случай расчета, когда нагрузка неравномерная (ZA1B1 ZB1C1 ZC1A1) и сопротивлениями линейных проводов нельзя пренебречь (Zл 0). Все остальные режимы работы можно рассчитать как частный случаи рассмотренного.

Заданы :

- линейное напряжение на генераторе Uл ;

- фазные сопротивления нагрузки ZA1B1, ZB1C1, ZC1A1;

- сопротивления линейных проводов Zл .

Требуется найти :

- линейные A1, B1, С1 токи;

- фазные A1B1, B1C1, C1A1 токи;

- напряжения на фазах нагрузки A1B1, B1C1, C1A1;

-падения напряжения в линейных проводах Uл,A, Uл,B, Uл,C ,

а также построить топографическую диаграмму.

На рис. 8.12 показана исходная схема (схема генератора не приводится).


Рис. 8.12
Порядок расчета.

Преобразуем треугольник сопротивлений нагрузки в эквивалентную звезду, рис. 8.13. Формулы преобразования имеют вид

, , ,

где Z = ZA1B1 + ZB1C1 + ZC1A1.

Рис. 8.13
В исходной схеме (рис.8.12) заменим треугольник сопротивлений на эквивалентную звезду, cхема которой приведена на рисунке 8.13. Преобразованная схема показана на рис. 8.14.


Рис. 8.14

Преобразование ? генератора в эквивалентную Y производится по формулам:

, , , .

Расчет схемы Y-Y без нейтрального провода (рис. 8.14) подробно рассмотрен в разделе 8.2. Отметим, что в результате расчета найдем последовательно:

N, A, B, C, A1, B1, C1,A1B1, B1C1, C1A1, Л,A, Л,B, Л,C.

Так как преобразованные схемы эквивалентны, то соответствующие линейные напряжения на нагрузке схем 8.12 и 8.14 одинаковы, поэтому фазные токи на нагрузке можно найти по формулам:

, , .

Проверим найденные токи по первому закону Кирхгофа:

A = A1B1 - C1A1 ,

B = B1C1 - A1B1 ,

C = C1A1 - B1C1 ,

A + B + C = 0.







Сумма линейных напряжений на нагрузке должна равняться нулю (второй закон Кирхгофа): A1B1 + B1C1 + C1A1 = 0.

Общая проверка расчета производится по балансу мощностей, см. раздел 3.5.

Схема рис. 8.12 обеспечивает независимую работу фаз в случае, когда сопротивлениями линейных проводов можно пренебречь.

При равномерной нагрузке фаз линейные и фазные токи и напряжения образуют симметричные трехфазные системы. На рис. 8.15 показана векторная диаграмма токов в случае равномерной нагрузки фаз.


Рис. 8.15

Пример. Задана электрическая цепь (рис. 8.16), даны величины:

Eф = 220B ; ZЛ = 3 + j4 = 5 e j53,1 Ом;

Z1 = 8 + j10 = 12,81 e j51,3 Ом;

Z2 = 12 - j6 = 13,42 e -j26,6 Ом;

Z3 = 15 + j10 = 18,03 e j33,7 Ом;

Z4 = 30 + j40 = 50 e j53,1 Ом;

Z5 = 20 - j30 = 36,06 e -j56,3 Ом.

Найти : все токи и падения напряжения, проверить расчет по балансу мощностей, построить топографическую диаграмму и векторную диаграмму токов.

Рис. 8.16
Решение.

1. Преобразуем исходную схему к схеме Y-Y без нулевого провода. Сделаем последовательные преобразования сопротивлений нагрузки, рис. 8.17

Заменим звезду (Z1, Z2, Z3) на эквивалентный треугольник, рис. 8.18:

= 29,41 +j2,52 Ом;

= 40,54 - j9,17 Ом;

= 16,67 + j36 Ом. .



Рис. 8.17 Рис. 8.18
Найдем сопротивления сторон треугольника (см. рис. 8.18 и рис. 8.19):

= 18,67 + j7,71 Ом; = 16,78 - j12,26 Ом;

ZC1A1 = Z13 = 16,67 + j36 Ом.


Рис.8.19 Рис. 8.20
Треугольник сопротивлений (рис.8.19) преобразуем в эквивалентную звезду, рис. 8.20:

= 7,27 + j10,98 Ом;

= 4,89 - j4,86 Ом;

= 13,53 - j0,5 Ом,
где Z = ZA1B1 + ZB1C1 + ZC1A1.
С учетом последнего преобразования исходная схема - (рис.8.16) преобразуется к схеме Y-Y без нулевого провода, рис.8.21.

Рис. 8.21
2. Расчет схемы рисунка 8.21 сводится к следующему (все обозначения токов и падений напряжения показаны на рисунке):

N = o = = -30,9 - j140,2 В,

здесь YA = = 0,03113 - j0,04541 = 0,0551 e j55,6 См;

YB = = 0,12525 + j0,013565 = 0,126 e j6,2 См;

YC = = 0,0579 - j0,01226 = 0,0592 e -j12 См;

A = 220 e j0 В; B = 220 e -j120 В; C = 220 e j120 В;

A = (A - N) Y A= 12,38 - j7,30 = 14,37 e -j30,5 А;

B = (B - N) YB = -10,66 - j11,29 = 15,53 e j226,6 А;

C = (C - N) YC = -1,72 + j18,59 = 18,67 e j95,3 А.

Проверка : A + B + C = 0 .

A1 = ZA1 A = 170,16 + j82,86 В;

B1 = ZB1 B = -107 - j3,4 В;

C1 = ZC1 C = -13,98 + j252,38 В;

A1B1 = A1 - B1 = 277,16 + j86,26 В;

B1C1 = B1 - C1 = -93,02 - j255,78 В;

л,A = Zл A = 66,34 + j27,62 В;

л,B = Zл B = 13,18 - j76,51 В;

л,C = Zл C = -79,52 + j48,89 В.

3. Найдем оставшиеся токи в исходной схеме, рис.8.16:

4 = = 4,71 - j3,4 = 5,81 e - j35,8 А;

5 = = 4,47 - j6,08 = 7,55 e -j53,7 А;

1 = A - 4 = 7,67 - j3,9 = 8,6 e - j27 А;

2 = B + 4 - 5 = -10,42 -j8,61 = 13,52 e j219,6 А;

3 = C + 5 = 2,75 + j12,51 = 12,81 e j77,6 А;

Проверка : 1 + 2 + 3 = 0 .

4. Расчет проверим по балансу мощностей:

и = A I*A+ B I*B + C I*C = 9779 + j4113 ВА;
н = Z1 I12+ Z2 I22+ Z3 I32 + Z4 I42 + Z5 I5 2 +Zл( IA2+ IB2+ IC2 )=

=9792 + j4106 ВА.

Относительные ошибки не превышают 5%. Расчет выполнен правильно.

5. Построим топографическую диаграмму для исходной схемы (рис.8.16). Заземлим нейтральную точку генератора "О" и найдем потенциалы оставшихся точек:

0 = 0;

A = 0 + A = A = 220 + j0 = 220 e j0 В;

B = 0 + B = B = -110 - j190,5 = 220 e -j120 В;

C = 0 + C = C = -110 + j190,5 = 220 e j120 В;

A1 = - Zл A = 153,66 - j27,62 В;

B1 = B - Zл B = -123,18 - j113,99 В;

C1 = C - Zл C = -30,48 + j141,61 В;

O1 = A1 - Z1 1 = 53,3 - j73,12 В.
Выберем на комплексной плоскости масштаб (одинаковый по двум осям) и нанесем потенциалы точек. Соединив точки прямыми, и придав им нужное направление (см. рис. 3.6.7), получим соответствующие падения напряжения, рис.8.22.


Рис. 8.22


Рис. 8.23
Выберем масштаб для тока и построим векторную диаграмму токов, рис.8.23.

8.4.Пульсирующее и вращающееся магнитное поле



При пропускании синусоидального тока через катушку индуктивности образуется пульсирующее магнитное поле. Вектор индукции магнитного поля будет направлен вдоль оси катушки, при этом модуль вектора изменяется по синусоидальному закону.

Если взять три одинаковые катушки индуктивности, разместить их в пространстве так, чтобы их оси были сдвинуты относительно друг друга на 120 градусов, и пропустить по катушкам трехфазную систему тока, то результирующий вектор магнитной индукции (от трех катушек) будет вращаться с частотой питающей сети, рис. 8.2:
= а + в + с .
Такое магнитное поле называется вращающим.


Рис. 8.24

Если, например, по катушке "В" пропустить ток ic , а по катушке "С" пропустить ток iв , то направление вращения вектора магнитной индукции изменится на противоположное.

Вращающееся магнитное поле используется в электрических двигателях. Для создания вращающегося поля необходим сдвиг катушек в пространстве и сдвиг токов по фазе (во времени), текущих по катушкам.

9. Метод симметричных составляющих

9.1. Разложение несимметричной трехфазной системы на три симметричные составляющие



Любую несимметричную трехфазную систему напряжений, токов, магнитных потоков и т.д. можно разложить на три симметричные системы: прямой, обратной и нулевой последовательности (чередования) фаз, рис. 9.1.


а) б) в)

Рис. 9.1

Для рассматриваемых последовательностей фаз справедливы следующие соотношения (для примера будем рассматривать систему фазных напряжений).

Прямая последовательность фаз, рис. 9.1а:

B1 = A1 e -j120 = A1 a2; (9.1)

C1 = A1 e j120 = A1 a . (9.2)

Обратная последовательность фаз, рис. 9.1б:

B2 = A2 e j120 = A2 a ; (9.3)

C2 = A2 e -j120 = A2 а2. (9.4)

Нулевая последовательность фаз, рис. 9.1в:

AO = BO = CO = O . (9.5)

В приведенных выше формулах a =e j120 , a 2 = e j240 = e -j120 .

Отметим, что для оператора a справедливо соотношение

1 + a + a 2 = 0, (9.6)

где 1= a3= e j360 = e j0 .

Разложим несимметричную систему напряжений A, B и С на три симметричные системы. Согласно начальной посылке, каждый вектор исходной несимметричной системы может быть представлен в виде суммы трех векторов симметричных систем:

A = A1 + A2 + AO, (9.7)

B = B1 + B2 + BO, (9.8)

C = C1 + C2 + CO . (9.9)

Решим полученную систему относительно A1, A2 и AO. Используя формулы (9.1) - (9.5), сделаем замены переменных в двух уравнениях (9.8) и (9.9). Тогда получим систему с тремя неизвестными:

A = A1 + A2 + AO, (9.10)

B = a 2 A1 + a A2 + AO, (9.11)

C = a A1 + a 2A2 + AO . (9.12)

Найдем вектор A1 системы прямой последовательности фаз.

Умножим уравнения (9.11) на a и (9.12) на a2, затем сложим полученные уравнения с уравнением (9.10) . С учетом соотношения (9.6) получим

A1 = 1/3 (A + a B + a 2 C) . (9.13)

Напряжения A2 и обратной и нулевой последовательности фаз находятся аналогично:

A2 = 1/3 (A + a 2 B + a C) , (9.14)

AO = 1/3 (A + B + C). (9.15)

Оставшиеся векторы прямой, обратной и нулевой последовательностей фаз определим по формулам (9.1) - (9.5). В приведенных формулах вместо фазных напряжений можно подставить линейные напряжения или токи, потоки и т. д.

Рассмотрим пример разложения несимметричной системы фазных напряжений:

A = 240 e j30 В, B = 200 e -j130 В, C = 280 e j100 В.

Согласно формул (9.13) - (9.15), имеем:

A1 = 1/3 (240 e j30 + e j120 200 e -j130 + e -j120 280 e j100 ) =
= 1/3 (240 e j30 + 200 e -j10 + 280 e -j20 ) = 222,6 - j3,5 = 223 e j1 В;
A2 = 1/3 (240 e j30 + e -j120 200 e -j130 + e j120 280 e j100 ) =
= 1/3 (240 e j30 + 200 e -j250 + 280 e j220 ) = -25 + j43 = 50 e j120 В;
AO = 1/3 (240 e j30 + 200 e -j130 + 280 e j100 ) = 10,23 + j80,85 = 81,5 e j83 В.
Достроим симметричные системы по формулам (9.1) - (9.5):

B1 = 223 e j1 e -j120= 223 e -j119 В;

C1 = 223 e j1 e j120 = 223 e j121 В;

B2 = 50 e j120 e j120 = 50 e j240 В;

C2 = 50 e j120 e -j120 = 50 e j0 В;

BO = CO = AO = 81,5 e j83 В.

На рис. 9.2 показаны несимметричная система фазных напряжений и ee три симметричных составляющих.


Рис.9.2




Рис. 9.3
На рис. 9.3 показана проверка правильности разложения на симметричные составляющие для фазы А: A = A1 + A2 + AO.

Формулы (9.13) - (9.15) можно реализовать графически, путем поворота исходных векторов на 120є по часовой стрелке (в отрицательном направлении) или против часовой стрелки (в положительном направлении) и их сложения. Далее от полученной суммы берем третью часть.


  1   2   3   4   5   6   7   8


Учебный материал
© bib.convdocs.org
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации