Курочкин В.М., Малакеева К.В. Вычислительная математика - файл n1.doc

Курочкин В.М., Малакеева К.В. Вычислительная математика
скачать (399.5 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc400kb.21.10.2012 09:58скачать

n1.doc

  1   2


МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕХНОЛОГИЙ И УПРАВЛЕНИЯ

(образован в 1953 году)

Кафедра физики и высшей математики




Дистанционное

обучение

Физ.мат.-9.22.2202 зчн.скр.

Физ.мат.-9.22.2202 очн.плн.

Физ.мат.-9.22.2202 зчн.плн.




В.М. Курочкин, К.В. Малакеева



ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА




Учебно-практическое пособие для студентов специальности 2202

всех форм обучения


www.msta.ru



Москва-2004 4112




УДК 519.6

 Курочкин В.М., Малакеева К.В. Вычислительная математика. Учебное пособие. М. МГУТУ 2004г.
Данное пособие предназначено для студентов, обучающихся по специальности 2202 заочного и дистанционного отделения МГУТУ. при полном соответствии программе курса акцент сделан на сообщении студентам сведений, необходимых для практического применения математического аппарата в профессиональной деятельности. Приведены необходимые графические иллюстрации и примеры решения типовых задач. По всем разделам приведены тесты, контрольные вопросы и вопросы для самопроверки, помогающие студентам самостоятельно контролировать усвоенные знания.


Пособие предназначено для студентов III курса специальности 2202 всех форм обучения.


Авторы: Курочкин В.М., Малакеева К.В.
Рецензенты: доц. МОИУП, к.ф-м.н Кожевникова Т. С.,

доц. НИГУРА, к.т.н. Попов В. В.

Редактор: Свешникова Н.И.










Московский государственный университет технологий и управления, 2004

109004, Москва, Земляной вал, 73

Содержание







      Памятка: организация самостоятельной работы студентов

      4



      Цели и задачи дисциплины

      7

      1

      Введение

      8

      2

      Общая и принципиальная схема решения задач естествознания на примере задач механики сплошной среды

      9

      2.1.

      Проблемно-мировоззренческие аспекты

      9

      2.2.

      Выбор расчётной схемы

      11

      2.3.

      Выбор расчётной модели

      12

      2.4.

      Дискретизация задачи

      12

      2.5.

      Сведение решения задачи к решению систем линейных алгебраических уравнений

      13

      2.6.

      Несколько слов о методе исключения Гаусса

      14

      2.7.

      Схема постановки и решения задач естествознания с помощью математических методов

      15



      Контрольные вопросы

      15



      Тест №1

      16

      3

      Об ошибках и погрешностях

      17

      3.1.

      Абсолютная и относительная погрешности

      17

      3.2.

      Погрешности округления и ограничения

      18

      3.3.

      Об увеличении точности счёта

      20

      3.4.

      Дополнительные сведения о методе Гаусса

      23

      3.5.

      О равномерной и неравномерной сходимостях

      24

      3.6.

      Замечания о коэффициентах безопасности

      26



      Контрольные вопросы.

      26



      Тест №2

      27



      Список рекомендуемой литературы

      27



      Вопросы для самоконтроля

      28



      Основные термины

      28



      Итоговый тест

      29



      Ответы к тестам

      31

    Памятка: организация самостоятельной работы студентов

При любой форме обучения самостоятельная работа студентов с методическими и учебными материалами занимает значительное место в образовательном процессе. Поэтому на всем протяжении подготовки раци­ональное планирование и правильная организация самостоятельной рабо­ты имеют определяющее значение для успешного выполнения студентами учебного плана, соблюдения требований государственного образователь­ного стандарта:

1. изучение дисциплин, предусмотренных учебным графиком, по учебникам, учебным пособиям и другой рекомендуемой литературе;

2. выполнение контрольных работ, позволяющих студенту обоб­щить изученный учебный материал, систематизировать полученные зна­ния и приложить их к решению практических вопросов, охватываемых конкретной дисциплиной;

3. выполнение курсовых проектов (работ).

Руководящими документами, используемыми при изучении каждой дисциплины, служат учебная программа и методические указания, ко­торые составляются с таким расчетом, чтобы помочь студенту организо­вать свою самостоятельную работу и облегчить ему усвоение учебных курсов.

Студент постоянно должен помнить, что весь указанный в программе материал подлежит тщательному изучению.

Приступая к изучению каждого нового раздела курса, прежде всего, следует ознакомиться с содержанием темы по программе и методическим указаниям, уяснить объем темы и последовательность рассматриваемых в ней вопросов.

Когда ознакомительный этап работы завершен, можно приступать к непосредственному изучению материала учебника, учебного пособия или иного источника, рекомендованного в программе и методических указани­ях.

Читать учебник следует вдумчиво, внимательно, не торопясь, небо­льшими частями, не пропуская текста, стараясь понять смысл каждой фразы.

Книга в сочетании с последующими лабораторно-практическими и семинарскими занятиями является одним из основных источников знаний, приобретаемых студентом. Материал книги должен изучаться в последовательности, рекомендуемой методическими указаниями.

Регулярная работа с книгой помогает выработать умение быстро и, вместе с тем, хорошо усваивать и прочно запоминать прочитанное.

Учебник надо изучать, а не просто читать. Над книгой необходимо работать серьезно и напряженно. Особенно сосредоточиться следует на непонятных местах в целях их преодоления.

Поверхностный просмотр учебного материала с целью подбора ответов на контрольные вопросы и задачи не дает знаний. Поэтому рекомендуемая учебная литература должна быть изучена глубоко, и ясно понято ее содер­жание.

На каждый день надо намечать для изучения определенное количест­во разделов и параграфов учебника. Рекомендуется сначала прочитать весь намеченный раздел, чтобы получить общее представление о его содержа­нии, а затем снова перечитывать материал по отдельным абзацам, вдумы­ваясь в каждую фразу.

При работе над книгой студенту необходимо научиться выделять в тексте главное, разбираться в закономерностях, выводах формул. При чтении книги нужно внимательно рассматривать имеющийся в учебнике иллюстративный материал: чертежи, схемы, рисунки, диаграммы. Встре­чая в учебнике описания опытов, нет нужды запоминать все детали их, а следует понять и усвоить главное, т.е. поставленные цели и полученные результаты по каждому конкретному опыту.

Математические выводы и преобразования следует переносить в ко­нспект в полном объеме (без сокращений), чтобы прочнее запомнить (а по прошествии времени для себя восстановить) подробный ход рассуждений и последовательность действий.

Важную роль играет техника составления конспекта: целесообразно вести его в тетради на одной стороне развернутого листа, оставляя поля для того, чтобы при работе с дополнительной литературой можно было записывать добавочные сведения по изучаемому вопросу на свободном месте, а не на отдельных листах. В конспекте следует выделять заголовки (подзаголовки), абзацы, подчеркивать наиболее важные места. Все это поз­воляет лучше ориентироваться в материале.

Закончив изучение темы, прежде чем переходить к следующей, сле­дует ответить на вопросы, помещенные по данной теме в методических указаниях и предназначенные для самопроверки приобретенных знаний. Подготовка ответов на контрольные вопросы (в устной или письменной форме) позволяет глубже продумать прочитанный материал, закрепить его в памяти, выявить пробелы и неясности, образовавшиеся при изучении те­мы. Забытые места, обнаружившиеся в процессе самоконтроля, нужно вос­полнить по книге или по записям в конспекте. В завершение, новый мате­риал по теме необходимо увязать с ранее изученным по другим темам.

Когда будет изучена определенная, указанная в программе часть курса, можно приступить к выполнению соответствующей контрольной работы.

Понятно, что прохождение курса без отрыва от работы сопряжено с известными трудностями и требует от студента большой организованнос­ти, настойчивости и силы воли. Все трудности, как показывает практика, вполне могут быть преодолены, если только учеба будет вестись плано­мерно и систематически.

Успешное выполнение учебного плана зависит от умения планиро­вать свой рабочий день, от того, как тесно студент связан со своим факультетом. Главное для заочника - систематические упорные занятия, настойчивость. Занятия урывками губительно отражаются на выполнении учебного графика. Недопустима работа «авралами», когда студент упущен­ное за многие месяцы пытается в считанные дни наверстать перед экзаме­нами.

Учебный график, получаемый на факультете (в филиале), составлен таким образом, чтобы ко времени начала лабораторно-экзаменационной сессии студент изучил требуемый набор дисциплин. Естественно, в графике нельзя учесть всего разнообразия индивидуальных особенностей и ус­ловий работы каждого студента (его подготовку, производственные и бы­товые условия, обеспеченность аудио-, видео- и компьютерной техникой). Поэтому студент в индивидуальном порядке с учетом своих возможностей разрабатывает собственный график самостоятельной учебной работы, це­лесообразно спланировав в нем последовательность изучения дисциплин. График составляется таким образом, чтобы в течение учебного года в ус­тановленные сроки сдать все экзамены и зачеты, предусмотренные учеб­ным планом.

На самостоятельные учебные занятия желательно отводить ежеднев­но 3-4 часа времени, чередуя работу с литературными (аудио-, видео- и другими электронными) учебными источниками с выполнением графичес­ких и контрольных заданий. К каждому занятию необходимо заранее гото­виться: подбирать учебно-методические и учебные материалы, рекоменду­емые по конкретным дисциплинам учебного графика.

Самостоятельные занятия надо организовать, чтобы ничто не мешало и не отвлекало внимания.

Если дома необходимые условия отсутствуют, надо заниматься в специально приспособленных помещениях вуза, его филиалов, представи­тельств, тьюторских пунктов (где можно, кроме того, своевременно полу­чить квалифицированные консультации), а также в читальных залах при библиотеках.

Немаловажным фактором, способствующим успешному завершению образовательного процесса, является самодисциплина студента, которую необходимо выработать в себе в период занятий. Следует заниматься ре­гулярно, по возможности не пропуская ни одного дня. Один пропущенный день в неделю составляет 50 вечеров в год, т.е. два полных учебных меся­ца, поэтому во избежание затягивания обучения на слишком длительный срок следует сконцентрировать на нем все свое внимание, не отвлекаясь и, не «размениваясь на мелочи».

В процессе работы над предметом студент должен проверять по учебной программе, что им уже пройдено, какие разделы хорошо усвоены, а какие требуют повторения. Если студент чувствует, что он пока не может правильно сформулировать ответ, объяснить то или иное явление, привести в подтверждение закона (вывода) пример из производственной практи­ки или окружающей жизни, то следует еще раз обратиться к учебнику, по­вторить материал, продумать содержание прочитанного, подобрать собственные примеры для иллюстрации изученных положений.

Совершенно необходимо прибегать к повторному просмотру прора­ботанного материала при наличии длительных перерывов в занятиях по данной дисциплине.

Цели и задачи дисциплины
Иметь представление:

знать - основные понятия, методы, алгоритмы вычислительной математики; идеологию составителя вычислительных алгоритмов.

Уметь – применять полученные знания для решения инженерных задач.

Приобрести – навыки составления блок-схем алгоритмов, проводить анализ их вычислительных возможностей.

  1. Введение


Понятие «вычислительная математика» нельзя считать установившимся. Поначалу так называлось любое применение математических методов к решению задач естествознания. Позднее под этим термином подразумевалось изучение вопросов применения численных методов и созданных на их основе алгоритмов решения достаточно общих задач, теперь же под данным термином скорее понимается часть информатики, относящаяся к вопросам реализации численных методов на ЭВМ и методологии применения ЭВМ для решения тех или иных задач, стоящих перед человеком практически во всех областях его деятельности.

Таким образом, современная вычислительная математика призвана помочь изучению математических моделей окружающей нас действительности как для того, чтобы изучить эти явле­ния, так и для того, чтобы разработать методы управления ими.

Видно, что перед вычислительной математикой стоят гло­бальные проблемы.

Первая. Одних только математических моделей различают несколько типов. Во-первых, определяемых прямой задачей, то есть требуется по локальным законам, действующим внут­ри системы, определить поведение не только всей сложной исследуемой системы, но и её отдельных частей. Во-вторых, так называемая, обратная задача, или математическая диаг­ностика - нужно описать математическую модель исследуемого объекта, недоступного для прямого изучения (техническая и медицинская диагностики, биологические и физиологические процессы, задачи астрофизики, создания искусственного интеллекта и т.п.). В-третьих, модели информационных и управляющих систем с заранее поставленными целями. Для того, чтобы получить возможность исследования таких моделей необходи­мо не только уметь использовать на ЭВМ различные матема­тические методы (решение систем линейных алгебраических уравнений, приближённое вычисление интегралов и производ­ных, численные методы решения обыкновенных и с частными производными дифференциальных уравнений, а также интегро-дифференциальных уравнений, методы решения оптимизационных задач и т.д.), что уже непросто и само по себе, но и учитывать дополнительную, в том числе и часто неопреде­лённую информацию, характерную для многих жизненно важных процессов,

Вторая проблема связана как с расширением круга пользователей ЭВМ, так и с созданием ЭВМ новых поколений. В настоящее время большинство пользователей практически незнакомо с численными методами. Это предъявляет соответствующие требования к алгоритмам и программам решения даже типовых задач. Созданы как универсальные алгоритмические языки, так и проблемно ориентированные (для определённого круга пользователей). Создание ЭВМ с большим быстродействием и оперативной памятью привело к новым требованиям к устройствам вво­да-вывода информации. Это наряду с возникшим, особенно при реализации автоматизированных систем управления, требованием одновременного участия в работе на ЭВМ бо­льшого числа пользователей, привело к развитию системного программирования.

Большинство из перечисленных проблем и задач изучается студентами специальности 2202 в дисциплинах кафедры «методы обработки результатов экспериментальных данных», «линейная алгебра», «математический анализ», «методы оптимизации», а также в дисциплинах выпускающей кафедры «информатика», «вычислительная техника» и другие.

Программа дисциплины «Вычислительная математика» построена в полном соответствии с государственным образовательным стандартом. В ней отражены основные вопросы применения вычислительной математики к решению практических задач, о чём, как свидетельствует практика общения со студентами, даже студенты, имеющие опыт работы с персональными компьютерами, обычно не имеют ни малейшего представления.


    2. Общая и принципиальная схема решения задач естествознания на примере задач механики сплошной среды




    1. Проблемно-мировоззренческие аспекты


Этот раздел пособия поможет Вам понять конкретнее, что за предмет будет изучаться, для чего он нужен, какие проблемы стоят перед творчески мыслящим специалистом, владеющим той или иной ЭВМ, а также методами расчётов на ЭВМ различных типов. При этом практически безразлично, в какой области науки и техники этот специалист работает.

А почему это так? Почему вдруг проблемы математики да ещё вычислительной не слишком зависят от той или иной отрасли знаний, от той или иной задачи? Почему они принципиально одинаковы?

Ответ знает лишь тот из Вас, кто за два курса изу­чения математики усвоил простой факт: математика, как объективная реальность, в природе не существует, Дома, машины, люди, деревья – в природе, есть. Хлеб, колбаса, мороженое - тоже. А математики - нет. Нет интегралов - кто из Вас их видел в природе? Нигде не видно диффе­ренциальных уравнений. Даже ряда натуральных чисел нет. Можно ещё по рассуждать: один, два, три..., миллион - ещё куда ни шло, а миллиард, тем более бесконечность, кто видел?

Что же такое математика? Это - язык, то есть средство общения, средство формулирования схем взаимоотношений реальных объектов и явлений. Или совсем строго: «под математическим языком и математической терминологией подразумевается символическая, формальная запись причинно-следственных отношений между абстрактными, объектами и понятиями, также выраженными символами (акад. А.Н. Тихонов). То есть, это - средство, придуманное людьми. А ведь известно, что словами или символами трудно описать явление или объект без погрешностей, без ошибок, трудно описать полно. В вычислительной же математике на, «математику» наслаивается ещё один язык - алгоритмический. И не только он - ещё тот или иной вычислительный агрегат (карандаш с бумагой, калькулятор, персональный компьютер, суперкомпьютер) и, в соответствии с этим агрегатом, методология вычислений.

Из сказанного видно, что для решения серьёзной за­дачи нужно пройти большое количество этапов, а чем больше этапов, тем больше возможностей для разного рода погрешностей и ошибок.

Это были довольно общие рассуждения. Теперь конкретнее. Огромный пласт жизненно необходимых нашей планете задач - решается с помощью так называемой механики сплошной среды. При разумных ограничениях, конечно. Например: машина; дом; плотина; человек; течение воды, бензина в машине; обтека­ние самолёта потоком воздуха - всё это задачи механики, изучаемые, конечно, с помощью вычислительной математики. Необходимость упрощений или введения тех или иных гипотез для успешного решения таких задач, видны невооружённым взглядом. Конечно, вносятся погрешности, но что сделаешь – результаты-то нужны для обеспечения жизнедеятельности.

Поскольку Вы – специалисты довольно широкого профиля, нам безразлично какую конкретику рассматривать. В принципиальном плане постановка задачи и схема решения являются общими для различных объектов. Давайте, например, представим какой-либо дом и рассмотрим схематически порядок оценки его прочности. Важная задача - от того, обрушится ли дом, зависят человеческие жизни.

Прежде чем приступить к непосредственной работе мы должны ответить на два вопроса. Во-первых, что мы должны узнать? Во-вторых, что мы для решения первого вопроса должны применить?

Вы уже знакомы с основами механики, сопротивления материалов, деталей машин, теоретической механики. Поэтому на первый вопрос ответить не так уж и тяжело. Для того, чтобы кирпичи, балки, блоки, панели не разрушались, их смещения были бы неопасными, крышу не сносило бы ветром или не обваливало снегом, чтобы опоры и стены выдерживали сейсмические нагрузки и т.д. - нужно знать перемещения, дефор­мации и напряжения, а также частотно-массовые характе­ристики конструкции. Нужно, получить эти характеристики расчётным путём, а затем сравнить их с предельно допусти­мыми для данных материалов. А собственные частоты свободных колебаний конструкции сравнить с частотой внешнего воздействия, если оно периодическое, пусть даже и кратковре­менное. Это - ответ на первый вопрос. Решение второго вопроса зависит от многих факторов: типа вычислительного аг­регата, наличия программного обеспечения, квалификации и опыта расчётчика. О решении этого вопроса поговорим в сле­дующих параграфах, поговорим достаточно подробно.

Здесь же поставим вопросы, на которые специалист должен иметь ответ прежде чем перейдет к сравнению расчётных дан­ных с предельными. На каких образцах проводились испытания? Откуда они брались? Какова их предыстория нагружения? Ка­кой формы эти образцы? С какой достоверностью соответству­ют экспериментальные данные характеристикам материала в ре­альной конструкции? С какой скоростью проводить испытание? Сколько испытаний нужно провести, чтобы их полученные ре­зультаты были достоверными? Как обработать результаты эк­спериментов?


    1. Выбор расчётной схемы


В этом разделе под расчётной схемой понимается упрощенная геометрическая схема конструкции с приложенными к ней нагрузками.

Первый же вопрос – кто должен составлять такую схему? Специалист в той области естествознания, например инже­нер-механик, которой и принадлежит решаемая проблема, или инженер-программист? Ещё лет тридцать пять назад в крупнейших отраслевых НИИ страны создавались как крупные под­разделения программистов, так и в достаточно мелкие научные подразделения этих институтов направлялись программисты числом до 20% от численности коллектива. Крупных дивидендов это не принесло в плане повышения эффективности решения конк­ретных задач, зато удалось установить, что успешный пользователь ЭВМ (один человек или коллектив) должен представлять себе механику явления, законы поведения объекта, видеть схему решения задачи, представлять суть математических методов, применяемых для её решения, свободно ориентироваться в программном обеспечении используемой ЭВМ и её возможностях. Все эти факторы в большей или меньшей степени определяют выбор расчётной схемы рассматриваемой задачи.

Рассмотрим простейший случай. Пусть имеется какая-то плоская конструкция, например, однородная пластина без вырезов и имеющая достаточно простые геометрические очертания.

При изучении линейной алгебры и дифференциальных уравнений Вам объясняли, что решать аналитически дифференциальные уравнения или их системы порядка выше второго очень тяжело, а чаще всего невозможно. А вот решать системы линейных алгебраических уравнений высокого порядка люди научились – Вы сами значительное время потра­тили на изучение метода Гаусса. Стало быть нужно реальную геометрию рассматриваемого объекта заменить прибли­жённо расчётной, то есть сделать ее из непрерывной дискретной, заменить какой-то системой точек, линий, элементов разной конфигурации и т.д. – методов дискретизации существует довольно много. Пусть в самом простейшем случае мы на реальную область набросили какую-то сетку (метод конечных разностей) – пока не обсуждаем ни размер ячеек, ни количество узлов, ни их расположение. Главная задача - сохранить характерные геометрические особенности объекта, несущественные – отбросить. (Рассчитываем, например, сейсмостойкость здания, можно ведь не принимать во внимание, что в момент воздействия нагрузки на крыше сидела стая голубей?!).

А вот помнить, что уже на этом, начальном, этапе работы, внесены погрешности, нужно. И не только помнить, но и оценивать, как они скажутся в дальнейшем?

Что же является источником погрешностей в нашем случае? Это: замена непрерывной области конечномерной (бесконечное число точек заменили конечным); - замена реальней формы границы ломаной прямой; замена граничных условий (края пластины могут быть свободно оперты, защемлены, шарнирно оперты, свободны и т.д.) значениями перемещений в граничных узлах; волевое назначение граничных условий в точках контакта смежных границ.

А что ещё? Замена правых частей уравнений (сосредоточенные нагрузки, давление, температурные поля, массовые силы) узловыми усилиями.

Что же, источников погрешностей уже немало, а ещё только начало!


    1. Выбор расчётной модели


Для окончания математической формулировки (иди постановки) задачи осталось выбрать расчётную модель, то есть установить тесную связь между реальным поведением объекта и принимаемыми теоретическими моделями его поведения.

В нашем случае в качестве таких моделей могут выступить теории упругости, пластичности (для однородной пластины), а вообще говоря, различные линейные или нелинейные тео­рии, описывающие поведение различных материалов.

Естественно, исследователь должен понимать с какой точностью та или иная теория позволяет описать поведение рассматриваемого объекта при заданном нагружении.

В результате мы имеем дифференциальное уравнение (обычно в частных производных) высокого порядка или эквивалентную этому уравнению систему дифференциальных уравнений. Плюс начальные и граничные условия, которые могут часто противоречить друг другу.


    1. Дискретизация задачи


Область существования решения, то есть рассматриваемый объект уже дискретизирован, то есть выделены узловые точки, в которых будет искаться решение. (Примечание: конечно, дискретизацию сейчас редко проводят с помощью метода конечных разностей. Сейчас громадное большинство задач решается с помощью метода конечных элементов. За тридцать пять лет своего развития созданы мощнейшие алгоритмы и целые библиотеки стандартных программ для его реализации применительно к задачам из различных областей естествознания. Но как бы этот метод формально не отличался от метода конечных разностей (с его основами лучше всего ознакомиться по монографии О. Зенкевича, переведённой ни русский язык одним из авторов данного пособия) для нас важен их общий конечный результат – сведение решения задачи к ре­шению системы линейных алгебраических уравнений).

В методе конечных разностей используется замена всех дифференциальных соотношений задачи (и уравнений, описы­вающих поведение объекта, и граничных условий) разност­ными.

Д
рис.1
авайте для простоты рассмотрим одномерную задачу (в случае много­мерном принципиальных изменений не будет, увеличатся только порядок системы линейных алгебраических уравнений и количество значащих диа­гоналей матрицы этой системы).

Величину h=x обычно называют шагом. Шаг может меняться от узла к узлу, но чаще бывает одинаковым. В многомерных случаях шаг по различным осям может быть различным. Зна­чение неизвестной функции Y в узловых точках отмечают соответствующим индексом. Так, yk есть искомое значение функции y в узле k. А как представить в узле k? Вспомним определение производной:



Считая для простоты h одинаковым, получим, что конечно-разностным аналогом для является (yk+1-yk)/h. Это правая разность, так как индекс k+1 следует за k. Можно выразить как (yk-yk-1)/h. Это – левая разность. Сложим и поделим пополам. Получим центральную разность , которая может применяться наряду с yk. Обычно центральные разности применяются для аппроксимации функций и производных, входящих в дифференциальные уравнения в центральных точках области определения задачи, а левые и правые – в точках, близких к границе, или в граничных точках. При этом на левой границе применяются пра­вые разности, а на правых границах – левые.

Вторая производная, вернее, её разностный аналог, строится по традиционному правилу (первая от первой):

.

И так далее:

,

.

Закономерность достаточно легко прослеживается.

При получении аналогичных формул можно применять левые разности к правым или центральным, правые – к центральным или левым и т.д. При помощи такого приёма получаются соотношения как различной степени точности так и с исключёнными значениями неизвестных в «проблемных bkb нежелательных» точках.


    1. Сведение решения задачи к решению систем линейных алгебраических уравнений

Теперь давайте посмотрим, что же за система линейных алгебраических уравнений получается, например, для уравнения, описывающего в достаточно общем виде поведение балки . Пусть длину балки мы разбили на n-1 отрезок (n точек) одинаковой длины (то есть шаг есть ). Конечно-разностный аналог этого уравнения суть


или

.

Так как нам важна лишь структура матрицы системы, перепишем данное уравнение в виде . При составлении матрицы не будем подсчитывать коэффициенты перед yk+1, yk, yk-1. Будем в матрице значащие коэффициенты обозначать x , не обращая внима­ние на их числовые значения. Строки матрицы будут соответствовать номе­рам узловых точек, столбцы – неизвестным y0, y1,……,yn-1, yn, yn+1. Таким образом матрица системы уравнений будет иметь размерность [nx(n+2)]. Ниже приводится её вид.





Y0

Y1

Y2

Y3

Y4

Y5

………….




Yn-2

Yn-1

Yn

Yn+1

к=1

X

X

X




























к=2




X

X

X

























к=3







X

X

X






















к=4










X

X

X



















.

.

.

.

.




















.

.

.

.

.

.













к=n-2

























X

X







к=n-1

























X

X

X




к=n




























X

X

X


Видно, что матрица имеет явно выраженную трёхдиагональную форму. Ниже и выше очерченных диагоналей находятся нулевые элементы. Такая форма матриц очень удобна для программирования, ведь вместо массива в памяти можно держать максимум массив , можно и меньший. Кроме этого, при реализации метода решения систем линейных алгебраических уравнений имеется возможность исключить арифметические действия с внедиагональными элементами.

При составлении данной матрицы мы не учитывали граничные условия. При их учёте желательно следить, чтобы трёхдиагональная форма матрицы не нарушалась.


    1. Несколько слов о методе исключения Гаусса

На первом курсе обучения в МГТА преподаватели математики Вам расска­зывали о методе Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений. Более подробно и в виде удобном для программирования этот метод излагал­ся и в курсе «Методы обработки экспериментальных данных».

Поэтому в настоящем пособии метод Гаусса считается известным студентам, хотя некоторые сведения, связанные с погрешностями вычислений при применении этого метода, будут сообщены в разделе 3.

Для того чтобы Вы вспомнили материал, просим ответить на следующие вопросы и тесты.


    1. Схема постановки и решения задач естествознания с помощью математических методов

Подводим итог изложенным в предыдущих разделах пособия положениям.

Для того чтобы изучить с помощью вычислительной математики реальное поведение объекта или явления, нужно:

1) создать качественную модель этого объекта или явления;

2) создать расчётную схему, учитывающую существенные особенности геометрии (области определения) объекта и его нагружения внешними воздействиями;

3) описать математически с помощью соответствующей теории существенные закономернос­ти поведения объекта или явления;

4) определиться с типом необходимого для численного исследования вычислительного агрегата;

5) изучить математически сформулированную задачу и определиться с
методологией её решения;

6) разработать алгоритм решения полученной математической задачи;

7) составить программу решения задачи, ориентированную на ЭВМ
необходимого типа;

8) отладить программу на имеющихся аналитических решениях простейших задач исследуемого типа; использовать при отладке результаты параметрических расчётов, отслеживающих известные закономерности поведения объекта или явления;

9) эксплуатировать программу с целью получения необходимой информации;

10) на базе накопленной информации сформулировать рекомендации по управлению или созданию объекта.



    Контрольные вопросы

1) Для чего нужно дискретизировать задачу?

2) Какие способы решения систем дифференциальных уравнений Вы знаете?

3) чем отличаются граничные условия от начальных?

4) Что такое «краевой эффект»?

5) Может ли быть суммарное число граничных и начальных условий больше порядка дифференциального уравнения?

6) Как поступать, когда часть начальных или граничных условий не определена?

7) Как определить порядок погрешности, вносимой конечно-разностной аппроксимацией? Аппроксимацией области? Аппроксимацией функция и производных?



    Тест №1


1. В области определения решения выделяется конечный ряд точек с целью:

а) сокращения времени решения задачи на ЭВМ.

б) более точного учёта граничных условий.

в) возможного сведения решения задачи к решению системы линейных алгебраических уравнений.
2. При сравнении расчётных характеристик с предельными между ними должен стоять знак:

а) равно, б) меньше, в) больше.
3. Как определяются предельные характеристики:

а) экспериментально, б) экспертными оценками,

в) методом перебора.
4. Какую форму должны иметь испытательные образцы:

а) геометрически подобную реальной детали,

б) прямоугольную,

в) регламентированную соответствующими Нормами прочности или ГОСТом.

5. Какая из перечисленных причин является основной при выборе вычислительного агрегата:

а) точность расчёта,

б) наличие программного обеспечения,

в) быстродействие.



    3. Об ошибках и погрешностях


«Недостатки математического образования с наибольшей отчётливостью проявляются в чрезмерной точности численных расчётов».
К.Ф. Гаусс (1777-1855 гг).
«Это не преступление, это гораздо хуже, это – ошибка».

Бисмарк.


    1. . Абсолютная и относительная погрешности


Термин «ошибка» чаще всего употребляется в математической статистике. Там ошибки делятся на систематические, грубые (просчёт, неправильное пользование шкалой измерительного прибора, неправильный анализ результа­тов испытаний и т.п.) и случайные (смысл слов «систематические» и «слу­чайные» Вам должен быть ясен из теории вероятностей, изучавшейся ранее).

В вычислительной математике тоже случаются грубые ошибки почти всегда по вине пользователя ЭВМ, поэтому практически всегда они являются бессистем­ными и в научной литературе не рассматриваются. Речь в литературе обычно идёт о погрешностях.

Давайте, попробуем ответить на два вопроса, не заглядывая в пособие дальше их формулировок.

1) Чему равно численно число ?

2) Когда Александр Ярославович, по прозванию Невский, одержал победу на Чудском озере над псами-рыцарями?
Ошибочные ответы: «Число не существует», «Сражения на Чудском озере не было». Все остальные ответы даны с погрешностями, то есть отличаются от точной даты сражения (05 апреля 1242 года) и приближённого значения числа (3,141592653689793 ...) на ту или иную величину. (Отметим, что ещё 1500 лет назад китаец Цзу Чунжи вычислил число с точностью до седьмого знака после запятой).

Другая сторона вопроса. Что точнее?

Первое. Берём железнодорожный справочник. В нём с округлением до 0.5 километра даны расстояния по ж/д между г. Москва и другими городами. От Москвы до Питера 650 километров.

Второе. Возьмите обычную линейку с ценой деления 0.5 мм и измерьте длину стандартной страницы в тетради, на которой Вы пишите. Только в стандартной, а не амбарной тетради. Что получилось? 198 мм.

Вопрос: что измерено точнее?

Возможны два ответа. Первый – длина страницы, так как цена деления ли­нейки меньше, нежели величина округления в справочнике. Это – правильный ответ. Погрешность в данном случае называется абсолютной. То есть |хист – хизм|. Второй вариант ответа. Расстояние по железной дороге. Рассматривается относительная погрешность, то есть |xист – хизм| / |xизм|. Получаем:
первый случай второй случай
,
Что же все-таки измерено точнее?

Здесь, кстати, уместен вопрос: а что такое xист? Ведь на результат измерения влияют: точность измерительного инструмента, давление, влажность, температура, то есть зависимость от времени года, суток, от погодных условий. Стало быть, нужно договариваться, вводить эталоны, технические условия проведения измерений и т.д.


    1. Погрешности округления и ограничения


Берем калькуляторы, вычисляем
Должно получиться 1,0. А что получилось у Вас? Да ещё и результаты разные. Производим теперь вычисления в круглой скобке в обратном порядке. И делим на 4,51. Что теперь получилось?

Более эффектный пример. Верен ли переместительный закон сложения?

Говорят, что «от перемены слагаемых сумма не меняется». Проверяем. Складываем последовательно: 912354,17; 200375674; 125 3740,16; 37,218; 21; 19.

Складываем на Ваших калькуляторах. Можно на телефонных (кстати,
в некоторых моделях телефонов имеются очень «умные», разумно составленные программы выполнения арифметичёских действий). Сложили? Теперь в обратном порядке. Что получили? Закон не выполняется? А, если в другом порядке: сначала самые маленькие числа, потом большие? Ещё хуже?

Вы думаете, выполняется распределительный закон? Давайте, посмотрим:

Имеются три числа: a = 7; b = 4,0000009; c = 4,0000008.

Проводим подсчёты по левой и правой частям формулы (b – c)a = bа – ca. Что получаем?

Всё это нам дают погрешности округления. Законы арифметики, конечно, верные.

Округление числа – это приближённое его представление в некоторой системе счисления с помощью конечного количества разрядов. Погрешность этого действия и есть погрешность или ошибка округления. Способы округления (отбрасывание младших разрядов, начиная, например с t-го или округление до ближайшего t-20 (разрядного числа или какие-либо другие способы) определяются машинной арифметикой, то есть бывают различными для ЭВМ различных типов. Это также должен иметь ввиду пользователь.

Другая часть погрешностей, вносимая в численные расчёты, зависит от применяемых численных методов. Их часто объединяют под достаточно узким названием погрешности ограничения. На практических занятиях по предмету «Методы обработки экспериментальных данных», а также при изучении приближённых методов вычислений в курсе «математического анализа» Вы сталкивались с оценкой точности полученных результатов, видели что измельчение области определения приводит к повышению точности (методы прямоугольников, трапеций и Симпсона, использование дифференциалов, ряды Тейлора и т.д.).

А
n

1000

400

200
теперь посмотрите на график. Это – типичная картина зависимости суммарной погрешности при численном вычислении интеграла (численный эксперимент) по методу Симпсона (принципиально картина не меняется и для других методов, названных выше). Как получить результат наиболее точный? Видно, что n = 150-200 - предел разумного измельчения области определения функции. Более мелко разбивать не разумно, хотя теория метода Симпсона и рекомендует.

Очевидно, при увеличении числа n, начиная с n = 200 погрешности ограничения метода Симпсона, то есть

, где

будут забиваться ошибками округления. Если же вспомнить, что при постановке задачи, мы допускали погрешности в измерениях, расчётной схеме, расчётной модели, в начальных и граничных условиях, становится очевидным, что оценка погрешности поставленной задачи – дело сложное.

Погрешности, допущенные на начальном этапе: неточность измерений, неточность эксперимента, невозможность повторения испытания при тех же условиях, человеческий фактор – уменьшить обычно трудно, но знать их и уметь оценивать необходимо – иначе дальнейшая работа может быть бесполезной. Известен, например, уникальный случай, когда молодой блестящий мате­матик создал великолепный алгоритм, позволяющий разбивать тело вращения конечными элементами миллиметровых размеров, а материал конструкции состоял из частиц размеров более 0,5 см. Что можно сказать о результате? Кстати, результат может быть и довольно точным, но это нужно уметь предвидеть. И ещё: от типа ЭВМ такие ошибки обычно не зависят. Уменьшить их можно, проводя параметрические расчёты, оценивая влияние тех или иных факторов, что обычно требует существенного опыта.


    1. Об увеличении точности счёта

Уменьшить погрешности ограничения практически невозможно. Это ясно из самой их структуры. Нужно только до разумных пределов увеличить число членов ряда или уменьшить длину отрезков разбиения.

Вспомните приведённый чуть ранее график, иллюстрирующий точность вычисления интегралов по формулам Симпсона или любым форму­лам прямоугольников. Он ведь получен суммированием двух кривых, одна из которых соответствует поведению погрешностей округления, а другая - погрешностей ограничения. На рисунке справа они схематически и представлены.

Можно ли уменьшить погрешности округления? Можно. Но для этого нужно знать как ведут себя они при различных арифметических действиях, проводящихся с помощью того или иного вычислительного агрега­та. Естественно, для такого изучения нужно знать закономерность, обычно в виде формулы, связывающую погрешность той или иной арифметической операции с погрешностью в задании исходных данных, в простейшем случае, чисел.

Так, например, закон поведения погрешностей округления при суммировании двух чисел х1 и x2 записывается в виде:


Здесь - абсолютная погрешность результата, то есть процесса суммирования двух чисел; и - абсолютные погрешности задания исходных чисел х1 и х2, t - погрешность округления.

Для процесса вычитания двух чисел формула аналогична, только в знаме­нателях дробей вместе суммы будет стоять разность двух чисел:



Из анализируемых формул видно, что абсолютная погрешность процессов сложения и вычитания приблизительно одинакова и не превосходит суммы абсолютных погрешностей х1 и х2 плюс ещё некоторой добавки t |x1+x2| (или t |x1-x2|), которая при сложении больше, чем при вычитании. Здесь всё, как и ожидалось.

А вот с относительной погрешностью совсем не так. Особенно при вычитании. При сложении относительная погрешность результата заведомо меньше суммы относительных погрешностей слагаемых и погрешности округления. А вот при вы­читании она может быть сколь угодно большой, знаменатель-то стремится к нулю. Чем ближе друг к другу х1 и х2, тем больше относительность процесса вычитания, она может быть так велика, что полностью «забьёт» пра­вильный результат.

Теперь переверните несколько страничек назад, туда где численно доказывалось, что распределительный закон не верен. Посмотрите на значения «b» и «с», участвовавших в вычислениях. Понятно, какой коварный процесс – «вычитание»?

Отметим, что погрешности в вычислениях появляются и тогда, когда исходные данные, в нашем случае х1 и х2, заданы абсолютно точно, то есть . Погрешность округлениях зависит от программы, от ЭВМ, но никак от точности измерений, то есть от погрешности в исходных данных.

Поясним теперь парадокс с невыполнением переместительного закона.

При изучении линейной алгебры преподаватели ознакомили Вас с кратким введением в теорию графов. Граф состоит из множества вершин и набора упорядоченных или неупорядоченных пар вершин. Неупорядоченная пара вер­шин называется ребром, упорядоченная пара - дугой. Граф, содержащий только дуги, называется ориентированным. Говоря проще, граф – какой-то контур, состоящий из некоторого числа вершин, соединённых рёбрами или дугами, или теми и другими в зависимости от упорядоченности исследуемого процесса или его части.

С помощью графов часто иллюстрируют вычислительные процессы – это позволяет наглядно проследить, как изменяется погрешность.

Построим граф для последовательного сложения шести чисел. В горизонтальных вершинах графа поместим исходные данные , то есть заданные чис­ла x1, x2,…, x, в вершинах накопительной линии – знаки операций (в данном примере – всюду сложение), а около дуг напишем числовые значения, с которыми исходные погрешности входят в оче­редную сумму (рассматривается процесс последовательного сложения чисел).



Будем учитывать только относительные погрешности округления (считаем, что исходные данные заданы точно).

Из графа видно, что абсолютная погрешность результата будет вычис­ляться по формуле: Есум

Теперь видно, на чём был основан наш парадокс с переместительным законом сложения. Первые три слагаемых по абсолютной величине больше остальных трёх, да и множители у этих трёх больше: 5,0; 5,0; 4,0. А, когда сложение производится в обратном порядке – картина другая. Боль­шие числа складываются в последнюю очередь и в оценку погрешности входят с меньшими коэффициентами 3,0; 2,0; 1,0, соответственно. Вот Вам и «перемена мест слагаемых».

На первый взгляд, такие парадоксы представляют из себя «игру ума» или «забаву». Но это далеко не так. С помощью таких задач и таких графов вырабатываются простые правила для увеличения точности вычислений.

Уже видно, что погрешности, возникающие при вычитании, гораздо больше, чем погрешности сложения. Погрешности, возникающие при сложении чисел парами, а затем и этих пар попарно, меньше, чем погрешности последовательного сложения. Ясно, что лучше попарно складывать числа близкие друг другу по величине.

В литературе встречается очень яркий пример оценки относительной погрешности, появляющийся из-за вычитания двух близких чисел. Это – вычисление через детерминант корней квадратного уравнения



На любом «нормальном» калькуляторе получается , .

Точное решение очевидно – по теореме Виетта , .

Видно, что для х2 относительная погрешность, 10-7 , мала, а для х2 в миллион раз больше (10-1). Чтобы избежать такой погрешности обычно меняют алгоритм вычислений, например, больший корень, х2, вычисляют через дискриминант, а меньший по теореме Виета, через произведение корней. На практических занятиях по «Методам обработки эксперименталь­ных данных» авторы пособия обычно акцентируют Ваше внимание, что на некоторых лицензионных сотовых телефонах вычисления проводятся с малой погрешностью. Это означает, что над стандартными вычислительными программами в них работали высококвалифицированные инженеры-программисты.

Аналогичная ситуация возникала, когда Вы считали значения функции х для достаточно больших х с помощью соответствующего ряда Тейлора. При количестве удерживаемых членов ряда порядка семи-восьми у Вас получались неразумные результаты, значения синуса по модулю были больше единицы. Увеличение удерживаемого числа членов ряда вопреки заранее известным погрешностям ограничения не могли исправить ситуацию. Выход из положения был найден организацией отдельного суммирования положительных и отрицательных членов ряда, а затем найденные значения вычитались одно из другого.

Простейшие правила повышения точности счёта:

1) Складывать числа лучше начинать с малых.

2) Одинаковые по порядку числа лучше складывать группами. Затем сложить частные суммы этих групп.

3) Следует избегать вычитания близких чисел.

4) Уменьшение количества действий «деление» часто позволяет не только избежать неприятностей, связанных с делением на очень маленькое число, но и уменьшить время расчётов (действие «деление» требует в три раза большего времени, чем действие «сложение»).

5) Необходимо помнить, что разумное построение алгоритма решения задачи, выбор наиболее эффективных для данной задачи и для данной ЭВМ стандартных математических процедур позволяют существенно снизить погрешности вычислений.


    1. Дополнительные сведения о методе Гаусса



Метод Гаусса является самым распространённым методом решения систем линейных алгебраических уравнений. Поэтому весьма полезно представлять себе некоторые особенности, возникающие при его реализации и применения.

Вы должны были вспомнить этот метод и ответить на вопросы и тесты раздела 2 данного пособия.

Упоминалось, что все ведущие элементы матрицы системы, то есть те элементы, на которые производится деление (элементы главной диагонали) должны быть отличны, от нуля и даже не быть близкими к нему. В этом слу­чае либо происходит аварийная остановка машины, либо лавинное нарастание погрешностей округления. Поэтому для таких задач лучше использовать схему исключения Гаусса с выбором главного элемента. Существует несколько вариантов реализации такой схемы, но все они сходны – перенумеровываются либо уравнения (чаще всего), либо неизвестные.

В диагональных или ленточных матрицах, характерных для задач механики сплошной среды такие случаи встречаются редко, обычно на главной диаго­нали находятся элементы по абсолютной величине максимальные по сравнению с другими элементами строки. Правда, положение может измениться при учёте граничных условий. Поэтому для их учёта созданы специальные процедуры, позволяющие заменить малые элементы главной диагонали единичными по модулю.

В зависимости от вида матриц систем линейных алгебраических уравнений следует применять специально разработанные схемы реализации метода, учитывающие, например, блочный вид матриц системы или их ленточный характер. В последнем случае лучше пользоваться методом квадратного корня или схемой Холецкого.

Нужно учитывать и такой факт. Имеются схемы реализации метода Гаусса, почти полностью исключающие операцию «деление». Ранее отмечалось, что операции «умноже­ние» и «деление» требуют для своего осуществления почти в три раза больше машинного времени, чем «сложение» или «вычитание». А количество опе­раций «деление» и «умножение» при реализации традиционной схемы Гаусса велико. Особенно такие схемы эффективны для диагональных матриц.

В рекомендованном для изучения данным пособием списке литературы указаны пути получения оценок абсолютной погрешности, полной относительной погрешности для решений конкретных систем уравнений, а также способы исследования влияния на эти решения погрешностей округления. В каждом случае анализ таких проблем связан со значительными математическими трудностями и вряд ли может быть рекомендован для использования в повсед­невной инженерной практике.

Пользователям ЭВМ, видимо, лучше использовать практические пути анализа, связанные с изменением шага сетки, изменения величин шагов по различным осям координат, в том числе и по времени, и т.д. и т.п., в целях получения закономерностей, принципиально проиллюстри­рованных рисунками разделов 3.2 и 3.3 пособия.


    1. О равномерной и неравномерной сходимостях

Давайте немного вспомним материал второго семестра Вашего обучения. Это – ряды, один из основных разделов математики, практически повсе­местно встречающийся в предметах Вашей выпускающей кафедры. Вспомните основные сведения о функциональных рядах и их сходимости. Вспомнили? Тогда поговорим о сходимости подробнее.

Пусть функциональный ряд U1(x)+U2(x)+U3(x)+…+Un(x)+… сходится в каждой точке замкнутого или незамкнутого промежутка (a, b) и пусть требуется приближённо найти сумму S ряда с точностью до E (т.е. , где Е имеет смысл погрешности ограничения).

Для каждого определённого значения «х» это требование, т.е. удовлетворяется, начиная с некоторого номера n=N. Величина N обычно зависит от «х», и может случиться, что ни один номер не обеспечивает требуемой точности для всех «х» сразу. Тогда говорят, что ряд сходится в промежутке (a, b) неравномерно. Если же требуемую точность всегда можно обеспечить сразу для всех «х», начиная с одного и того же номера N, то говорят что ряд сходится в промежутке (a, b) равномерно.

Принципиально аналогичные картины сходимости наблюдаются и при применении численных методов.

На последующих рисунках изображены типичные картины сходимости численных решений.
Равномерная Неравномерная



На этих рисунках жирной линией выделено «истинное» решение. Область шириной в 2 указывает на требуемую точ­ность вычислений. Остальные кривые соответствуют численным решениям при последовательном уменьшении шага разбиения.

На рис. а) проиллюстрирована «сходимость снизу» к «истинному» реше­нию. Для сведения отметим, что при использовании энергетических форму­лировок задачи, например, эллиптического типа характерной является «схо­димость сверху».

Анализ рисунков, иллюстрирующих пример неравномерной сходимости, показывает, что часто пользователю бывает трудно отличить этот случай от случая расходимости, особенно при ограниченном числе вариантов расчёта. В таких случаях правильно работающая программа может быть сдана пользователем в архив.


    1. Замечания о коэффициентах безопасности

В одном из первых разделов пособия говорилось, что полученные чис­ленно результаты расчётов поставленной со многими допущениями и пог­решностями задачи необходимо сравнить со значениями предельных харак­теристик компонентов поведения объекта. Ясно, ведь, что расчётные характеристики можно принять за «истинные» лишь приблизительно.

Поэтому для учёта всех факторов, которые могли внести погрешности в вычисления, вводятся так называемые «коэффициенты безопасности». Они всегда больше 1,0, являются множителями к предельным характеристикам и определяются исходя из теоретических оценок погреш­ностей при эксперименте, вычислениях, из статистических оценок поведе­ния объекта при изменении тех или иных параметров, из оценок экспертов, то есть опыта работы и т.д.

Процесс введения коэффициентов безопасности регламентируется соот­ветствующими нормами, техническим условиями, отраслевыми и государственными стандартами и другими руководящими документами. Несоблюдение требований этих документов практически всегда приводит к аварийным ситуациям.
Контрольные вопросы
1. Что такое абсолютная погрешность?
2. Что такое относительная погрешность?
3. В каких единицах измеряется абсолютная погрешность?


  1. В каких единицах измеряется относительная погрешность?


5. Что такое погрешность округления?
6. Что такое погрешность ограничения?
7. Выполняются ли законы переместительный и распределительный при машинном сложении чисел?

Тест №2
1. Что больше абсолютная или относительная погрешности?

а) абсолютная,

б) относительная?

в) они несоизмеримы.
2. Как уменьшить абсолютную погрешность?

а) никак не уменьшишь,

б) употребив более точный инструмент измерения,

в) сравнив измеряемую величину с эталонным значением.
3. Что такое истинная величина объекта? Это – величина,

а) полученная самым совершенным из имеющихся измерительных инстру­ментов;

6) полученная с помощью нескольких измерений и усреднённая тем или иным образом,

в) измеренная при заданных технических условиях.
4. С какой погрешностью можно визуально измерить длину тетрадоч­ного листа:

а) 10-8 м,

б) с любой заранее заданной,

в) зависит от раз­решающей способности электронного микроскопа.


    5. Какая из погрешностей: ограничения или округления растёт быстрее?

а) округления,

б) ограничения,

в) у них совсем разные законы поведения.
Список рекомендуемой литературы:



1. А.А. Самарский, А.В. Гулин Численные методы, «Наука», г. Москва, 1989 г.

2. Дж. Форсайт, М. Малькольм, К. Моулер Машинные методы математических вычислений, г. Москва, «Мир», I980 г.

3. О. Зенкевич Метод конечных элементов в технике, «Мир»,
г. Москва, 1975 г.

4. Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков Численные методы, г. Москва, «Наука», 1987 г.

5. Г.И. Марчук Методы вычислительной математики, 3-е изд.,
г. Москва, «Наука», 1989 г.

6. Н.Н. Трофимов Программирование на калькуляторе, библиотека «Квант», вып., 1975 г.

7. Ю.В. Гребенюк, К.В. Малакеева Методы обработки экспериментальных данных, методичёское пособие, МГТА, 2002 г.
  1   2


Учебный материал
© bib.convdocs.org
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации