Бирюков С.В., Романова И.В. САПР измерительных устройств: конспект лекций - файл n1.doc

Бирюков С.В., Романова И.В. САПР измерительных устройств: конспект лекций
скачать (556 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc556kb.13.10.2012 20:08скачать

n1.doc

1   2   3

Б
олее распространенной является нелинейная модель диода, которая базируется на уравнении Эберса – Молла для управляемого источника тока и учитывает зависимость емкостей диода от режима работы.


где I0 – тепловой ток;

U – напряжение на pn переходе;

m – поправочный коэффициент, учитывающий отключение реальной характеристики от идеальной характеристики pn перехода;

т – тепловой потенциал (для Т = 300 К составляет 25–26).
5.5. Модели биполярных транзисторов

В качестве простейших моделей биполярных транзисторов используют схемы замещения уравнений четырехполюсника [2].



Наибольшее распространение получили уравнения с У-параметрами и
h-параметрами.






У-параметры:

I 1=Y11 U1+ Y12 U2;

I 2=Y21 U1+ Y22 U2.




h -параметры


h–параметры:

U1= h11 i1 + h12 u2;

I2 = h21 i1 + h22 u2.



Такие модели с большой точностью описывают характеристики транзистора в линейном малосигнальном режиме, однако трудности их практического применения связаны с необходимостью в каждом конкретном случае определять численные значения параметров с учетом определенных рабочих точек.

При моделировании линейных электронных схем после расчета режима рабочей точки для сокращения машинного времени используются малосигнальные модели биполярных транзисторов.

Эквивалентная схема такой модели с управлением по базе выглядит так.



В схеме:

 – коэффициент передачи;

rб – сопротивление базы;

rэ – сопротивление эмиттера;

rк – сопротивление коллектора;

эк – коэффициент обратной связи по напряжению.


При автоматизированном проектировании указанные параметры определяются, как правило, расчетным путем из нелинейных моделей.

В качестве нелинейных моделей биполярного транзистора наибольшее распространение получили модификации моделей Эберса – Молла.

Рассмотрим вариант такой модели в основе которой лежит представление транзистора как системы двух взаимодействующих диодов.

Iэ; Iк – источники внутренних токов, управляемые напряжением на p-n переходах;

Rэ; Rб; Rк – сопротивления объемных областей эмиттера, базы и коллектора соответственно, а также их внешних выводов.

Rуэ; Rук – сопротивление утеч­ки;

Сэ; Ск – емкости эмиттерного и коллекторного переходов.

Д
ля расчета токов Iэ; Iк используются уравнения:

г
де Uэ; Uк – напряжение на эмиттерном и коллекторном переходах (входные параметры моделей);

N; I – статические коэффициенты передачи по току в схеме с общим эмиттером;

mэ; mк – поправочные коэффициенты;

Iко; Iэо – обратные токи.

Для большинства транзисторов коэффициенты N и I зависят от тока.

Сложными зависимостями описываются и емкости Сэ и Ск.

В общем случае данная модель транзистора имеет 24 параметра. Она может быть модифицирована как в сторону упрощения, так и в сторону усложнения.

Очевидно, что получить точную универсальную модель биполярного транзистора невозможно. Для автоматизированного проектирования РЭА необходима разработка иерархического ряда моделей, а также диалоговых и автоматических процедур формирования моделей, имеющих требуемые свойства.

5.6. Модели полевых транзисторов

Полевые транзисторы относятся к униполярным приборам, модели которых проще, чем модели биполярных транзисторов [2].

Основным элементом модели является источник тока канала, зависимость которого от напряжений на выводах характеризует активные действия транзистора.

Для приближенных расчетов достаточна упрощенная модель для малых сигналов, в которой не учитывается влияние объемных сопротивлений стока, затвора и подложки.




Сзи; Ссз; Сси – межэлектродные емкости между соответствую­щими электродами.

R i – внутреннее сопротивление канала сток-исток.
Источник тока, задающий приращение тока канала: iк = SUзи,

где S – крутизна вольт-ампернод характеристики.
5.7. Модели операционных усилителей



Характеристика модели

Такая модель имеет:

– коэффициент усиления по напряжению;

– полосу пропускания;

– входное сопротивление;

– скорость нарастания выходного напряжения;

– нулевой входной ток ;

– нулевое смещение нуля;

– нулевое выходное сопротивление;

– нулевой температурный дрейф;

– нулевое время нарастания выходного напряжения.

Для приближенной оценки качественных характеристик проектируемых устройств может использоваться квази идеальная модель [2].




Ки – коэффициент усиления ОУ.

Данная модель учитывает основные показатели неидеальности ОУ.

  1. Ки ? ?;

  2. Rвх ??;

  3. Rвых ??.


При составлении моделей аналоговых схем применяется следующий
подход:

– первоначально рассматривается идеальная модель, отражающая основную функцию, выполняемую устройством;

– производится постепенное повышение точности моделирования путём введения в состав идеальной модели дополнительных элементов, характеризующих отклонение и нестабильности, выполнения основных функций.

Контролем корректности моделей служит степень совпадения характеристик с данными эксперимента или с результатами машинного расчёта с использованием моделей большей сложности, точности и универсальности.
6. Модели интегральных микросхем

Макромодели, используемые при автоматизированном схемотехническом проектировании, – это упрощённые представления функциональных узлов интегральных схем, которые с достаточной точностью отражают характеристики интегральной микросхемы. Так как интегральные микросхемы могут содержать 10–100 тысяч миллионов элементов на кристалле, то методы проектирования, основанные на моделях R, L, C элементах, моделях диодов и транзисторов не обеспечивают проведение схемотехнического анализа и оптимизацию параметров. Размер задачи становится настолько большим, что превышает возможности САПР. В связи с этим возникает необходимость снижения размеров задач схемотехнического проектирования. Одним из наиболее рациональных методов является составление моделей интегральных схем ИС не из традиционных моделей компонентов электронных цепей, а из моделей подсхем, моделей упрощенных структур т.е., из других макромоделей. Макромодель подсхемы описывается системой уравнений меньшего порядка или более простым алгоритмом расчёта выходных переменных по сравнению с развёрнутым представлением той же подсхемы. Всё это обеспечивает снижение вычислительных затрат и уменьшение размера задач моделирования в целом. В то же время снижение вычислительных затрат при использовании макромодели достигается ценой некоторого уменьшения точности моделирования. Однако время моделирования уменьшается в десятки и сотни раз, а точность снижается на 5–10 %.
6.1. Принципы построения макромоделей ИС

Макромодели как цифровых, так и аналоговых ИС делятся на два типа:

  1. физические макромодели в виде упрощенных электрических схем замещения, для которых расчёт проводится на основе законов Кирхгофа.

  2. информационные макромодели, уравнения которых имеют вид функционального описания y=f(x), где у и х – векторы входных и выходных переменных.

Наиболее целесообразно представление в виде макромоделей подсистем, топология и свойства которых многократно повторяются. Из таких макромоделей организуют библиотеки САПР.
6.2. Типовая структура макромоделей

Выделяют три типа:

  1. обобщенная структура макромодели;

  2. физическая макромодель;

  3. информационная макромодель.


7. Структурный синтез
и параметрическая оптимизация


Задачи структурного синтеза технического объекта включают создание структуры проектируемого и расчёт его основных параметров. Эти
две части синтеза называют соответственно структурный и параметрический синтез.

7.1. Структурный синтез

Задача структурного синтеза заключается в поиске оптимальной или рациональной структуры или схемы технического объекта для реализации заданных функций в рамках выбранного принципа действия.

Результаты структурного синтеза представляются в виде:

– схемы расположения элементов структуры с указанием их типов;

– перечня элементов вместе с таблицей соединений;

– схемы алгоритма.

Задачу структурного синтеза относят к наиболее сложным задачам проектирования с точки зрения формализации. Сложность формализованного синтеза структур заключается прежде всего в наличии большого числа факторов, влияющих на синтезируемые структуры, а также в трудности решения задач оптимизации при высокой степени детализации описания синтезируемых объектов.

Большая размерность задач структурного синтеза делает целесообразным блочно-иерархический подход, при котором процесс проектирования разбивается на взаимосвязанные иерархические уровни. Синтезируется не вся сложная система целиком, а на каждом уровне синтезируются определённые функциональные блоки с соответствующим уровнем детализации.

Существуют различные способы классификации задач структурного синтеза.

В зависимости от стадии проектирования различают следующие процедуры структурного синтеза.

1. Выбор основных принципов функционирования проектируемой сис­темы.

2. Выбор технического решения в рамках заданных принципов функционирования.

3. Разработка структуры проектируемого объекта.

4. Выпуск технической документации.

В зависимости от возможности формализации различают четыре варианта.

1. Задачи, в которых возможен полный перебор известных решений.

2. Задачи, которые не могут быть решены путём полного перебора за приемлемое время.

3. Задачи поисков вариантов структур в счётном множестве допустимых вариантов.

4. Задачи синтеза, решение которых является проблематичным.

В самом общем случае для решения задачи необходим перебор вариантов и сокращение объёма перебора, что является актуальной проблемой. Иерархический подход уменьшает число вариантов на каждом уровне и делает решение задачи определённой оптимальной структуры реальным.

7.2. Особенности решения задач структурного синтеза

Структура объектов определяется природой входящих в него элементов и физической реализацией связей между ними внутри или в составе объекта.

Структура наглядно изображает, как устроен объект, из каких частей он состоит и как эти части связаны друг с другом. Одной из форм математического описания структуры является граф. Вершины графа отождествляются с элементами объекта на принятом уровне детализации, а дуги графа – со связями между соответствующими элементами.

Инженерная форма отображения структур – это схема. Схема и граф тождественны по своему содержанию, но различаются по форме. Процесс проектирования структуры сложного технического объекта представляет собой многоэтапную процедуру, осуществляемую по блочно-иерархическому принципу.

1-й этап

Построение допустимого множества (каталога) принципиально возможных типов, входящих в объект элементов. Каталоги входят в состав информационного обеспечения САПР.

2-й этап

Выбор множества допустимых систем элементов, используемых при структурном синтезе объектов. Поскольку различные элементы, входящие в каталог применяемых элементов, могут быть реализованы на основе разнообразных физических принципов и с помощью различных технических решений,
не все элементы могут стыковаться друг с другом. Поэтому основной задачей данного этапа является определение требований к параметрам и принципам функционирования отдельных элементов, входящих в состав проектируемого объекта.

3-й этап

Построение вариантов структур объекта с учетом их технической реализации. При структурном синтезе объекта небольшой сложности возможно построение полного множества допустимых структур объекта. При синтезе сложных объектов прямой перебор уже невозможен и необходима разработка процедур алгоритмов направленного поиска оптимальной структуры синтезируемого объекта.

Такие процедуры основываются на использовании:

а) дискретного программирования;

б) последовательных и итерационных алгоритмов синтеза;

в) сетевых и графовых моделей проектирования;

г) методов теорий эвристических решений и методов решения изобретательских задач.

4-й этап

Оценка вариантов и выбор компромиссной структуры синтезируемого объекта. Оценка вариантов структуры требует формирования и анализа математической модели синтезированной структуры объекта и выполнения параметрической оптимизации. Для объективной оценки сравниваемых вариантов структур необходимо иметь оптимальное значение параметров структур. Эти процедуры сложны, и полный перебор вариантов практически неосуществим. Для уменьшения сложности этого этапа используются либо косвенные критерии предпочтения варианта, либо ищутся оценки вариантов структур без исследования математической модели. При таком подходе вводят параметрические характеристики качества объекта. Это может быть число элементов в объекте, его стоимость, габариты, мощность, вес и т. п.

Другой путь уменьшения сложности – организация диалогового режима разработчика с ЭВМ на 3-ем и 4-ом этапах синтеза. При этом разработчик сам решает, какие программы анализа и оптимизации использовать для оценки варианта.

5-й этап

Коррекция технического задания. Под коррекцией ТЗ понимают изменение заданных ограничений в тех случаях, когда не существует вариантов структур, обеспечивающих требуемые ограничения. Если коррекция произведена, то соответствующие этапы проектирования проводят вновь при новых значениях ограничения. Особенностью задач структурного синтеза является то, что для получения оптимального варианта структуры проектируемого объекта, необходимо наличие его математической модели, представляющей собой формальное описание множества структур объекта на принятом уровне детализации. В этом случае задача структурного синтеза сводится к выбору компромиссного варианта в счетном множестве возможных реализаций.

7.3. Параметрический синтез

Задача параметрического синтеза заключается в определении наименьших значений параметров для выбранной структуры объекта с учётом всех требований ТЗ. Функционирование любой проектируемой технической системы подчиняется определённым физическим законам. Закон функционирования технической системы описывается аналитическими соотношениями между входными, внутренними и выходными переменными системы. Эти переменные связаны между определёнными соотношениями с переменными проектирования.

– переменные проектирования, под которыми понимаются внутренние переменные, допускающие варьирование. В процессе параметрического синтеза, варьирование внутренних переменных ведёт к изменению выходных параметров .

– выходные параметры проектируемой системы. Для постановки и решения задачи параметрического синтеза необходимо формирование целевой функции.

– целевая функция, отражающая качество функционирования проектируемой системы или объекта. Формально задачу параметрического синтеза можно представить как задачу нахождения вектора: (– m мерное пространство параметров проектирования).

?min, при ограничениях , где и -векторные функции от Х, описывающие систему ограничений на параметры проектирования Х. В качестве целевой функции может служить целевая функция максимального модуля отношения характеристик объекта от заданных.

,

где – целевая функция;

– среднеквадратичная целевая функция;

– заданное значение параметра ;

– реальное значение этого параметра.

Эти функции в задачах оптимизации следует минимизировать. Оптимизация может быть осуществлена различными методами, включающими достаточно сложные аналитические и численные математические процедуры. Если все переменные проектирования являются непрерывными, то для решения задачи параметрического синтеза могут быть использованы методы решения задач нелинейного программирования, основанные на хорошо разработанных методах и процедурах поиска экстремума функции. Для решения задачи оптимизации при проектировании объектов с дискретными значениями параметров, методы оптимизации относят к задачам дискретного программирования. При оптимизации часть параметров может быть дискретна, а часть иметь непрерывный характер. В этом случае применяются методы частично-дискретного программирования.

7.4. Последовательные методы в задачах проектирования
сложных объектов


Выбор оптимального варианта структуры проектируемого объекта методами, базирующимися на полном переборе вариантов, является дорогостоящей, трудоёмкой и часто неосуществимой процедурой. Использование методов математического программирования – задача структурного синтеза требует большой предварительной подготовки и не всегда оправдана из-за больших трудностей с учётом многочисленных факторов, влияющих на корректность постановки задачи оптимального проектирования и из-за существенных вычислительных трудностей решения задач математического программирования большой размерности.

При проектировании сложных объектов эффективными оказываются последовательные методы анализа и синтеза. Последовательные методы анализа основаны на направленной генерации множества вариантов с целью выбора наилучшего путём последовательного отсеивания неперспективных вариантов. Последовательные методы или алгоритмы синтеза основаны на наращивании структуры путём добавления по определённому правилу элементов к некоторому начальному элементу.

Метод последовательного конструирования,
анализа и отсеивания вариантов


В основе этого метода лежит идея процесса принятия решения в виде многоступенчатой структуры. Каждая ступень связана с проверкой наличия определённых свойств у подмножества вариантов и либо ведёт к непосредственному сокращению исходного множества вариантов, либо подготавливает возможность такого сокращения в будущем.

Для решения задачи необходимо определить отличительные свойства, которыми должен обладать искомый вариант. Первоначально из множества признаков выбираются наиболее легко проверяемые и присущие одновременно возможно большему числу вариантов. После этого выбор численной схемы решения состоит в выборе рационального порядка проверки признака, позволяющего провести отсев неконкурентоспособных вариантов и найти оптимальный.

Алгоритмы последовательного анализа вариантов основаны на принципе оптимальности, который представляет собой естественное обобщение принципа оптимальности динамического программирования для решения многошаговых задач оптимизации. В методе динамического программирования выбор решения на отдельном шаге производится не с точки зрения интересов данного шага, а с точки зрения всего многошагового процесса принятия решений в целом, выражающихся в минимизации суммарных потерь на всех последующих шагах.

Основное свойство процесса принятия решений

Каковы бы ни были начальное состояние и начальное решение последующие решения на каждом шаге должны быть оптимальными относительно состояния, являющегося результатом применения первого решения. Пусть имеется множество вариантов решений:

W= {w}

и множество опытов:

П= {п0},

причём каждый вариант описывается некоторым множеством признаков

wW.

Задача состоит в определении подмножества:

W*W,

инвариантного относительно любого исхода опыта и содержащего оптимальное решение:

w0W.

Для определения подмножества W* необходим опыт по анализу и оценке свойств элементов. Исходы опытов позволяют отбросить неперспективные варианты w, не имеющие общих частей с элементами подмножества W*, и сделать заключение о целесообразности постановки последующих опытов с целью определения элементов, входящих в подмножество W*.

Основными достоинствами метода последовательного анализа вариантов является значительная экономия в вычислительной процедуре за счёт отсеивания бесперспективных начальных частей вариантов до их полного удаления.

7.5. Последовательные алгоритмы структурного синтеза

Последовательные алгоритмы структурного синтеза относятся к классу эвристических. Их достоинства – высокая экономичность по затратам машинного времени и требуемому объему оперативной памяти, однако, как правило, последовательные алгоритмы дают не оптимальное, а близкое к оптимальному решение.

Рассмотрим применение последовательных алгоритмов для решения задач конструкторского проектирования РЭА, задач компоновки, размещения и трассировки.

При иерархической организации конструкции РЭА под компоновкой понимают определение состава типовых конструкций каждого уровня. Задача компоновки обычно решается снизу вверх, т.е. известные схемы i–1 уровня необходимо распределить по конструкции i-го уровня.

Пример. На самом низком уровне элементами могут выступать корпуса микросхем и радио компонентов, а конструкциями – типовые элементы, или блоки связаны друг с другом разъемными соединениями.

В качестве критериев оптимальности при решении задач компоновки более часто используют:

1) критерий минимума суммарного числа Ni типов модулей , где – число модулей j-го типа i-го уровня.

2) критерий минимума межблочных соединений , – число внешних связей каждого модуля i-го уровня.

Первый критерий непосредственно связан с конструкторскими характеристиками аппаратуры и показателем технологичности.

Второй критерий ведет к повышению надежности конструктивной реализации схемы, уменьшению помех и задержек сигналов за счет снижения числа межблочных соединений.

Построение последовательных алгоритмов компоновки
по критерию минимума межблочных связей


Идея алгоритма заключается в следующем.

  1. Первоначально выбирают исходный элемент или модуль схемы. Выбор первоначального элемента основывается на схемотехнических соображениях.

  2. В первый компонуемый узел включаются все элементы, смежные с начальным, и сам начальный элемент. Если полученное число элементов равно максимально допустимому числу элементов в первом узле, то компоновка этого узла заканчивается.

  3. Если это число больше или меньше максимально допустимого, то выполняются соответствующие операции по устранению лишних или добавлению недостающих элементов, причем из не скомпонованных элементов выбирают такой, который имеет наибольшее число связей с элементами уже вошедшими в компонуемый узел.

  4. Сформированный узел удаляют из схемы и компонуют новые узлы.

  5. Процесс повторяют до тех пор, пока схема не будет разбита на требуемое число частей или не будет выяснена невозможность этого.

Задача размещения заключается в определении оптимального (с точки зрения выбранного критерия оптимальности) положения элементов и связей между ними в монтажном пространстве типовой конструкции.

Исходными данными являются:

– принципиальная электрическая схема;

– метрические параметры и топологические свойства монтажного прост­ранства.

Главная цель размещения – создание наилучших условий для трассировки с учетом обеспечения тепловых режимов и электромагнитной совместимости.

При размещении n электрорадиоэлементов в регулярном монтаж­- ном пространстве с числом позиций m общее число размещений

В связи с этим поиск оптимального размещения с помощью перебора не целесообразен при n>18.

Имеется несколько последовательных алгоритмов размещения. Основной идеей этих алгоритмов является идея упорядочивания этих элементов по определенным признакам. Сначала устанавливают очередность элементов, а затем для каждого из них определяют наилучшую позицию по выбранному критерию, например по суммарной длине связей с уже размещенными компонентами. Затем процесс повторяют для оставшихся компонентов и свободных позиций.

Основными правилами для выбора элемента на очередном шаге алгоритма являются:

  1. максимум суммарных связей со всеми размещенными элементами;

  2. максимум разности связей между размещенными и не размещенными элементами.

Последовательные алгоритмы размещения требуют небольших затрат машинного времени, но приводят к не оптимальным решениям. Улучшить решения можно путем применения итерационных алгоритмов компоновки, основанных на изменении позиций одиночных элементов или групп элементов.
ВОПРОСЫ ДЛЯ КОНТРОЛЯ ЗНАНИЙ

  1. Понятия измерительного устройства и автоматизированного проектирования в радиоэлектронике.

  2. Математическое и лингвистическое обеспечение САПР.

  3. Информационное, программное, техническое, организационное и методическое обеспечение САПР.

  4. Основные задачи схемотехнического проектирования.

  5. Типы объектов схемотехнического проектирования.

  6. Основные этапы автоматизированного схемотехнического проектирования радиоэлектронных устройств

  7. Понятие математической модели компонента и схемы.

  8. Вопросы классификации математических моделей реальных электронных компонентов и их параметров.

  9. Иерархия математических моделей в САПР.

  10. Уровни абстракции при проектировании.

  11. Формы представления моделей.

  12. Требования к математическим моделям.

  13. Методика макромоделирования.

  14. Модели, используемые при проектировании РЭА. Математические модели на уровне 0.

  15. Модели, используемые при проектировании РЭА. Модели четырехполюсников.

  16. Модели, используемые при проектировании РЭА. Основные законы теории цепей. Модели полупроводниковых диодов.

  17. Модели, используемые при проектировании РЭА. Модели биполярных транзисторов.

  18. Модели, используемые при проектировании РЭА. Модели полевых транзисторов. Модели операционных усилителей.

  19. Модели интегральных микросхем. Принципы построения макромоделей ИС Типовая структура макромоделей.

  20. Структурный синтез. Особенности решения задач структурного
    синтеза.

  21. Параметрический синтез. Последовательные методы в задачах проектирования сложных объектов


БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

  1. Автоматизация проектирования радиоэлектронных средств : учеб. пособие для вузов / О.В. Алексеев, А.А. Головков, И.Ю. Пивоваров [и др.]; под ред. О.В. Алексеева – М. : Высш. шк., 2000. – 310 с.

  2. Автоматизация схемотехнического проектирования : учеб. пособие для вузов / под ред. В.И. Ильина. – М. : Радио и связь, 1987. – 368 с.

  3. Антипенский Р.В. Схемотехническое проектирование и моделирование радиоэлектронных устройств / Р.В. Антипенский, А.Г. Фадин. – М. : Техносфера, 2007. – 284 с.

  4. Влах И. Машинные методы анализа и проектирования электронных схем / И. Влах, К. Сингхал. – М. : Радио и связь, 1988. – 560 с.

  5. Казеннов Г. Г. Основы построения САПР и АСТПП / Г.Г. Казеннов,
    А.Г. Соколов. – М. : Высш. шк., 1989. – 200 с.

  6. Назаров А.В. Автоматизация схемотехнического моделирования /
    А.В. Назаров; под ред. Е.М. Старовойтовой. – М. : Изд-во МЭИ, 1994. – 340 с.

  7. Норенков И.П. Основы автоматизированного проектирования : учебник для вузов / И.П. Норенков. – М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. – 280 с.

  8. Норенков И.П. Основы теории и проектирования САПР : учебник для втузов / И.П. Норенков, В.Б. Маничев. – М. : Высш. шк., 1990. – 335 с.

  9. Норенков И.П. Системы автоматизированного проектирования электронной и вычислительной аппаратуры / И.П. Норенков, В.Б. Маничев. – М. : Высш. шк., 1997. – 272 с.

  10. Суходольский В.Ю. Сквозное проектирование функциональных узлов РЭС на печатных платах в САПР Altium Designer 6. Ч. 1. : учеб. пособие. – СПб.: Изд-во СПбГЭТУ “ЛЭТИ”, 2008. – 148 с.

  11. Сучков Д.И. Проектирование печатных плат в САПР PCAD 6 и ACCEL EDA / Д.И. Сучков. – M. : Малип, 2006. – 576 с.



Редактор В. А. Маркалева

Компьютерная верстка – Е. В. Беспалова
ИД № 06039 от 12.10.2001 г.
Сводный темплан 2010 г.

Подписано в печать 05.07.10. Формат 60Ч84 1/16. Бумага офсетная.

Отпечатано на дупликаторе. Усл. печ. л. 3. Уч.-изд. л. 3.

Тираж 50 экз. Заказ 464.

_________________________________________________________

Издательство ОмГТУ. 644050, г. Омск, пр. Мира, 11; т. 23-02-12

Т

ипография ОмГТУ


1   2   3


Учебный материал
© bib.convdocs.org
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации