Данилов С.В., Егорова В.А., Кропотин О.В. Физика колебаний и волн. Квантовая физика. Учебное пособие - файл n1.doc

Данилов С.В., Егорова В.А., Кропотин О.В. Физика колебаний и волн. Квантовая физика. Учебное пособие
скачать (2003.5 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc2004kb.06.11.2012 23:11скачать

n1.doc

  1   2   3   4



Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Омский государственный технический университет»


С.В. Данилов, В.А. Егорова, О.В. Кропотин



Физика колебаний и волн. Квантовая физика



Учебное пособие

Омск 2007

УДК 530+534.1+535(075)

ББК 22.314+22.343+22.336я73

Д 18

Рецензенты:

Машков Ю.К., докт. техн. наук, проф., зав. каф. физики СибАДИ,

Полещенко К.Н., докт. техн. наук, проф. каф. педагогических информационных технологий и дополнительного образования ОмГУ.


Д 18 Данилов, С.В., Егорова, В.А., Кропотин, О.В. Физика колебаний и волн. Квантовая физика: учеб. пособие. 2 –е изд. перераб./ Сост. С.В. Данилов, В.А. Егорова, О.В. Кропотин. – Омск : Изд-во ОмГТУ, 2007. – 64 с.

Приведены программа и контрольные задания. Изложение материала соответствует курсу общей физики, изучаемому в вузе.

Для студентов заочной и очно-заочной форм обучения.


Печатается по решению редакционно-издательского совета

Омского государственного технического университета.

УДК 530+534.1+535(075)

ББК 22.314+22.343+22.336я73

© Авторы, 2007

© Омский государственный

технический университет, 2007


ПРОГРАММА




1. Колебания
Понятие о колебательных процессах. Единый подход к колебаниям различной физической природы. Гармонические колебания (механические и электромагнитные) и их характеристики. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Пружинный, математический и физический маятники. Электрический колебательный контур. Энергия гармонических колебаний. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты. Биения. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний и его решение. Коэффициент затухания, логарифмический декремент, добротность. Апериодический процесс. Вынужденные колебания под действием синусоидальной силы. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение. Процесс установления колебаний. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний. Случай резонанса.


2. Волны
Волновые процессы. Механические волны в упругой среде. Продольные и поперечные волны. Плоские синусоидальные (гармонические) волны. Сферические волны. Уравнение бегущей волны. Длина волны и волновое число. Волновое уравнение. Фазовая скорость. Энергия волны. Принцип суперпозиции волн. Групповая скорость. Вектор Умова. Стоячие волны.

Уравнение плоской электромагнитной волны. Основные свойства электромагнитных волн. Энергия электромагнитных волн. Вектор Пойнтинга.


3. Волновая оптика
Световая волна. Интерференция света. Когерентность и монохроматичность световых волн. Оптическая длина пути. Расчет интерференционной картины от двух когерентных источников. Интерференция в тонких пленках. Дифракция света. Принцип Гюйгенса – Френеля. Метод зон Френеля. Дифракция Френеля на круглом отверстии и диске. Дифракция Фраунгофера на одной щели и на дифракционной решетке. Дифракционная решетка как спектральный прибор. Поляризация света. Естественный и поляризованный свет. Поляризаторы. Закон Малюса. Поляризация света при отражении. Закон Брюстера. Поляризация при двойном лучепреломлении.
4. Квантовая природа излучения
Тепловое излучение. Абсолютно черное тело. Закон Кирхгофа. Закон Стефана – Больцмана. Распределение энергии в спектре абсолютно черного тела. Закон смещения Вина. Квантовая гипотеза и формула Планка. Внешний фотоэффект и его законы. Фотоны. Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта. Масса и импульс фотона. Давление света. Эффект Комптона и его теория.


5. Элементы атомной физики и квантовой механики
Корпускулярно-волновой дуализм свойств вещества. Формула де Бройля. Соотношение неопределенностей как проявление корпускулярно-волнового дуализма свойств материи. Волновая функция и ее статистический смысл. Временное уравнение Шредингера. Стационарные состояния. Уравнение Шредингера для стационарных состояний. Частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме. Квантование энергии частицы. Туннельный эффект.


6. Элементы физики атомного ядра и элементарных частиц
Строение атомных ядер. Нуклоны. Массовое и зарядовое числа. Взаимодействие нуклонов и понятие о свойствах и природе ядерных сил. Дефект массы и энергия связи ядра. Радиоактивные превращения атомных ядер. Закономерности и происхождение альфа-, бета- и гамма- излучения атомных ядер. Ядерные реакции и законы сохранения. Реакция деления ядра. Цепная реакция деления. Ядерный реактор. Термоядерные реакции. Элементарные частицы, их классификация и взаимная превращаемость.

Требования к оформлению


контрольных заданий и пояснения к использованию

таблиц

Контрольные задания решаются в соответствии с номером варианта. В конце каждого из заданий приведены таблицы, где указаны номера задач по соответствующей теме для каждого варианта. Всего по каждой из тем необходимо решить восемь задач.


Контрольные задания оформляются в обычной тетради (в клетку) или на сброшюрованных листах формата А4. На титульном листе указываются:

1) фамилия, имя, отчество студента, номер группы и факультет;

2) название контрольного задания и номер варианта.


Порядок оформления решения задач
1. После слова «дано» выписать все величины с их числовыми значениями, которые будут использованы в процессе решения задачи. Числовые значения тут же переводить в СИ, проставляя рядом соответствующие наименования, за исключением случаев с безразмерными соотношениями. После слова «найти» выписать все искомые величины (или отношения величин).

2. Указать те основные законы и формулы, на которых базируется решение данной задачи, и привести их словесную формулировку. Разъяснить смысл буквенных обозначений, входящих в исходную формулу. Если такая формула является частным случаем фундаментального закона, то ее необходимо вывести из этого закона, используя граничные условия.

3. Сделать чертеж или график, поясняющий содержание задачи (в случаях, когда это возможно). Выполнить его надо аккуратно, желательно размером на полстраницы, при помощи карандаша, циркуля, линейки, лекал. На чертеже или графике чернилами должны быть нанесены обозначения всех буквенных величин, которые используются в расчетных формулах и могут быть пояснены чертежом.

4. Каждый этап решения задачи сопровождать краткими, но исчерпывающими пояснениями.

5. Физические задачи весьма разнообразны, и дать единый алгоритм их решения невозможно. Однако, как правило, физические задачи следует решать в общем виде, т.е. выразить искомую величину в буквенных обозначениях величин, заданных в условиях задачи и взятых из таблицы. При этом способе не производятся вычисления промежуточных величин; числовые значения подставляются только в окончательную (рабочую) формулу, выражающую искомую величину. Рабочая формула должна быть записана в рационализированной форме, все величины, входящие в нее, должны быть выражены в единицах СИ.

6. Подставить в рабочую формулу наименование единиц (в которых выражены заданные числовые значения) и путем упрощающих действий с ними убедиться в правильности наименования искомой величины.

7. Подставить в рабочую формулу числовые значения, выраженные в единицах одной системы, (рекомендуется в СИ). Несоблюдение этого правила приводит к неверному результату. Исключение из этого правила допускается лишь для тех однородных величин, которые входят в виде сомножителей в числитель и знаменатель формулы с одинаковыми показателями степени. Такие величины можно выразить в любых единицах, но обязательно в одинаковых.

8. Произвести расчеты с величинами, подставленными в рабочую формулу, записать в ответе числовое значение и сокращенное наименование единиц измерения искомой величины.

9. При подстановке в рабочую формулу, а также при выражении ответа числовые значения величин записывать как произведение десятичной дроби с одной значащей цифрой перед запятой на десять в соответствующей степени. Например, вместо 3520 надо записать 3,52103 , вместо 0,00129 записать 1,2910-3 и т. д. Рекомендуемая запись числовых значений облегчает расчетные действия с ними, является более компактной и наглядной.

10. Оценить правдоподобность числового ответа. В ряде случаев такая оценка помогает своевременно обнаружить ошибочность полученного результата и устранить ее. Например, коэффициент полезного действия тепловой машины не может быть больше единицы, электрический заряд не бывает меньше электронного заряда e = 1,610-19 Кл, скорость тела не может превзойти скорость света в вакууме C = 3108 м/с и т. д.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 5
Тема: Физика колебаний и волн
Колебаниями называются процессы, характеризующиеся той или иной степенью повторяемости. Таким свойством повторяемости обладают, например, качания маятника, колебания струны, напряжение между обкладками конденсатора в колебательном контуре и т. д.

В зависимости от физической природы повторяющегося процесса различают колебания механические, электромагнитные, электромеханические и т. д.

В зависимости от характера воздействия, оказываемого на колеблющуюся систему, различают свободные (собственные или затухающие), вынужденные, параметрические и автоколебания.

Свободными колебаниями называются колебания, которые происходят в системе, предоставленной самой себе, после выведения ее каким-либо способом из положения равновесия.

Вынужденными называются такие колебания, в процессе которых колеблющаяся система подвергается внешнему периодически изменяющемуся воздействию.

Автоколебаниями называются такие колебания, при которых моменты времени, когда осуществляются внешние воздействия, задаются самой колеблющейся системой, т. е. система сама управляет внешним воздействием.

Параметрическими называются колебания, при которых за счет внешнего воздействия происходит периодическое изменение какого-либо параметра системы.

Простейшими являются гармонические колебания, то есть такие, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Этот вид колебаний особенно важен, так как, во-первых, колебания в природе и в технике часто имеют характер, очень близкий к гармоническому, и, во-вторых, периодические процессы иной формы могут быть представлены как наложение нескольких гармонических колебаний.

Механические колебания.
1. Собственные колебания.

Собственными называются свободные колебания, возникающие в колебательной системе в отсутствие сил сопротивления (трения).

Колебания в подобной системе описываются уравнением вида

, (1)

а сама система называется гармоническим осциллятором.

Примерами гармонических осцилляторов могут служить пружинный, математический и физический маятники (Рис. 1).


Рис. 1
Пружинный маятник – тело массой m, прикрепленное к пружине с жесткостью k.

Математический маятник – материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити длиной l.

Физический маятник – тело, совершающее колебания относительно оси О, находящейся на расстоянии l от его центра инерции С.

Для математического и физического маятников роль величины x в уравнении (1) играет угол отклонения  от положения равновесия. При этом гармоническими являются только малые колебания маятников.
Решение уравнения (1) имеет вид


x  xm соs (ot + ) , (2)
где xm – амплитуда колебания, наибольшее значение величины, совершающей колебания;

(0t + ) – фаза колебания;

 – начальная фаза, т.е. фаза в момент t = 0;

0 – собственная круговая частота колебания (число колебаний за 2 секунд).

Используются также следующие понятия:

T – период колебания (время одного полного колебания). T = 2/0.

 – частота колебания (число колебаний за 1 секунду): .

Для рассматриваемых осцилляторов периоды колебаний равны:

пружинного маятника ; (3)

для математического ; (4)

для физического . (5)

В формуле (5) величина I – момент инерции физического маятника относительно оси O.

Энергия гармонического осциллятора складывается из кинетической и потенциальной энергий и в любой момент времени остается постоянной:
E = kxm2/2 или E = m02xm2/2 . (6)
2. Свободные затухающие колебания

При малых колебаниях и небольших скоростях сила сопротивления среды пропорциональна величине скорости Fсопр = – rV, где r – постоянная, называемая коэффициентом сопротивления. Тогда уравнение колебаний можно представить следующим образом:

, (7)

где ; 0 – собственная частота колебаний.

Решение уравнения (7) ( при условии 0> ) имеет вид
x = xm0e-tcos(t+), (8)
где . (9)
График этой функции дан на рис. 2.



Рис. 2

Таким образом, данные колебания можно рассматривать как гармонические с частотой  и с амплитудой, убывающей по закону

xm(t) = xm0e-t (10)
Для характеристики быстроты затухания колебаний применяется несколько величин:

 – коэффициент затухания, величина обратная времени, за которое амплитуда колебаний уменьшится в e раз;

 – время релаксации, за которое амплитуда колебаний уменьшится в e раз: ;

 - логарифмический декремент затухания. По определению – это натуральный логарифм двух последовательных амплитуд колебаний.

. (11)

По физическому смыслу  – это величина, обратная числу колебаний, за время которых амплитуда колебаний уменьшится в e раз. Связь его с коэффициентом затухания выражается формулой

   ; (12)
Q – добротность колебательной системы. По определению Q – это отношение числа  к логарифмическому декременту затухания колебаний:
Q = / . (13)
Если в уравнении (7) 0, то колебания в системе невозможны. При выведении ее из положения равновесия происходит апериодический процесс возврата системы в исходное состояние.
3. Вынужденные колебания

Если вынуждающая сила, действующая на колебательную систему, изменяется по гармоническому закону

F = Fm cos(t) ,
то дифференциальное уравнение вынужденных колебаний можно представить в виде

, (14)
где  – коэффициент затухания , а 0 – собственная частота колебаний системы. Это неоднородное дифференциальное уравнение (с правой частью, не равной нулю). Из теории дифференциальных уравнений известно, что общее решение уравнения такого вида представляет собой сумму общего решения однородного уравнения затухающих колебаний, рассмотренного ранее, и частного решения данного неоднородного уравнения. При этом первое убывающее слагаемое играет роль только во время установления колебаний. На рис. 3 показан примерный вид зависимости x(t), описываемой уравнением (14).



B установившемся режиме вынужденные колебания являются гармоническими, незатухающими, происходят с частотой вынуждающей силы . Их уравнение
x = xmcos (t + ) (15)
П

Рис. 3
ри этом амплитуда xm вынужденных колебаний равна , (16) а сдвиг фаз этих колебаний  по отношению к вынуждающей силе определяется из равенства

. (17)

Зависимость вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы (16) приводит к тому, что при некоторой определенной для данной системы частоте амплитуда колебаний достигает максимального значения. Это явление называется резонансом, а соответствующая частота – резонансной частотой. Исследование равенства (16) дает

. (18)




Рис. 4

Графики зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы  (резонансные кривые), соответствующие различным значениям параметра , показаны на рис. 4.


4. Сложение гармонических колебаний

При сложении двух гармонических колебаний, одинаково направленных и одинаковой частоты, описываемых уравнениями
, (19)
результирующее колебание будет также гармоническим и иметь частоту 0:

x = xmcos(0t + ) , (20)
где амплитуда xm и начальная фаза  равны соответственно:
(21)

При сложении двух гармонических колебаний одного направления с мало отличающимися частотами, которые задаются уравнениями

(22)

где   , результирующее колебание является гармоническим с пульсирующей амплитудой. Такие колебания называются биениями.

Уравнение биений имеет вид

(23)

При сложении двух взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой частоты, уравнения которых имеют вид

(24)

точка движется по траектории

(25)

В зависимости от разности фаз  складываемых колебаний возможны частные случаи:

1.  = 0 – точка движется по прямой

2.  =  – точка движется по прямой

В обоих случаях это гармоническое колебание, происходящее по закону

(26)

3.  = /2 – точка движется по эллипсу, уравнение которого:

(27)


Электромагнитные колебания
При электромагнитных колебаниях в колебательной системе происходят периодические изменения физических величин, связанных с изменениями электрического и магнитного полей . Простейшей колебательной системой такого типа является колебательный контур, то есть цепь, содержащая индуктивность и емкость.

Благодаря явлению самоиндукции в такой цепи возникают колебания заряда на обкладках конденсатора, силы тока, напряженностей электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки, энергии этих полей и т.д. При этом математическое описание колебаний оказывается полностью аналогичным рассмотренному выше описанию механических колебаний. Приведем таблицу физических величин, являющихся взаимными аналогами при сравнении двух типов колебаний.


Механические колебания пружинного маятника

Электромагнитные колебания в колебательном контуре

m – масса маятника

L – индуктивность катушки

k – жесткость пружины

– величина, обратная емкости конденсатора.

r – коэффициент сопротивления среды

R – активное сопротивление контура

x – координата маятника

q – заряд конденсатора

 – скорость маятника

i – cила тока в контуре

Ер – потенциальная энергия маятника

WE – энергия электр. поля контура

Ек – кинетическая энергия маятника

WH – энергия магнит. поля контура

Fm – амплитуда внешней силы при вынужденных колебаниях

Em – амплитуда вынуждающей ЭДС при вынужденных колебаниях

Таким образом, все математические соотношения, приведенные выше, можно перенести на электромагнитные колебания в контуре, заменив все величины на их аналоги. Например, сравним формулы для периодов собственных колебаний:



– маятник,

– контур. (28)

Налицо их полная идентичность.
Волны
Волна – это процесс распространения колебаний в пространстве. В зависимости от физической природы процесса волны делятся на механические (упругие, звуковые, ударные, волны на поверхности жидкости и т. д.) и электромагнитные.

В зависимости от направления колебаний волны бывают продольные и поперечные. В продольной волне колебания происходят вдоль направления распространения волны, а в поперечной – перпендикулярно этому направлению.

Механические волны распространяются в некоторой среде (твердой, жидкой или газообразной). Электромагнитные волны могут распространяться и в пустоте.

Несмотря на разную природу волн, их математическое описание практически одинаково, подобно тому, как механические и электромагнитные колебания описываются уравнениями одинакового вида.
Механические волны
Приведем основные понятия и характеристики волн.

 – обобщенная координата – любая величина, совершающая колебания при распространении волны (например, смещение точки от положения равновесия).

 – длина волны – наименьшее расстояние между точками, колеблющимися с разностью фаз 2 (расстояние, на которое волна распространяется за один период колебаний):

   , (29)

где  – фазовая скорость волны, T – период колебаний.

Волновая поверхность – геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе.

Фронт волны – геометрическое место точек, до которых дошли колебания к данному моменту времени (передняя волновая поверхность).

В зависимости от формы волновых поверхностей волны бывают плоские, сферические и т. п.

Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси x, имеет вид
(х,t) = mcos(t – kx) , (30)

где – волновое число.
Уравнение плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении:

, (31)
где – волновой вектор, направленный по нормали к волновой поверхности.

Уравнением сферической волны будет

, (32)

из чего видно, что амплитуда сферической волны убывает по закону 1/r.

Фазовая скорость волны, т.е. скорость, с которой движутся волновые поверхности, зависит от свойств среды, в которой распространяется волна.

– (33)

фазовая скорость упругой волны в газе, где  – коэффициент Пуассона,  – молярная масса газа, T – температура, R – универсальная газовая постоянная.
– (34)

фазовая скорость продольной упругой волны в твердом теле, где E – модуль Юнга,

 – плотность вещества.
– (35)

фазовая скорость поперечной упругой волны в твердом теле, где G – модуль сдвига.

Волна, распространяясь в пространстве, переносит энергию. Количество энергии, переносимой волной через некоторую поверхность в единицу времени, называется потоком энергии Ф. Для характеристики переноса энергии в разных точках пространства вводится векторная величина, называемая плотностью потока энергии . Она равна потоку энергии через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространению волны, а по направлению совпадает с направлением фазовой скорости волны.

, (36)

где w – объемная плотность энергии волны в данной точке.

Вектор иначе называется вектором Умова.

Среднее по времени значение модуля вектора Умова называется интенсивностью волны I.

I = < j > . (37)
Электромагнитные волны
Электромагнитная волна – процесс распространения в пространстве электромагнитного поля. Как говорилось ранее, математическое описание электромагнитных волн аналогично описанию механических волн, таким образом, необходимые уравнения можно получить, заменив в формулах (30) – (33)  на или , где –напряженности электрического и магнитного полей. Например, уравнения плоской электромагнитной волны выглядят следующим образом:
. (38)
Волна, описываемая уравнениями (38), показана на рис. 5.



Как видно, векторы и образуют с вектором правовинтовую систему. Колебания этих векторов происходят в одинаковой фазе. В вакууме электромагнитная волна распространяется со скоростью света С = 3108 м/с. В веществе фазовая скорость

Рис. 5

электромагнитной волны равна , (39) где  – относительная диэлектрическая проницаемость,  – относительная магнитная проницаемость вещества.

Величина называется при этом абсолютным показателем преломления вещества. Вектор плотности потока энергии электромагнитной волны носит название вектора Пойнтинга . В соответствии с равенством (36 )

, где w – плотность энергии электромагнитной волны. Кроме того, вектор можно представить в виде: , (40)

а интенсивность электромагнитной волны в соответствии с (37)

I = < S > (41)

Электромагнитная волна, падая на вещество, оказывает на него давление, которое выражается формулой P = (1+) , (42)

где  – коэффициент отражения.
Волновая оптика
Волновая оптика рассматривает круг явлений, связанных с распространением света, которые можно объяснить, представляя свет как электромагнитную волну.

Основное понятие волновой оптики – световая волна. Под световой волной понимают электрическую составляющую электромагнитной волны, длина волны которой в вакууме 0 лежит в пределах 400 – 700 нм. Такие волны воспринимает человеческий глаз. Уравнение плоской световой волны можно представить в виде
E = Acos(t – kx + 0) , (43)
где А – принятое обозначение амплитуды светового вектора Е, 0 – начальная фаза (фаза при t = 0, x = 0).

В среде с показателем преломления n фазовая скорость световой волны равна  = c/n, а длина волны  = 0/n . (44)

Интенсивность световой волны, как следует из (41), определяется средним значением вектора Пойнтинга I = < S >, и можно показать, что

I  A2 , (45)

т.е. пропорциональна квадрату амплитуды световой волны.
Интерференция световых волн
Интерференцией называется явление перераспределения энергии в пространстве при наложении когерентных волн.

Когерентными называются волны одного направления, с одинаковыми плоскостями колебаний светового вектора, одинаковой частотой и с постоянной во времени разностью фаз.

Когерентные волны можно получить, разделяя одну световую волну на две с помощью отражения и преломления света.

Условия наблюдения максимумов и минимумов интерференции определяются разностью фаз складываемых колебаний.

(46)

Разность фаз интерферирующих волн связана с оптической разностью хода
  l2l1 ,
где l – оптическая дина пути световой волны. При этом l = Sn, где S – геометрическая длина пути световой волны в однородной среде с показателем преломления n. Кроме того, при нахождении l надо учитывать, что при отражении от оптически более плотной среды световая волна меняет фазу на . В этом случае к оптической длине пути надо прибавить (или отнять) 0/2.

Связь разности фаз с оптической разностью хода дает общие условия наблюдения интерференционных максимумов и минимумов:

(47)



Рис. 6




Рассмотрим основные случаи интерференции

1. Интерференция наблюдается на экране, расположенном параллельно двум когерентным источникам в виде щелей (опыт Юнга, зеркала Френеля, бипризма Френеля) (Рис. 6).

L – расстояние от экрана до источников, отстоящих друг от друга на расстоянии d (d << L);

x – расстояние от центра интерференционной картины до k-ой интерференционной полосы.


Тогда (48)


d

n



1

2



Рис. 7


2. Интерференция при отражении от тонких пленок. При падении света на тонкую пленку происходит отражение от обеих поверхностей пластинки. В результате возникают когерентные волны 1 и 2, которые могут интерферировать (рис. 7). При этом
, (49)
где d – толщина пленки, n – показатель преломления,  – угол падения, 0/2 – добавочная разность хода, учитывающая смену фазы на  при отражении 1-й волны от более плотной среды (пленки).




r

R

n

Рис. 8


3. Кольца Ньютона – пример полос равной толщины, наблюдаемых при отражении света от соприкасающихся друг с другом плоскопараллельной стеклянной пластинки и плосковыпуклой линзы с большим радиусом кривизны (рис. 8).
Тогда радиусы темных колец Ньютона в отраженном свете , (50) а радиусы светлых колец Ньютона в отраженном свете

. (51)
Здесь R – радиус кривизны линзы, n – показатель преломления вещества между линзой и пластинкой.
Дифракция световых волн
Дифракцией называется огибание волной препятствий. Дифракция выражена достаточно сильно, если длина волны соизмерима с размерами препятствия. Возникновение дифракции можно объяснить с помощью принципа Гюйгенса: каждая точка, до которой доходит волновое движение, служит центром вторичных волн; огибающая этих волн дает положение фронта волны в следующий момент. Для количественной оценки результатов дифракции и нахождения амплитуды результирующей волны в любой точке пространства Френель дополнил принцип Гюйгенса представлением о когерентности вторичных волн и их интерференции.

Различают: 1) дифракцию плоской волны – дифракцию Фраунгофера и 2) дифракцию сферической волны – дифракцию Френеля

Расчеты с использованием принципа Гюйгенса – Френеля – чрезвычайно трудная задача. Поэтому для качественной оценки результатов дифракции Френель предложил разбивать фронт волны не на бесконечное множество точечных источников, а на конечное число зон. Зонами Френеля называются участки фронта волны, построенные таким образом, что расстояние от краев каждой зоны до точки наблюдения отличаются на /2.



Рис. 9

Построение зон для сферической волны, испущенной источником S, показано на рис. 9. Колебания, приходящие в точку наблюдения P от аналогичных точек двух соседних зон, будут находиться в противофазе. Поэтому и результирующие колебания, создаваемые каждой из зон в целом, будут для соседних зон отличаться по фазе на .

Радиус внешней границы k-ой зоны Френеля в этом случае

, (52)

где а – расстояние от источника света до фронта волны, b – расстояние от точки наблюдения до вершины фронта волны О.

Для плоской волны радиус находится как
. (53)


/2



P

a

Рис. 10


Для качественной оценки результата дифракции на малом круглом отверстии достаточно найти количество зон Френеля, попавших в это отверстие. Если количество зон четное, то в точке Р будет минимум, если нечетное – максимум.

Аналогично оценивается дифракция Фраунгофера на узкой щели (рис. 10).

Открытая часть фронта волны, дошедшей до щели, разбивается на параллельные краям щели зоны Френеля шириной , где  – угол дифракции. Таких зон на ширине щели укладывается . Если N четное, то в точке Р – минимум, если N нечетное, то в точке P – максимум. Тогда
(54)

a

d
Большое практическое значение имеет дифракция Фраунгофера на так называемой дифракционной решетке. Дифракционной решеткой называется совокупность большого числа одинаковых, отстоящих друг от друга на одно и то же расстояние, щелей (рис. 11).





=dsin

P
Рис.11


Расстояние d между серединами соседних щелей называется постоянной или периодом решетки. При этом в направлениях, для которых разность хода волн от соседних щелей равна целому числу длин волн, будут наблюдаться максимумы интенсивности, называемые главными. Таким образом, условие главных максимумов имеет вид
dsin = 2k/2, k = 0, 1, 2... (55)
При этом интенсивность главных максимумов Imax пропорциональна интенсивности I , создаваемой в направлении  одной щелью. Imax = N2I , (56),

где N – общее число щелей решетки.

Дифракционная решетка служит спектральным прибором, разрешающая способность которого (57)

где  – наименьшая разность длин волн двух близких спектральных линий с длинами волн  и +, при которых они еще воспринимаются раздельно (разрешаются).

Разрешающая способность дифракционной решетки может быть найдена по формуле

R = kN, (58)
где k – порядок дифракционного спектра, N – общее число щелей решетки.

Поляризация световых волн
В естественном свете колебания различных направлений быстро и беспорядочно сменяют друг друга. Свет, в котором направления колебаний упорядочены каким-либо образом, называют поляризованным. Обычно ограничиваются рассмотрением плоскополяризованного света, то есть такого, в котором колебания светового вектора происходят только в одной плоскости.

Плоскополяризованный свет получают из естественного с помощью приборов – поляризаторов. Эти приборы пропускают только колебания, параллельные плоскости, называемой плоскостью поляризатора. Если через поляризатор пропустить естественный свет с интенсивностью Iест , то интенсивность прошедшего поляризованного света


A0

A



Плоскость

поляризатора

I

I0

Рис.12


I = 0,5Iест . (59)

Если на поляризатор падает уже плоскополяризованный свет с амплитудой А0 и интенсивностью I0 (рис. 12), то сквозь прибор пройдет составляющая колебания с амплитудой А = А0 cos , где  – угол между плоскостью колебаний падающего света и плоскостью поляризатора. Следовательно, интенсивность прошедшего света I определяется выражением
I = I0 cos2 (60)
Соотношение (60) носит название закона Малюса.

Действие поляризаторов разных типов основано либо на явлении поляризации света при отражении его от диэлектрика, либо на поляризации при двойном лучепреломлении, которое наблюдается при прохождении света через анизотропные вещества (кристаллы).



Б

n1

n2

Полностью поляризованный свет

Частично поляризованный свет

Естеств. свет




Рис.13


В первом случае имеет место закон Брюстера, который гласит, что отраженный от диэлектрика свет будет полностью поляризован, если тангенс угла падения Б равен относительному показателю преломления сред n21 = n2/n1 (рис. 13):
tgБ = n21 . (61)


Примеры решения задач

1. Материальная точка массой m = 5 г совершает гармонические колебания с частотой  = 0,5 Гц. Амплитуда xm = 3 см. Определить: а) Скорость точки в момент времени, когда координата х = 1,5 см; б) максимальную силу Fmax, действующую на э
Дано:

m = 1 г

 = 0,5 Гц

xm = 3 см

x = 1,5 см
Найти: v, Fmax, E
ту точку; в) полную энергию Е колеблющейся точки.

Решение

а) Уравнение гармонического колебания имеет вид

х = xmcos(t + ) (1). Для нахождения проекции скорости точки возьмем первую производную по времени от координаты х

х = dx/dt = –xmsin(t + ). (2).

Чтобы выразить проекцию скорости через координату, нужно исключить время из формул (1) и (2). Для этого возведем оба уравнения в квадрат, разделим первое на xm2, второе на xm22 и сложим:

x2/xm2 + х2/(xm22) = 1;

 = 2  x2/xm2 + Vх2/(xm2422) = 1

Найдем выражение для проекции скорости точки

х2 = xm2422(1 – x2/xm2) = 422(xm2– x2)



Знак плюс соответствует направлению вектора скорости, совпадающему с положительным направлением оси x, знак минус – с отрицательным.

б) Проекцию силы, действующей на точку, найдем по второму закону Ньютона Fх = maх (3), где aх – проекция ускорения точки, которую можно получить, взяв производную по времени от проекции скорости:

ах = dх/dt = –xm2cos(t + ) = –422xmcos(t + ) ,

Fх = – 422mxmcos(t + ).

Максимальное значение силы будет при cos(t + ) = – 1 

Fmax = 422mxm ,

Fmax = 43,1420,520,0050,03 = 1,49 мН

в) Полная энергия колеблющейся точки есть сумма кинетической и потенциальной энергий, вычисленных для любого момента времени. W = Wk + Wп. В соответствии с законом сохранения полной механической энергии в момент, когда кинетическая энергия достигает максимального значения, потенциальная энергия равна нулю. Поэтому полная энергия W колеблющейся точки равна максимальной кинетической энергии Wk max:

W = Wk max = m2max /2 . (4)

Максимальную скорость найдем из (2) при sin(t + ) = –1; max = 2xm . (5) Подставим (5) в (4): W = 22m2xm2

W = 23,1420,0050,520,032 = 22,1 мкДж.
2. Гиря массой 0,5 кг подвешена к пружине, жесткость которой k = 32,0 Н/м и совершает затухающие колебания. Определить их период, если за время двух колебаний (N = 2) амплитуда уменьшилась в  = 20 раз. Какова добротность данного осциллятора, если под действием вынуждающей вертикальной гармонической силы с частотой  = 10 с-1 гиря будет совершать установившиеся колебания. При этом смещение гири будет отставать по фазе от вынуждающей с
Дано:

m = 0,5 кг

k = Н/м

N = 2

 = 20

 = 10 с-1

 = 3/4
Найти: T, Q
илы на  = 3/4.

Решение

В данной задаче следует рассмотреть два случая.

1) Сопротивление среды уменьшает частоту свободных колебаний и приводит к их затуханию.

2) Под действием вынуждающей силы гиря совершает установившиеся гармонические колебания.

Решим первую задачу.

Период затухающих колебаний может быть найден через циклическую частоту затухающих колебаний :



где 0 – собственная циклическая частота,  – коэффициент затухания.

,

где  – логарифмический декремент затухания.



Выразим период колебаний: . (1)

Закон убывания амплитуды затухающих колебаний: xm = xm(0)e-t = xm(0)e-t / T. По условию xm(0)/xm = . Число колебаний N = t/T, где t – общее время колебаний, T – время одного колебания (период). xm(0)/xm = eN = . Логарифмируя, получим  = ln()/N. (2) Подставим выражение (2) в (1): . Подставив числовые значения, получим T = 0,81 c.

Во втором случае на гирю будет действовать вынуждающая сила, изменяющаяся по гармоническому закону: F = F0cos t.

Тогда (с учетом отставания по фазе на  = 3/4) гиря будет совершать установившиеся вынужденные колебания по закону x(t) = xmcos(t – ).

Амплитуда вынужденных колебаний



Добротность осциллятора



Сдвиг фаз между смещением и возмущающей силой зависит от соотношения между циклическими частотами вынужденных колебаний  и свободных незатухающих колебаний 0:



Дано:

 = 15 м/с

Т = 1,2 с

m = 2 м

x = 45 м

t = 4 с

x1 = 20 м

x2 = 30 м
Найти:, , ,

, , 
3. Поперечная волна распространяется вдоль упругого шнура со скоростью  = 15 м/с. Период Т колебаний точек шнура равен 1,2 с, амплитуда m = 2 м. Определить: а) длину волны ; б) фазу  колебаний, смещение , скорость и ускорение точки, отстоящей на расстоянии х = 45 м от источника волны в момент t = 4 с.; в) разность фаз  колебаний двух точек, лежащих на луче и отстоящих от источника волн на расстояниях х1 = 20 м. и х2 = 30 м.

Решение

а) Длина волны может быть найдена через скорость ее распространения и период:

 = T;

 = 151,2 = 18 м

б) Уравнение волны для смещения колеблющейся точки:

 = mcos (t – x/),

где х – расстояние точки от источника волн;

Фаза колебаний точки с координатой х в момент времени t определяется выражением, стоящим в уравнении волны под знаком косинуса:

 = ( t– x/) = 2/t(t – x/) ,

 = 23,14/1,2(4 – 45/15) = 5,24 рад = 300о.

При этом смещение точки в момент t = 4 c

 = 2cos(23,14/1,2)(4 – 45/15) = 0,01 м.

Скорость точки находим взяв первую производную от смещения по времени:

.

Подставив численные значения, получим .

Ускорение есть первая производная от скорости по времени:

.

После вычислений .

в) Разность фаз  колебаний двух точек волны связана с расстоянием между ними х соотношением

 = 2х/=2/(х2 – х1);

 = 23,14/18(30 – 20) = 3,49 рад = 200о.
4. Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью С = 5,0 мкФ и катушки индуктивностью L = 0,2 Гн. Определить максимальную силу тока I0 в контуре, если максимальная разность потенциалов на обкладках конденсатора Um = 90 В. Сопротивлением контура пренебречь. Какой будет добротность контура, если в него включить активное сопротивление R = 10 Ом?


Дано:

С = 5,0 мкФ

L = 0,2 Гн

Um = 90 В

R = 10 Ом
Найти: I0, Q



Решение

Первую часть задачи можно решить двумя способами: путем исследования уравнений свободных электромагнитных колебаний и на основе закона сохранения энергии.

1 способ: При R = 0 в контуре будут незатухающие колебания:

q = qmsin(0t + 0)

Используя определение силы тока, продифференцируем обе части уравнения по времени:

I = dq/dt = 0qmcos(0t + 0),

где Im = 0qm – амплитудное значение силы тока,

– собственная частота колебательного контура,

qm = CUm

,

.

2 способ: В процессе незатухающих электромагнитных колебаний полная электромагнитная энергия контура, равная сумме энергий электрического поля конденсатора CU2/2 и магнитного поля катушки LI2/2, остается постоянной. При этом в те моменты, когда конденсатор максимально заряжен (U = Um), сила тока равна нулю. Следовательно, полная энергия контура W = CUm2/2.

В то время, когда конденсатор разряжен (U = 0), сила тока достигает максимального значения Im. Тогда полная энергия контура W = LIm2/2.

CUm2/2 = LIm2/2  .

При включении в колебательный контур активного сопротивления колебания в нем будут затухающими. Добротность контура может быть найдена через логарифмический декремент :

Q = / ,

 = T, где  – коэффициент затухания,

 = R/(2L),

 = RT/(2L).

Период колебаний находим по формуле Томсона: ,


5. Поток солнечной энергии на орбите Земли равен 1340 Вт/м2. Чему равны амплитуды Em и Hm плоской электромагнитной волны с такой средней плотностью потока энергии? Какое давление оказывает волна, которая падает по нормали на поверхность тела, полностью ее поглощающего?

Решение


  1. Дано

    = 1340 Вт/м2

    Найти

    Em, Hm, P
    Плотность потока энергии, переносимой электромагнитной волной, определяется модулем вектора Пойнтинга. По определению,


S = EH,

где E = Emcos(t – kx) –мгновенное значение напряженности электрического поля волны, H = Hmcos(t – kx) –мгновенное значение напряженности магнитного поля волны.

 – циклическая частота, k = / – волновое число, Em и Hm – амплитуды напряженностей электрического и магнитного полей волны соответственно.

Мгновенное значение модуля вектора Пойнтинга

S = EmHmcos2(t – kx),

а его среднее за период T = 2/ значение
= 1/2EmHm (так как 2(t – kx)> = 1/2).

Учитывая, что , получим

(здесь учтено, что волна распространяется в вакууме, где  = 1 и  = 1).

Тогда искомые амплитуды Em и Hm:



Подставляя числовые данные, получим



2) Давление, оказываемое электромагнитной волной на тело, полностью ее поглощающее, определяется средним значением объемной плотности энергии в падающей волне, т.е.

p = .
Согласно определению, мгновенное значение объемной плотности энергии:

,

а среднее значение

.

Учитывая связь величин Em и Нm, а также то обстоятельство, что волна распространяется в вакууме, получим

.

Так как скорость распространения электромагнитных волн в вакууме , запишем

= /c.
Тогда искомое давление p = /c. Подставив числовые данные, получим

p = 1340/(3108) = 4,510-6 Па = 4,5 мкПа.

6. Монохроматический пучок света с длиной волны  = 0,6 мкм падает под углом  = 30о на находящуюся в воздухе мыльную пленку (показатель преломления мыльной воды n = 1,33). При какой наименьшей толщине dmin пленки отраженный свет будет максимально усилен интерференцией? Максимально ослаблен?

Р
Дано:

 = 0,6 мкм

 = 30о

n = 1,33
Найти: dmin
ешение


Пусть луч света, исходящий из источника S, падает под углом  на плоскопараллельную пленку (пластинку) некоторой толщины d (рис. 14). Интерференционная картина наблюдается в точке P фокальной плоскости собирающей линзы в результате наложения световых лучей, отразившихся от верхней и нижней поверхностей пленки. В зависимости от оптической разности хода  этих лучей в точке Р будет наблюдаться усиление или ослабление колебаний света.

Луч света от источника S падает на поверхность пластинки, частично отражаясь и частично преломляясь в точке А. Оптическая разность хода между лучами SABCP(луч 2) и SAEP (луч 1):  = (AB+BC)n – (AE + /2), где величина /2 представляет собой добавочную разность хода, возникающую при отражении световой волны (луч 1) в точке А от оптически более плотной, чем воздух, среды (мыльная вода). При отражении преломленного луча в точке В на границе между водой и воздухом подобная добавочная разность хода не возникает, так как луч отражается от оптически менее плотной среды (воздух).

Из рис. 14 АВ = ВС = d/cos; AE = ACsin = 2dtgsin.





P





S

1

2

E

C

A

B



n

d

Рис. 14


Воспользовавшись законом преломления sin = nsin, запишем выражение АЕ в виде

АЕ = 2dnsin2/cos.

Подставив в выражение оптической разности хода  вместо АВ, ВС и АЕ их значения, найдем

Таким образом,  представляет собой ту оптическую разность хода, с которой лучи интерферируют в точке Р. Максимумам интенсивности соответствует условие  = k или



минимумам интенсивности – условие

 = (2k + 1)/2

или где k = 0, 1, 2,...

Таким образом, можно найти набор возможных значений толщины d пленки, при которой свет будет максимально усилен:


Рис.5.14


d = dmin при k = 0, т.е. .

Аналогично определим возможные значения толщины d пленки, при которой свет будет максимально ослаблен:



d = dmin при k = 0, т.е. .

Подставив числовые данные, получим


7. Дифракционная решетка имеет ширину 25 мм и содержит 250 штрихов на 1 мм. Фокусное расстояние объектива, в фокальной плоскости которого находится экран, равно 80 см. Свет падает на решетку нормально. Исследуемый спектр содержит спектральные линии с длинами волн 1 = 310,54 нм и 2 = 310,184 нм. Определить: а) общее число дифракционных максимумов, которое дает дифракционная решетка; б) расстояние на экране между данными спектральными линиями в спектрах первого и второго порядков; в) будут ли они разрешены в этих порядках спектра.


Дано:

b = 25мм

n = 250 1/мм

F = 80см

1 = 3,1015410-7 м

2 = 3,1018410-7 м

Найти:

а) N

б) l1; l2;

в) R(1); R(2)
Решение

Для того чтобы наблюдение дифракционной картины проводить в параллельных лучах, следует расположить экран наблюдения бесконечно далеко от решетки либо за решеткой поместить собирающую линзу с фокусным расстоянием F, а экран наблюдения - в ее фокальной плоскости. В этом случае в каждую точку экрана будут приходить вторичные волны, образующие за решеткой плоский волновой фронт, повернутый по отношению к фронту падающей волны на определенный угол дифракции . Те углы дифракции, для которых волны, излучаемые всеми щелями, будут усиливать друг друга, соответствуют главным максимумам. Благодаря периодичности решетки, достаточно найти условия, при которых волны, излучаемые двумя соседними щелями, усиливают друг друга. Это происходит тогда, когда оптическая разность хода  между вторичными волнами, излученными соответственными источниками двух соседних щелей, равна целому числу длин волн:

 = dsin = k, где k = 0, 1, 2, ..

а) Для определения общего числа дифракционных максимумов, даваемых данной дифракционной решеткой, вычислим сначала максимальное значение kmax, соответствующее максимуму наибольшего порядка, исходя из того, что максимальный угол отклонения лучей решеткой не может превышать 90.

kmax = dsin90/.

Здесь d=1/n. Подставив числовые данные, получим kmax = 12,8968 для 1 и kmax = 12,8956 для 2. Число k должно быть целым. В то же время оно не может принять значение, равное 13, так как при этом значении sin должен быть больше единицы, что невозможно. Следовательно, kmax = 12.

Общее число N максимумов дифракционной картины, полученной с помощью данной решетки, определяется следующим образом:

N = 2kmax + 1,

так как влево и вправо от центрального (нулевого) максимума будет наблюдаться по одинаковому числу максимумов, равному kmax (всего 2 kmax), и плюс нулевой максимум . Таким образом, N = 212 + 1 = 25.

б) Найдем положения на экране дифракционных максимумов k-ого порядка для спектральных линий с длинами волн 1 и 2:
l1 = Ftg1; l2 = Ftg2,

где 1 и 2 – углы дифракции спектральных линий 1 и 2 соответственно. Используя формулу дифракционной решетки, получим

.

Искомое расстояние l на экране между спектральными линиями 1 и 2 в спектре k-го порядка:

.

Произведя соответствующие вычисления, получим
l1 = 6,110-6 м при k = 1,

l2 = 12,410-6 м при k = 2.
в) Для того чтобы две спектральные линии с длинами волн 1 и 2 были разрешены, т.е. видны раздельно в спектре, необходимо минимальное значение разрешающей способности дифракционной решетки:

.

Разрешающую способность решетки в спектре k-го порядка можно определить по формуле

R = kN, где N – общее число штрихов решетки.

Таким образом, R = kb/d = kbn. Отсюда разрешающая способность данной решетки в спектре 1-го порядка

R(1) = 12,510-22,5105 = 6250,

а в спектре 2-го порядка

R(2) = 22,510-22,5105 = 12 500.

Следовательно, в спектре 1-го порядка две спектральные линии с длинами волн 1 и 2 разрешены не будут, а в спектре 2-го порядка они разрешены.
8. Естественный свет падает на систему из трех последовательно расположенных одинаковых поляризаторов, причем направление главной плоскости среднего поляризатора составляет угол  = 60о с направлением главных плоскостей двух других поляризаторов. Каждый поляризатор обладает поглощением таким, что при падении на него света коэффициент пропускания составляет 0,81. Во сколько раз уменьшится интенсивность света после прохождения этой системы?


Дано:

 = 60

 = 0,81

Найти: I0/I3
Решение

Рассмотрим процесс прохождения света последовательно через первый , второй и третий поляризаторы. Интенсивность I0 естественного света, прошедшего через первый поляризатор, ослабляется в два раза при условии 100-процентного пропускания света поляризатором. Если коэффициент пропускания  = 0,81 (или 81 %), то интенсивность I1 поляризованного света, вышедшего из первого поляризатора, будет определяться соотношением I1 = I0/2 .
Интенсивность I2 света, выходящего из второго поляризатора, определяется законом Малюса I2 = I1cos2, при условии 100-процентного пропускания света поляризатором. Угол  – это угол между главными плоскостями первого и второго поляризаторов. Учитывая потери интенсивности на поглощение и отражение, интенсивность поляризованного света, вышедшего из второго поляризатора:

I2 = I1cos2 = 2.

Рассуждая аналогичным образом, получим, что интенсивность поляризованного света, вышедшего из третьего поляризатора, определяется соотношением

I3 = I2cos2 = 3.

Таким образом, интенсивность света, прошедшего через систему трех поляризаторов, ослабляется в I0/I3 раз.

Подставляя числовые данные, получим


Задачи для самостоятельного решения
1. Складываются два колебания одинакового направления, выражаемых уравнениями: x1 = cos(t + 1/6) см и x2 = 2cos(t + 1/2) см. Определить амплитуды, периоды и начальные фазы складываемых и результирующего колебаний, написать уравнение результирующего колебания.

Ответ: T1 = T2 = 2 c; xm1 = 1 см; 1 = /6 рад.; xm2 = 2 см; 2 = /2 рад.; T = 2 с; xm = 2,64 см;  = 0,39 рад. Уравнение результирующего колебания: x = 2,64cos(t + 0,4) см.
2. Найти максимальное значение амплитуды смещения осциллятора, совершающего установившиеся колебания под действием вынуждающей гармонической силы с амплитудой F0 = 2,5 Н, если частота затухающих колебаний данного осциллятора  = 100 с-1 и коэффициент сопротивления среды r = 0,5 кг/с.

Ответ: xmax = F0/(r) = 0,05 м.
3. Найти смещение x от положения равновесия точки, отстоящей от источника колебаний на расстояние l = /12; в момент времени t = T/6. Амплитуда колебаний xm = 0,05 м.

Ответ: x = 2,5 см.
4. Колебательный контур имеет емкость 1,1 нФ и индуктивность 510-3 Гн. Логарифмический декремент затухания равен 0,005. За сколько времени потеряется вследствие затухания 99 % энергии контура?

Ответ: t = Tln100/(2) = 6,8 мс.
5. В вакууме вдоль оси x распространяется плоская электромагнитная волна. Интенсивность волны, то есть средняя энергия, проходящая через единицу поверхности за единицу времени составляет 4,71 мВт/м2. Определить амплитуду напряженности магнитного поля волны.

Ответ: Hm = 5 мА/м.
6. На пленку толщиной d = 367 нм падает под углом  параллельный пучок белого света. Показатель преломления пленки n = 1,4. В какой цвет будет окрашен свет, отраженный пленкой, если  равен: а) 90о; б) 60о ?

Ответ: а) красный цвет ( = 640 нм); б) синий цвет ( = 538 нм).
7. На каком расстоянии друг от друга будут находиться на экране две спектральные линии с длинами волн 1 = 577 нм и 2 = 579,1 нм в спектре первого порядка, полученном при помощи дифракционной решетки. Фокусное расстояние линзы, проектирующей спектр на экран, равно 0,6 м. Период решетки d = 2 мкм. Максимум какого наибольшего порядка дает эта решетка? Какое наименьшее число штрихов должна содержать решетка для разрешения данных спектральных линий в спектре наибольшего порядка?

Ответ: 0,72 мм; 3; 92.
8. Луч естественного света падает на систему из N последовательно расположенных поляризаторов, главная плоскость каждого из которых повернута на угол  = 10 относительно главной плоскости предыдущего поляризатора. В каждом поляризаторе поглощается 5 % падающего на него светового потока. Какая часть естественного света проходит через эту систему? Решить задачу для случая: а) N = 2; б) N = 4; в) N = 8.

Ответ: а) 0,44; б) 0,37; в) 0,27.

  1   2   3   4


Учебный материал
© bib.convdocs.org
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации