Лекции - Экономико-математические методы и прикладные модели - файл n1.doc
Лекции - Экономико-математические методы и прикладные моделискачать (675.5 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc
Решение оптимизационных задач средствами EXCEL. Краткий конспект лекций по курсу «Экономико-математические методы и прикладные модели» Оглавление1.
решение систем линейных уравнений
методом жордана - гаусса 2
Общая задача оптимизации 5
Симплексный метод решения задачи линейного программирования 6
Технология решения задач линейного программирования с помощью Поиска решений в среде EXCEL. 11
Двойственность в задачах линейного программирования. Анализ полученных оптимальных решений. 27
решение систем линейных уравнений
методом жордана - гаусса
Пример 1. Решить методом Жордана-Гаусса систему линейных уравнений:
а) Х
1 + Х
2 + 2Х
3 = -1
2Х
1 - Х
2 + 2Х
3 = -4
4Х
1 + Х
2 + 4Х
3 = -2
Решение: Составим расширенную матрицу
1 Итерация. В качестве направляющего элемента выбираем элемент

. Преобразуем первый столбец в единичный. Для этого к второй и третьей строкам прибавляем первую строку, соответственно умноженную на -2 и -4. Получим матрицу:
На этом первая итерация закончена.
2 Итерация. Выбираем направляющий элемент

. Так как

, то делим вторую строку на -3. Затем умножаем вторую строку на 1 и 3 и складываем соответственно с первой и третьей строками. Получим матрицу:
3 Итерация. Выбираем направляющий элемент

. Так как

, то делим третью строку на -2. Преобразуем третий столбец в единичный. Для этого умножаем третью строку на -4/3 и -2/3 и складываем соответственно с первой и второй строками. Получим матрицу:
откуда Х
1 = 1, Х
2 = 2, Х
3 = -2.
Пример 2. Решить методом Жордана - Гаусса систему линейных уравнений:
Х
1 + 2Х
2 + 2Х
3 +22Х
4 –4Х
5= 11
Х
1 +2Х
2 + Х
3 +16Х
4–4Х
5= 9
Х
1 + Х
2 + Х
3 +12Х
4 -2Х
5= 6
Решение: Составим расширенную матрицу
1 Итерация. В качестве направляющего элемента выбираем элемент

. Преобразуем первый столбец в единичный. Для этого ко второй и третьей строкам прибавляем первую строку, соответственно умноженную на -1. Получим матрицу:
На этом первая итерация закончена.
2 Итерация. Выбираем направляющий элемент

. Умножаем третью строку на -1. Преобразуем второй столбец в единичный. Для этого к первой строке прибавляем третью строку, соответственно умноженную на -2.
Получим матрицу:
3 Итерация. Выбираем направляющий элемент

. Так как

, то умножаем вторую строку на –1. Преобразуем третий столбец в единичный. Для этого вторую строку складываем с третьей строкой. Получим матрицу:

| Х1 | Х2 | Х3 | Х4 | Х5 |
|
|
|
|
| 1 | 2 | 2 | 22 | -4 | 1 | 0 | 0 | 11 |
| 1 | 2 | 1 | 16 | -4 | 0 | 1 | 0 | 9 |
| 1 | 1 | 1 | 12 | -2 | 0 | 0 | 1 | 6 |
| 1 | 2 | 2 | 22 | -4 | 1 | 0 | 0 | 11 |
1 | 0 | 0 | -1 | -6 | 0 | -1 | 1 | 0 | -2 |
| 0 | -1 | -1 | -10 | 2 | -1 | 0 | 1 | -5 |
| 1 | 0 | 0 | 2 | 0 | -1 | 0 | 2 | 1 |
2 | 0 | 0 | -1 | -6 | 0 | -1 | 1 | 0 | -2 |
| 0 | 1 | 1 | 10 | -2 | 1 | 0 | -1 | 5 |
| 1 | 0 | 0 | 2 | 0 | -1 | 0 | 2 | 1 |
3 | 0 | 0 | 1 | 6 | 0 | 1 | -1 | 0 | 2 |
| 0 | 1 | 0 | 4 | -2 | 0 | 1 | -1 | 3 |
| 1 | 0 | 0 | 2 | 0 | -1 | 0 | 2 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 4 | -2 | 0 | 1 | -1 | 3 |
| 0 | 0 | 1 | 6 | 0 | 1 | -1 | 0 | 2 |
Исходная система эквивалентна следующей системе уравнений:
Х
1 + 2Х
4 = 1
Х
2 +4Х
4 -2Х
5= 3
Х
3 +6Х
4= 2
Система уравнений имеет бесконечное множество решений.
Общее решение имеет вид:
Х
1 = 1-2Х
4 Х
2 = 3-4Х
4 +2Х
5 Х
3 = 2-6Х
4. переменные Х
1, Х
2, Х
3 являются
основными (или
базисными). Любое
частное решение получается из общего путем придания конкретных значений свободным переменным. Если свободные переменные Х
4 и Х
5 положить равными нулю, то получим первое
базисное решение Х
1 = 1,
Х
2 = 3, Х
3 = 2, Х
4 = 0, Х
5=0.
Первое базисное решение имеет вид: (1,3,2,0,0). Общее число групп основных переменных, т.е. базисных решений не более, чем

=

=

.
Если все компоненты базисного решения неотрицательны, то такое решение называется
опорным.