Лекции - Введение в эконометрику - файл n1.doc

Лекции - Введение в эконометрику
скачать (268.5 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc269kb.07.11.2012 03:06скачать

n1.doc

1. Предмет, задачи, методы эконометрики.

Вопросы.

1. Предмет эконометрики.

2. Задачи, критерии, принципы эконометрики.

3. Возможности статистических и математических методов в эконометрических расчетах.

1. Предмет эконометрики.

В современных условиях для более эффективной работы предприятий различных форм собственности необходимо широко использовать экономическую и статистическую информацию, характеризующую результаты хозяйственной деятельности.

Необходимо выделить роль факторов, которые положительно или отрицательно влияют на результаты хозяйствования. Одновременно, целесообразно выделить отдельно влияние факторов, которые непосредственное зависят от принятия управленческих решений данным объектом хозяйствования, и влияние факторов, которые от менеджмента на данном предприятии не зависят: изменение цен, тарифы, экономические нормативы, налоги. Их учет в эконометрических расчетах позволяет более правильно прогнозировать результаты хозяйственной деятельности в будущих периодах. Эконометрические расчеты помогают лучше понять хозяйственные явления и процессы, позволяют более достоверно формулировать выводы и давать прогнозы.

Эконометрика – наука, исследующая закономерности и взаимозависимости между различными факторами в экономике и бизнесе при помощи методов статистического анализа.

Это приложение статистических и математических методов к анализу экономических данных с целью наполнить эмпирическим содержанием экономическую теорию. Предпосылки, на которых основываются оценки факторов развития экономики, связаны с риском. Для уменьшения ошибок необходимо в идеале включить в эконометрические расчеты все без исключения факторы и выбирать наиболее эффективные методы оценки, которые обеспечили бы их достоверность.

Цель дисциплины – ознакомление с основными принципами применения математической статистики в экономике.

2. Задачи, критерии, принципы эконометрики.

Эконометрические расчеты содействуют правильной оценке влияния факторов на соблюдение принципов рыночной экономики и достижения экономических результатов от их внедрения. Может возникнуть ситуация, когда нужно составить представление о прогрессе на отдаленную перспективу. Например, при каком критерии будет не неизвестная рентабельность, а финансовые результаты в будущем. В настоящее время руководителю предприятия необходимо принимать решения в условиях неопределенности. В современных условиях предприятия должны определять стратегию своей хозяйственной деятельности, как на ближайшую, так и отдаленную перспективу.

Ход принятия управленческих решений должен учитывать их многовариантность, наличие неопределенности, оценку влияния факторов на каждый вариант, установление параметров оптимальности. Многовариантность в условиях неопределенности и влияние дополнительных факторов делает необходимой эконометрическую оценку различных вариантов управленческих решений. Эконометрические расчеты должны обеспечит выбор наилучшего варианта. Эконометрика призвана содействовать рассмотрению новых улучшенных альтернатив. Эконометрика должна систематически и эффективно обеспечивать непрерывный процесс принятия управленческих решений, который бы давал возможность достигать конечных целей или курса действий.

Наиболее важной задачей является выявление возможной цели руководителя и определения ее фактического достижения при различных вариантах осуществления процесса хозяйственной деятельности.

Основной задачей является проверка экономической теории на фактическом эмпирическом материале при помощи методов математической статистики. Эконометрический анализ позволяет предвидеть только те процессы, которые сохраняют основные тенденции развития либо повторялись несколько раз в прошлом. Задачей эконометрик и является прогнозирование путей развития микро- и макроэкономических факторов хозяйственной деятельности. Решения должны быть выработаны на основных надежных статистических данных, обработанных и обобщенных соответствующими эконометрическими методами.

Цель эконометрического анализа – разработка эконометрических моделей, позволяющих прогнозировать тенденции развития экономики и бизнес – процессов для получения наиболее эффективных и обоснованных решений. Эконометрические модели позволяют выявить особенности функционирования экономического объекта и на основе этого предсказывать будущее его поведение при изменении каких - либо параметров

В моделях переменные взаимосвязаны и могут быть оценены, что позволяет получить более качественный и надежный прогноз. Для любого экономического субъекта возможность прогнозирования ситуаций означает получение лучших результатов, избежания потерь и минимизация риска.

К критерия эконометрики относятся – цель, альтернативы, затраты, эффективность.

Принципы эконометрики.

1. Правильная постановка проблемы.

2. Системная направленность.

3. Попытка учета рыночной неопределенности.

4. Улучшение имеющихся и поиск новых альтернатив.

Выявление целей позволяет хозяйственному руководителю выбрать возможные варианты действий. Выбор альтернатив, т.е. способов достижения поставленных целей, может быть осуществлен по ранжированию их пользы. Последовательное взвешивание затрат по отношению к их эффективности делает процесс выдвижения альтернатив наиболее важным критерием эконометрических расчетов. Эконометрические расчеты позволяют выявить последствия и результаты, которые следует ожидать по каждой из альтернатив, а также дать характеристику как уровню затрат и их эффективности, так и степени достижения целей. Эконометрические расчеты нужно проводить постоянно, систематически повторяя их критерии. Важно не допустить выбор не правильной цели. Принцип учета неопределенности и попытку принять ее в экономических выводах необходимо выдержать для того, чтобы выявить неопределенность ситуации и оценить их влияние на эффективность хозяйствования.

3. Возможности статистических и математических методов в эконометрических расчетах.

Переход к рыночной экономике осуществляется при значительной степени неопределенности. В следствие того, что экономические явления не подлежат точной оценке неправильное применение методов оценки информации приводит к ошибочным выводам.

К статистическим и математическим методам относят сводку и группировку информации, корреляционный и информационный анализ, вариационный и регрессионный анализ, статистические уравнения зависимости. Сводка и группировка информации по определенным признакам проводится при наличии 25 единиц. При группировке совокупность делят на группы, выделяют основные типы и формы явлений. Рассматривают изменение признака от одной группы к другой, изучают зависимость результата признака от факторов, положенных в основание группы. При построении интервалов необходимо учитывать степень заполнения интервалов единицами совокупности, применение не равных интервалов, если изучаются неоднородные совокупности.

Дисперсионный анализ – логическое продолжение группировок. Для оценки вариации, обусловленной тем или иным признаком, совокупность разделяется на группы по признаку, влияния которого исследуется. Согласно правилу сложения дисперсии для расчета используется общую внутри группы и остаток дисперсий.

Математическими методами изучается зависимости.

2. Модели и их использование в экономике

Вопросы.

1. Необходимость построения эконометрических моделей.

2. Типы моделей.

3. Типы данных.

4. Основные этапы и проблемы экономического моделирования.

1. Необходимость построения эконометрических моделей.

Данные и наблюдения используются для того, чтобы получить количественные зависимости для экономических соотношений. Данные не являются экспериментом. Как правило, эконометрист формирует экономические модели, основываясь на экономических решениях и на эмпирических данных, оценивает неизвестное влияние параметров в этой модели, делает прогнозы и оценивает их точность и дает рекомендации по экономической политике. Существенным моментом является использование моделей. В большинстве случаев экономические законы выражаются в относительно простой минимальной форме. Функция потребления имеет вид:

ln C = b0 + b1 ln Y + b2 ln P

где

С – потребление некоторого пищевого продукта на душу населения в некотором году,

Y – реальный доход на душу населения в том же году,

Р – индекс цен на этот продукт скорректированный на общий индекс стоимости жизни,

b0, b1, b2 – константы.

Это уравнение называется уравнением поведения. Оно описывает в среднем поведение потребителя по отношению к покупке данного пищевого продукта в зависимости от уровня относительного уровня цен на продукт и реального душевого дохода. Закон поведения будет определен, как только найдем значения коэффициентов b0, b1, b2. Соответствующая задача эконометрики определена – оценить эти коэффициенты из подходящего набора наблюдений. Но это не единственная задача. Существуют ряд других вопросов, которые относятся к эконометрике. Например. Следовало бы включить в уравнение цены на непродовольственные товары. Не следует ли исключить из уравнения некоторые коэффициенты. На сколько корректно измерены данные. Верно ли, что модель линейна. Является ли модель полной. Что произойдет, если мы будем изучать спрос и предложение одновременно. И другие вопросы.

2. Типы моделей.

Математическая модель широко применяется в бизнесе, экономике, общественных науках и т.д. Для полного понимания сущности происходящих процессов, их анализа используются математические модели. Построение и персонифицирование на основы уже имеющихся объясняющих переменных модель может быть использована для прогноза значений зависимых переменных в будущем или для других наборов значений объясняющих переменных.

Выделяют 3 класса моделей, используемых для анализа и прогноза.

1. Модели временных рядов. К этому классу относят модели

- Тренда y(t) = T(t) + E(t)

где T(t) – временной тренд заданного параметрического ряда,

E(t) – случайная стохастическая компонента.

- Сезонности y(t) = S(t) + E(t)

где

S(t) – периодическая сезонная компонента,

E(t) – случайная стохастическая компонента.

- Тренда и Сезонности

y(t) = T(t) + S(t) + E(t) - аддитивная.

y(t) = T(t) S(t) + E(t) - мультипликативная.

Моделями временных рядов являются и множество более сложных моделей. В общих чертах их суть в том, что они объясняют поведение временного ряда исходя только из его предыдущих значений.

2. Регрессионные модели с 1 уравнением. В этих моделях зависимая, объясняемая переменная y представляется в виде функции

y = f(x1,x2,…,xn)

где x1,x2,…,xn – независимые объясняющие переменные или факторы.

В зависимости от вида функции модели делятся на линейные и нелинейные. Область применения таких моделей значительно шире, чем применение моделей временных рядов.

3. Системы одновременных уравнений. Эти модели описываются системами уравнений. Системы могут состоять из тождеств и регрессионных уравнений, каждое из которых можно кроме объясняющих переменных включать в себя и объясняемые переменные из других уравнений системы. Т.о. имеется набор объясняемых переменных, связанных через уравнения системы одновременных уравнений требует более сложного математического аппарата.

3. Типы данных.

Три модели экономических процессов различают 2 типа данных.

1. Пространственные данные

2. Временные ряды.

К 1 типу относят набор, сведенный по разным объектам в одном и том же периоде времени. Характерной особенностью 2 типа данных является то, что они упорядочены по времени, а наблюдение в близкие моменты времени зачастую бывают зависимы.

4. Основные этапы и проблемы экономического моделирования.

Можно выделить 6 основных этапов эконометрического моделирования.

1. Постановочный.

Формирует цель исследования, набор участвующих в модели экономических переменных. В качестве цели эконометрического моделирования обычно рассматривают анализ исследуемого экономического объекта, прогноз экономических показателей, имитацию развития объекта при различных значениях переменных, выработку управленческих решений.

При выборе эконометрических переменных необходимо теоретическое обоснование каждой переменой. При этом рекомендуется, чтобы число их было не очень большим и как минимум в несколько раз меньше числа наблюдений. Объясняющие переменные не должны быть связаны функциональной или корреляционной зависимостью, т.к. это приводит к невозможности оценки параметров модели или к получению не устойчивых, не имеющих реального смысла оценок, так называемой мультиколлинеарность. Для отбора переменных модели могут быть использованы следующие методы, в частности, процедуры пошагового отбора переменных. Для оценки влияния качественных признаков могут быть использованы фиктивные переменные. Определяющим при включении в модель тех или иных переменных является экономический качественный анализ исследуемого объекта.

2. Априорный. Проводится анализ сущности изучаемого объекта, формирование и формализация априорной информации, известной до начала моделирования.

3. Параметризация. Осуществление непосредственного моделирования, т.е. выбор общего вида модели, выявление входящих в нее связей. Основная задача, решаемая на этом этапе – выбор вида функции f(x). В частности возможность использования линейной функции, как наиболее простой и надежной.

Важной проблемой на этом этапе является спецификация модели. В частности, выражение в математической форме обнаруженных связей и соотношений, установление состава переменных: эндогенных, т.е. формируемых внутри объекта, и экзогенных, т.е. заданных из вне, формулировка исходных предпосылок и ограничений модели. От того, насколько удачно решена проблема спецификации модели зависит успех всего эконометрического моделирования.

4. Информационный. Осуществляется сбор необходимой статистической информации. Это могут быть наблюдения, полученные как с участием исследователя, так и без его участия (активный или пассивный эксперимент).

5. Идентификация модели. Осуществляется статистический анализ модели и оценка ее параметров.

6. Верификация модели. Проводится проверка истинности, адекватности модели. Выясняется, насколько удачно решены проблемы спецификации, идентификации модели. Какова точность расчетов по данной модели, на сколько соответствует построение модели, реальному экономическому процессу или объекту.

Приведенное разделение эконометрического моделирования на отдельные этапы носит достаточно условный характер, т.к. эти этапы могут пересекаться, взаимно дополнять друг друга и т.д.

3. Парная линейная регрессия. Корреляция.

Вопросы.

1. Спецификация моделей.

2. Смысл и оценка параметров линейной модели.

1. Спецификация моделей.

Одним из наиболее применяемых методов в эконометрике является корреляционный и регрессионный анализ, дающий возможность описать количественные взаимоотношения между эконометрическими переменными.

В зависимости от количества факторов, включаемых в уравнение регрессии, принято различать

простую или парную регрессию

y = f(x)

и множественную регрессию

y = f(x1,…,xn).

Любое эконометрическое исследование начинается со спецификации модели, т. е. с формулировки вида модели исходя из соответствующей теории связи между переменными. Исследование начинается с теории, устанавливающей связь между переменными. Прежде всего, из множества факторов, влияющих на результативный признак, необходимо выделить наиболее существенно влияющие факторы.

Парная регрессия достаточна, если доминирующий фактор используется в качестве объясняющей переменной. В каждом конкретном случае величина y складывается из двух слагаемых:

y = + ?,

где

y – фактическое значение результативного признака,

- теоретическое значение результативного признака, найденное исходя из соответствующей математической, функциональной связи, т.е. из уравнения регрессии,

? – возмущение, случайная величина, характеризующая отклонение реального значения результативного признака от теоретического, найденного по уравнению регрессии.

Присутствие возмущения порождено следующим.

1. Спецификация модели

- неверно выбрана функция,

- включены не все факторы.

2. Выборочный характер исходных данных. Ошибки выборки имеют место в силу неоднородности данных в исходной статистической информации. Если совокупность неоднородна, уравнение регрессии не имеет смысла. Для получения хорошего результата, обычно используют из совокупности единицы с аномальными значениями исследуемых признаков. В этом случае результаты регрессии представляют собой выборочные характеристики.

3. Ошибки измерения, сводящие на нет все усилия по количественной оценке связи.

В парной регрессии выбор вида математической функции может быть осуществлен тремя методами:

1. Графический.

2. Аналитический (по теории связи)

3. Экспериментальный (путем сравнения остаточной дисперсии, рассчитываемой при разных моделях).

2. Смысл и оценка параметров линейной модели.

Линейная регрессия находит широкое применение в экономике в виде четкой экономической интерпретации ее параметров. Линейная регрессия сводится к нахождению уравнения вида:

= a + bx.

Это уравнение позволяет по заданным значениям фактора х иметь теоретическое значение результативного признака, подставляя в него фактическое значение фактора х.

Коэффициент b является коэффициентом регрессии и характеризует наклон прямой к основной оси Ох. Обозначим через ? угол, который прямая регрессии образует с осью Ох. Имеем b= tg ?. b – является мерой зависимости y от х или мерой влияния х на y. Знак при b определяет направление регрессии. Положительная линия регрессии при положительном коэффициенте регрессии с увеличением значений х увеличивает значение y. Отрицательный коэффициент регрессии свидетельствует об отрицательной регрессии, когда с увеличением х значение y убывает.

Построение линейной регрессии сводится к оценке ее параметров а и b. Оценки параметров линейной регрессии могут быть найдены различными методами. Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан на методе наименьших квадратов. Он позволяет получить такие оценки параметров а и b, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака y от расчетного теоретического минимально, т.е. . Из всего множества минимальная линейная регрессия на графике выбирается так, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали между точками и этой линией было минимальным.

Система нормальных уравнений дает возможность оценки параметров а и b.



Решая эту систему уравнений либо методом последовательного исключения переменных, либо методом определителей находят искомые оценки параметров а и b.

b – коэффициент регрессии, его величина показывает среднее изменение результата при изменении фактора на единицу. Возможность четкой экономической интерпретации коэффициента регрессии сделала линейное уравнение регрессии достаточно распространенным в эконометрических исследованиях.

Формально значение а – это значение y при х0. Если фактор х не имеет нулевого значения, то такая трактовка свободного члена а не имеет смысла. Параметр а может не иметь экономического содержания. Интерпретировать можно лишь знак при а. Если а >0, то относительное изменение результата происходит медленнее, чем изменение фактора.

Уровень регрессии всегда дополняется показателем тесной связки. При использовании линейной регрессии в качестве такого показателя выступает линейный коэффициент корреляции.



Линейный коэффициент корреляции находится в границах от –1 до +1. Если b>0, то 0 ? r ? 1. Если b<0, то -1 ? r ? 0.

Величина линейного коэффициента корреляции оценивает тесноту связи рассматриваемых признаков в линейной форме. Поэтому близость абсолютной величины линейного коэффициента корреляции нулю еще не означает отсутствие связи между признаками. При иной спецификации модели связь между признаками может оказаться достаточно тесной.

Для оценки качества подбора линейной функции рассматривается квадрат линейного коэффициента корреляции, называемый коэффициентом детерминации результативного признака y, объясняемой регрессией и соответствующая величина 1- r2 – характеризует долю дисперсии y, вызванную влиянием остальных, неучтенных факторов.


?

x


4. Оценка сущности параметров, интервалы прогноза, ошибка аппроксимации.

Вопросы.

1. Оценка сущности параметров линейной регрессии и корреляции.

2. Интервалы прогноза по линейному уравнению регрессии.

3. Средняя ошибка аппроксимации.

1. Оценка сущности параметров линейной регрессии и корреляции.

После нахождения уравнения линейной регрессии проводится оценка значимости как уравнения в целом, так и его параметров. Оценка значимости уравнения регрессии в целом производится при помощи критерия Фишера. В основе лежит гипотеза о том, что коэффициент регрессии b=0, откуда фактор х не оказывает никакого влияния на результативный признак y. До начала расчета F- критерия производится анализ дисперсии. В основе этого анализа лежит правило сложной дисперсии.

=

+



Общая сумма квадратов отклонения

Сумма квадратов, объясняющих регрессий

Остаточная сумма квадратов отклонений


Общая сумма квадратов отклонений индивидуальных значений результативного признака y от среднего значения вызывается влиянием множества причин. Эти причины можно разделит на две группы.

1. Изучаемый фактор х.

2. Все другие факторы.

Если фактор х не оказывает влияния на результат, то линия регрессии на графике параллельна оси Ох и среднее значение y равно расчетному: Тогда все дисперсии результативного признака обусловлены воздействием прочих факторов и общая сумма квадратов отклонений совпадает с остаточной.

Если прочие факторы не влияют на результат, то связь х и y функциональна, а остаток суммы квадратов равен нулю. Сумма квадратов объясненных регрессий в этом случае совпадает с общей суммой квадратов.

В связи с тем, что не все точки поля корреляции лежат на линии регрессии имеет место разброс, обусловленный как влиянием фактора х, т.е. регрессией, так и вызванный действием прочих причин (необъясненные возмущения). В зависимости от того, какая часть объединенной вариации признака y приходится на объясняющую вариацию, делают вывод о том, пригодна ли линейная регрессия для прогноза. Если сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией будет больше остаточной суммы квадратов, то уравнение регрессии считается статистически значимым, а фактор х оказывает существенное воздействие на результативный признак y. В таком случае коэффициент детерминации r2 будет приближаться к единице.

Любая сумма квадратов отклонений связана с числом степеней свободы, т.е. с числом свободы, независимого варьирования признака. Его значение связано с числом единиц совокупности n и с числом определяемых постоянных m (а, b). Для объединенной суммы квадратов число степеней свобода равно n-1. Объясненная или функциональная сумма квадратов имеет одну степень свободы, т.е. равна единице. Существует равенство между числом степеней свободы общей факторной и остаточной сумме квадратов, потому что степеней свободы для остаточной суммы квадратов равно n-2. При делении каждый из суммы квадратов на соответствующее число степеней свободы получают среднее квадратическое отклонение и дисперсию: ?2 – общее, ?2 – объясненная и ?2 – остаточная.

Сопоставляя фактическую и остаточную дисперсии в расчете на одну степень свободы, получаем F – отношение или F- критерий



Если нулевая гипотеза справедлива, то фактическая и остаточная дисперсии не отличаются друг от друга. Для нулевой гипотезы необходимо опровержение, чтобы фактор дисперсии превышал остаток в несколько раз. Разработаны специальные таблицы критических значений F- критерия при разных уровнях сущности нулевой гипотезы и различным числом степеней свободы. Табличное значение F – критерия это максимальная величина отклонения дисперсий, которая может иметь место при случайном их расхождении для данного уровня вероятности наличия нулевой гипотезы. Вычисленное значение F – отклонения признается достоверным (отличающимся от границы), если оно больше таблиц. В этом случае нулевая гипотеза об отсутствии связи отклоняется и дается вывод о сущности этой связи Fфакт. > Fтабл.. Если Fфакт. < Fтабл., то вероятность нулевой гипотезы выше данного уровня и она не может быть отклонена без риска сделать неправильный вывод о наличии связи. В этом случае уравнение регрессии считается статистически не значимы, нулевая гипотеза не отклоняется. Оценка значимости уравнения регрессии обычно делается в виде таблицы.

Дисперсионный анализ результатов регрессии.

Источники вариации

Число степеней свободы

Сумма квадратов отклонений

Дисперсия на 1 степень свободы

F – критерий

Фактический

Табличный

Общая

n-1












Объясненная

1












Остаточная

n-2












Кроме того оцениваются и отдельные параметры уравнения регрессии. Определяется стандартные ошибки по каждому из множеств.

Стандартная ошибка коэффициента регрессии



Стандартная ошибка влияет вместе с t – распределением Стьюдента применяется для проверки сущности коэффициента регрессии и для расчетов по завершению интервалов. Для оценки сущности коэффициента регрессии по величине сравниваются по стандартным ошибкам, т.е. определяется фактическое значение t- критерия Стьюдента

,

которая затем сравнивается с табличным значением при определенном уровне значимости ? и в числе степеней свободы n-1. Связь между F – критерием Фишера и t – статистикой Стьюдента, имеет вид



Если фактическое значение F – критерия превышает табличное, то гипотезу о сущности коэффициента регрессии можно отклонить, а доверительный интервал для коэффициента регрессии определить как

b ± t mb

В связи с тем, что коэффициент регрессии в экономических исследованиях имеет четкую интерпретацию, доверительные границы интервала для коэффициента регрессии не должны содержать противоречивых результатов. Например. Интервал -10? b ? 40. Такая запись одновременно содержит и положительные и отрицательные величины и даже 0, это не может быть.

Стандартная ошибка параметра а определяется по формуле:



Процедура оценивания сущности параметра а не отличается от рассмотренной оценки коэффициента регрессии b.



Его величина сравнивается с табличным значением при степени свободы (n-2).

Значимость минимального коэффициента корреляции



Фактическое значение F – критерия Стьюдента определяется как



Связь F – критерия с t – статистикой Стьюдента



Если tтабл < tфакт, то нулевая гипотеза отклоняется, т.е. а, b,r – не случайно отличаются от нуля и сформировались под влиянием сис – ки действительного фактора а.

Если tтабл > tфакт, то нулевая гипотеза не отклоняется и признается случайная природа формирования а, b,r.

2. Интервалы прогноза по линейному уравнению регрессии.

Прогнозируемое значение y определяется путем подстановки в уравнение



соответствующего прогнозируемого значения хр, но т.к. точный прогноз явно не реален вычисляется средняя стандартная ошибка прогноза



где



и строятся доверительные интервалы прогноза.



3. Средняя ошибка аппроксимации.

Фактическое значение результативного признака отличается от значения, теоретически рассчитанного по уравнению регрессии. Чем меньше это отличие, тем ближе теоретические значения подходят к теоретическим данным, тем лучше качество модели.

Величина отклонения фактических и расчетных значений результативного признака - по каждому наблюдению представляет собой ошибку аппроксимации. Их число соответствует объему совокупности, Поскольку - могла быть как величиной положительной, так и отрицательной, то ошибки аппроксимации для каждого наблюдения принято определять в процентах по модулю. Чтобы иметь объективное суждение о качестве модели из относительных отклонений по каждому наблюдению определяют среднюю ошибку отклонения как средне арифметическую. Допустимый предел от 8 до 10%.



5 Нелинейная регрессия

Вопросы.

1. Два класса нелинейных регрессий.

2. Построение уравнения множественной нелинейной регрессии.

1. Два класса нелинейных регрессий.

Если между экономическими явлениями существует нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью соответствующей нелинейной функции. Различают два класса нелинейных регрессий. Нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, нелинейных по оцениваемым параметрам и регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.

Примерами нелинейной регрессии по включенным в нее объясняющим переменным могут служить следующие функции.

К нелинейным регрессиям по оцениваемым параметрам относятся функции

Нелинейная регрессия, по включенным переменным, не таит каких – либо сложностей в оценке и параметров. Она определяется, как и в линейной регрессии, и методом наименьших квадратов, т.к. отмеченные функции линейны по параметрам. Для удобства оценивания параметров, эти функции можно представить в виде линейной множественной регрессии. Для этого в полиноме m – ой степени следует сделать следующие замены.

x = x1, x2 = x2, x3 = x3 a = a*, b = b*, c = c*, d = d*.

= a* + b* x1 + c* x2 + d* x3.

Полином любого порядка сводится к линейной регрессии и её методам оценки параметров и проверки гипотез. Чаще всего среди полиномов используется парабола второго порядка. Нахождение ее параметров возможно методом определителей. Для равносторонней гиперболы y=a + b производим замену = z, получается линейное уравнение регрессии y =a+bz, оценка параметров которого может быть дана методом наименьших квадратов. Регрессии нелинейные по оцениваемым параметрам подразделяют на два типа: нелинейные модели, внутренне линейные, и нелинейные модели, внутренне не линейные.

Если нелинейная модель внутренне линейна, то она с помощью преобразования может быть приведена к линейному виду.

Если нелинейная модель внутренне не линейна, то она не может быть сведена к линейной функции.

Для экономических расчетов наибольший интерес представляют внутренне линейные функции. К примеру, степенная функция путем логарифмов приводится к линейному виду

y = axb. ? ln y = ln a + b ln x

Соответствующие оценки параметров а и b могут быть найдены методом наименьших квадратов.

Обратная модель

Обращая обе части равенства получим линейную форму модели для переменной

При использовании линеаризуемых функций не следует проверять наличие предпосылок МНК, чтобы они не нарушили при проведении преобразований. Уравнение регрессии, так же как линейные зависимости, дополняются коэффициентом корреляции.



Величина данного показателя находится в границах от 0 до 1. Чем ближе к 1, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно каждое уравнение регрессии.

2. Построение уравнения множественной нелинейной регрессии.

Процедура построения множественной регрессии аналогична процедуре определения простой нелинейной регрессии.

Рассмотрим следующий пример не линейной регрессии.

= a + f1(x1) + f2(x2)

Если профессиональный теоретический анализ экономических явлений позволяет представить функции от объясняющих переменных в виде

f1(x1) =

f2(x2) =

то зависимость выражается

= a + +

Это уравнение относительно легко привести к линейному виду. Обозначим

= x3, = x3, = x1.

Из функций множественной нелинейной регрессии 1 класса, которая допускает линеаризацию, представляет большой экономический интерес определение производственные функции. Формально общее определение производственной функции можно дать как функция, устанавливающая количественную связь между результатом некоторого процесса и условиями его получения, если хотя бы часть из них являются управляемыми. Под результатом чаще всего понимают выпуск продукции некоторой непроизводственной единицы предприятия, отрасли, народного хозяйства в целом или отдельного региона в натуральном или денежном выражении, а под затратами понимаются затраты ресурсов.

В начале производственные функции использовались для исследования причинно – следственного описания в производственной сфере. В последствии они стали популярным средством анализа экономических явлений. Это объясняется простотой вида этих функций и широкими возможностями их применения.

Производственная функция является степенная функция Дугласа.

Y = a

где y - выпуск продукции НДЖ и т.д.

х12,….,xn – влияющие факторы,

а – нормировочный множитель,

b1,b2,….,bn – коэффициенты эластичности.

Таблица. Расчет коэффициента эластичности.



Название

Вид функции

Коэффициент эластичности

1

Линейная

y = bx+?

Э =

2

Парабола 2 порядка

Y=a+bx+cx2+?

Э =

3

Гипербола

Y=a++?

Э=

4

Степенная

Y=a xb+?

Э = b

5

Показательная

Y= a + bx+?

Э = xln b

6

Обратная

Y =

Э =

Они показывают насколько процентов изменился результат признака (выпуск продукции) при увеличении функция признак (затрат) на один процент при неизменном количестве остальных факторов.

Несмотря на широкое применение производственных функций коэффициента эластичности возможны случаи, когда расчет экономического смысла не имеет.

Если ограничиться расмотре5нием товарной продукции y затратами труда х1 и основного фонда х2, то степени функции Дугласа будут иметь вид

Y = a

Логарифмируя обе части равенства получим

log y = log a + b1 log x1 + b2 log x2

Т.о. функция сводится к минимальному виду и по ним находится параметры.

6. Проблемы спецификации моделей множественной регрессии

Вопросы.

1. Спецификация модели

2. Выбор формы уравнения регрессии.

1. Спецификация модели

Парная регрессия может дать хорошие результаты при моделировании, когда другими факторами, воздействующими на результат, можно пренебречь. Для того, чтобы иметь правильное представление о влиянии, например, фонды на потребление необходимо изучать их корреляцию при неизменном уровне других факторов. Решение такой задачи сводится к отбору единиц совокупности с одинаковыми значениями других факторов, кроме дохода. Он приводит к планировании эксперимента, методу, который используется в химических, физических, биологических исследованиях. Проведение отдельного эксперимента нельзя, не удается обеспечит равенство при прочих равных условиях для оценки влияния одного исследуемого фактора. В этом случае следует попытаться выявить, введя их в модель, т.е. построить уравнение множественной регрессии, учитывающей влияние других факторов.

Множественная регрессия широко используется в решении проблем спроса, доходности акций при увеличении функции издержек производства в макро экономических расчетах и целого ряда вопросов экономики. Основная цель множественной регрессии построить модель с большим числом факторов, определив при этом влияние каждого их них в отдельности, а также совокупное их воздействие на моделируемы показатель. Построение уравнения множественной регрессии начинается с решения вопросов спецификации модели. Она включает в себя два круга вопросов.

1. Отбор факторов

2. Выбор вида уравнения регрессии.

2. Выбор формы уравнения регрессии.

Ввиду четкой интерпретации параметров наиболее широко используются линейные функции. В линейной и множественной регрессии параметры при х называются коэффициентами чистой регрессии. Они характеризуют средние изменения результата изменением соответствующего фактора на единицу при неизменных значениях других факторов, закрепленных на среднем уровне.

Степенная функция получила наиболее широкое распространение в производительных функциях в исследовании спроса и предложения. Возможно применение и других линеаризируемых функций при построении уравнения множественной регрессии.

Экспонента -

Гипербола - , которая используется при обратной связи признака. Созданы хорошие компьютерные программы обратной регрессии, которые позволяют перебирать различные функции и выбрать ту, которая детерминировано максимальна а коэффициент детерминации максимален. Однако, чем сложнее функция, тем меньше интерпретируемы параметры.

7. Множественная регрессия и корреляция.

Вопросы.

1. Построение модели множественной регрессии.

2. Нахождение параметров.

3. Модели, связи в стандартном масштабе.

4. Вычисление коэффициента эластичности, корреляции и детерминации.

1. Построение модели множественной регрессии.

Изучение связей между тремя и более связанными между собой признаками называется множественной или многофункциональной регрессией. При исследовании зависимости требуется определить аналитическое выражение связи между результативным признаком y и фактическими признаками x1,x2,…xn и найти функцию

y = f(x1,x2,…xn)

Построение модели множественной регрессии включает в себя несколько этапов.

1. Выбор формы связей или уравнения регрессии.

2. Отбор факторных признаков.

3. Обеспечение достаточного объема совокупности для получения исследуемых оценок.

Чаще всего для определения вида исходного уравнения регрессии используется метод перебора различных уравнений. Для построения уравнения множественной регрессии используются следующие функции.

Наибольшее распространение получили линейные функции в силу простоты и легкости их экономической интерпретации. Нелинейные формы зависимости могут быть приведены к линейному виду путем линеаризации. Важным моментом построения уже выбранного уравнения множественной регрессии является отбор и включение фактических признаков. Сложность заключается в том, что почти все факториальные признаки находятся в зависимости один от другого. Различные модели связи, включающие оптимальное число признаков, является одной из основных проблем построения множественной регрессии. Чем больше фактических признаков, включенных в уравнение, тем лучше оно описывает явление. Однако громоздкие модели с множеством факторов сложнее реализуемы и требуют больших затрат машинного времени. Сокращение размерности происходит за счет исключения второстепенных экономических и статистических не значимых факторов.

2. Нахождение параметров.

Для оценки параметров уравнения множественной регрессии применяется метод наименьших квадратов. Для линейных уравнений и не линейных, приводимых к линейному виду, строится следующая система нормальных уравнений, решение которой позволяет получить оценки параметров регрессии.



Для ее решения может быть применен метод определителя.

, , ,…………………..

где



? – определитель системы,

?а, ?b1, ?b2, ……,?bn –частные определители, которые получаются путем замены соответствующего столбца матрицы определителя системы данными левой части системы.

3. Модели, связи в стандартном масштабе.

Другой вид уравнений множественной регрессии – уравнение в стандартном …….. рованном масштабе. Оценки влияния каждого фактора – признака, включенного в уравнение регрессии, на результативный признак может быть затруднена, если фактор – признаки различаются по своей сущности и имеют различные единицы измерения. В этом случае для более точной оценки влияния факторов используются множественные модели регрессии в стандартном рованном масштабе.

ty = ?1t1x1 + ?2t2x2 + ….. + ?ntnxn

, ,…………..

ty и tx – являются стандартизированными переменными,

? – стандартный, линейный коэффициент регрессии.

К уравнению регрессии в стандартном масштабе применим метод наименьших квадратов. Связь коэффициентов в множественной регрессии b со стандартными коэффициентами ? описывается соотношением



Параметр а определяется из соотношения

a = - b1x1 - b2x2 - …. - bnxn,

4. Вычисление коэффициента эластичности, корреляции и детерминации.

Средние коэффициенты эластичности для линейной регрессии рассчитываются по формуле



Тесноту совместного влияния фактора на результат оценивают коэффициент или индекс корреляции, который рассчитывается



Значение индекса множественной корреляции лежит в пределах от 0 до 1. Индекс множественной корреляции в стандартном масштабе равен



Качество построения модели в целом оценивает коэффициент или индекс детерминации. Коэффициент множественной детерминации рассчитывается как квадрат индекса множественной корреляции.

Значимость уравнения множественной регрессии в целом оценивается с помощью F – критерия Фишера. Оценка значимости коэффициентов чистой регрессии производится с помощью t - критерия Стьюдента.

7. Множественная регрессия и корреляция.

Вопросы.

1. Построение модели множественной регрессии.

2. Нахождение параметров.

3. Модели, связи в стандартном масштабе.

4. Вычисление коэффициента эластичности, корреляции и детерминации.

1. Построение модели множественной регрессии.

Изучение связей между тремя и более связанными между собой признаками называется множественной или многофункциональной регрессией. При исследовании зависимости требуется определить аналитическое выражение связи между результативным признаком y и фактическими признаками x1,x2,…xn и найти функцию

y = f(x1,x2,…xn)

Построение модели множественной регрессии включает в себя несколько этапов.

1. Выбор формы связей или уравнения регрессии.

2. Отбор факторных признаков.

3. Обеспечение достаточного объема совокупности для получения исследуемых оценок.

Чаще всего для определения вида исходного уравнения регрессии используется метод перебора различных уравнений. Для построения уравнения множественной регрессии используются следующие функции.

Наибольшее распространение получили линейные функции в силу простоты и легкости их экономической интерпретации. Нелинейные формы зависимости могут быть приведены к линейному виду путем линеаризации. Важным моментом построения уже выбранного уравнения множественной регрессии является отбор и включение фактических признаков. Сложность заключается в том, что почти все факториальные признаки находятся в зависимости один от другого. Различные модели связи, включающие оптимальное число признаков, является одной из основных проблем построения множественной регрессии. Чем больше фактических признаков, включенных в уравнение, тем лучше оно описывает явление. Однако громоздкие модели с множеством факторов сложнее реализуемы и требуют больших затрат машинного времени. Сокращение размерности происходит за счет исключения второстепенных экономических и статистических не значимых факторов.

2. Нахождение параметров.

Для оценки параметров уравнения множественной регрессии применяется метод наименьших квадратов. Для линейных уравнений и не линейных, приводимых к линейному виду, строится следующая система нормальных уравнений, решение которой позволяет получить оценки параметров регрессии.



Для ее решения может быть применен метод определителя.

, , ,…………………..

где



? – определитель системы,

?а, ?b1, ?b2, ……,?bn –частные определители, которые получаются путем замены соответствующего столбца матрицы определителя системы данными левой части системы.

3. Модели, связи в стандартном масштабе.

Другой вид уравнений множественной регрессии – уравнение в стандартном …….. рованном масштабе. Оценки влияния каждого фактора – признака, включенного в уравнение регрессии, на результативный признак может быть затруднена, если фактор – признаки различаются по своей сущности и имеют различные единицы измерения. В этом случае для более точной оценки влияния факторов используются множественные модели регрессии в стандартном рованном масштабе.

ty = ?1t1x1 + ?2t2x2 + ….. + ?ntnxn

, ,…………..

ty и tx – являются стандартизированными переменными,

? – стандартный, линейный коэффициент регрессии.

К уравнению регрессии в стандартном масштабе применим метод наименьших квадратов. Связь коэффициентов в множественной регрессии b со стандартными коэффициентами ? описывается соотношением



Параметр а определяется из соотношения

a = - b1x1 - b2x2 - …. - bnxn,

4. Вычисление коэффициента эластичности, корреляции и детерминации.

Средние коэффициенты эластичности для линейной регрессии рассчитываются по формуле



Тесноту совместного влияния фактора на результат оценивают коэффициент или индекс корреляции, который рассчитывается



Значение индекса множественной корреляции лежит в пределах от 0 до 1. Индекс множественной корреляции в стандартном масштабе равен



Качество построения модели в целом оценивает коэффициент или индекс детерминации. Коэффициент множественной детерминации рассчитывается как квадрат индекса множественной корреляции.

Значимость уравнения множественной регрессии в целом оценивается с помощью F – критерия Фишера. Оценка значимости коэффициентов чистой регрессии производится с помощью t - критерия Стьюдента.

Учебный материал
© bib.convdocs.org
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации